西华大学计算方法试题2011 (12)

西华大学研究生课程考试试题

课程名称： 计算方法 考试类型（考试或考查）： 考试 年 级： 2012 学时： 54 考试时间： 120 专 业： 学生姓名: 学号:

一、(10分)设2

12

S gt =

，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1s ±的误差，问当t 变化时，S 的误差有怎样的变化规律？

解：()()0.1S gt t gt δδ== ()

()

0.2()2

||

r S t S S t

t

δδδ=

==

所以当t 增加时S 的绝对误差增加，相对误差减少。

二、(12分)用下列两种方法求1020x

e x +-=的根，要求误差不超过

41

102

-⨯，这两种方法的计算量(迭代次数)是多少？ (1) 在区间[0,1]内用二分法；

(2) 用迭代公法1210

k

x k e x +-=，取初值00x =。

解：（1）令()102x

f x e x =+-。因为(0)0f <，(1)0f >，()0f x '>，所以方程()0

f x =在区间[0,1]内有唯一的根*

x 。由公式*

4

1

101||1022

k k x x -+--≤

<⨯，得14k =，即迭代14次；

（2）令2()10x

e x ϕ-=，当[

0,0.5]x ∈时，

()[0,0.5]x ϕ∈，|()|0.825110

x

e x L ϕ'=≤=<，故迭代1210

k

x k e x +-=在[0,0.5]收敛。

此时*

46651

||||0.000007201012

L x x x x L --≤-≤<⨯-，迭代6次。

三、(12分)说明不能用三角分解法求解方程组1231231

23238

241946721

x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩。对方程组进行适当处

理，使之能用三角分解法求解，求出它的解。

解：设123241467A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，因20A =，故方程组不能直接用三角分解法求解，但

det()100A =-≠，可交换第一和第三方程，则可用三角分解法求解。

将方程组改为1231231

23467212419238x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，则467241123A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭。令A L U =，由

1000.5100.250.51L ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，46

701 2.500 2.5U ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

。令UX Y =，原方程组化为LY b =，解

得(21, 1.5,3.5)T Y =-，最后得(0.2,2,1.4)T X =-。

四、(10分)设

120210002A ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

计算1||||A ，||||A ∞，()A ρ及1()cond A 。 解：1||||||||3A A ∞==

；A 的特征值为，2,12,1i i +-，

故()5

A ρ=；10.20.400.40.20000.5A --⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，故1()0.63 1.8cond A =⨯=

五、(10分)试列出解下列方程组的Jacobi 迭代公式和Gauss Seidel -迭代公式，并考察迭

代过程的收敛性。

134123

12341234105783113282322717

x x x x x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪+-=⎪⎨

+-+=⎪⎪-++=⎩。 解：Jacobi 迭代公式：

(1)

()()

134(1)()()213(1)()

()()31

2

4

(1)()()()

4

123(75)/10(113)/8

(2332)/8

(1722)/7

k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x

x

x x x x x ++++⎧=--+⎪=-+⎪⎨=----⎪⎪=-+-⎩

Gauss Seidel -迭代公式：

(1)()()

134(1)(1)()213(1)(1)

(1)()31

2

4

(1)(1)(1)(1)

4

123(75)/10(113)/8

(2332)/8

(1722)/7

k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x

x

x x x x x ++++++++++⎧=--+⎪=-+⎪⎨=----⎪⎪=-+-⎩

由于方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，故Jacobi 迭代公式和Gauss Seidel -迭代公

式都是收敛的。

六、(10分)利用以下表

选用一次、二次插值计算的近似值，并依余项公式估计误差。 解：（1）取011x =，112x =，两点插值得

11.751211.7511

ln11.75 2.39790 2.48491 2.4631611121211

--≈

+=--

误差为21

(11.75)(11.7511)(11.7512)2R ξ

=--，1112ξ<<。 故21

|(11.75)||(11.7511)(11.7512)|0.00852211

R ≤

--≈⨯ （2）取011x =，112x =，213x =，二次插值得

(11.7512)(11.7513)(11.7511)(11.7513)

ln11.75 2.39790 2.48491(1112)(1113)(1211)(1213)

----≈

++----

(11.7511)(11.7512)

2.56495 2.47343(1311)(1312)

--≈--

误差为321

(11.75)(11.7511)(11.7512)(11.7513)6R ξ

=----，1113ξ<<。 故22

1

|(11.75)||(11.7511)(11.7512)(11.7513)|0.00032283611

R ≤

---≈⨯

七、(10分)观测物体的直线运动，得出以下数据

解：从数据来看，距离与时间大致是线性关系，设运动方程为S at b =+，由数据得矛盾方程：