酉ESPRIT算法介绍
实值空间的ESPRIT算法及其实现
排 以及前后 向平滑 ， 高 了参数 的估计精度和性能。本文详 细分析 了 Ｒ —Ｅ Ｐ Ｔ算 法的旋转 不变性原理， Ｓ 提 Ｓ Ｓ ＲＩ Ｒ—
Ｓ Ｒ Ｔ与复值空 间 Ｅ Ｐ Ｔ之 间的关 系， ＥＰＩ Ｓ ＲＩ 并给 出了Ｒ Ｓ Ｐ Ｉ Ｓ—Ｅ Ｒ Ｔ的 实现算法 ， 最后利用计 算机仿真对 它们的性能
进行 检 测 时 ， 可 以获 得 一 些 性 能 上 的 改 善 和 提 也 高［ 。因此 ， 于具 有 平 移不 变 性 结构 的 中心 对 称 对
收 稿 日期 ：０ ７—０ —０ ２０ ７ ２
（） ２ 实值空间的信号子空间之 间的旋转不变性
关系 ；
（） ３实值空间的阵列流型和信号子空间的旋转
刖 吾
和有效 的解 决方法 。而且 酉 Ｅ Ｐ Ｔ有效 地将 抽样 Ｓ ＲＩ
数据的数量加倍 ， 通过将所要求的复矩阵的显秩分
从 噪声 环境 中获取 信号 的参数 是阵 列信号 处理 的一个基 本 问题 。 由于子空 间分解类 算 法具有 实现 简单 和 高分辨 率 的 特点 ， 该 类 技 术得 到 了极 大 的 使 关 注 ， 中最 具 代 表 性 的 就 是 ＭＵＳＣ和 Ｅ Ｐ Ｉ 其 Ｉ Ｓ ＲＴ 方法 。ＭＵＳＣ是 利 用 接 收数 据协 方 差 矩 阵 的 噪 声 Ｉ 子空 间的正 交 性 ， Ｅ Ｐ Ｔ则 是 利用 了数据 协 方 而 Ｓ ＲＩ 差矩 阵信 号 子空 间 的旋 转 不 变性 【 ｌ 卜５。与 ＭＵＳＣ Ｉ 算法 相 比 ， Ｐ Ｔ算 法 的优点 在 于计 算 量小 ， 需 Ｓ Ｅ ＲＩ 不 进行 谱 峰 搜 索 。与 Ｒ ｏ —ＭＵＳＣ算 法 相 比 ， Ｓ ｏｔ Ｉ Ｅ—
—
对信号的入射角等信息的估计。
ESPRIT算法
ESPRIT 算法(Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)利用子空间旋转方法估计噪声中复正弦信号的频率和幅度, ESPRIT 方法利用了两个时间上互相位移的数据集张成的信号子空间的旋转不变性, 通过广义特征值估计复正弦信号的频率.预备知识: 广义特征值和特征向量设A 和B 是两个n n ⨯的矩阵, 具有形式B A λ-的所有矩阵组称为矩阵束(Matrix pencil)(也表示成(A,B)), λ是任意复数, 矩阵束的广义特征值集合),(B A λ定义为:{}0)det(),(=-∈=zB A C z B A λ更一般的定义: 使(A-zB)降秩的z 值集合若),(B A λλ∈, 如果有一矢量0x x ≠,, 满足x x B A λ= 则称x 是矩阵束B A λ-的广义特征矢量.ESPRIT 算法:信号模型为)()(1k n e s k x d i jk i i +=∑=ω(1)这里, ),(ππω-∈i 是归一化频率, i s 是第i 个复正弦的复幅度值. n(k)是零均值平稳的复高斯白噪声, 目的是通过观察数据估计各复正弦的频率和幅度.为了利用复正弦信号的相关矩阵的性质, 定义x(n)的时间位移信号y(n).y(n)=x(n+1)并定义如下m 维矢量(这里要求m>d )[][][][]T T T T m k x k x m k y k y k m k n k n k m k x k x k )(,),1()1(,),()()1(,),()()1(,),()(++=-+=-+=-+= y n x (2) 由信号模型(1), 我们可以得到如下矩阵表示.)1()()()(++Φ=+=k A k k A k n s y n s x 这里, Td s s ],[1 =s 是复正弦的幅度矢量, Φ是d ⨯d 矩阵, 它反映了x 和y 之间的时移关系,又称为旋转算子.它可以写成],[1d j j e e diag ωω =ΦA 是m ⨯d V andermonde 矩阵, 它的列矢量{}d i i ,1);(=ωa 定义为:[]Tm j j i i i e e ωωω)1(,,1)(-= a . 通过这些表示, x 的自相关矩阵可以写成:[]I ASA k k E R H H xx 2)()(σ+==x x 这里, S 是d ⨯d 对角矩阵, 每个元素对应于一个复正弦的功率, 即 []221,d s s diag S =但实际上ESPRIT 算法并不要求S 一定是对角矩阵, 它只要是非奇异的. 类似地, x 和y 的互相关矩阵为:[]Z A AS k k E R H H H xy 2)()(σ+Φ==y x注意, [])1()(2+=k k E Z H n n σ, Z 是m ⨯m 矩阵, 它的次对角元素为1, 其它元素为零, 即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010********* Z 两个相关矩阵分别可以写成:[][]**)()(i j j i ij xx r r j x i x E R --=== 即⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----021*201*1*10r r r r r r r r r R m m m m xx 互相关[][]1*)1()(--=+=j i ij xy r j x i x E R ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---*132*1*10**2*1r r r r r r r r r R m m m m xy 根据这些模型关系和一组相关值, 估计复正弦参数.估计算法的基础是如下定理, 这个定理的证明主要依赖于x 和y 矢量构成的信号子空间的旋转不变性.定理:定义矩阵束{}xy xx C C ,, 这里I R C xx xx min λ-=和Z R C xy xy min λ-=, min λ是xx R 的最小特征值. 定义Γ是矩阵束的广义特征值矩阵, 如果S 是非奇异的, 则Φ和Γ具备如下关系:⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ=Γ000 该式中Φ的元素可能是重排列的.#证明:A 是满秩矩阵, S 是非奇异的, 故H ASA 的秩是d , 因此xx R 具有m-d 阶特征值2σ, 它是最小特征值, 因此,H H xy xy xy Hxx xx xx AAS Z R Z R C ASA I R I R C Φ=-=-==-=-=2min 2min σλσλ 现在考虑矩阵束H H xy xx A I AS C C )(Φ-=-γγ容易检查, H ASA 和H H A AS Φ的列空间是一致的, 对一般的γ取值, H H xy xx A I AS C C )(Φ-=-γγ的秩为d, 只有当i j e ωγ=, )(H I Φ-γ的第i 行为零, H H xy xx A I AS C C )(Φ-=-γγ的秩降为d-1, 按定义, i j e ωγ=是矩阵束的一个广义特征值, 这样的特征值有d 个, 其余m-d 个广义特征值为零.#由如上定理, 得到ESPRIT 算法如下:1) 由观测数据得到{}m r r r ,,10的估计值.2) 由{}m r r r ,,10构造自相关和互相关矩阵xy xx R R ,3) 对xx R 作特征分解, 对于m>d, 最小特征值是2σ4) 计算(xy xx C C ,), (H ASA ,H H A AS Φ)5) 计算矩阵束(xy xx C C ,)= (H ASA ,H H A AS Φ)的广义特征值, 在单位圆上的对应复正弦的频率, 其它为0.6) 设广义特征值i γ的特征矢量记为:i v , 由()0=Φ-i H H i A I AS v γ可以导出:)(2i H i i xx H i i C s ωa v v v =实际中,由于只有估计的自相关序列值, 因此, 如上理论只是被近似满足, 在这些限制条件下, 有一些改进方法已经用于ESPRIT估计算法中.参考文献:1.R. Roy, A. Paulraj, and T. Kailath, “ESPRIT—A Subspace rotation approach to estimation ofparameters of cissoids in noise”, IEEE Trans. On Acoustics, Speech, and Signal Processing, V ol. 34, No.5, Oct. 19862.R. Roy, and T. Kailath, “ESPRIT—Estimation of Signal Parameters Via RotationalInvariance Techniques”, IEEE Trans. On Acoustics, Speech, and Signal Processing, V ol.37, No.7, July 1989.。
一种改进的基于波束空间的酉-ESPRIT算法
Ａ ｏ ｉ ｅ ｅ ｍ ・ ｓ ａ ｅ Ｂａ ｅ ｉ ｒ －ＥＳ Ｍ ｄ ｆ ｄ Ｂ ａ — ｐ ｃ ｓ ｄ Ｕｎ ｔ ｙ・ ｉ — ａ － ＰＲＩ ｇ ｒｔ ｍ Ｔ Ａｌｏ ｉ ｈ Ｓ Ａ ｕ ， Ｈ Ｏ Ｘ ａ Ｈ ＮＧ Ｙ Ｚ Ａ ｉｏ—ｈ ｉ， Ｕ ｉ ， Ｈ Ｏ Ｊ ｎ—ｍｉ ｕ Ｃ ＩＷｅ Ｚ Ａ ｉ ａ ｎ
—ｓ ａ ｅ ｐ ｃ ；ＤＣ Ｔ
就是确定同时处在空间某一区域 内多个感兴趣的信
１ 引 言
近 ３ 年来 ， ０ 波达方 向（ Ｏ 估 计一直 是许 多 Ｄ Ａ）
应用领域的热 门研究方向， 如雷达、 声纳 、 通信 、 地震
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔ ｅＵｎｔｒ —Ｅ Ｐ Ｉ ｌｏ ｔｍ ａ ｏ ｄａ ｉ ｔ ｎ ＤＯ ｅ ｔ ｔ ｎ，ｂ ｔｉ ｉ ｓｎ ｉｖ ｏｔｅ ｓｒ ｃ ： ｈ ｉ ｙ ａ Ｓ Ｒ Ｔ ａｇ ｒ ｈ ｈ ｓａ ｇ ｏ ｂｌ ｙｉ Ａ ｓ ｍａｉ ｉ ｉ ｉ ｏ ｕ ｓ ｅ ｓｔ ｅ ｔ ｔ ｉ ｈ ｃ ａ ｇ ｓｉ Ｎ ｌｖ １ ｅ ｄｆ ｄ ｂ ａ —ｓ ａ ｅ ｂ ｓｄ Ｕｎｔｒ — Ｅ Ｐ Ｔ ｌｏｉ ｍ ｏ ｈ ｎ ｅ ｎＳ Ｒ ｅ ｅ．Ａ ｎ ｗ ｍｏ ｉ ｅ ｅ ｍ ｉ ｐ ｃ ａｅ ｉ ｙ ａ Ｓ ＲＩ ａｇ ｒｔ ｆｒＤＯＡ ｅｔ — ｈ ｓｉ ｍａ ｔ ｎ ｉ ｐｏ ｏｅ ｏｖ ｉ ｐ ｂｅ ｉ ｓ ｒｐ ｓｄｔ ｓｌｅｔ ｓ ｒ ｌｍ．Ｔ ｅｄ ｔ ￣ｅ ｅｇ ｓ ｏ ｕ ｅ ｒｕ ｈ ｔｅＤｉｃｅｅＣ ｓ ｅＴ ａ ｓｏｍａ ｏ ｏ ｈ ｏ ｈ ａ ａ ｎ ｒｙｉ ｆｃ ｓｄｔ ｏ ｇ ｈ ｓｒｔ ｏ ｉ ｒｎ ｆｒ — ｈ ｎ
（ ． ａ ｏａ ｒ ｆ ｎ ｒ ｄ ｎＳ ｉｎｅ Ｃ Ｕ ｇ ｏ ｕ ｉａ ｏ ｎ ｉｅｒ ｇ Ｊ ｉ ｎｖｒ ｔ， １ Ｌ ｂｒｔ ｙｏ ｆ ｍａ ｏ ｃｅ ｃ ， ｏ ｅｅｏ Ｃ ｍｍ ｎｃｔ ｎ Ｅ ｇ ｅ ｎ ， ｉｎＵ ｉ ｓｙ ｏ Ｉｏ ｆ ｉ ｎ ｉ ｌ ｅｉ Ｃ ａｇｈｎ１０ １ Ｃ ｉａ ２ Ｆ ｄｎＵ ｉｅ ｉ ，ｈｎｈｉ ０４ ３ Ｃ ｉａ ｈｎｃｕ ３０２， ｈ ； ． ｕａ ｎｖｒｔ Ｓａｇａ ２０ ３ ，ｈｎ ） ｎ ｓｙ
ESPRIT算法估计性能分析
— ．
２ １ 耳第１ ０１ 期
文 献标 识 码 ： 文 章 编 号 ： ０ ２ ５ （０ １） ３— １０— ３ Ａ １ ９— ５２ ２ １ ０ ００ ０ ０
中图 分 类号 ：Ｎ ２ Ｔ ８
Ｅ Ｐ Ｉ 法 估 计 性 能 分 析 Ｓ ＲＴ算
刘 艳， 杨力 生，黄卫华
是 一个对 角阵 ， 以下面 只考虑这 个矩 阵 ， ， 所 即
＝
能进行 了 Ｍａａ ｔｂ的仿 真和 分析 。 ｌ
１ 旋 转不 变子 空 间（ Ｓ ＲＴ 算 法 Ｅ Ｐ Ｉ）
１ １ Ｅ Ｐ Ｉ 法模型 ． Ｓ ＲＴ算
２『△ｌ ｎ Ａ １Ｉ ０／ ｓ ｉ
（） ４
由上 可知 ， 只要得 到 两个 子 阵 间 的旋转 不 变关 系 ， 可以方便 得到关 于 信 号 到达 角 的信 息。下 就
ａ ｏ ｔｍ ｏ ｅａ ｇ ｓ ｆ ｉ ａ ａ ｄｎｉ ｔ （ Ｎ ｌ ｒｈ ｓｆ ｍ ｔ ｎｌ ｇ ｌ ｎ ｏ ｅｒ ｉ Ｓ Ｒ）ａ ｄｔ ｕ ｂ ｒ ｆ ｒ ｙ ｇｉ ｒ ｈ ｅ ｏｓｎ ｓ ａｏ ｎ ｅｎ ｍ ｅ ｒ ． ｈ ｏ ａａ
Ｋ ｅ ｒ ｓ： ＤＯＡ ； ＥＳ ｙ ｗｏ ｄ ＲＰＩ Ｔ； ＵＬ Ａ
（ 庆 大 学 通信 工 程 学 院 ， 庆 ４ ０ ４ ） 重 重 ００ ４
摘
要 ：波达 方向估计 （ Ｏ Ｄ Ａ）技 术渐 渐成为移 动通信 中研 究的热点 ，而 Ｅ Ｐ Ｉ 法是 一种典 Ｓ Ｒ Ｔ算
型算法。在对 Ｅ Ｐ Ｉ Ｓ ＲＴ算法进行分析的基础上 ，介绍 了几种 Ｅ Ｐ Ｉ Ｓ ＲＴ算法，并从信噪比、阵元数 等 不 同情况 下对 几种 算法的性 能进 行 了仿真分析 。
着重 分析 了用 于 Ｄ Ａ估 计 的典 型算 法— — Ｅ — Ｏ ｓ
互质线阵中一种基于共轭增广的DOA估计算法
互质线阵中一种基于共轭增广的DOA估计算法林新平; 张小飞; 沈金清【期刊名称】《《数据采集与处理》》【年(卷),期】2019(034)006【总页数】10页(P992-1001)【关键词】互质线阵; DOA估计; 共轭增广特性; 酉ESPRIT; 复杂度【作者】林新平; 张小飞; 沈金清【作者单位】南京航空航天大学电子信息工程学院南京 211106【正文语种】中文【中图分类】TN911.7引言近年来，信号波达方向(Direction of arrival,DOA)估计被广泛应用于雷达、无线通信、声呐和生物医学等领域，是阵列信号处理中的一个研究热点[1-3]。
经典的超分辨率DOA估计算法，例如多重信号分类(Multiple signal classification,MUSIC)算法[4]、借助旋转不变性进行信号参数估计(Estimation of signal parameters via rotational invariance technique,ESPRIT)算法[5]等，都是基于特征结构的子空间类方法。
子空间类方法最初是针对传统满阵提出的，要求阵元间距严格小于等于电磁波半波长，以避免出现角度估计模糊。
然而，传统满阵由于阵元间距过小，存在阵元间互耦严重、阵列孔径不足以及测向精度不高等缺点，已经无法满足许多航空航天以及军事民用领域的应用需求。
文献[6]提出了互质阵列的概念。
它是一种阵元间距大于半波长的非均匀阵列，由两个阵元数与阵元间距存在互质关系的均匀子阵穿插拓扑构成。
相比于传统满阵，互质阵列具有阵元互耦更低，阵列孔径更大，定位测向精度更高等优点。
文献[6]中证明了一个具有M+N-1个阵元的互质线阵，能够获得O{MN}的空间自由度。
因此，基于互质阵列的空间谱估计研究成为当下信号处理领域的热点问题之一。
文献[7]中提出了一种互质线阵下基于矢量化协方差矩阵的DOA估计方法，称之为虚拟化方法。
分布式阵列米波雷达角度解模糊方法分析
ABSTRACT
Abstract
VHF radar has a natural advantage in anti-stealth and anti-radiation missile, while the disadvantages such as wider beam band, higher side-lobe level, lower angular resolution are also severe. The increase of antenna aperture could enhance the angular resolution and localization precision, but the motility decreases at the same time. To solve the contradiction between high angular resolution and high motility, distributed arrays VHF radar is proposed, and high accuracy angle disambiguation methods are studied due to the high antenna side-lobes.
In this paper, the angle estimation principal of phase interferometer、long-short baseline and stagger baseline are introduced firstly, the conditions of solving ambiguous correctly are given, the factors which will enhance the angular resolution effectively are also analyzed and the above theories through computer simulations are terrified, the chosen principle of baseline lengths is concluded; Then as for the distributed arrays, dual-size ESPRIT algorithm is discussed, which constructs rotational invariance relationship via array elements and subarrays, then lower variance and fine non-ambiguous estimates are achieved by deriving a coarse but unambiguous reference estimates. A distributed array double baseline stagger algorithm is proposed, the stagger relationship through subarray partition is constructed and remainder theorem is used to deal with disambiguation; Subspace fitting algorithms are also discussed, a set of ambiguous direction cosine estimates are reckoned as candidates to complete the angle search, its complexity is smaller compared with that of traditional ones; Finally, an algorithm based on MI-MUSIC is proposed for DOA estimation of distributed arrays, it is not sensitive to the element misalignment and has a higher angular accuracy. Simulation results demonstrate high accuracy of DOA estimation of the proposed methods, and that distributed arrays exist the baseline threshold and SNR threshold.
阵列信号处理6ESPRIT类算法
在众多算法的比较中，ESPRIT是被推荐 应用于实际应用的一种。
当然，我们对ESPRIT的天线阵加了一些 限制，这就是要求天线阵元以匹配对的 形式存在。这个要求使得ESPRIT的应用 受到一定限制。
假设模型 AX B中，A已知且误差由B 引起，若要获得X的估计通常应用标准 的LS准则。这里容易证明 Ex 和 Ey 中同 样存在噪声，那么 LS 准则就是不合适 的。考虑A和B都有噪声存在的准则是整 体最小二乘（TLS） 。
应用TLS准则得到 的估计步骤为：
令F为 EXY *EXY 的d个最小特征值对应的 特征矢量。这样，如上所定义的 由 FX 和 FY 计算得到， 的特征值就是 的 对角元素的估计。
当然，ESPRIT算法的优越性的获得是有 代价的，在DOA估计中，就是要求天线 阵具有平移不变性。幸运的是，这个限 制在很多实际应用中是满足的或是可以 被满足的。
Ⅱ.ESRRIT
接下来的讨论都是以一个阵列所接收数 据的多源到达角问题来表述的。只考虑 一维参数空间的情况，也就是远场点源 的方位角分辨。
将阵列描述为由两个子阵 Z x和Z y 组成。Z x 和 Z y在各方面都是相同的，只是彼此有 一个已知的位移矢量的偏移。第i个偶极 天线的接收信号可以表达为
d
xi (t) sk (t)ai ( k ) nxi (t) k 1 d
yi (t) sk (t)e j0 sink / c ai ( k ) nyi (t) k 1
a.模拟海洋回波的产生
我们利用模拟产生每根天线上相对于海 洋表面特定距离元一阶散射回波的时域 序列，对应于OSMAR2000中第一次FFT之 后特定距离元上的数据。对特定的天线 阵元应用下面的式子求取时域序列
基于酉ESPRIT的跳频信号DOA估计
基于酉ESPRIT的跳频信号DOA估计杨银松;郭英;于欣永;齐子森;孟涛【摘要】为了利用跳频信号的空域信息辅助同步跳频信号的网台分选,提出了一种基于STFD&酉ESPRIT的跳频信号DOA估计算法.首先用WVD&SPWVD组合时频分析方法对接收数据进行时频变换,然后提取出跳频信号的有效跳(hop),并对其建立空时频矩阵(STFD),最后利用酉ESPRIT算法进行跳频信号DOA估计.该方法通过酉变换将ESPRIT算法的协方差矩阵从复数域转化到实数域,降低了计算量,而且酉ESPRIT算法利用了数据的共轭信息使数据长度等价增加了一倍,提高了估计精度.仿真结果表明文中算法在信噪比大于2 dB时,DOA估计性能优于ESPRIT算法.【期刊名称】《空军工程大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(019)002【总页数】7页(P93-99)【关键词】跳频;DOA;酉ESPRIT;STFD;网台分选【作者】杨银松;郭英;于欣永;齐子森;孟涛【作者单位】空军工程大学信息与导航学院,西安,710077;空军工程大学信息与导航学院,西安,710077;通信网信息传输与分发技术重点实验室,石家庄,050081;空军工程大学信息与导航学院,西安,710077;空军工程大学信息与导航学院,西安,710077;空军工程大学信息与导航学院,西安,710077【正文语种】中文【中图分类】TN911.7跳频通信因其抗干扰能力强、截获概率低、组网能力强等优点,在军事通信领域中得到了广泛的应用[8]。
同时,跳频通信的优良特性对通信对抗提出了巨大挑战,对跳频信号的有效侦察成为军事通信领域的重要作战任务之一。
信号波达分向(DOA)信息在跳频信号网台分选中发挥重要作用,也一直是其他领域的研究热点。
文献[1～2]最早提出空时频的概念,并将其用于信号盲分离和DOA估计,获得了比传统方法更优良的性能;文献[3～4]将空时频矩阵应用于跳频信号DOA 估计,提出利用多相滤波器组的方法获得跳频信号全景时频图,提取出单个有效跳构建空时频矩阵,并结合MUSIC算法估计DOA,但是该方法需要在参数空间进行谱峰搜索,计算量大。
基于Unitary-ESPRIT算法的二维DOA估计
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：２ 一 Ｄ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ＤＯＡ， ｐ ｌ ａ ｎ ａ ｒ ａ ｒ ｒ ａ ｙ ｗｉ ｔ ｈ ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｌｌ ａ ｙ ｄ ｉ ｓ ｔ ｉｂ ｒ ｕ ｔ ｅ ｄ ｓ ｅ ｎ ｓ ｏ ｒ ｓ ， ２ 一 Ｄ
（ Ｘ ｉ ’ 矾Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ， Ｘ ｉ ’ 帆７ １ ０ １ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａｎ Ｕｎ ｉ ｔ ａ ｒ ｙ Ｅ Ｓ Ｐ ＲＩ Ｔ ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｄｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ— ｏ ｆ — ａ ｒ ｒ ｉ ｖ ａ ｌ ａ ｎ ｇ ｌ ｅ ｓ ｉ Ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ， ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｃ ｅ ｉ ｖ ｉ ｎ ｇ ａ ｒ ｒ ａ ｙ ｉ ｓ ａ ｐ ｌ ａ ｎ ａ ｒ ａ ｒ ｒ ａ ｙ ｗｉ ｔ ｈ ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｉ ｒ ｃ ａ ｌ ｌ ｙ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｅ ｄ ｓ ｅ ｎ ｓ ｏ ｒ ｓ ． Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｆ ｒ ｏ ｍ
基于 Ｕ ｎ ｉ ｔ ａ ｒ ｙ — Ｅ Ｓ Ｐ Ｒ Ｉ Ｔ 算法的二维 Ｄ ＯＡ估计
张远 安 ， 董 国， 张艳艳
（ 西安电子工程研究所， 西安 ７ １ ０ １ ０ ０ ）
摘 要 ： 提 出了一种采用酉 Ｅ Ｓ Ｐ Ｒ Ｉ Ｔ（ Ｕ ｎ ｉ ｔ ａ ｒ ｙ —Ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｌ Ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｖ ｉ ａ Ｒ ｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｌ ａ Ｉ ｎ ｖ ａ ｉ ｆ ａ ｎ ｔ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ‘ １ ｑ ｕ ｅ ， Ｕ —
采用酉ESPRIT算法处理多基线InSAR层叠效应概要
第30卷第7期2008年7月电子与信息学报Journal of Electronics&Information TechnologyVbl.30No.7Jul.2008采用酉ESPRIT算法处理多基线InSAR层叠效应柳祥乐宋岳鹏杨汝良(中国科学院电子学研究所北京100080摘要:“层叠效应”fLayover是SAR成像技术的一个难点,本文在多基线InSAR的框架下,将谐波恢复与信号重构的酉ESP砒T算法应用于解决层叠效应问题。
文中建立了存在层叠效应的多基线InSAR的数据模型,指出经典算法在估计精度与视数之间的矛盾,阐明了酉ESPRIT算法的基本原理与优点。
进行了仿真实验,实验结果表明在视数较少时,酉ESP砌T算法具有很好的性能。
关键词:多基线InSAR:层叠效应;酉ESPmT中图分类号:TN957.52文献标识码:A文章编号:1009.5896(200807-1731—05Layover Solution Based Oil Unitary ESPRITAlgorithm in Multibaseline InSARLiu Xiang-le Song Yue-peng Yang Ru-liang(The Institute of Electronics,Chinese Academy of Sciences,Be咖ng100080,China Abstract:"Layover”is a nodus in SAR imaging.The unitary ESPRIT algorithm was introduced to resolve the layover problem on the frame of multibaseline InSAR in this PaDer.The data model of multibaseline InSAR with layover was expatiated firstly,and thelayover problem in multibaseline InSAR was boiled down to the estimation of the interferometric phase angle.The basic principle and advantage of the unitary ESPRIT algorithm Was depicted,its efficiency Was validated by the Monte Carlo simulations.The simulations indicate that unitary ESPRIT algorithm Call work well when the looks are very small but the performance of other algorithms degrade sharply.Key words:Multibasoline InSAR;Layover;Unitary ESPRIT1引言合成孔径雷达(SAR通过在距离向采用脉冲压缩、方位向合成孔径技术来实现高分辨率的二维地形成像。
ESPRIT算法（最小二乘法）matlab程序
ESPRIT算法（最小二乘法）matlab程序%基本ESPRIT算法,第二种方法最小二乘法clearall;closeall;clc;c=310^8;f=310^9;%%求得信号的波长lamda=c/f;%%阵元的间距d=lamda/2;%%（n-1）为子阵列的个数即阵元数n=10;%%信号的数目signal_number=3;%%三个信号的角度值thita1=-25;thita2=30;thita3=65;%%三个信号的中心频率f1=40;f2=20;f3=70;%%在时域来说，是快拍数（一段时间内对阵列数据采样的个数）；在频域来说，是DFT的时间子段的个数。
snapshot=1:2000;%%S是信号空间，有三个信号组成S1=2.72exp(j2pif1snapshot/length(snapshot));S2=4.48exp(j2pif2snapshot/length(snapshot));S3=7.37exp(j2pif3snapshot/length(snapshot));S=[S1;S2;S3];%%子阵1A1=exp(-j2pid[0:n-1]sin(thita1pi/180)/lamda).'';A2=exp(-j2pid[0:n-1]sin(thita2pi/180)/lamda).'';A3=exp(-j2pid[0:n-1]sin(thita3pi/180)/lamda).'';A=[A1,A2,A3];%%噪声假设为高斯白噪声，均值为零的N=wgn(10,2000,3);%%求信噪比的S1,S2,S3信噪比依次是102030s_power1=10log(2.72^2/2);s_power2=10log(4.48^2/2);s_power3=10log(7.37^2/2);snr1=s_power1-3;snr2=s_power2-3;snr3=s_power3-3;%%整个阵列接收到的数据0-n-1为阵列1；1-n为阵列2的X=AS+N;%%协方差矩阵Rxx=XX''/length(snapshot);%%对整个数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到特征值向量D和特征向量V[V,D]=eig(Rxx);%[Y,I]=sort(diag(D));Us=V(:,n-signal_number+1:n);%%两个方阵张成的两个子空间U1=Us(1:n-1,:);U2=Us(2:n,:);%%利用最小二乘法求得旋转不变关系矩阵，然后进行特征分解[p,q]=eig(inv(U1''U1)U1''U2);%张贤达《矩阵分析与应用》第528页%%利用上面求得的矩阵来获得角度fori=1:signal_number;alpha(i)=real(asin(-j(log(q(i,i)))lamda/(-2pid))180/pi);end;%%作图stem(alpha,ones(1,signal_number),''r--'');grid;axis([-909002]);text(alpha(1)-4,1.1,num2str(alpha(1)));text(alpha(1)-15,1.4,''信号1，信噪比为10'');text(alpha(2)-4,1.1,num2str(alpha(2)));text(alpha(2)-15,1.4,''信号2，信噪比为20'');text(alpha(3)-4,1.1,num2str(alpha(3)));text(alpha(3)-15,1.4,''信号3，信噪比为30'');ylabel(''DOA估计的角度值'');xlabel(''角度'');title(''ESPRIT算法DOA估计'');。
一种改进的基于波束空间的酉-ESPRIT算法
一种改进的基于波束空间的酉-ESPRIT算法尚瑜;赵晓晖;崔巍;赵建敏【期刊名称】《电讯技术》【年(卷),期】2006(46)6【摘要】针对酉-ESPRIT算法估计精度较高但是对信噪比水平变化比较敏感的问题,提出了一种改进的用于DOA估计的酉-ESPRIT算法.该算法首先对观测数据在变换域中进行预处理使信号能量更集中,然后进行波束变换,在波束空间中估计信号的到达方向.文中采用的波束形成矩阵使用较少的波束数可以在更广范围内搜索信号以避免漏掉有用信号,因此减少了运算量.通过计算机仿真试验可知,无论在白噪声还是色噪声背景下,与酉-ESPRIT算法相比,本算法不仅减少了计算量,并且具有更小的信噪比门限,提高了酉-ESPRIT算法的鲁棒性.【总页数】5页(P194-198)【作者】尚瑜;赵晓晖;崔巍;赵建敏【作者单位】吉林大学,通信工程学院,信息科学实验室,长春,130012;吉林大学,通信工程学院,信息科学实验室,长春,130012;复旦大学,上海,200433;吉林大学,通信工程学院,信息科学实验室,长春,130012【正文语种】中文【中图分类】TN911.23【相关文献】1.基于波束空间ESPRIT算法电力系统谐波检测 [J], 程志友;左靖坤;陆巍;王家琦;梁昭;高天2.基于小波变换的酉ESPRIT波束赋形技术研究 [J], 赵季红;贺丹;王伟华;曲桦;雷佩3.一种改进的波束域ESPRIT算法 [J], 贾继鹏;陈航;陈旭斌4.基于降维波束空间的实值ESPRIT单基地MIMO雷达测角算法 [J], 刘东贺;赵永波;庞晓娇;曹成虎;陈胜5.一种基于累积量的ESPRIT型盲波束形成算法 [J], 沈怡平;侯朝焕;马晓川因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
DOA——ESPRIT算法
DOA——ESPRIT算法相位phei = 2*pi*f*d*sind(theta)，因此理论上来讲测向的算法都可以⽤来测频。
ESPRIT：Estimating signal parameters viarotational invariance techniques，中⽂为旋转因⼦不变法。
ESPRIT⽤于测频：%Example_espritclear all;clc;close all;N=200; %signal lengthm = N/2;L=N-m;s_amp=[1.31*exp(1i*pi/4),2.07*exp(1i*pi/3),1.88*exp(1i*pi/5)];s_omega=[0.12*pi,0.37*pi,0.72*pi];eps_sigma=0;sigma=0.5;x=zeros(1,N);%initializew = sqrt(sigma)*randn(1,N);n = [1:N];for slen=1:length(s_omega)x = x+s_amp(slen)*exp(1j*s_omega(slen)*n) ;endx=x+w;for n = 1:LX(:,n) = x(n:(n+m-1));endfor n = 1:LY(:,n) = x((n+1):(n+m));end%Rxx\RxyRxx = 0;for i = 1:LRxx = Rxx+X(:,i)*X(:,i)';endRxx = Rxx/L;Rxy = 0;for i = 1:LRxy = Rxy+X(:,i)*Y(:,i)';endRxy = Rxy/L;[A,B] = eig(Rxx);var = min(diag(B));I = eye(m);Z = diag(ones(1,m-1),-1);Cxx = Rxx - I*var;Cxy = Rxy - Z*var;[~,B] = eig(Cxx,Cxy);f=angle(diag(B));[~,fpos]=sort(abs(abs(diag(B))-1));f=f(fpos);fval=f(f>0);omega_est=sort(fval(1:length(s_amp)));disp('结果对⽐：')[omega_est,s_omega']ESPRIT⽤于测向：clear allclfset(0,'defaultaxesfontsize',22);M=12;Nb=32;P=3;%angles=[25 80 135]*(pi/180);angdeg=[80 90 115];angles=angdeg*(pi/180);dlambda=0.5;%generate random bits of informationpoles=zeros(1,P);X=zeros(M,Nb);Rideal=zeros(M,M);for k=1:P,mu=pi*cos(angles(1,k));poles(1,k)=exp(j*mu);a=exp(j*mu*(0:M-1)).';Rideal=Rideal+a*a';br=ones(1,Nb);temp=rand(1,Nb);br(find(temp<.5))=-1;bi=ones(1,Nb);temp=rand(1,Nb);bi(find(temp<.5))=-1;b=br+j*bi;X=X+a*b;end%add some noiseX=X+0.6*(randn(M,Nb)+j*randn(M,Nb));Rxx=X*X'/Nb;[E,D,V]=svd(Rxx);%ESPRIT algorithm:Es=E(:,1:P);Es1=Es(1:M-1,:); Es2=Es(2:M,:);Psi=Es1\Es2;[T,Phi]=eig(Psi);Phivec=diag(Phi);%plot eigenvalues from ESPRIT and compare with true frequencies polar(0,1,'.')hold onplot(real(poles),imag(poles),'kx','MarkerSize',12,'Linewidth',2);plot(real(Phivec),imag(Phivec),'ro','MarkerSize',12,'Linewidth',2); hold offlegend('True "poles"','ESPRIT eigenvalues')。
酉ESPRIT算法介绍
考察N ×K 维观测数据矩阵X=[x(1),,x(K)] ，其中，N 个阵元的观测信号组成的观测数据向量T 1N x(k)=[x (k),,x (k)] 。
当X 为复矩阵时，阵元上的观测数据1N x (k),,x (k) 和它们的共轭的观测数据**1Nx (k),,x (k) 是不同的，因此如果可以同时利用两者，数据长度等效于增加了一倍。
酉ESPRIT 算法利用复观测数据N KX C ⨯∈和它的复共轭矩阵*N K X C ⨯∈组成一组新的N 2K ⨯合成数据矩阵，进行信号参数1,,M ωω 的估计，一种简单的合成数据矩阵为 *N Z=[X,X ](1)∏ 式中，N ∏为一N N ⨯实交换矩阵，其反对角线上的元素为1，而其他元素均等于 0，即由于N ∏是对称的置换矩阵，所以满足2==I ∏∏∏。
由于合成观测数据矩阵列数增加了一倍，而且数据长度往往也比较大，因此如何减少合成观测数据矩阵的奇异值分解的计算量就成了待解决的一个关键问题，一种有效的方法就是构造中心复共轭对称矩阵。
下面介绍一下中心复共轭矩阵的相关定义定义 1 一复(数)矩阵p q m C ⨯∈满足下式时，称为中心复共轭对称矩阵p q m*=m (2)∏∏中心复共轭对称矩阵也简称中心 Hermitian 矩阵。
任何一个中心复共轭对称矩阵都一个映射为一个实矩阵。
为此，先介绍一下Lee 定义的左∏实矩阵。
定义 2 任何一个复矩阵Q 若满足 *p Q =Q (3)∏则称其为左∏实矩阵也可以称之为左实转换矩阵。
值得注意的是，左∏实矩阵本身仍然是复矩阵，但是通过双射映射，却可以把它变成一个真正的实矩阵，这就是把满足(3)式的复矩阵称为左∏实矩阵的原因。
下面的定理描述了如何将一个中心复共轭对称矩阵通过双射映射转变为一实矩阵。
定理 1令P T 和q U 分别表示p p ⨯维和q q ⨯维的任意非奇异的左∏实矩阵，则双射映射-1p qf(m):m T mU (4) 将所有p q ⨯维中心复共轭对称矩阵集合映射为相同维数的实矩阵集合。
基于酉ESPRIT的超分辨ISAR成像及其应用
基于酉ESPRIT的超分辨ISAR成像及其应用基于酉ESPRIT的超分辨ISAR成像及其应用摘要：ISAR（Inverse Synthetic Aperture Radar）成像是一种通过合成孔径雷达技术实现目标高分辨成像的方法。
随着雷达技术的发展，超分辨ISAR成像成为了ISAR成像的重要研究方向之一。
本文将介绍基于酉ESPRIT（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques）的超分辨ISAR成像方法及其应用。
1. 引言合成孔径雷达是通过合成大的孔径尺寸从而达到高分辨能力的一种成像技术。
然而，在实际应用中，雷达孔径受到物理限制，导致成像分辨率限制。
为了克服这一限制，超分辨ISAR成像应运而生。
超分辨ISAR成像通过目标在雷达运动过程中产生的多个散射数据进行叠加和处理，以提高成像的分辨率。
2. 酉ESPRIT算法原理酉ESPRIT算法是一种基于信号旋转不变性的参数估计算法。
ISAR成像可以看作是一个多载波信号参数估计问题。
利用目标旋转不变性，可以将ISAR中的多普勒频移参数估计问题转化为酉ESPRIT算法求解的问题。
酉ESPRIT算法通过计算信号子空间的秩，得到目标的多普勒频移信息。
3. 超分辨ISAR成像方法超分辨ISAR成像方法主要分为两步：多普勒频移参数估计和高分辨率成像。
首先，利用酉ESPRIT算法估计目标的多普勒频移参数，得到高精度的多普勒频移信息。
然后，通过多普勒补偿距离域校正，将不同多普勒频移的散射数据叠加到同一频带，从而实现高分辨叠加和成像。
4. 超分辨ISAR成像应用超分辨ISAR成像在军事、航空航天等领域具有广泛的应用价值。
首先，超分辨ISAR成像可以用于目标识别和自动目标识别。
通过获取高分辨率的ISAR成像，可以对目标的形状和结构进行精确识别。
其次，超分辨ISAR成像可以应用于目标的运动分析和参数估计。
esprit算法研究
课程设计报告实验名称：ESPRIT算法研究实验日期：姓名：学号：哈尔滨工业大学（威海）一、设计任务实现空间谱估计算法，并考察算法性能。
二、方案设计1）由均匀线阵形式，确定阵列的导向矢量；2）由阵列导向矢量，对接收信号进行建模仿真；3）由ESPRIT算法实现信号DOA估计；4）考察算法性能与信噪比，采样率，观测时间等参数的关系。
三、设计原理3.1空间谱估计数学模型空间谱估计就是利用空间阵列实现空间信号的参数估计的一项专门技术。
整个空间谱估计系统应该由三部分组成：空间信号入射、空间阵列接收及参数估计。
相应地可分为三个空间，即目标空间、观察空间及估计空间，也就是说空间谱估计系统由这三个空间组成，其框图见图1。
图1 空间谱估计的系统结构对于上述的系统结构，作以下几点说明。
(1)目标空间是一个由信号源的参数与复杂环境参数张成的空间。
对于空间谱估计系统，就是利用特定的一些方法从这个复杂的目标空间中估计出信号的未知参数。
(2)观察空间是利用空间按一定方式排列的阵元，来接收目标空间的辐射信号。
由于环境的复杂性，所以接收数据中包括信号特征(方位、距离、极化等)和空间环境特征(噪声、杂波、干扰等)。
另外由于空间阵元的影响，接收数据中同样也含有空间阵列的某些特征(互耦、通道不一致、频带不一致等)。
这里的观察空间是一个多维空间，即系统的接收数据是由多个通道组成，而传统的时域处理方法通常只有一个通道。
特别需要指出的是：通道与阵元并不是一一对应，通道是由空间的一个、几个或所有阵元合成的(可用加权或不加权)，当然空间某个特定的阵元可包含在不同的通道内。
(3)估计空间是利用空间谱估计技术(包括阵列信号处理中的一些技术，如阵列校正、空域滤波等技术)从复杂的观察数据中提取信号的特征参数。
从系统框图中可以清晰的看出，估计空间相当于是对目标空间的一个重构过程，这个重构的精度由众多因素决定，如环境的复杂性、空间阵元间的互耦、通道不一致、频带不一致等。
esprit算法研究解析学习资料
esprit算法研究解析学习资料e s p r i t算法研究解析课程设计报告哈尔滨⼯业⼤学（威海）⼀、设计任务实验名称： ESPRIT 算法研究实验⽇期：姓名：学号：实现空间谱估计算法，并考察算法性能。
⼆、⽅案设计1）由均匀线阵形式，确定阵列的导向⽮量；2）由阵列导向⽮量，对接收信号进⾏建模仿真；3）由ESPRIT算法实现信号DOA估计；4）考察算法性能与信噪⽐，采样率，观测时间等参数的关系。
三、设计原理3.1空间谱估计数学模型空间谱估计就是利⽤空间阵列实现空间信号的参数估计的⼀项专门技术。
整个空间谱估计系统应该由三部分组成：空间信号⼊射、空间阵列接收及参数估计。
相应地可分为三个空间，即⽬标空间、观察空间及估计空间，也就是说空间谱估计系统由这三个空间组成，其框图见图1。
图1 空间谱估计的系统结构对于上述的系统结构，作以下⼏点说明。
(1)⽬标空间是⼀个由信号源的参数与复杂环境参数张成的空间。
对于空间谱估计系统，就是利⽤特定的⼀些⽅法从这个复杂的⽬标空间中估计出信号的未知参数。
(2)观察空间是利⽤空间按⼀定⽅式排列的阵元，来接收⽬标空间的辐射信号。
由于环境的复杂性，所以接收数据中包括信号特征(⽅位、距离、极化等)和空间环境特征(噪声、杂波、⼲扰等)。
另外由于空间阵元的影响，接收数据中同样也含有空间阵列的某些特征(互耦、通道不⼀致、频带不⼀致等)。
这⾥的观察空间是⼀个多维空间，即系统的接收数据是由多个通道组成，⽽传统的时域处理⽅法通常只有⼀个通道。
特别需要指出的是：通道与阵元并不是⼀⼀对应，通道是由空间的⼀个、⼏个或所有阵元合成的(可⽤加权或不加权)，当然空间某个特定的阵元可包含在不同的通道内。
(3)估计空间是利⽤空间谱估计技术(包括阵列信号处理中的⼀些技术，如阵列校正、空域滤波等技术)从复杂的观察数据中提取信号的特征参数。
从系统框图中可以清晰的看出，估计空间相当于是对⽬标空间的⼀个重构过程，这个重构的精度由众多因素决定，如环境的复杂性、空间阵元间的互耦、通道不⼀致、频带不⼀致等。
ESPRIT方法清华大学《现代信号处理》讲义-张贤达
Estimating Signal Parameters via Rational Invariant Technique
1. 基本ESPRIT方法
x(n) As(n) w(n) y(n) x(n 1) AΦs(n) w(n 1)
1
A
e
j1
e j(m1)1
1
e j p
J1
Im1,0
和
J2
0,Im1 ，则
XX12
J1X J2X
X
X1 最后一行
第一行
X2
AS
W
Vandermonde 矩阵
A
A1 最后一行
第一行
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A2
旋转矩阵
A2 A1Φ
不考虑噪声时
XX12
A1S A2S
A1ΦS
R xx
APAH
2I
Us
,
U
n
Σs 0
0
2I
UsH
U
准则函数：
max
R
max
UT SbU UT SwU
max Q uTi Sbui i1 uTi Swui
ui是矩阵对(Sb ,Sw )的第i个最大广义特征值对应的广 义特征向量。令i 1, , c 1,则矩阵Uc1=[u1, , uc1] 的列构成c类信号的最优类鉴别子空间。
yi,k UTc1si,k描述样本特征向量si,k在最优类鉴别子空间 的投影。若不同类型的特征向量投影分别用 ，， 等符号 画出，则投影图直观地给出了不同特征的类鉴别性能。
满秩 广义特征值是广义特征多项式 | A B | 0 的根
Cxx ,Cxy APAH , APΦH AH Cxx Cxy APAH APΦH AH AP I ΦH AH
用于线阵三维SAR成像的二维快速ESPRIT算法
用于线阵三维SAR成像的二维快速ESPRIT算法赵逸超;朱宇涛;粟毅;杨猛【摘要】The linear array Synthetic Aperture Radar (SAR) system is a popular research tool, because it can realize three-dimensional imaging. However, owning to limitations of the aircraft platform and actual conditions, resolution improvement is difficult in cross-track and along-track directions. In this study, a two-dimensional fast Estimation of Signal Parameters by Rotational Invariance Technique (ESPRIT) algorithm for linear array SAR imaging is proposed to overcome these limitations. This approach combines the Gerschgorin disks method and the ESPRIT algorithm to estimate the positions of scatterers in cross and along-rack directions. Moreover, the reflectivity of scatterers is obtained by a modified pairing method b ased on “region growing”, replacing the least-squares method. The simulation results demonstrate the applicability of the algorithm with high resolution, quick calculation, and good real-time response.%线阵3维SAR系统可实现对地面场景的3维成像，是近年来研究的热点。
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考察N ×K 维观测数据矩阵X=[x(1),,x(K)] ，其中，N 个阵元的观测信号组成的观测数据向量T 1N x(k)=[x (k),,x (k)] 。
当X 为复矩阵时，阵元上的观测数据1N x (k),,x (k) 和它们的共轭的观测数据**1N
x (k),,x (k) 是不同的，因此如果可以同时利用两者，数据长度等效于增加了一倍。
酉ESPRIT 算法利用复观测数据N K
X C ⨯∈和它的复共轭矩阵
*N K X C ⨯∈组成一组新的N 2K ⨯合成数据矩阵，进行信号参数1,,M ωω 的估计，一种简单的合成数据矩阵为 *
N Z=[X,X ](1)∏ 式中，N ∏为一N N ⨯实交换矩阵，其反对角线上的元素为1，而其他元素均等于 0，即
由于
N ∏是对称的置换矩阵，所以满足2==I ∏∏∏。
由于合成观测数据矩阵列数增加了一倍，而且数据长度往往也比较大，因此如何减少合成观测数据矩阵的奇异值分解的计算量就成了待解决的一个关键问题，一种有效的方法就是构造中心复共轭对称矩阵。
下面介绍一下中心复共轭矩阵的相关定义
定义 1 一复(数)矩阵p q m C ⨯∈满足下式时，称为中心复共轭对称矩阵
p q m*=m (2)∏∏
中心复共轭对称矩阵也简称中心 Hermitian 矩阵。
任何一个中心复共轭对称矩阵都一个映射为一个实矩阵。
为此，先介绍一下Lee 定义的左∏实矩阵。
定义 2 任何一个复矩阵Q 若满足 *p Q =Q (3)∏
则称其为左∏实矩阵也可以称之为左实转换矩阵。
值得注意的是，左∏实矩阵本身仍然是复矩阵，但是通过双射映射，却可以把它变成一个真正的实矩阵，这就是把满足(3)式的复矩阵称为左∏实矩阵的原因。
下面的定理描述了如何将一个中心复共轭对称矩阵通过双射映射转变为一实矩阵。
定理 1令P T 和q U 分别表示p p ⨯维和q q ⨯维的任意非奇异的左∏实矩阵，则双射映射
-1p q
f(m):m T mU (4) 将所有p q ⨯维中心复共轭对称矩阵集合映射为相同维数的实矩阵集合。
定理 1 种的符号(m)φ表示复矩阵m 经双射映射后变成的实矩阵函数。
这一定理可用来计算中心复共轭对称矩阵p q m C
⨯∈的奇异值分解(SVD)。
推论 1 令m 是中心复共轭对称矩阵，并假定实矩阵函数H
p q Q p q (m)=Q mQ R φ⨯∈的奇异值分解为(m)=U V φφφφ∑，其中矩阵p Q 和q Q 为酉矩阵，并且是左∏实矩阵。
于是，复矩阵m 的奇异值分解为
H H p m=(Q U )(V Q )(5)φφφφ∑
式中，m 的左和右奇异向量组成的矩阵都是左∏实矩阵。
在实际应用中，观测数据矩阵X 通常是一个复矩阵，而不是中心复共轭对称矩阵。
因此推论 1 不能直接对观测数据矩阵应用。
也就是说，在应用推论1 之前必须先把一般的复观测数据矩阵X 变成中心复共轭对称矩阵，然后再通过双射映射将其映射为实矩阵函数。
显然简单的按照(1)式构造合成的观测数据矩阵，并不是中心复共轭对称的。
Haardt 和 Nossek 提出用
*2[,]N K
N K m X X C ⨯=∈∏∏
构造合成的观测数据矩阵。
可以验证，这一数据矩阵既达到了数据长度加倍的目的，又是一个中心复共轭对称矩阵。
于是，根据定理1有
*2()([,])[,](6)
H
Q N K N K K
m X X Q X Q φΓ=∏∏=∏双射映射为实矩阵。
利用一种简单方法，构造左∏实的酉矩阵N Q 和2K Q ，相对应的，将观测数据矩阵X 分块为
（7）
式中，1X 和2X 具有相同的维数。
显然，若观测数据矩2N K X C ⨯∈的行数N 为偶数，则(7)式的分块将不包含行向量T g 。
将选择好的左∏实的酉矩阵N Q 和2K Q 连同按照(7)式分块的观测数据矩阵X 一起代入(6)式，进行相关运算后，即可得到所期望的实矩阵
（8）
式中Re(.)和Im(.)分别表示复矩阵的实部与虚部。
和矩阵X的分块相似，若N 为偶数，则(8)式不得有中间的行向量。
显然，实矩阵Γ( m )的实际计算只需要 次实数加法运算。
N K
2
利用(8)式和观测数据矩阵X 直接得到双射映射后的实矩阵Γ( m )后就可以计算其奇异值分解，再由(6)式得到复观测数据矩阵X的奇异值分解。
这种方法既利用了长度加倍的观测数据，又避免了大列数复矩阵的直接奇异值分解，是获得观测数据矩阵奇异值分解的一种有效方法，其精度也比X 直接奇异值分解的精度高，这一有效方法是Haardt和Nossek于1995年提出的。
接下来又可以通过主奇异值和次奇异值的分离，得到与主奇异值对应的奇异向量，它们张成信号子空间，就可以利用上面的传统的ESPRIT 算法得到信号参数的估计值。