降落伞选择问题数学建模

降落伞的选择问题组长：张瑜组员：**组员：**摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，在满足空投物资重量的前提下，使购买降落伞的费用最小。

该问题是一个优化问题，以购买降落伞的费用最小构造目标函数，以救灾物资2000kg,5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，进行线性规划，建立优化模型。

通过LinDo软件对模型进行求解，最终得出最佳方案为３m的降落伞数量为６个，其他半径的降落伞不予选购，以及最小费用为4793元。

首先，我们需要计算各规格降落伞的价格，可知其价格由伞面费，绳索费，固定使用费三部分构成，以此进行计算。

其次，我们需要计算出阻力系数，我们利用了两种方法确定出阻力系数为2.95747；之后，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重量，通过之前计算出的速度与时间的关系式，推出速度与质量的关系，再确定质量与速度的关系，从而通过计算得出不同半径降落伞的最大载重量；最后列出目标函数和约束条件，进行线性规划，利用LinDo软件得出最终结果。

总之，我们的模型在理论分析上提出了选择降落伞最优化，为选择合适的降落伞提供了可行的理论依据。

关键字：优化方案、线性规划、微分方程、MATLAB,LINDO问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。

降落伞根据半径不同分为半径为2m、2.5m、3m、3.5m、4m五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。

每个降落伞用长为1m的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。

并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。

其阻力系数可由题中给出的数据确定,问题要求在满足空投物资重量的前提下，使购买降落伞的费用最小。

（具体数据见附录中表格1，表格2）问题的提出为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20/m s。

降落伞面为半径r的半球面，用每根长为1m的16根绳索连着载重m的物体位于球心正下方球面处，如图1所示。

图1每个降落伞的价格由三部分组成。

伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用由绳索总长度及单价4元/米决定；其他费用为200元。

降落伞在降落的过程中受到了空气的阻力，为了确定阻力的大小，用半径3m、载重为300kg的降落伞从500m高度做降落实验，测得各时刻的高度。

确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞半径多大，在满足空投要求的条件下，使费用最低。

模型分析这是一个优化问题，所求目标函数是降落伞的总费用。

针对这个问题我们主要分三部分来分析的。

首先，计算各规格降落伞的价格，由已知其价格的三部分组成：伞面费，绳索费，固定使用费。

伞面费为题目所给不同半径决定，绳索由长度决定，固定使用费为常数。

其次，我们分析物资在投放过程中的受力情况。

忽略了了其他因素影响，有牛顿第二定律分析可得，是物资受到向下的重力和向上的阻力。

接下来的问题就是求出阻力系数。

求阻力系数，我们用了两种方法。

第一种：利用牛顿第二定律，得出速度关于时间的表达式，又由对速度的积分，得出高度与速度的关系，再用MATLAB 作出时间与高度的关系图，分析图像作线性回归，利用MATLAB 软件计算出阻力系数；第二种：求出的速度的表达式，用MATLAB 软件做出速度与时间的关系图，分析可得出阻力系数的大小。

另外，对于确定不同规格的降落伞最大载重量，利用给速度的关系式，逐步推出速度与质量的关系，进而求得最大载重量。

最后，我们写出了目标函数，并且结合约束条件得出了线性规划，利用LINDO 软件得出结果模型分析符号说明1i c (1,2,3,4,5;i =)：分别表示购买的半径为2,2.5,3,3.5,4;r =的降落伞的价格，单位(元)。

2i c (1,2,3,4,5;i =):分别表示购买半径为2,2.5,3,3.5,4r =的降落伞的绳索的价格，单位(元)。

3i c (1,2,3,4,5;i =)：分别表示购买的半径为2,2.5,3,3.5,4;r =的伞面面积，单位(m )。

i c (1,2,3,4,5;i =): 分别表示购买一个半径为2,2.5,3,3.5,4;r =的降落伞的各自总费用，单位(元)。

(2,2.5,3,3.5,4)r M r =：指的是半径2,2.5,3,3.5,4,r =的最大载重量，单位(kg )。

()v t : 表示t 时刻降落伞的速度单位(/m s )。

s : 表示降落伞的受力面积，单位(2m )。

t : 表示时间，单位(s )。

k ： 表示空气阻力系数m : 货物的质量，单位(kg )。

g : 重力加速度，单位(2/m s )。

模型假设1.假设2000kg 物资可以任意分割。

2.假设在降落伞下落过程中只受到重力，和一个可以视为非重力因素共同作用下的合力 空气阻力的影响，不考虑横向受力。

3.假设绳索和伞面的质量忽略不计。

4.假设在受力分析过程中，和下落过程中计算高度时，可将物资看做质点。

5.假设降落伞的阻力与速度和面积的成绩成正比，其系数成为空气阻力系数，为常数。

6.假设绳索的价格每米1元，每个降落伞固定费用是常数为200元。

模型建立由模型分析可知，这是一个优化问题，要建立费用最小的目标函数，和以不同规格的降落伞总载重量大于等于2000kg 作为约束条件，在LINDO 软件中计算出不同规格降落伞的选择个数，得出一个最优方案。

对此问题分三步进行：第一步：计算各规格单个降落伞的费用在建立目标函数时，总费用是各规格降落伞的个数和相应的单个降落伞的费用，所以首先要计算出各规格单个降落伞的费用。

由题目可知，其价格i c 由三部分组成，伞面费1i c ，绳索费2i c ，固定使用费3i c ，而其中伞面费1i c 为题目中所给的不同半径r 决定，绳索费2i c 由绳索长度和单位长度的价格决定，固定费3i c 为常数由题目中所给表格1（见附录）及计算可得其费用：表格 32r第二步：计算阻力系数为表述不同规格总载重量大于等于2000kg 这一条件，并求解降落伞速度满足的微分方程，方正中的重要参数——空气阻力系数是未知的，在此我们需要对已知表格2中的数据进行拟合，从而求出空气阻力系数。

对降落伞进行受力分析见 图1图2由牛顿运动定律及假设有：mg f ma -= (1)其中(a 指下落过程中的加速度) 即(0)0dv mg kvs m dt v ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ (2) 解之得()[1]kstm mgv t e ks-=- (3)积分有：2222220()()tkstm mgt m g m gH t V t dt e ks k s k s -==+-⎰即222()(1)kstmmgt m g H t e ks k s -=+- (4)由假设将原实验表的数据变为： t 0 3 6 9 1215 18 21 24 27 30()H t0 30 75 128 183 236 285 340 392 445 499表格 4在matlab 中作图可得：图3在MATLAB 软件中输入以下程序：见 （附录 程序1）由图像可见H(t)~图像的后段几乎为线性关系，即 后期几乎为匀速运动，则选择 t=9s,以后的点作线性回归()H t pt q =+ (5)(其中 ,p q : 计算过程中线性回归的系数) 通过MATLAB 软件拟合 写出程序2 （见附录 程序2） 可得：p=17.0667m/s,q=-18.4545m那么17/,18p m s q m ≈≈-由分析，则mg kvs ≈ v pt =得2.959k ≈另一个方面为了检验上述拟合是否高度近似，我们用下面的方法进行检验 由(3)式可知()(1)kstm mg v t e k s-=- (6)利用表格 2 的数据和(3)式，输入MATLAB 软件中作 v(t)~t 图像 可得：图417.9278mgk s= 在9t s =之后，作拟合，可得 2.95147k =在第一个方法中计算所得空气阻力系数k 和此方法中计算的近似相等，可以看出第一个方法的拟合度是很高的。

第三步：求各种规格降落伞的最大载重量在列约束条件时，不同规格总载重量大于等于2000kg ，总载重量为不同规格降落伞的个数乘其相应的最大载重量得到，在此我们需要计算不同规格降落伞的最大载重量。

由(3)式可知v(t)=(1)kstm mg e ks--这是下落速度的方程，而我们要求出降落伞最大载重量，在这里将参数转换，将t 变为常量而将质量m 视为变量，更容易求解。

上式可写为：()v v m =要求出最大载重量，需要得出m 关于v 是一个递增函数，那么在20/v m s =时，便可以得到安全范围内的最大载重量。

即'()(1)()kst kstm m g mg kstv m e e ks ks m ---=-+kst kstm m g g gt e e ks ks m--=-- ''222()kst kst kstm m m g kst gt gt kstv m e e e ks m m m m ---=-+-30kstm gt e m-=->，则 ''()0v m >则 ()v v m = 为单调递增函数 故 ()m m v =也为单调递增函数由此可得当 20/v m s = ，每种规格降落伞取得最大载重量 联立(3)式，(4)式，得222v(t)=(1)()(1)kstm kst m mg e ksmgt m g H t e ks k s --⎧-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩(8) 消去参数 t,有222(1)()kvsm g mvmgH t k s ks-=-(9) 将2,2.5,3,3.5,4,r =22s r π=，代入(9)式有：其中((2,2.5,3,3.5,4)r M r =指的是半径2,2.5,3,3.5,4,r =的最大载重量)模型求解则所得线性规划为：根据购买降落伞的总费用最少可得出目标函数为：51min i i i z c x ==∑ 1,2,3,4,5;i =以采购的降落伞载重量之和不少于空投物资的总重量为约束条件：512000i ii x M=≥∑ 1,2,3,4,5;i =决策条件为采购的各种规格的降落伞个数不为负，所以有：0i x ≥且为整数 i=1,2,3,4,5；由已知:1446c = 2596c =3822c =41177c =51562c =1152.396M = 2238.119M = 3342.892M = 4466.713M =5609.585M =带入数据则有：12345min 44659682211771562z x x x x x =++++ST 123415223834346761052000x x x x x ++++≥且0i x ≥且为整数 i=1,2,3,4,5；通过LINDO 软件可得10x =；20x =；36x =；40x =；50x =；4793z =即在此次降落伞的选择中选择半径为3m 的降落伞6个，最小费用为4793元模型的评价与推广优点：1.分析阻力时用两种方法计算出了k 的大小，大大简化了问题。