正射影和三垂线定理PPT课件

（×）
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直
于a在平面α内的射影，则 a⊥b (
)
P
a
AO
α
课堂小结:
1、三垂线定理是研究空间线面位置关系的关键性定理， 承上启下，涉及与“垂直”有关的几乎所有领域。 2、三垂线定理主要应用于：解决垂直问题与空间图形度量
（如角和距离）问题.
3、三垂线定理的基本模式导析
三、结构严谨，做工精细 红木家具大都采用榫卯结合，做法灵妙巧合，牢固耐用，从力学角度来看具有很强的科学性。而且，中国传统的红 木家具，基本上都是由工艺师们一刀一锯一刨完成的，每落一刀都花费工艺师的心机，同时还要讲究整体艺术上的和谐统一。 四、用料讲究 真正的中国传统红木家具均用质地优良、坚硬耐用、纹理沉着、美观大方、富于光泽的珍贵硬木即红木制成。
A’
(2)求证:BD’⊥B’C
D
A
C’ B’
C B
2.正方体ABCD-A’B’C’D’ D’
(1)求证:BD’⊥A’C’
A’
(2)求证:BD’⊥B’C
D
A
C’ B’
C B
例2：正方形ABCD 的边长为12，PA⊥平面ABCD， PA=12，O为对角线BD的中点， 求：点P到对角线BD的距离
P
A
O B
复习提问
1、直线和平面垂直的定义是什么？ 如果一条直线和一个平面相交，并且和这
个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直 线和这个平面互相垂直。交点叫做垂足。
2、如何判定直线与平面垂直？ 如果一条直线和一个平面内的两条相交
直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
一、点在平面上的射影
自点P向平面α引垂线 l， 垂足P1叫做
五、保值增值性 集实用、观赏、保值于一体。年代久远、品质高超的中国传统红木家具，是中外收藏家梦寐以求的珍品。加之红木资源有限， 红木的生长周期又非常长，有的可达几百年，因此，物以稀为贵的红木家具将越来越具有独特的魅力。
当的！”“如果准你求，你求什么呢？”苏小横坚持问。“笙儿……”宝音怯怯抬起眼皮，看苏小横一眼，“想求老太太原谅五哥哥。”“你 还替你五哥求情？”苏小横很吃惊的样子。“听说，五哥也是不得已……”宝音婉婉求情。“说实话。”苏小横打断她，神气仍然慈祥，但语 调里多了些白刃见血的锐利。宝音咬了咬唇，坦白：“这一次，我白璧有瑕，进不得宫，蕙妹妹不顾大局，害我至此，料来外公外婆都不会原 谅她了。二哥哥远仕，五哥哥再见悖于爹爹，膝下谁能承欢？但求外公外婆体念五哥哥也有不得已，容谅了他，二舅舅面前相帮缓颊，笙儿才 能放心。”“难为你！”苏小横赞许道，“过了年，等春花都开了，你还是进京去罢。”“咦！”宝音受惊了。她是不是……表现得过了头了？
平面内的一条直线和 平面内的一条直线和
平面的一条斜线在平面 平面的一条斜线垂直，则
内的射影垂直，则它就 它也和这条斜线的射影垂
和这条斜线 垂直 。
直。
三垂线定理及逆定理涉及的几何元素：
(1)一个平面;
(2)四条直线: ①平面的斜线;
②平面的垂线;
③斜线在平面内的射影;
a
④平面内的一条直线.
(3)三个垂直:
在平面内，定理就 不一定成立。
Oa
αA
练习：
判断下列命题是否正确： ⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（ ×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
D C
P
解
题
A Oa α
回
顾 A1
C1 B1
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内
回 顾
的直线垂直的判定定 理，这两条直线可以 是：
P
思
考 ①相交直线
百度文库e dc
②异面直线
αA
Ob a
注意：如果将定理中
“在平面内”的条件
回 去掉，结论仍然成立 吗？
顾
P
b
思 考
直线a 一定要在平 面内，如果 a 不
已知 :PO、PA分别是平面的垂线、斜线，
OA是PA在平面内的射影。a
，a
⊥OA
。
三垂线
求证： a ⊥PA
定理
证明：PO⊥
a
PO ⊥a a ⊥ OA
P
O
a A
POPOAA==PO
a⊥平面PAO
PA平面PAO
a⊥PA
线射垂直
P
定理 逆定理
线斜垂直
P
A Oa α
三垂线定理：
A Oa α
三垂线定理的逆定理
①直线与平面垂直;
②平面内的一条直线与斜线在平面内的 射影垂直;
③平面内的一条直线与斜线垂直.
1.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。
求证:BC⊥PM.
P
2. PA⊥平面ABC，PB=PC, A
M是BC的中点。 求证:AM⊥BC.
C M B
1.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。 求证:BC⊥PM.
P
2. PA⊥平面ABC，PB=PC,
M是BC的中点。
A
C
求证:AM⊥BC.
M
B
练习:1、正方体ABCD-A’B’C’D’ (1)找平面AC的斜线BD’在平面AC上的射影; (2)BD’与AC的位置关系如何?
DD’ ’ A’
C’ B’
D
C
O
A
B
2.正方体ABCD-A’B’C’D’ D’
(1)求证:BD’⊥A’C’
体功能比例尺度，能符合人体使用功能上的要求，具有很高的科学性。以椅子为例，其中的弯背椅、圈椅均契合人体需要，坐感舒适。 二、造型优美 庄重典雅的红木家具，在变化中求统一，雕饰精细，线条流畅。既有简洁大方的仿明式，又有雕龙画凤、精心雕琢的仿清式，
也有典雅大方的法式等，适合不同人的审美需求。 ； http://www.kfw520.com/ 仙游红木家具 jah31kbf
O
B
ι
射影
P
a
O
A
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 :PO、PA分别是平面的垂线、斜线，
OA是PA在平面内的射影。a ，a⊥OA。 求证：a ⊥PA
P
a
O
A
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。
b
（1）、一面四线
c
l
a
“一面四线”的不同情况
b
b
c
l
a
b
l c
a
l
c
a
b
a
a1 l c
由红木制作的高档实木家具，经过了多年历史的沿革，如今已具有了许多特色优点，主要有： 一、功能合理 红木家具不如一般现代家具符合人体工程学原理吗?这是一般人的认识误区。其实经过长期的推敲、改进，许多红木家具按照人
点P在平面α内的正射影(简称射影)
P
l
α
P1
二、图形在平面内的射影
如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的 图形 F ,则 F 叫做图形F在这个平面上的射影.
C B
A
C B
A
斜线 —— 与平面相交且不垂直的直线
斜足 —— 斜线与平面交点 斜线段—— 斜线上一点与斜足之间线段
AO α
斜线
A