轴对称知识点典型例题复习

第十三章轴对称
一、轴对称和轴对称图形
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）
2、轴对称：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做成轴对称．注意：①有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。

②成轴对称的两个图形只有一条对称轴。

③对称轴的画法：在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。

3、常见轴对称图形英文字母:A B D E H I K M O T U V W X Y
中文:日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。

数字:0 3 8 几何图形：
4、轴对称与轴对称图形的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

⑤两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

⑥对称点到对称轴的距离相等。

轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

⑦对称点的连线互相平行。

5、轴对称与轴对称图形的区别和联系
考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
1．下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有_____个
2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（）
A、21：10
B、10：21
C、10：51
D、12：01
︰
3．如图，轴对称图形的个数是（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴 二、用坐标表示轴对称
1、关于坐标轴对称：),('),(y x P y x P x -−−
−−→←轴对称关于),('),(y x P y x P y -−−−−→←轴对称
关于 2、关于原点对称：),('),(y x P y x P --−−
−−→←关于原点对称
3、关于坐标轴夹角平分线对称：)('),(x y P y x P ，关于一三平分线对称
−−
−−−−→←),('),(x y P y x P --−−−−−−→←关于二四平分线对称
4、关于平行于坐标轴的直线对称：),2('),(y x a P y x P a x -−−
−−→←=对称
关于)2,('),(y b x P y x P b y -−−−−→←=对称
关于 考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
11． 点 A （-3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是( )
A （-3 ，-2）
B （3 ，2）
C （-3 ，2）
D （2 ，-3） 11．点P （a ，b ）关于 x 轴的对称点为P ＇（1，-6），则A 、B 的值分别为( ) A 1 ，6 B -1 ，-6 C -1 ，6 D 1 ，-6
11.点P 关于x 轴对称点P ＇的坐标为（4，-5）,那么点P 关于y 轴对称点P"的坐标为： A (-4，5) B (4，-5) C (-4，-5) D (-5，-4) 12.平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是( )
A.x 轴
B.y 轴
C.直线y=4
D.直线x=-1 13.已知A(-1，-2)和B(1，3），将点A 向______平移_______个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称． 14.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形， 点A 的坐标为（2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为： B( ， )，C( ， )，D( ， )。

15. 若A （m-1，2n+3）与B （n-1，2m+1）关于y 轴对称，则m=______,n=______ 16.已知a ＜0，那么点P （-a²-2，2-a ）关于x 轴对称的对应点P'在第______象限 17.已知点M （1-a ，2a+2），若点M 关于x 轴的对称点在第三象限，求a 的取值范围______ 18.已知点A 的坐标为（2x+y-3，x-2y ）。

它关于x 轴对称的点A'的坐标为（x+3，y-4），则点A 关于y 轴对称的点的坐标_____
41.下列关于 直线 x=1 对称的点是( )
A 点（0 ，-3）与点（-2 ，-3）
B 点（2 ，3）与点（-2 ，3）
C 点（2 ，3）与点（0 ，3）
D 点（2 ，3）与点（2 ，-3 )
12.如图，从△ABC 到△A ′B ′C ′是进行的平移变换还是轴对称变换， 如果是轴对称变换，找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的？
14.已知两点A （–1，2） B （3，1）
（1）P 点在X 轴上移动。

求PA+PB 的最小值。

（2）Q 点在Y 轴上移动。

求QA+QB 的最小值。

（3）并求出P.Q 的坐标。

考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形
画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形 13.如图，△ABC ，求顶点A 、B 、C 关于y 轴对称点的坐标并在
坐标系中画出△ABC 关于x 轴对称的△EDF 。

四、线段垂直平分线的性质
线段的垂直平分线：定义:经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。

如图，证明格式：
∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

性质:线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如上图，应用格式：∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 判定:与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图，应用格式：∵PA=PB
∴点P 在线段AB 的垂直平分线m 上
注：⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是___________⑵线段的垂直平分线上的点到___________ 归类回忆角平分线的性质
⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______ ⑵角平分线上的点到_____________相等 考点四、线段垂直平分线的性质
1、如图，△ABC 中，∠A=90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点， 求∠C 的度数。

2、如图，△ABC 中，AB=AC ，PB=PC ，连AP 并延长交BC 于D ，求证：AD 垂直平分BC
3、如图,DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米， 则△EBC 的周长为（ ）
A.16厘米
B.18厘米
C.26厘米
D.28厘米
4、如图，AB=AE ，∠B=∠E ，BC=ED ，点F 是CD 的中点． （1）求证： AF ⊥CD
（2）若连结BE ，请你直接写出三个新的结论(无需证明) ．
五、等腰三角形
定义:有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

A
P C
E B
D
A
A
C D
E
F
C
A B m C
A P 底边
底角底角顶
角
腰
腰
①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：顶角=180°- 2底角 底角=顶角＝顶角2
1
902180--o o （底角只能是锐角。

）
等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 应用格式：如图，在△ABC 中 ∵AB=AC
∴∠B=∠C 。

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（“三线合一”）． 应用格式：如图，在△ABC 中
∵AD 是底边上的高或中线或顶角的平分线 ∴AD 是底边上的高或中线或顶角的平分线 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.
等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 判定方法一①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

应用格式：如图，在△ABC 中， ∵AB=AC
∴△ABC 是等腰三角形 。

判定方法二②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

应用格式：如图，在△ABC 中 ∵∠B=∠C
∴△ABC 是等腰三角形 。

特别：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．
（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．
（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形． 考点五、等腰三角形的特征和识别
1、如图所示，共有等腰三角形（ ）
A 、5个
B 、4个
C 、3个
D 、2个
2、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．
3、如图，△ABC 中，AB=AC=8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ， DF ∥AC 交AB 于F ，则四边形AFDE 的周长为______ 。

4、如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D
且EF ∥BC ，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则△AEF 周长为( ) A. 15 B . 14 C. 13 D. 18
5、如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上，且
AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o
,则∠FEB=________度．
6、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_____________
7、△ABC 中， DF 是AB 的垂直平分线，交BC 于D ，EG 是AC 的垂直平分线，交BC 于E ，若∠DAE=20°，
则∠BAC ＝____________°
N F D B A F E D A
B C E D C B A 36° 36° 72°
72° D C
B A
F C D
B E A
8、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角=___ (*)已知，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 在直线AB 上，且AD=AC ，BE=BC ，则∠DCE =__________度.
9、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。

试说明DE=DF 。

10、如图,E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE. 求证：△ABC 是等腰三角形.
11、已知：如图，△ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，EF ∥BC 交AC 于点F ．
试判断△EFC 的形状，并说明你的理由．
六、等边三角形：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。

性质:①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。

②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。

③等边三角形的三个内角都等于60°。

应用格式：如图，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC ∵△ABC 是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60°。

∴∠A=∠B=∠C=60°或AB=AC=BC 判定: ①三条边都相等的三角形是等边三角形。

应用格式：如图，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC
∴△ABC 是等边三角形 。

②三个内角都相等的三角形是等边三角形。

应用格式：如图，在△ABC 中 ∵∠A=∠B=∠C
∴△ABC 是等边三角形 。

③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。

应用格式：如图6，在△ABC 中 ∵AB=AC （或AB=BC,AC=BC ），∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°） ∴△ABC 是等边三角形 。

考点六、等边三角形的特征和识别 1、下列推理中，错误的是 ( )
A ．∵∠A ＝∠
B ＝∠
C ，∴△ABC 是等边△ B ．∵AB ＝AC ，且∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等边△ C ．∵∠A ＝60°，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边△
D ．∵AB ＝AC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边△
F
D C B A
A B C
乙O
D C B A F E
C B A D
E D C
A B F
2、如图，等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点， 且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

3、如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD ＝BE ＝CF ，则△DEF•的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形 C ．直角三角形 D ．不等边三角形
七、30°所对的直角边是斜边的一半
重要结论:在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。

应用格式：如图，∵在Rt △ABC 中，∠A=30°（或在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°）
∴BC=
2
1
AB 或AB=2BC 考点七、30°所对的直角边是斜边的一半
1、如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直 于横梁AC ，AB=8m ，∠A=30°，则DE 等于（ ）
A ．1m
B ．2m
C ．3m
D ．4m 2、如图：△ADC 中，∠A = 15°，∠D=90°，B 在AC 的
垂直平分线上，AB =34，则CD = ( )
A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对
3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm ，C0=D0=30 cm ，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB 刚好为120°，求桌面到地面的距离是多少？
4、如图，AB=AC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∠BAC=120o ，BC=6，
则DE+DF=________
5、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120o
，AB 的垂直平分线交BC 于点F ，
交AB 于点E ．如果EF=1，求BC 的长
（*）5’ 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120o
，AB 的垂直平分线交BC 于点F ，交AB 于点E ．(如上5题图)
求证：CF ＝2BF.
6、如图，∠BAC=30°，P 是∠BAC 平分线上一点，PM ∥AC ，PD ⊥AC ，PD=28 , 则AM=________
甲
E D C B
A
A B C
D E
M F
E C B A
A C
· ·D O B 作图题专练
1、如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ， 且P 到∠AOB 两边的距离相等．
2、已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，试分别画出符合条件的点M ． （1）如图，在l 上求作一点M ，使得AM ＋BM 最小． （2）如果两点位于直线异侧呢
（3）如图，在l 上求作一点M ，使得｜ AM －BM ｜最小；
（4）如图，在l 上求作一点M ，使得｜AM －BM ｜最大
3、图点A 、B 、C 在直线l 的同侧，在直线l 上， 求作一点P ，使得四边形APBC 的周长最小；
4、已知：如图点M 在锐角∠AOB 的内部，
在OA 边上求作一点P ，在OB 边上求作一点Q ， 使得ΔPMQ 的周长最小；
5、已知：如图3－14，点M 在锐角∠AOB 的内部，在OB 边上求作一点P ， 使得点P 到点M 的距离与点P 到OA 边的距离之和最小．
6、一条河两岸有A 、B 两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A 、B 两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A 到B 所走的路线最短？
7、若两点在两线之间呢。