酉ESPRIT算法介绍

考察N ×K 维观测数据矩阵X=[x(1),,x(K)] ，其中，N 个阵元的观测信号组成的观测数据向量T 1N x(k)=[x (k),,x (k)] 。当X 为复矩阵时，阵元上的观测数据1N x (k),,x (k) 和它们的共轭的观测数据**1N

x (k),,x (k) 是不同的，因此如果可以同时利用两者，数据长度等效于增加了一倍。 酉ESPRIT 算法利用复观测数据N K

X C ⨯∈和它的复共轭矩阵

*N K X C ⨯∈组成一组新的N 2K ⨯合成数据矩阵，进行信号参数1,,M ωω 的估计，一种简单的合成数据矩阵为 *

N Z=[X,X ](1)∏ 式中，N ∏为一N N ⨯实交换矩阵，其反对角线上的元素为1，而其他元素均等于 0，即

由于

N ∏是对称的置换矩阵，所以满足2==I ∏∏∏。

由于合成观测数据矩阵列数增加了一倍，而且数据长度往往也比较大，因此如何减少合成观测数据矩阵的奇异值分解的计算量就成了待解决的一个关键问题，一种有效的方法就是构造中心复共轭对称矩阵。

下面介绍一下中心复共轭矩阵的相关定义

定义 1 一复(数)矩阵p q m C ⨯∈满足下式时，称为中心复共轭对称矩阵

p q m*=m (2)∏∏

中心复共轭对称矩阵也简称中心 Hermitian 矩阵。任何一个中心复共轭对称矩阵都一个映射为一个实矩阵。为此，先介绍一下Lee 定义的左∏实矩阵。

定义 2 任何一个复矩阵Q 若满足 *p Q =Q (3)∏

则称其为左∏实矩阵也可以称之为左实转换矩阵。

值得注意的是，左∏实矩阵本身仍然是复矩阵，但是通过双射映射，却可以把它变成一个真正的实矩阵，这就是把满足(3)式的复矩阵称为左∏实矩阵的原因。下面的定理描述了如何将一个中心复共轭对称矩阵通过双射映射转变为一实矩阵。

定理 1令P T 和q U 分别表示p p ⨯维和q q ⨯维的任意非奇异的左∏实矩阵，则双射映射

-1p q

f(m):m T mU (4) 将所有p q ⨯维中心复共轭对称矩阵集合映射为相同维数的实矩阵集合。 定理 1 种的符号(m)φ表示复矩阵m 经双射映射后变成的实矩阵函数。 这一定理可用来计算中心复共轭对称矩阵p q m C

⨯∈的奇异值分解(SVD)。

推论 1 令m 是中心复共轭对称矩阵，并假定实矩阵函数H

p q Q p q (m)=Q mQ R φ⨯∈的奇异值分解为(m)=U V φφφφ∑，其中矩阵p Q 和q Q 为酉矩阵，并且是左∏实矩阵。于是，复矩阵m 的奇异值分解为

H H p m=(Q U )(V Q )(5)φφφφ∑

式中，m 的左和右奇异向量组成的矩阵都是左∏实矩阵。

在实际应用中，观测数据矩阵X 通常是一个复矩阵，而不是中心复共轭对称矩阵。因此推论 1 不能直接对观测数据矩阵应用。也就是说，在应用推论1 之前必须先把一般的复观测数据矩阵X 变成中心复共轭对称矩阵，然后再通过双射映射将其映射为实矩阵函数。

显然简单的按照(1)式构造合成的观测数据矩阵，并不是中心复共轭对称的。Haardt 和 Nossek 提出用

*2[,]N K

N K m X X C ⨯=∈∏∏

构造合成的观测数据矩阵。可以验证，这一数据矩阵既达到了数据长度加倍的目的，又是一个中心复共轭对称矩阵。于是，根据定理1有

*2()([,])[,](6)

H

Q N K N K K

m X X Q X Q φΓ=∏∏=∏双射映射为实矩阵。

利用一种简单方法，构造左∏实的酉矩阵N Q 和2K Q ，相对应的，将观测数据矩阵X 分块为

（7）

式中，1X 和2X 具有相同的维数。显然，若观测数据矩2N K X C ⨯∈的行数N 为偶数，则(7)式的分块将不包含行向量T g 。

将选择好的左∏实的酉矩阵N Q 和2K Q 连同按照(7)式分块的观测数据矩阵X 一起代入(6)式，进行相关运算后，即可得到所期望的实矩阵

（8）

式中Re(.)和Im(.)分别表示复矩阵的实部与虚部。和矩阵X的分块相似，若N 为偶数，则(8)式不得有中间的行向量。显然，实矩阵Γ( m )的实际计算只需要 次实数加法运算。

N K

2

利用(8)式和观测数据矩阵X 直接得到双射映射后的实矩阵Γ( m )后就可以计算其奇异值分解，再由(6)式得到复观测数据矩阵X的奇异值分解。

这种方法既利用了长度加倍的观测数据，又避免了大列数复矩阵的直接奇异值分解，是获得观测数据矩阵奇异值分解的一种有效方法，其精度也比X 直接奇异值分解的精度高，这一有效方法是Haardt和Nossek于1995年提出的。

接下来又可以通过主奇异值和次奇异值的分离，得到与主奇异值对应的奇异向量，它们张成信号子空间，就可以利用上面的传统的ESPRIT 算法得到信号参数的估计值。