静磁场及其边值问题.

BR
=
1 Rsinθ
ห้องสมุดไป่ตู้
∂ ∂R
(sinθAφ(1)
)
=
μ0 Ia 2 2(R 2 + a 2 )3 / 2
cosθ
Bθ
=− 1 R
∂ ∂R
(RAφ(1)
)
=
μ0 Ia 2 (R 2 − 2a 2 ) sinθ 4(R 2 + a 2 )5 / 2
,
Bφ = 0
(6)
当θ → 0 , sinθ → 0 , cosθ → 1 ,即在近轴处,有
(R 2 + a 2 )1/ 2
R2 + a2
2 (R2 + a2 )2
2 (R2 + a2 )3
将(4)式右方代入(3)式并对φ′积分，所有偶次项均为零.第二项代入(3)积分给出:
Aφ(1)
=
μ0 Ia 2 R 4(R 2 + a 2 )3/ 2
sinθ
(5)
于是由 AR(1) = Aθ(1) = 0 , B = ∇ × A ,得到以球坐标表示的磁场
(3.9)
它的磁场为
∫ m = 1 x′× J ( x′)dV ′ 2V
(3.10)
B( x) = ∇ × A(1)
=
μ0
3(m ⋅ R)R [
-
m
]
4π R5
R3
(3.11)
若磁矩沿 z 轴,即 m = mez , (3.11)便与例 2 中的(9)式一致.
在电流密度 J = 0 的单连通区域内,磁场旋度方程为 ∇ × B = 0 ,因而可引入磁标
实验事实表明,描写磁场对带电粒子的作用时,仅用 B 的局域作用理论显示出其局
限性,在微观电磁现象中矢势有客观的物理效应.由于微观带电粒子的状态由波函
数描写,因此,磁场对粒子作用的物理量是相因子 eiφ ,其中
∫ φ = e A⋅ dl hL
(3.22)
e 是粒子的电荷, L 为任意闭合路径.当 L 可以缩小为任意一点的无限小路径, B 对
(2) Ax = −By , Ay = 0 , Az = C
(3)
Ax
=
−
1 2
By ,
Ay
=
1 2
Bx , Az
=C
C 为任意常数,可取 C = 0.分别作上述 A 的图.
将(3.3)代入(3.1)的第一式,并选择库仑规范 ∇ ⋅ A = 0 ,可得矢势方程
∇2 A = −μ0 J (∇ ⋅ A = 0)
1
=
1
(1 − 2Rasinθcosφ ′)−1/ 2
(R 2 + a 2 − 2Rasinθcosφ ′)1/ 2 (R 2 + a 2 )1/ 2
R2 + a2
(4)
=
1
[1 + Rasinθcosφ ′ + 3 (Rasinθcosφ ′)2 + 5 (Rasinθcosφ ′)3 + ⋅ ⋅ ⋅]
用能,作用力,和作用力矩为
Wi = −m ⋅ Be
(3.19)
F = −∇Wi = m ⋅ ∇Be
(3.20)
L = m × Be
(3.21)
5
3.4 矢势的量子效应 见讲稿 经典电动力学把电场强度 E 和磁感应强度 B 作为描写电磁场的基本物理量, 标势ϕ 与矢势 A 只是作为数学手段而引入的辅助量.但 A − B 效应以及超导现象等
第三章 静磁场及其边值问题
3.1 静磁场方程和矢势 3.2 磁偶极矩的势和磁场 3.3 静磁能 外磁场对电流的作用能 3.4 矢势的量子效应 3.5 静磁场边值问题 3.6 超导体的电磁性质
3.1 静磁场方程和矢势
恒定电流遵从方程 ∇⋅J = 0 ,它产生静磁场,电流和磁场的分布均与时间无关.
毕奥一萨伐尔定律
∫ B( x) = μ0 J ( x′) × r dV ′ 4π V r 3
是恒定电流激发磁场的规律.磁场方程为
(3.1)
∇× B = μ0J ，∇⋅ B = 0
(3.2)
J 一般地包括物质内的传导电流密度 Jf 和磁化电流密度 JM.由于磁场的无源性,可 引入矢势函数 A ,使
B =∇×A
(3.3)
当分布于区域V 内的电流 J(x) 处于另一电流产生的外磁场中,外场的矢势记为
Ae (x) ,则外磁场对这电流系统的作用能为
∫ Wi = J ( x) Ae ( x)dV V
(3.18)
此式没有考虑到相互作用过程引起电磁感应所产生的效果.事实上,相互作用过程
必然会引起电磁感应（见教材 P89-90，或讲稿）.因此,外磁场对磁偶极子 m 的作
外磁场对电流的作用能 设V1 内的电流分布 J1 激发的矢势为 A1 ,V2 内的电流
分布 J 2 激发的矢势为 A2 ,由(3.15),总静磁能为
∫ W = 1 2
(J1 ⋅ A1 + J 2 ⋅ A2 + J1 ⋅ A2 + J 2 ⋅ A1 )dV
V
(3.17)
被积函数中第三、四两项反映了两个电流的互作用能,而这两项是相等的.因此,
r 2 = z 2 + L2 = z 2 + x 2 + a 2 − 2xacosφ ′ = R 2cos 2θ + R 2sin 2θ + a 2 − 2Rasinθcosφ ′ = R 2 + a 2 − 2Rasinθcosφ ′
因此有
dl ′ = adφ ′ ， dl ′y = dl ′cosφ ′ = acosφ ′dφ ′
∇ 2 A = −μi J f (辅助条件 ∇ ⋅ A = 0 )
∫ ∑ ∫ A(0) = μ0 J ( x′)dV ′ = μ0
4πR V
4πR
i
I i dli = 0
Li
(3.8)
磁场的单极项 B (0) 自然亦为零,这与认为不存在磁单极的磁场散度方程 ∇ ⋅ B = 0 是
一致的.偶极项为
A(1) = μ0 m × R 4π R3
R = x 是坐标原点到场点的矢径. m 为电流系统的磁偶极矩：
在有不同介质分布时,已知电流的磁场将使介质出现磁化电流,磁化电流反过
来又激发磁场,而磁化电流通常不能预先求出.因此,必须根据给定介质的电磁性
质和边界条件,求解磁场或势的微分方程,才能求出磁场分布.如同静电场边值问
题一样,寻找静磁场边值问题解的依据,是唯一性定理.
静磁场方程和边值关系 连续介质内的静磁场方程为
对称性.任一点的
矢势
∫ A(x) = μ0 4π
L
Idl r
′ eφ
(1)
均只有 eφ 分量,而且与坐标φ无关,即
A = Aφ (R,θ )eφ , AR = Aθ = 0
(2)
因此,任意半径 r = Rsinθ 的圆周各点上 A 值相等.故可以计算 xz 平面上 P′点的 Aφ ,
2
此处 eφ = e y , Aφ = Ay .由
B≈
μ 0 Ia 2
(B 线几乎与 z 轴平行)
(7)
2(R 2 + a 2 )3 / 2
当 R >> a ，即在远处, (5)和(6)成为
A = μ0m sinθ ；
4πR 2
BR
=
μ0m 2πR 3
cosθ
,
Bθ
=
μ0m 4πR 3
sinθ
,
Bφ = 0
(8)
这是电流圈的磁矩 m = Iπa 2e z (其值为 m = Iπa 2 )在远处产生的矢势和磁场.B 写成矢
A → A′ = A + ∇ψ
仍有
∇ × A′ = ∇ × (A + ∇ψ ) = ∇ × A = B
可见有任意多个矢势 A 可以描述同一个 B 场.原因在于作为矢量场的 A ,只由(3.3) 式给出它的旋度,没有限定其散度 ∇ ⋅ A ,故 A 未确定.对 ∇ ⋅ A 的每一种选择称为一种 规范.
为 en × (M 2 − M1 ) = α M ，故第二个边值关系与 en × (B2 − B1 ) = μ0 (α f + α M ) 等价, α f 是界
面的传导电流面密度,αM 是磁化电流面密度.在非导电介质的分界面上,一般有
αf = 0.
6
矢势的微分方程和边值关系 当介质是分区线性均匀的,则在区域 i 内, B = μi H ,由(3.12)的第一式和 B = ∇ × A ,此区域内矢势的方程为
B = μ0H .磁场一般地分布于全空间,因此总磁能是磁场分布的所有区域内能量之
和,即总能量一般地由积分
∫ W = 1B ⋅ HdV ∞2
给出.由 ∇ × H = J f 及 B = ∇ × A ,下述积分
(3.15)
∫ W
=
V
1 2
J
f
⋅ AdV
也可给出总磁能,积分只需遍及电流分布区域.
(3.16)
(3.5)
它在无界空间中的解为
∫ A(x) = μ0
J
(
x
′) dV
′
4π V r
(3.6)
r 是电流分布点 x′ 到场点 x 的距离,积分遍及电流分布区域V .其中已把无穷远处
选择为 A 的零值参考点.这积分意味着矢势 A 与静电势ϕ一样遵从叠加原理.对(3.5)
求场点的旋度,即给出毕奥一萨伐尔定律(3.1)式.只要给定电流分布函数 J (x′) ,由
∫ ∫ Aφ
(P′)
=
μ0I 4π
dl ′y = μ0 Ia L r 4π