可交换矩阵的几个充要条件及其性质

可交换矩阵的几个充要条件及其性质

在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB 有意义时,矩阵BA 未必有意义,即使AB ,BA 都有意义时它们也不一定相等.但是当A ,B 满足一定条件是,就有BA AB =,此时也称A 与B 是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n 阶实方阵.

§1 矩阵可交换成立的几个充分条件

定理1.1(1)设A ,B 至少有一个为零矩阵,则A ,B 可交换;

(2)设A ,B 至少有一个为单位矩阵,则A ,B 可交换;

(3)设A ,B 至少有一个为数量矩阵,则A ,B 可交换;

(4)设A ,B 均为对角矩阵,则A ,B 可交换;

(5)设A ,B 均为准对角矩阵,则A ,B 可交换;

(6)设*A 是A 的伴随矩阵,则A 与*A 可交换;

(7)设A 可逆,则A 与1-A 可交换;

(8)设E AB =,则A ,B 可交换.

证 (1)对任意矩阵A ,均有OA AO =,O 表示零距阵,所以A ,B 至少有一个为零矩阵时,A ,B 可交换;

(2)对任意矩阵A ,均有EA AE =,E 表示单位矩阵，所以A ,B 至少有一个为单位矩阵时,A ,B 可交换;

(3)对任意矩阵A ,均有A kE kE A )()(=,k 为任意实数,则)(kE 为数量矩阵,所以A ,B 至少有一个为数量矩阵时,A ,B 可交换;

(4),(5)显然成立; (6)A A E A AA **==,所以矩阵A 与其伴随矩阵可交换;

(7)A A E AA 11--==,所以矩阵A 与其逆矩阵可交换;

(8)当E AB =时,A ,B 均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A ,B 可交换. 定理1.2(1)设B A AB βα+=,其中α,β为非零实数, 则A ,B 可交换,

(2)设E AB A m =+α,其中m 为正整数,α为非零实数,则A ,B 可交换.

证 (1)由B A AB βα+=可得E E B E A αβαβ=--))((,即

E E B E A =--))((1αβαβ,故依定理 1.1(8)得E E A E B =--))((1βααβ,于是E E B A BA αβαββα=+--,所以

AB B A BA =+=βα;

(2)由E AB A m =+α得E B A A m =+-)(1α,故依定理1.1(8)得E A B A m =+-)(1α,于是E BA A m =+α,所以可得BA AB =.

定理1.3(1)设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则A ,B 可交换;

(2)设A ,B 均可逆,若对任意实数k ,均有B kE A A )(-=,则A ,B 可交换. 证 (1)若O AB =,由A 可逆得O AB A B A A B ===--)()(11,从而O BA =,故BA AB =; 若AB A =,同理可得E AB A B A A B ===--)()(11,故BA AB =;

若BA A =,则E A BA AA B B ===--11)()(,故BA AB =.

(2)因A ,B 均可逆,故由B kE A A )(-=得kE A -可逆,且A kE A B 1)(--=,则

,))(())((])[()(])[(])[(''1

''''1'''''1

'''''1'''A B kE A kE A A B kE A kA A A B kE A A kE A B A kE A B kE A B A =--=--=--=--=----

两边取转置可得BA AB =.或由

,)

(])[()()()

()(])[(])[(111112*********--------------=--=--=--=--=A B kE A A kE A B kE A kA A B kE A A kE A B A kE A B kE A B A

两边取逆可得BA AB =.

§2 矩阵可交换成立的几个充要条件

定理2.1下列均是A ,B 可交换的充要条件:

(1)***)(B A AB =;

(2)''')(B A AB =;

(3)))(())((22B A B A B A B A B A +-=-+=-;

(4)2222)(B AB A B A +±=±.

证 (1))⇐因为***)(B A AB =,两边同时取伴随矩阵可得BA AB =; )⇒因为BA AB =,两边同时取伴随矩阵可得***)(B A AB =;

(2))⇐因为''')(B A AB =,两边取转置可得BA AB =;

)⇒因为BA AB =,两边取转置可得''')(B A AB =;

(3))⇐因为22))((B BA AB A B A B A -+-=-+,))((22B A B A B A -+=-, 所以BA AB =;

同理由22))((B BA AB A B A B A --+=+-,可证BA AB =,

)⇒因为BA AB =,且22))((B BA AB A B A B A -+-=-+,

所以))((22B A B A B A -+=-;

同理由22))((B BA AB A B A B A --+=+-,可证))((22B A B A B A -+=-;

(4))⇐因为222)(B BA AB A B A -±±=±,又由条件知2222)(B AB A B A +±=±,所以BA AB =;

)⇒因为BA AB =,222)(B BA AB A B A -±±=±,所以2222)(B AB A B A +±=±; 定理2.2可逆矩阵A ,B 可交换的充要条件是111)(---=B A AB . 证 )⇐因为111)(---=B A AB ,两边取逆可得BA AB =;

)⇒因为BA AB =,两边取逆可得111)(---=B A AB ;

定理 2.3(1)设A ,B 均为(反)对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵;

(2)设A ,B 有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.

证 (1)设A ,B 均为对称矩阵,由定理 2.1(2)AB B A AB ==''')(,因此AB 为对称矩阵;

若A ,B 均为反对称矩阵,则AB B A B A AB =--==))(()(''',因此AB 也为对称矩阵.