一元二次方程式求根公式与因式分解法

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一元二次方程求根公式推导过程是什么

一元二次方程求根公式推导过程是什么想要了解一元二次方程的小伙伴赶紧来看看吧！下面由小编为你精心准备了“一元二次方程求根公式推导过程是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！一元二次方程求根公式推导过程是什么一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax^2+bx+c （一元二次方程的基本形式）推导根公式的详细过程如下：1、ax^2+bx+c=0（a≠0，^2表示平方），等式两边都除以a，得x^2+bx/a+c/a=0；2、移项得x^2+bx/a=－c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b^2/4a^2；3、配方得x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2－c/a，即（x+b/2a）^2=（b^2-4ac）/4a；4、开根后得x+b/2a=±[√（b^2-4ac）]/2a（√表示根号），最终可得x=[-b±√（b^2-4ac）]/2a。

一元二次方程怎么解？第一种：直接开平方法——这种方法要求等式的左边为一个完全平方式，右边为一个非负的常数，即形如X2=a（a≥0）或者（mX2+n）=a（a≥0），这种形式的方程可直接通过开方后经过简单计算即可得到结果。

第二种：配方法——配方法一共有6个步骤。

第一步，将二次项系数化为1，即化为X²+bX+c=0的形式；第二步，将常数项移到方程右边；第三步，方程两边都加上一次项系数一半的平方；第四步，等式左边写成完全平方形式，右边合并同类项；第五步，等式两边同时开方；第六步，确定方程的解。

第三种：公式法——使用公式法时首先需要将等式化为标准形式，即为aX²+bX+c=0的形式。

方程的解可直接套用公式得出X=[-b±（b²-4ac）^1/2]/2a，将标准形式中的a、b、c代入即可。

第四种：因式分解法——因式分解法一共有四步。

第一步，将方程右边化为0；第二步，将方程左边进行同类项合并；第三步，将方程左边写成两个一次式的乘积；第四步，通过一次方程写出方程的两个解。

一元二次方程求根方法

一元二次方程求根方法一元二次方程是高中数学中的重要内容，求解一元二次方程的根是我们学习的基础。

本文将介绍一元二次方程的概念、求解方法以及求根的具体步骤。

一、一元二次方程的概念一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 分别为已知系数（且a ≠ 0），x 为未知数。

这个方程的解即为方程的根。

二、求解一元二次方程的方法求解一元二次方程的方法有多种，常用的有因式分解法、配方法和求根公式法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程的根。

具体步骤如下：Step 1：将方程写成 (px + q)(rx + s) = 0 的形式，其中 p、q、r、s 为常数。

Step 2：得到两个一次方程 px + q = 0 和 rx + s = 0。

Step 3：分别求解这两个一次方程，得到 x 的值。

2. 配方法当一元二次方程无法通过因式分解时，我们可以通过配方法求解方程的根。

具体步骤如下：Step 1：将方程中二次项的系数变为 1，即将方程写成 x^2 + bx + c = 0 的形式。

Step 2：在方程两边同时加上一个适当的常数 d，使得方程可以进行配方。

Step 3：根据配方公式 (x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2，将方程转化为一个完全平方的形式。

Step 4：利用完全平方公式将方程进行化简，并求解得到 x 的值。

3. 求根公式法一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

具体步骤如下：Step 1：将方程写成标准形式 ax^2 + bx + c = 0。

Step 2：根据求根公式，将 a、b、c 的值代入公式中，计算得到 x 的值。

三、一元二次方程求根步骤示例以方程 2x^2 - 5x - 3 = 0 为例，演示一元二次方程求根的具体步骤。

Step 1：将方程写成标准形式，即 2x^2 - 5x - 3 = 0。

一元二次方程——公式法及因式分解法

一元二次方程——公式法及因式分解法知识点1：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，式子x=242b b ac a-±-就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式．知识点2：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况① b 2-4ac>0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根，反之也成立；② b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；③ b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根，反之也成立；知识点3：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．应用公式法解一元二次方程的步骤: 1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号．．．．．．．．．．．。

3)计算b 2-4ac ，若0ac 4b 2<-，方程无解； 4）若0ac 4b 2≥-，代入求根公式，算出结果。

【经典例题】例1.不解方程，判断下列方程的根的情况。

（1）04x 3x 22=-+ （2）y 249y 162=+ （3）0x 7)1x (52=-+例2．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x+2=0 (2)2x 2-3x+2=0 （3）-3x 2+2=5x（4）02y y 2=-- （5）1622=+x x （6）x x 4322=+-例3．已知方程0k x 4x 22=+-。

（1）当k 时，方程有两个不相等的实数根；（2）当k 时，方程有两个相等的实数根；（3）当k 时，方程没有实数根。

例4. 已知关于x 的一元二次方程)0a (01bx ax 2≠=++有两个相等的实数根，求4b )2a (ab 222-+-的值。

拓展：（1）已知关于x 的方程04k kx 2x )1k (222=++-+，求证：此方程没有实数根。

如何求解一元二次方程的根

如何求解一元二次方程的根求解一元二次方程的根是高中数学中的重要内容之一。

一元二次方程一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。

下面将介绍解一元二次方程的三种常用方法：因式分解法、配方法和公式法。

一、因式分解法当一元二次方程可因式分解时，可利用因式分解法求解。

考虑方程ax^2 + bx + c = 0，若存在两个实数根x1和x2，那么方程可表示为(x-x1)(x-x2)=0，进而得到两个方程x-x1=0和x-x2=0。

示例：求解方程x^2 - 5x + 6 = 0。

根据因式分解法，应找到两个数，使其乘积等于6，和等于-5。

观察可得，-2和-3满足条件，得到方程(x-2)(x-3)=0。

根据零元等于0的性质，得到x=2和x=3，即方程的两个实数根为2和3。

二、配方法当无法通过因式分解法解得方程时，可尝试使用配方法。

配方法的基本思想是通过添加常数项使得一元二次方程能够进行因式分解，从而求得方程的根。

示例：求解方程x^2 - 8x - 9 = 0。

根据配方法，将方程x^2 - 8x - 9 = 0中的常数项“-9”进行分解，找两个数，其乘积等于-9，和等于-8。

观察可得，9和-1满足条件，得到方程x^2 - 8x + 9x - 9 = 0。

根据配方法的原理，将方程进行分组得到(x^2 - 8x) + (9x - 9) = 0，再进行因式分解得到x(x - 8) + 9(x - 1) = 0。

继续化简得到(x + 9)(x - 1) = 0，根据零元等于0的性质，得到x=-9和x=1，即方程的两个实数根为-9和1。

三、公式法当无法通过因式分解法和配方法求得方程的根时，可以使用求根公式，即一元二次方程求解公式。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其求解公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

示例：求解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。

九年级第二次课讲义一元二次方程的公式法,因式分解法,判别式

一元二次方程的公式法，因式分解法，判别式一、用公式法解一元二次方程1、概念：当240b ac -≥时，一元二次方程()200ax bx c a +=≠+的实数根可写为2b x a-=的形式，这个式子叫做一元二次方程20ax bx c +=+的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法，叫做公式法．已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其求根公式推导过程如下：（1）移项得2ax bx c +=-；（2）二次项系数化为1得2b c x x a a +=-；（3）配方得22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）整理得222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（5）直接开平方得2b x a +=；——注意是否可以开方呢？故当0∆≥时，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为x = 2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式20ax bx c +=+；(2)正确确定出a ，b ，c 的值；(3)求出24b ac -的值；(4)若240b ac -≥，则方程有实数根，代入公式2b x a -=求解；若240b ac -<，则方程无实数根．例1.用公式法解下列方程：(1)22410x x -=- (2)()()2351x x -=-练习1.用公式法解下列方程：(1)22810x x -=+ (2)2523x x += (3)24310x x +=-二、用因式分解法解一元二次方程1．因式分解法解一元二次方程的理论依据如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．即如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =．2．因式分解法的概念先通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．3．因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边化为两个一次因式的积；(3)令每个因式都等于0；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解法是解一元二次方程的常用方法，在用因式分解法解一元二次方程时不要盲目的用约分的方法约掉含字母的代数式，这样容易丢掉方程的某个解.例2.用因式分解法解下列方程：(1)()()21321t t t =-- (2)()()2111x x -=-(3)269x x -=- (4)2760y y +=+练习2.用因式分解法解下列方程：（1）230x x -= （2）()()53210x x --=（3）()()2311x x x -+=+ （4）x 2﹣5x ﹣6＝0（5）26120x x -=- （6）6x 2+19x ﹣36＝0三、一元二次方程的根的个数的判别已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其判别式为24b ac ∆=-，其根的个数的情况如下：(1)当042>-=∆ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；(2)当042=-=∆ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==； (3)当042<-=∆ac b 时，方程无实数根.方程20ax bx c ++=有实根的处理 1、一元二次方程有实根⇔00a ≠⎧⎨∆≥⎩， 2、方程有实根——需要分类讨论（1）0a =，是一元一次方程；（2）0a ≠，0∆≥.3、方程有两个实根⇔00a ≠⎧⎨∆≥⎩.要想判断一元二次方程的根的个数，只需求出其判别式，根据判别式的正负性来判断即可，需要注意的问题是在求判别式之前，一定要将已知的一元二次方程化为标准的一般式，这样才能准确找到a ，b ，c 的值，防止出错.例3. 一元二次方程214204x x +=-的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断练习3. 一元二次方程22520x x -=-的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根下列题型考查一元二次方程的判别式．要记住：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）0∆>△方程有两个不相等的实数根；（2）0∆=△方程有两个相等的实数根；（3）0∆<△方程没有实数根．上述关系是一种等价关系，可以互相推导.例4.若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（）A ．0B ．﹣1C ．2D ．﹣3练习4. 若关于x 的一元二次方程()2450x x m +-=-有实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1m ≥C ．1m <D ．1m ≤与上一类求字母的取值范围型的问题相比，区别在于本类题型中二次项系数中含有字母，所以对于一个一元二次方程，必须保证二次项系数不为零！所以在求字母的取值范围时，又多了一个二次项系数不为零这一不等式.例5. 关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（） A ．18a >- B ．18a ≥- C ．18a >-且1a ≠ D ．18a ≥-且1a ≠ 练习5.1 若关于x 的一元二次方程2210kx x -=-有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <-D ．1k <-或0k ≠练习5.2已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1m ≥-C ．1m >-且0m ≠D ．1m ≥-且0m ≠与前两类求字母的取值范围型的问题相比，区别在于本类题型中二次项系数的位置中含有字母，并且通过已知条件无法确认已知的方程是否是一个一元二次方程，故需要进行分类讨论，主要分成两类：第一类，二次项系数为零，则方程为一个一元一次方程；第二类，二次项系数不为零，则方程为一个一元二次方程.两种情形下分别探究是否符合要求，再将两个答案进行合并即可.例题6.已知方程()2210mx m x m -+=-有实数根，求m 的取值范围。

一元二次方程的四种解法

一元二次方程的四种解法
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龙文教育个性化辅导教案提纲
教师:陈燕玲学生：年级九日期: 星期: 时
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意○ 满意○ 一般○ 差
学生签字:
五、教师评定：
1、学生上次作业评价: ○非常好○好○ 一般○ 需要优
化
2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○ 一般○ 需要优
化
教师签字：
教务主任签字： ___________
龙文教育教务处。

一元二次方程的解法及判别

一元二次方程的解法及判别一、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。

一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二、一元二次方程的解法1.因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，使其变为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。

2.公式法：利用一元二次方程的求根公式（也称二次公式）求解。

求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

三、一元二次方程的判别式判别式是用来判断一元二次方程的根的情况的数值。

判别式的公式为：Δ = b^2 - 4ac。

四、判别式的性质与解的情况1.当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。

2.当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。

3.当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。

五、一元二次方程的解法比较1.因式分解法适用于方程的系数较小，且容易分解的情况。

2.公式法适用于任何形式的一元二次方程，无论系数的大小和是否容易分解。

六、一元二次方程的应用一元二次方程在实际生活中有广泛的应用，如物体的运动轨迹、投资收益、面积计算等方面。

总结：一元二次方程的解法及判别是中学数学中的重要知识点，掌握因式分解法和公式法求解一元二次方程，以及理解判别式的性质和解的情况，对于解决实际问题具有重要意义。

习题及方法：已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求解该方程。

这是一个一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解它。

首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于常数项6，而它们的和等于一次项的系数（-5）。

这两个数是-2和-3。

因此，我们可以将方程重写为：(x - 2)(x - 3) = 0。

根据零因子定律，我们得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。

解得x1 = 2，x2 = 3。

给定一元二次方程2x^2 + 5x - 3 = 0，求解该方程。

一元二次方程公式大全

一元二次方程公式大全一、因式分解法：设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。

如果方程可以被因式分解为(a_1x+d_1)(a_2x+d_2)=0的形式，则根据零乘性质可得x=-d_1/a_1或x=-d_2/a_2，即方程的根为这两个值。

例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以通过因式分解得到(x+2)(x+3)=0，因此方程的根为x=-2和x=-3二、求根公式法：求根公式法适用于任意一元二次方程。

设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。

根据求根公式，方程的根可以表示为：x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中±表示可以取正负两个值。

例如，对于方程x^2+5x+6=0，根据求根公式可得x=\frac{-5±\sqrt{5^2-4×1×6}}{2×1}，计算可得根为x=-2和x=-3三、配方法：配方法适用于一元二次方程中b较大的情况，通过配方将方程转化为一个完全平方的形式。

具体步骤如下：1. 将一元二次方程写成标准形式：ax^2+bx+c=0。

2.根据方程中的b项，将方程分成两部分，将x^2系数a与x系数c分别进行配方。

3.将分离的两部分进行配方，使其转化为完全平方。

4.将配方后的两部分相加或相减，消去中间项，得到一个完全平方。

5.将方程转化为(x±d)^2=n的形式，其中d为常数，n为已知数。

6.通过求平方根或其他方法求解方程。

例如，对于方程x^2+7x+12=0，可以通过配方法进行解答：1.将方程写成标准形式，即x^2+7x+12=0。

2.将方程分成两部分，即a为x^2的系数1，b为x的系数7，c为常数123.配方后得到(x+4)(x+3)=0。

4.将配方后的两部分相加，得到(x+4)+(x+3)=2x+7=0。

5.将方程转化为(x+7/2)^2=49/4的形式。

一元二次方程的解法因式分解法知识点总结

一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x 2+3x+1=0；(2)2241x x =-； (3)2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1)a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-．(3)∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x=∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==， ∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程： (1)（2014•武汉模拟）2x 2+x=2；(2)（2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x==，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=；【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0；（3）x （2x+1）=8x ﹣3．【思路点拨】用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x 1＝1，x 2＝-4．（3）去括号，得：2x 2+x=8x ﹣3，移项，得：2x 2+x ﹣8x+3=0合并同类项，得：2x 2﹣7x+3=0， ∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或 x ﹣3=0，∴，x 2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=01212,23x x =-=.5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题 1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =-3．一元二次方程2340x x +-=的解是( ) A ．11x =；24x =- B ．11x =-；24x = C ．11x =-；24x =- D ．11x =；24x =4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为值时，y 的值为0； (2)当x 为值时，y 的值为5.三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14.用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0，所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6，∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ 322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=．【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0，∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)369212x ±-⨯⨯-±==⨯，∴ 3692x +=或3692x -=．三、解答题13.【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2，解得，x 1=1或x 2=5；（2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14.【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a--=②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m ≠0，解得x ＝1．(2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2243624|6|2()2()n m m n m m x m n m n -±-±==++， ∴ 11x =，25n m x m n-=+．【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 23(1)3(1),2(1)2(1)m m m m x m m -±+-±+==-- ∴ 122, 1.1x x m==- 2．用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ 24(2)56221b b ac m a -±---±==⨯22141142±==±， ∴ 1114m =+，2114m =-．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥ ∴23322m m m m x ±±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0；（2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=13.4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

一元二次方程的解法及应用

一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。

解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。

本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。

一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。

二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。

其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。

例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。

三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。

一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。

具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。

解一元二次方程(直接开方法配方法公式法因式分解法)

解一元二次方程（直接开方法、配方法、公式法、因式分解法）一元二次方程知识讲解只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【例题讲解】例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．小试牛刀1. 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．2求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．10一元二次方程的解叫做一元二次方程的根解一元二次方程:直接开方法配方法公式法因式分解法【例题讲解】例1：解方程：x+4x+4=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．即，每年人均住房面积增长率应为20%．例题共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”直接开方法：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．【小试牛刀】1. 求出下列方程的根吗？102（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=02.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？例题讲解例1. 解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 解：（1）移项，得：x2+6x=-5 配方：x+6x+3=-5+3（x+3）=4 由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5 （2）移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1 配方x2+3x+（由此可得x+32335）=-1+（）2（x+）2= 2224222355353=±，即x1=-，x2=-- 222222 （3）去括号，整理得：x2+4x-1=0 移项，得x2+4x=1配方，得（x+2）2=5 ，x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2从以上例题可以看出，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法：总结用配方法解一元二次方程的步骤10（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．【小试牛刀】用配方法解以下方程（1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0 （4）【课堂引入】例1. 用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm212x-x-4=0 4?2+（m-2）x-1=0提出了下列问题．若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．解：存在．根据题意，得：m2+1=2 ，即m2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠010当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x=1?(?1)?91?3 即 x1=1，x2=- ?22?241． 2 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，?b?b2?4ac?将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．2a （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．小试牛刀1．用公式法解下列方程．（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 因式分解法因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A・B＝0A＝0或B＝0．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：10感谢您的阅读，祝您生活愉快。

一元二次方程的根的公式

一元二次方程的根的公式一元二次方程是数学中常见的一类方程，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。

解一元二次方程的关键是求出方程的根，而求根的公式被称为一元二次方程的根的公式。

一元二次方程的根的公式如下：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)在这个公式中，x表示方程的根，±表示两个根的取值可能性，b²-4ac表示判别式，√表示平方根，a、b、c分别表示方程的系数。

根据这个公式，我们可以通过代入方程的系数，计算出方程的根。

但在计算之前，我们需要先判断方程的根的情况，即判别式的值。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。

在解一元二次方程时，我们需要注意以下几点：1. 判别式的值决定了方程的根的情况：大于0时有两个不相等的实根，等于0时有两个相等的实根，小于0时没有实根；2. 当判别式大于0时，我们可以使用根的公式直接计算出方程的两个实根；3. 当判别式等于0时，我们可以使用根的公式计算出方程的两个相等的实根；4. 当判别式小于0时，我们无法直接计算出方程的实根，而是得到两个共轭的复根，其中实部为-b/(2a)，虚部为√(4ac-b²)/(2a)。

下面我们通过几个例子来说明一元二次方程的根的公式的应用。

例1：解方程x²-4x+3=0。

根据方程的系数，我们得到a=1，b=-4，c=3。

将这些值代入根的公式，我们可以计算出方程的根。

判别式为b²-4ac=(-4)²-4(1)(3)=16-12=4，大于0，说明方程有两个不相等的实根。

根的公式为x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)，代入系数得到x = (4 ± √4)/(2)。

化简得到x = (4 ± 2)/(2)，即x = 3或x = 1。

一元二次方程的解法(二)--公式法,因式分解法 (基础)

要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：③当时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.类型一、公式法解一元二次方程1．用公式法解下列方程．(1)； (2)．答案与解析举一反三【答案与解析】(1) ∵，，，∴，∴，∴，．(2)原方程化为一般形式，得．∵，，，∴．∴，即，．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．【变式】用公式法解方程答案与解析【答案】原方程化为一般形式，得．∵∴∴, 即2．用公式法解下列方程：(1)；(2)．答案与解析举一反三【答案与解析】(1)∵，，，，∴．∴，．(2)原方程可化为．∵，，，，∴，∴，．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．【变式】用公式法解下列方程：；答案与解析【答案】移项，得．∵，，，，∴，∴，．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)；(2)(2x+3)2-25＝0．答案与解析【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x1＝-2，．(2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x1＝1，x2＝-4．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)．答案与解析举一反三【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以，．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根【变式】（2）答案与解析【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.（2）3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0.巩固练习一、选择题1．方程的根是( )A． B．， C． D．，2．方程的解是( )A． B． C．， D．，3．一元二次方程的解是( )A．； B．；C．； D．；4.方程x2-5x-6＝0的两根为( )A．6和1 B．6和-1 C．2和3 D．-2和35．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝76．已知，则的值为 ( )A． 2011 B．2012 C． 2013 D．2014二、填空题7．方程x2-4x＝0的解是___________；8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是___________．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___________．10．若方程x2-m＝0的根为整数，则m的值可以是___________．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x、y 满足，则________．12．已知y＝(x-5)(x+2)．(1)当x为___值时，y的值为0；(2)当x为___值时，y的值为5.三、解答题13．用公式法解方程（1）；（2）；14. 用因式分解法解方程（1）x2-6x-16＝0．（2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．的符号的关系的值(2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况．(3)利用上面的结论解答下题．当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2＝0，①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．答案与解析一、选择题1.【答案】D；【解析】可分解为2.【答案】C；【解析】整理得x2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B；【解析】要设法找到两个数a，b，使它们的和a+b＝-5，积ab＝-6，∴(x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0．∴x1＝-1，x2＝6．5.【答案】D；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴(x-5)(x-6-1)＝0，∴，6.【答案】C；【解析】由已知得x2-x＝1，∴．二、填空题7.【答案】x1＝0，x2＝4．【解析】可提公因式x，得x(x-4)＝0．∴ x＝0或x-4＝0，∴ x1＝0，x2＝4．8.【答案】x1＝1，x2＝-2，x3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．9.【答案】；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案．10.【答案】4；【解析】 m应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．11.【答案】2；【解析】由(x2+y2)2-(x2+y2)-2＝0得(x2+y2+1)(x2+y2-2)＝0又由x，y为实数，∴x2+y2＞0，∴x2+y2＝2．12.【答案】 (1) x＝5或x＝-2；(2) 或．【解析】(1)当y＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴x-5＝0或x+2＝0，∴x＝5或x＝-2．(2)当y＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴，，∴或．三、解答题13.【答案与解析】（1）原方程化为一般形式，得∵∴∴∴（2）∵∴∴∴14.【答案与解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴，．（2）设y＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴y+1＝0或y+2＝0，∴y＝-1或y＝-2．当时，，；当时，，．∴原方程的解为，．15.【答案与解析】，的的符号(2)①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根．(3)，①当原方程有两个不相等的实数根时，，即且m≠2；②当原方程有两个相等的实数根时，，即；③当原方程没有实数根时，，即．。

初三数学一对一第02讲——一元二次方程(二)求根公式、因式分解法

第二讲一元二次方程（二）——求根公式、因式分解法一、一元二次方程之技巧解法因式分解法：提公因式，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因式法，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。

22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+= 十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。

二、根的判别式：ac b 42-=∆当ac b 42-=∆＞0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根.反之亦然. 当ac b 42-=∆=0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根. 反之亦然. 当ac b 42-=∆＜0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有的实数根. 反之亦然.三、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a--==所以：12b x x a+=+=-，12244ac c x x a a⋅==== 对称轴X= -顶点坐标为x=- ，y=定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-= 法2：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a ++=⇔-++= 12b x x a⇒+=-；12c x x a ∙= 法3：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12b x x a +=-（余下略）常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-， 12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-， 12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== 等【典例分析】板块一：判别式的应用知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。

分解因式法一元二次方程解法

b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖是这样解的 :
解 : x 2 3x 0.
3 9 x . 2
小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 3x两边都同时约去x, 得. x 3.
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
这个数是3.
小明做得对吗?
分解因式法当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时, 我们就可以用分解因式的方法求解. 这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法. 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
动脑筋

争先赛
1. x 2x - 4 0, 2.4x2x 1 32x 1. 解 :1 . x 2 0或x - 4 0.
x1 2; x2 4. 2.4x2x 1 32x 1 0,
1.解下列方程:Βιβλιοθήκη 2x 14x - 3 0,
2 x 1 0, 或4 x 3 0. 1 3 x1 , x2 . 2 4
用分解因式法解下列方程
3x( x 2) 5( x 2);
(3x 1) 5 0;
2
2( x 3) xx 3;
2
分解因式法一元二次方程解法
公式法
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
ax2+bx+c=0(a≠0)

一元二次方程整数根问题

一元二次方程整数根问题整数根问题是指求解方程中的根为整数的问题。

对于一元二次方程，其解可以通过求根公式得到，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)要使方程的解为整数，那么√(b^2 - 4ac) 必须是一个整数，并且分子(-b ± √(b^2 - 4ac))能够被2a整除。

现在我们来讨论一元二次方程整数根问题的求解方法。

首先，我们需要判断方程是否有整数解。

根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1和x2的和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。

因此，如果b^2 - 4ac是一个完全平方数，并且b也能够被2a整除，那么方程就存在整数解。

接下来，我们需要找出满足上述条件的完全平方数以及能够整除b的2a的因子。

对于完全平方数的判断，一种常见的方法是通过试除法，即从1开始逐个尝试将数字平方，并与b^2 - 4ac进行比较。

如果找到一个平方数等于b^2 - 4ac，则方程存在整数解；否则，方程不存在整数解。

对于能够整除b的2a的因子的查找，我们可以通过因式分解的方式来获取对应的因子。

具体步骤如下：1.判断方程是否有整数解：- 计算判别式D = b^2 - 4ac；-判断D是否为完全平方数：（此处省略使用试除法判断完全平方数的具体步骤）；-判断b是否能够被2a整除；2.若方程有整数解，则寻找满足条件的解：-进行因式分解：将2a进行因式分解，找出所有的因子；-判断每个因子能否整除b；-若能整除b，则代入一元二次方程并计算解；通过上述步骤，我们可以找到一元二次方程的整数根。

需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到以下情况：-判别式D不是一个完全平方数；-方程的系数a和b的范围较大；-存在复数解或实数解而非整数解；对于D不是完全平方数的情况，方程不存在整数解。

此时，我们可以考虑使用其他方法，如试除法、辗转相除法等寻找方程的实数或复数解。

一元二次方程式求根公式与因式分解法

⑶ x2 7x 15 =0 ⑸ x2 -2 3x 3 =0 一元二次方程式解法_ 2一元二次方程ax bx 0(a = 0)解法公式法：1.根的判别式为：/ = _________________________________ 求根公式x= ______________________________2.①/ =b2-4ac>0时方程ax2 - bx • c = O(a=O)有两个实数b _ . b2-4ac根为,2 ：2a2②0- ax bx 0(a = 0)没有实数根。

【例1】判断下列方程的跟的情况，如果有根请用求根公式求出方程的根。

⑴ 7x2—x —1=0 ⑵ 9x2=4(3x -1)⑷-2x2 - 3x 2=0⑹ x2 -(m 1)x m = 0(m 为常数)2判断下列方程的跟的情况，如果有根请用求根公式求出方程的根。

1、-X22、6x -6 = 0 ; 2 、x24x =2；3、4x21 = _3x4、x2-2mx+4( m-1)=0一元二次方程式解法一元二次方程ax2 bx c=0(a =0)解法：因式分解法一课前预习：1、若a -b=0则a _________ 或b _________ ; 一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为_____________ 和 ____________ ，方程的根平方差公式a2-b2=( )( )一元二次方程式解法：因式分解方法(一)提公因式法：可利用公式ab+ac=a( )将二次方程分解成两个因式求解(3) 4X2=11X例：利用因式分解方法解下列方程(1) 2X2+X=0(2) 3X2+6X=02 2(5)(2X-1『-X2=0 (6)(X-3)-X(X-3) =0练习：利用因式分解方法解下列方程(1) 2X2 -=0 (2) X2=-2X(3) 5 X2+7X=0⑷(X+2)2=3X+6; (5) ( 3X+2)2-4X2=0;2一元二次方程ax • bx • c二0(a = 0)因式分解法: (二)十字相乘法：观察下面式子(X-1)(X+5)=x2+(-1+5)x+(-1 X 5)= X2+4X-5(X+1)(X+6)= X 2+(1+6)X+1 X3= X2+7X+65(9)6x 2 — 11x+3=0 ; (10)4m 2+8m+3=0 ;(8)3a 2 — 7a — 6=0 ;(X+2)(X+3)=x2+(2+3)x+2 X 3= x2+5x+6有什么规律？如果是由式子的右边出发有什么办法变为左边形式?这种方法在数学里面叫做十字相乘法！2当方程ax bx 0(a = 0)三项都存在/ >0,即有两根的时候可用十字相乘法方法步骤是： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

一元二次方程求根公式和常见解法

一元二次方程求根公式和常见解法一元二次方程求根公式和常见解法是什么只含有一个未知数(一元)，并且这个未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。

下面小编给大家整理了关于一元二次方程求根公式和常见解法的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!一元二次方程求根公式和常见解法一、一元二次方程的概述1、定义：等号两边都是等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2且最高次项的系数不为0，这样的整式方程叫做一元二次方程.2、求根公式：x=?b±b2?4ac√2a(b2?4ac≥0)x=?b±b2?4ac2a(b2?4ac≥0)。

3、一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2ax2是二次项，aa 是二次项系数;bxbx 是一次项，bb 是一次项系数;cc 是常数项.4、一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.5、一元二次方程的常见解法：(1)直接开平方法(2)配方法(3)公式法(4)因式分解法(5)利用根与系数的关系二、一元二次方程的例题例：如果方程(m?2–√)xm2+3mx?1=0(m?2)xm2+3mx?1=0 是关于__ 的一元二次方程，那么 mm 的值是____.答案：?2–√?2解析：由一元二次方程的定义知 m2=2m2=2，即m=±2–√m=±2，又∵m?2–√≠0，∴m≠2–√，∴m=?2–√∵m?2≠0，∴m≠2，∴m=?2.一元二次方程判别式利用一元二次方程根的判别式(△=b?-4ac)可以判断方程的根的情况。

一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：△=b?-4ac①当△0时，方程有两个不相等的实数根;②当△=0时，方程有两个相等的实数根;③当△0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

上述结论反过来也成立。

一元二次方程解法1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

一元二次方程求根方法

一元二次方程_求根方法一元二次方程是数学中的一个重要概念，它的求解方法也是数学中的一个基本问题。

一元二次方程的求根方法主要有三种：因式分解法、配方法和公式法。

下面我们将详细介绍这三种方法的原理和应用。

一、因式分解法因式分解法是一种基本的求解一元二次方程的方法。

它的原理是将方程化为一元二次方程的标准形式：ax^2+bx+c=0，然后将方程左边进行因式分解，得到两个一次方程的乘积形式：a(x-x1)(x-x2)=0。

由于两个一次方程的乘积为0，因此这两个一次方程中至少有一个方程的解为0，从而得到原方程的解。

例如，求解方程：x^2-5x+6=0。

我们可以将方程左边进行因式分解，得到(x-2)(x-3)=0，从而得到原方程的解为x=2或x=3。

二、配方法配方法是一种常用的求解一元二次方程的方法。

它的原理是将方程化为一元二次方程的标准形式：ax^2+bx+c=0，然后将方程两边同时除以a，使二次项系数为1。

接着将常数项移到方程右边，再将方程两边同时加上一次项系数b/2的平方，使方程左边成为一个完全平方式。

最后，将方程左边开平方，得到原方程的解。

例如，求解方程：x^2-4x+1=0。

我们可以将方程两边同时除以1，得到x^2-4x=-1，然后将方程两边同时加上2^2，得到(x-2)^2=3，最后将方程左边开平方，得到原方程的解为x=2±√3。

三、公式法公式法是一种通用的求解一元二次方程的方法。

它的原理是利用一元二次方程的求根公式来求解方程。

一元二次方程的求根公式为：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a，其中a、b、c分别为一元二次方程的标准形式中的系数。

例如，求解方程：x^2-6x+9=0。

我们可以将a、b、c分别代入求根公式中，得到x=[-(-6)±√((-6)^2-419)]/2*1=[6±√(36-36)]/2=[6±0]/2=3，从而得到原方程的解为x=3。