可交换矩阵的几个充要条件及其性质

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矩阵可交换性的应用讲解

2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用学号：11404111姓名：郭冬冬班级：数学1101指导教师：闫慧凰专业：数学与应用数学系别：数学系完成时间：2014年4月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。

所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。

指导教师签名：时间摘要矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。

关键词：矩阵；可交换目录1.绪论 (1)2.基础知识 (1)2.1 矩阵相关概念 (1)2.2 线性变换相关概念 (2)3.矩阵可交换的应用 (3)3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 (3)3.2上三角矩阵可交换的应用 (4)矩阵可交换性的应用11404111 郭冬冬数学与应用数学指导教师闫慧凰1.绪论随着社会经济的发展，数学显得格外重要，在生产、生活中都或多或少的涉及到了数学，所以数学是每个人必须学会的，而对于一些技术分子则不仅仅是掌握基本的数学知识，而且要对数学中的一些比较高深的内容进行进一步的了解，之后对其进行应用，像从事计算科学、无线电技术和卫星通信领域工作的人都涉及到了矩阵的可交换方面的知识。

交换矩阵

A
=
1 2
2 3
的可交换矩阵。
解：设矩阵
B
a c
b d
为
A
的可交换矩阵。则有
AB
BA.
AB
=
1 2
2a
3
c
b d
a 2c 2a 3c
b 2d 2b 3d
C
a b 1 2 a 2b 2a 3b
BA
c
d
2
3
c
2d
2c
3d
D
a 2 a 2b
dn1
d1n
。
dnn
显然有 C D 。（3） AB 与 BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是不一样。
比如说：矩阵
A
=
2 1
1 1
，
B
=
1 1
2 2
。
AB
=
2 1
1 1 1 1
2 3 2 2
6 4
=
C
；
但是
BA
=
1 1
2 2 2 1
1 1
4 4
3 3
=
D
。显然
C
定理 6： ( A B)2 A2 2AB B2 ；证明：充分性 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2
又 ( A B)2 A2 2AB B2 ，从而 AB BA 2AB 即 AB BA；必要性：若 AB BA 则 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 A2 2AB B2 ，必要性得证。定理 7： (AB) AB ；证明：充分性由题知 (AB) AB ，又因为 (BA) AB ，

与矩阵A可交换的全体矩阵的性质

第３５卷第７期
（自然科学版）
Ｖｏｌ．３５Ｎｏ．７
２０１９年７月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｂｅｉＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｊｕｌ．２０１９
与矩阵犃可交换的全体矩阵的性质
丁晓业１，李红菊１，何健２
（１．安徽新华学院通识教育部，安徽合肥２３００８８；２．吉首大学数学系，湖南吉首４１６０００）
摘要：目的针对一些满足特殊条件的可交换矩阵，研究与矩阵犃可交换的全体矩阵的性质。方法从
可交换矩阵的概念出发，给出矩阵可交换的条件。再通过一些特殊的矩阵，利用可交换矩阵的定义和矩阵的乘
犫２１
犫２２
… 犫１狀燄
…
犫２狀
，则称矩阵（犮犻犼）犿×狀
燀犪犿１犪犿２ … 犪犿狊燅
燀犫狊１犫狊２ … 犫狊狀燅
来稿日期：２０１８０７１１基金项目：安徽新华学院校级重点教研项目（２０１６ｊｙ００８）作者简介：丁晓业（１９９０），男，安徽省合肥市人，硕士，助教，研究方向为代数学与矩阵理论。
·１·
２０１９年７月河北北方学院学报（自然科学版）第７期
为矩阵犃与矩阵犅的乘积矩阵。记作犃犅，即犃犅＝（犮犻犼）犿×狀，其中犮犻犼＝犪犻１犫１犼＋犪犻２犫２犼＋ … ＋犪犻狊犫狊犼＝
狊
∑犪犻犽犫犽犼（犻＝１，２，…，犿；犼＝１，２，…，狀）。乘积矩阵犃犅读作犃左乘犅或右乘犃。
般地，矩阵的乘法不满足交换律，即犃犅 ≠ 犅犃。但是在某些特殊情况下，矩阵的乘法也满足交换律，即

矩阵可交换性质

矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。

(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称：指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。

在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。

但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中指导教师：内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB BA.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an importantcontent inaltitude-mathematics,it has agreattheoretic significanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefields.Asfaraswehaveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunderthenormal condition,thatis tosay,normally, AB BA.Whereas, insomecertainconditions, the multiplication of matrix couldsatisfy the exchange rule. Theexchangeable matrixhasmanyspecial properties and important effections. This paperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyof theexchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeablematrix.All of thesearediscussed from the conceptof exchangeable matrix and relativeinformation.KeyWords：matrix interchangeable conditions property upper triangularmatrix目录引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 一可交换矩阵及相关定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1(一)矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1(二)可交换矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 二可交换矩阵成立的条件与性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3(一)可交换矩阵成立的条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3(二)相关结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5(三)可交换矩阵的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 三几类常用的可交换矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 四可交换矩阵的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 五总结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10可交换矩阵成立的条件与性质引言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义㈠矩阵1、矩阵的定义由m n个数a ij i1,2,,m,j1,2, ,n 排成的m行n列的数表a11 a12a1na21 a22 a2nA1a n1 a n2a nn称为m行n列矩阵，简称m n矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为A a ij或A mn．这里的a ij表示位于A的第i行第j列的元素.m n称为矩阵的阶数.矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O.两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.2、矩阵的运算1加减法设Aa ij mn,Bbij mn为同型矩阵，则A B a ij b ij mn 2这里若设B为B的负矩阵，即 B bij m n，则可以定义减法运算A B a ijb ij mn 32数与矩阵的乘积设A a ijmn,kR为实数，则kA称为矩阵A的数乘，且kAka ijmn 4 即给A的每个元素均乘以数k.3矩阵的乘积设A aijm5,B bij5n，则ABCc ijmn 5 称c为矩阵A与矩阵B的乘积.其中c ij a i1b1j a i2b2j a i5b5j i 1,2, ,m;j 1,2, ,n即C的第i行第j列元素为A的第i行各元素与B的第j列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A的行数与B的列数相等时，A与B才能相乘．4对称矩阵在一个n阶方阵A中，若元素满足如下性质：A ij A ji,0i,jn1 6 则称A为对称矩阵.5反对称矩阵设A是一个n阶方阵，如果A T A 7 则称A为反对称矩阵.㈡可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点： 1. AB 有意义时，BA 不一定有意义.2. AB 与BA 均有意义时，可能它们的阶数不相等.3.AB 与BA 均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现 ABBA.因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵A,B 满足：ABBA8则称矩阵A 和B 是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若AB BA 成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵.设fxa m x ma m1x m1a 1x 1a 09 系数a 0,a 1, ,a m 均为数域P 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记faaA mam1 A m1aAa Em1 0容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵 A *是可交换的，且二者的乘积为 AIn;对于任何方阵A ，fx a A PaA P1a p I 与gAbA qb A q1 bI 可交换. 011 q (一)可交换矩阵成立的条件定理1[1]设n 阶方阵A,B 满足条件A BAB.则A,B 可交换. 证明由条件A BAB,diage 1,e nI ，变形可得I AIBAB(AI)B(IA)(AI)(B I)即(A I)(B I) I ，所以A I 为可逆矩阵，其逆矩阵为 BI ，有(AI)(BI) (BI)(AI)I即ABABI BABAI ，从而可得AB BA.定理2[3]设A,B 均为对称矩阵，则A,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵. 证明设A,B 均为对称矩阵，由于AB BA ，故AB TB T A TBAAB 所以AB 是对称的.推论设A为n阶对称矩阵，则A,A T都可交换.定理3[3]设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.证明设A T A，B T B,由于AB BA,所以AB T B T A T BA AB 10所以AB为反对称矩阵.反之，若AB为反对称矩阵,则AB AB T B T A T BA11 从而ABBA.定理4[3]设A,B均为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵．证明因A,B均为反对称矩阵，故有A T A，B T B，又因为A,B可交换，故有ABBA成立.从而AB T B T A T B A AB BA 12 反之，若AB为对称矩阵，则AB AB T B T A T B A BA AB 13 所以A,B是可交换矩阵.定理５[3]若A,B为同阶可逆矩阵，则A,B可交换的充要条件是A1,B 1可交换.证明因AB BA,故有AB1BA1B1A1A1B 114 即A1与B1是可交换的.反之，因A 1，B1可交换，故有BA1A1B1B1A1AB 115 两边求逆得到ABBA.推论可逆矩阵A,B可交换的充要条件是AB1B1A1.定理6[3]若A,B为n阶方阵，则AB可交换的条件是AB T A T B T证明如果ABBA，那么AB T BA T A T B T精品文档精品文档定理7[5]矩阵A能与一切n阶矩阵可交换的充分必要条件是A为数量矩阵.证明若A与一切n阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A必为一对角线矩阵.设d1d2A ..d n取矩阵1 1 . . 10 0 . . 0B . . . . 0. . . . .0 0 . . 0代入条件AB BA,得d1d2d n，所以A是一个数量矩阵.反之，设A aI,B为任意n阶矩阵，则AB aIB aB Ba BIa BIa BA 16引理1(1)A0时（即A为零矩阵时），与A可交换得矩阵B可以是任意的与A同价的B矩阵.(2)A的幂矩阵总是与A可交换.定理8[7]与A可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n1次的多项式矩阵.定理9[7]一个矩阵A化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A可交换的矩阵其充要条件为B可化为A的n1次多项式.定理10[7]下列均是A,B可交换的充要条件:(1)A B ABABABAB(2)AB'A'B'定理11[5]可逆矩阵A,B可交换的充要条件是：ABAB．定理12[7](1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵．(2)设A,B有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.(二)相关结论定理13[7]设A,B是可交换矩阵，则以下结论成立：(1)A2B2 A B A B A B A B(2)AB(3)AB 2A 2 2AB B22A 2 2AB B2精品文档(4) AB K B K A K,AB m B m A，其中k,m分别为正整数A mB m ABA m1A m2B B m1B m m(5) A C m k A mk B kk0证明(1) 因为A B A B A2AB BA B2A B A B A2AB BA B2由已知AB BA，可得A2B2ABAB ABAB(2) A B2ABA B A2ABBAB2由已知AB BA，可得A B2A22AB B2同理可得：A B2A22AB B2(3)由已知ABBA,可得AB k ABAB AB AABB AB AA AB B A k B k,AB m ABB B BAB B BB BA B m A(4)运用数学归纳法①当m 2时，由（1）等式成立，即A2B2 A B A B②假设m k 1时，等式成立，即有A k1B k1AB A k2 A k3BB k2③当m k时，由已知AB BA，有A kB k A k1B k1ABA k1B B k1AABA k2A k3B B k2ABA k2BB k1AA k A k1B A2B k2 B2A k2 B3A k3 B3A k1BB k1A由性质有B k1AAB k1，A k1BBA k1因此，上式可转化为：A kB k A k A k1B A2B k2 B2A k2 B k A k1BB k1AA k A k1B A2B k2 AB k1BA k1-B2A k2 B3A k3 B k 精品文档ABA k1A k2B B k1A k1ABA k2BAB B k1AB即证得A mB m A BA m1A m2B B m1同理可证得A mB m A m1A m2B B m1 A B(5)对m用数学归纳法同（4）即可得证.(三)可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.[2]性质1 设A,B可交换,则有:(1)ABBA,BAAB,其中m,k都是正整数(2)AfBfBA,其中fB是B的多项式,即A与B的多项式可交换(3) A BA BAAB？B AAB?BABB m m(4) A C m k A m1B kk0性质2[4](矩阵二项式定理) 设A,B可交换,则有：(1)若A,B均为对合矩阵,则AB也为对合矩阵(2)若A,B均为幂等矩阵,则AB,A B AB也为幂等矩阵(3)若A,B均为幂幺矩阵,则AB也为幂幺矩阵(4)若A,B均为幂零矩阵,则AB,A B均为幂零矩阵.三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为n阶实方阵，定理14[7]（1）设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换(2)设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换(3)设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换(4)设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换(5)设A,B均为准对角矩阵,则A,B可交换精品文档(6)设A*是A的伴随矩阵,则A*与A可交换(7)设A可逆,则A与A可交换(8) 设AB E,则A,B可交换.定理15[7](1) 设AB AB,其中, 为非零实数,则A,B可交换(2) 设Am ABE,其中m为正整数, 为非零实数,则A,B可交换.定理16[7](1) 设A可逆,若ABO或A AB或A BA,则A,B可交换(2) 设A,B均可逆,若对任意实数ｋ,均有AA kEB,则A,B可交换.四、可交换矩阵的应用例1设A与所有的n阶矩阵均可交换，证明A一定是数量矩阵.证明记a ijnn，用E ij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的n n矩阵.因A与任何矩阵均可交换，因此必与E ij可交换.由AE ij E ij A,得a ii a jj i,j 1,2, ,n及a ij0i j,i,j 1,2, ,n.故A是数量矩阵.例2与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？解不妨设B为可逆矩阵，由于AB BA，所以对于任意可逆阵B都有B 1AB A即A的任意线性变换仍是A自己，这样的矩阵只能是KI．例3 如果矩阵A与所有的n阶矩阵可交换，则A一定是数量矩阵，即 A aE．证明记A ij用E ij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A与任何矩阵均可交换，所以必与E可交换.由AE ij E ij A得a ji a ij（i j 1,2,3, n 及a ij0i不等于j）故A是数量矩阵．例4若矩阵A1,A2都与B可交换，则KA1 LA2,A1A2也都与B可交换.解由已知A1B BA1，A2B BA2，那么KA1LA2B KA1B LA2B BKA1 BLA2 BKA1 LA2A1A2B A1A2B A1BA2A1BA2BA1A2．精品文档例 5 A与B可交换（即AB BA)的充分必要条件是AB为对称矩阵（即AB T AB）．解题目根本就是错的，A取单位阵，B取任意非对称阵，那么AB非对称但ABBA．一定要加一个条件A和B本身都是对称阵才有结论.若ABBA，则AB T BA T A T B T AB.反之，若AB T AB，则AB B T A T BA．例6设A,B为乘积可交换的n阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n阶可逆矩阵P,使得都为对角矩阵.证明在V中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为A,B,且A,B 与对角形相似.例7所有与A可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.解一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如A B2A22AB B2A和B可交换.A B AB A2B2A和B可交换.A和B 可交换(不是!)有二项公式.例8(1)设矩阵A diaga1,a2, ,a n为对角矩阵，其中ij 时，a i a j i,j1,2, ,n,则A,B可交换的充要条件是B为对角矩阵.若A,B均为对角矩阵则，A,B可交换．若B与A diaga1,a2,,a n可交换，i不等于j 时，a i a j，（i,j 1,2,n），证明设Bb ijnn,AB C ij nn,BA d ij n n，因为A为对角矩阵，故c ij a i b ij,d ij a j b ij i,j 1,2,,n由AB BA,即c ij d ij i,j 1,2,,n得a i a jb ij 0而i j时，a i a j0i,j 1,2, ,n,精品文档故b ij0i j,i,j 1,2, ,n所以B为对角矩阵．五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．参考文献[1].北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007:181-186.[2]. 戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002(04)[3].阎家灏，赵锡英，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报2002(03)[4].戴笠辉、颜七笙，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)[5].李瑞娟、张厚超，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，2010,24(5)[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C的显式解及其应用》，2002致谢本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨精品文档向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表!课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.精品文档。

矩阵可交换成立的条件与性质

毕业设计（论文）题目矩阵可交换成立的条件与性质学院理学院专业数学与应用数学年级 2008级班级 0814 姓名吴锦娜学号 2008530088 指导教师李伟职称副教授矩阵可交换成立的条件与性质[摘要］矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，BAAB ．但是,在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵．[关键词］矩阵可交换条件性质应用The Conditions for The Commutation of Matrix and Its Some Properties［Abstract] Matrix， a important content in altitude－mathematics， has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field。

As far as we have concerned，the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally，AB≠BA。

Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule。

The exchangeable matrix has many special properties and important effection。

一类上三角形矩阵可交换的充要条件

一类上三角形矩阵可交换的充要条件
高丽
【期刊名称】《滨州师专学报》
【年(卷),期】2000(016)004
【摘要】经了一类上三角形矩阵可交换的充要条件，并由此得到了求其逆矩阵的一种简便方法，且证明了该类矩阵不可对角化。

【总页数】3页(P31-33)
【作者】高丽
【作者单位】滨州师范专科学校，山东滨州256604
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.MIMO连续系统中可交换矩阵的充要条件 [J], 郭树理;段志生;黄琳
2.矩阵可交换的充要条件 [J], 金辉
3.矩阵可交换的充要条件 [J], 尹克瑞
4.论矩阵可交换的充要条件 [J], 钱微微;蔡耀志
5.整数环上一类三阶矩阵方程有解的充要条件 [J], 黎洪键
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论矩阵可交换的充要条件_钱微微

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
COLL E GE MA T H EMA TICS
Vol . 23 , №. 5 Oct . 2007
论矩阵可交换的充要条件
钱微微1 , 蔡耀志2
(1. 浙江中医药大学 ,杭州 310053 ; 2. 浙江大学 ,杭州 310027)
[ 摘要 ] 从分析二阶矩阵可交换的情况出发 ,推测出一般矩阵可交换的充要条件 ,通过将矩阵 A 化成约当标准型后的不同情形 ,可最后证明若 A 矩阵中没有纯量阵的对角块 ,那么与它可交换的矩阵 B 必可表示为 A 矩阵的 n - 1 次多项式 ,其中 n 为 A 矩阵的阶数.
B = p0 In + p1 A + …+ pn - 1 An - 1 .
它实质上是一个 p0 , p1 , …, pn - 1 作为未知数的线性方程组. 其系数矩阵正好是一个范得蒙行列式. 当 ai
互不相同时 ,该系数行列式不为零 ,所以可求得 pi , i = 0 ,1 ,2 , …, n - 1 是唯一解. 故引理的结论得证.
145
定理 2 一个矩阵 A 化成约当标准型 J 后 ,若 J 中没有纯量矩阵的约当块 J c ,那么与 A 可交换的 B 矩阵其充要条件为 B 可以化成 A 的 n - 1 次多项式 ,即
B = Pn - 1 ( A) = p0 I + p1 A + p2 A2 + …+ pn - 1 An - 1 . 证对于与 A 可交换的 B 矩阵应满足的方程 AB = BA 中 ,若将 A 化成约当标准型 A = P- 1 J P ,其中 P 为满秩阵 J 为标准型. 将 A 代入上面方程 ,得

矩阵的交换律

矩阵的交换律矩阵的交换律在线性代数中是一个非常基本的性质，是指两个矩阵在相乘的时候可以交换位置而不影响乘积的结果。

具体来说，对于任意两个矩阵A和B，都有AB=BA。

为什么矩阵的交换律成立？要理解矩阵的交换律成立的原因，需要先了解矩阵乘法的本质。

矩阵乘法是一种定义在向量空间上的运算，它的本质是将一个向量通过一个线性变换映射到另一个向量空间中。

矩阵A与矩阵B相乘，实际上是将矩阵B作为变换矩阵，对矩阵A中的每一列向量进行变换，得到新的矩阵C。

由于矩阵乘法的本质是向量空间中的线性变换，而线性变换有一个非常显然的性质——线性性。

具体来说，一个线性变换在加法和数乘运算下满足：1.对于任意向量v，f(v+w)=f(v)+f(w)；2.对于任意向量v和标量k，f(kv)=kf(v)。

这个性质可以被等价地表述为：1.线性变换将向量的线性组合映射到其线性组合的和上；2.线性变换将标量倍数和向量的映射次序进行保持不变。

我们再来看矩阵的乘法。

对于两个矩阵A和B相乘的结果C，假设A有m行n列，B有n行p列，则有：Cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj可以发现这个式子具有线性性质，即Cij的值是aikbkj的线性组合。

因此，矩阵乘法实际上是把B看成了一个线性变换，将A中的各列向量映射到新的向量C中。

既然矩阵乘法是一个线性变换，那么两个矩阵是否具有交换律就取决于它们对应的变换是否具有交换律了。

如果两个变换是可交换的，那么它们所对应的矩阵也具有交换律。

对于线性变换的交换律，我们可以通过证明它们对矩阵的乘法是否具有交换律来证明。

假设有两个线性变换f和g，分别对应两个矩阵A和B，那么它们的相乘结果可以表示为：fg(x)=f(g(x))，其中x是一个向量。

换句话说，先进行g变换再进行f变换，等价于先进行f变换再进行g变换。

这告诉我们，如果f和g是可交换的，它们对应的矩阵A 和B也是可交换的。

因此，我们可以得出结论：只要两个矩阵对应的线性变换是可交换的，这两个矩阵就满足乘法交换律。

(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称:指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正,能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。

在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范.但对参考书目及参考文献的依赖性太大,应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中指导教师:内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容,在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义。

众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的,即在通常情况下，BAAB≠。

但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用。

本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an important content in altitude—mathematics，it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields。

As far as we have concerned， the multiplication of matrix could not satisfy the exchange ruleAB≠. Whereas, in some certain under the normal condition, that is to say, normally，BAconditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections。

矩阵的运算矩阵的性质特殊矩阵实对称矩阵二次型欧几里里得空间RnR

个标准正交基
欧几几里里里得空间Rn
正交向量量组（两两正交）正交基标准正交基
二二次型
性质规范形
只含平方方项平方方项系数为1/0/-1 对一一个实二二次型是惟一一的（惯性定理理）正惯性指数-负惯性指数=符号差正惯性指数+负惯性指数=二二次型的秩求法合同规范形对标准形再作一一次非非退化线性替换（系数绝对值开方方）相应对⻆角矩阵对⻆角元按照1,-1,0排列列，称合同规范形对于任意列列向量量X都有X’AX>0 充要：合同于In 定义正定二二次型充要：正惯性指数=n 充要：合同规范形为In 相应A为正定矩阵（一一定是实对称矩阵）充要：特征值全大大于零充要：A的所有顺序主子子式全大大于零 A正定，则A’,A,A*均正定判定
从任意一一组基出发经施密特正交化、单位化得到等价的正交单位向量量组
正惯性指数相等
求标准形
矩阵的成对初等行行行列列变换法求特征值法
(A,B)=(A,B’)行行行向量量标准内积 (C,D)=(C’,D)列列向量量正交（内积=0）
有多种，但系数中正、负、零的数量量相同对于实二二次型而而言言
n 充要条件：行行行／列列向量量组是R 一一
特征值均为实数属于不不同特征值的特征向量量是正交的正交相似于对⻆角矩阵(T.inv*A*T=D) T是正交矩阵，将特征向量量正交化、单位化垒成T 矩阵表示 A二二次型的矩阵（对称矩阵） X是X1,X2...Xn构成的列列向量量 f(X1,X2...Xn)=X’AX X’AX===>Y’BY两二二次型等价 B=C’AC 等价 X=CY C是数域K上的n级可逆矩阵。作从变量量X1,X2...Xn到Y1,Y2...Yn的非非退化（det(C)!=0）线性替换矩阵A、B合同A 二二次型的秩即方方阵A的秩

可交换矩阵浅析

= a22 ， b11 = b22 ，所以 AB = BA 。
′ −1 −1 A′B′ = ⎡( A − kE ) B ⎤′ ⎡( A − kE ) A⎤ = B′ ( A − kE )′ A′ [ ( A − kE )′] = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1 −1 B′( A2 − kA)′ [ ( A − kE )′] = B′ [ ( A − kE ) A]′ [ ( A − kE )′] = B′A′ = ( AB)′ 。
[3]
ai ≠ a j (i ≠ j ) ，
B = ( bij ) n×n (i, j = 1, 2,L , n) ，因 AB = BA ，得到元素 ai ·bij = bij ·a j = a j ·bij ， ai - a j ) bij = 0， ai ≠ a j ， ( 因
199
2009 年
αβ
( A − β E )( B − α E ) = E ，故依定理 2.1 ⑥ 得： 1 ( B − α E )
αβ
性质 4.2 与主对角线上的元素互不相等的 n 阶对角阵 A 可交换
( A − β E ) = E ，于是 BA − α A − β B + αβ E = αβ E ，故 BA = α A +
两边取转置得 AB = BA 。或由 A−1 B −1 = ⎡( A − kE ) B ⎤ ⎣ ⎦
−1
−1
−1
⎡( A − kE )−1 A⎤ = B −1 ( A − kE )−1 A−1 ( A − kE ) = B ( A − kA) ⎣ ⎦
−1
2
aij ) n×n 中元素满足 aij =0， ≠ j ， i
定义 1.3 在 n 阶对角阵 A 中， a11 若

矩阵可交换的条件及其性质

中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。

矩阵可交换的条件及其性质

可交换矩阵的一个性质

时，才有这样的多项式ｇｘ，得Ｂ＝（）（）使ｇＡ。关键词：可交换矩阵；础解系；小多项式基最
中图分类号：１Ｏ５文献标识码：Ａ文章编号：６２１１２１）３— １７一１１７ —９６（００００４Ｏ
Ａ，Ｂ是ｎ阶方阵，Ａ若Ｂ＝Ｂ，Ａ则称ＡＢ是可交，
换的。若可交换矩阵ＡＢ＝ＢＡ：０，是否存在一个多
因为ＡＢ＝Ｂ０且秩（＝ｎ一１所以由预备Ａ：，Ａ），
知识（）知道秩（＝２可Ｂ）０或１。
项式ｇｘ，得Ｂ＝ｇＡ）（）使（Ｏ显然某些Ｂ是可以的，例如Ｂ是０矩阵，（）Ａ的最小多项式。但Ａ满足ｇｘ是什么条件时一定存在这样的多项式ｇｘ，以下我们（）
０＝（０，，）ｐ＝（ｐ，・ｐ）【仪，２… ，１ｐ，２‘ ， ‘
定理
若Ａ，Ｂ是ｎ阶方阵，秩（，…，Ａ３＝０即ＡＢＡ２１Ｉ仅）Ａ
（１Ｂ，ｐ）Ａｔ９仪，２ …，＝ｃｐ＝ＡＢ＝０
Ｊｎ２１ｕ．００
可交换矩阵的一个性质
王新玉
（南石油大学理学院，西四川成都６００）１５０
摘要：本文讨论可交换矩阵Ａ，Ｂ在ＡＢ＝ＢＡ＝０的情况下，否存在一个多项式ｇｘ，得Ｂ＝（）以及Ａ满足什么条件是（）使ｇＡ，

(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。

但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中指导教师：内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多BA特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an important content in altitude-mathematics,it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule underAB≠. Whereas, in some certain the normal condition, that is to say, normally, BAconditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.Key Words：matrix interchangeable conditions property upper triangular matrix目录引言 (1)一可交换矩阵及相关定义 (1)(一)矩阵 (1)(二)可交换矩阵 (3)二可交换矩阵成立的条件与性质 (3)(一)可交换矩阵成立的条件 (3)(二)相关结论 (5)(三)可交换矩阵的性质 (7)三几类常用的可交换矩阵 (7)四可交换矩阵的应用 (8)五总结 (10)参考文献 (10)致谢 (10)可交换矩阵成立的条件与性质引言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义㈠矩阵1、矩阵的定义由m n ⨯个数ij a ()n j m i ,,2,1,,,2,1 ==排成的m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ()1 称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为()ij a A =或n m A ⨯．这里的ij a 表示位于A 的第i 行第j 列的元素.n m ⨯称为矩阵的阶数.矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O .两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.2、矩阵的运算()1加减法设()()n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==,为同型矩阵，则()nm ij ij b a B A ⨯+=+ ()2 这里若设B -为B 的负矩阵，即()n m ij b B ⨯-=-，则可以定义减法运算()n m ij ij b a B A ⨯-=-()3 ()2数与矩阵的乘积设()R k a A n m ij ∈=⨯,为实数，则kA 称为矩阵A 的数乘，且()n m ij ka kA ⨯=()4 即给A 的每个元素均乘以数k .()3矩阵的乘积设()()n ij m ij b B a A ⨯⨯==55,，则()n m ij c C AB ⨯==()5 称c 为矩阵A 与矩阵B 的乘积.其中()n j m i b a b a b a c j i j i j i ij ,,2,1;,,2,1552211 ==+++=即C 的第i 行第j 列元素为A 的第i 行各元素与B 的第j 列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A 的行数与B 的列数相等时，A 与B 才能相乘．()4对称矩阵在一个n 阶方阵A 中，若元素满足如下性质：1,0,-<<=n j i A A ji ij()6 则称A 为对称矩阵.()5反对称矩阵设A 是一个n 阶方阵，如果A A T -=()7则称A 为反对称矩阵.㈡可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：1.AB 有意义时，BA 不一定有意义.2.AB 与BA 均有意义时，可能它们的阶数不相等.3.AB 与BA 均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现BA AB ≠.因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵B A ,满足：BA AB = ()8则称矩阵A 和B 是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若BA AB =成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵.设()01111a x a x a x a x f m m m m ++++=-- ()9 系数m a a a ,,,10 均为数域P 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记()E a A a A a A a a f m m m m 0111++++=--容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵*A 是可交换的，且二者的乘积为n AI ;对于任何方阵A ，()I a A a A a x f p P P +++=- 110与()I b A b A b A g q q q +++=- 110可交换.(一) 可交换矩阵成立的条件定理1[1] 设n 阶方阵B A ,满足条件AB B A =+.则B A ,可交换.证明由条件AB B A =+,[]I e e diag n = ,1，变形可得)()(A I B I A AB B I A I -+-=-+-=-))((I B I A ---=即I I B I A =--))((，所以I A -为可逆矩阵，其逆矩阵为I B -，有I I A I B I B I A =--=--))(())(( 即I A B BA I B A AB +--=+--，从而可得BA AB =.定理2[3] 设B A ,均为对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵. 证明设B A ,均为对称矩阵，由于BA AB =，故()AB BA A B AB T T T=== 所以AB 是对称的.反之，由于()AB AB T =，所以()BA A B AB AB T T T===，因此，B A ,可交换.推论设A 为n 阶对称矩阵，则T A A ,都可交换.定理3[3] 设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.证明设A A T -=，B B T -=,由于BA AB =,所以()()AB BA A B AB T T T -=-== ()10 所以AB 为反对称矩阵.反之，若AB 为反对称矩阵,则()11从而BA AB =.定理4[3] 设B A ,均为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．证明因B A ,均为反对称矩阵，故有A A T -=，B B T -=，又因为B A ,可交换，故有BA AB =成立.从而()()()BA AB A B A B AB T T T==--== ()12 反之，若AB 为对称矩阵，则 ()()()AB BA A B A B AB AB T T T ==--=== ()13所以B A ,是可交换矩阵.定理５[3] 若B A ,为同阶可逆矩阵，则B A ,可交换的充要条件是11,--B A 可交换. 证明因BA AB =,故有()14即1-A 与1-B 是可交换的.反之，因1-A ，1-B 可交换，故有()15 两边求逆得到BA AB =.推论可逆矩阵B A ,可交换的充要条件是()111---=A B AB .定理6[3] 若B A ,为n 阶方阵，则AB 可交换的条件是()T T TB A AB = 证明如果BA AB =，那么()()T T TT B A BA AB == 反之，若()T T T A B AB =，则()()TT T T BA A B AB ==，即BA AB =. ()()()BA A B AB AB T T T -===-()()111111------===B A BA AB A B ()()111111------===AB A B B A BA定理7[5] 矩阵A 能与一切n 阶矩阵可交换的充分必要条件是A 为数量矩阵.证明若A 与一切n 阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A 必为一对角线矩阵.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n d d d A ..21 取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0..00.....0....0..001..11B 代入条件BA AB =,得n d d d === 21，所以A 是一个数量矩阵.反之，设aI A =,B 为任意n 阶矩阵，则()()()BA Ia B a BI Ba aB B aI AB ====== ()16引理1 (1)0=A 时（即A 为零矩阵时），与A 可交换得矩阵B 可以是任意的与A 同价的B 矩阵.(2)A 的幂矩阵总是与A 可交换.定理8[ 7 ] 与A 可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于1-n 次的多项式矩阵. 定理9[ 7 ] 一个矩阵A 化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A 可交换的矩阵其充要条件为B 可化为A 的1-n 次多项式.定理10[7] 下列均是A ,B 可交换的充要条件:(1)()()()()B A B A B A B A B A +-=-+=-(2)()'''B A AB = 定理11[5] 可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是：()B A AB ⨯=．定理12[7] (1)设A ,B 均为(反) 对称矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．(2)设A ,B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.(二)相关结论定理13[7] 设A ,B 是可交换矩阵，则以下结论成立：(1)()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22(2)()2222B AB A B A ++=+ (3)()2222B AB A B A +-=-(4)()A B AB A B AB m m K K K==,，其中m k ,分别为正整数 ()()121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A(5)()k k m m k k m mB AC B A -=∑=+0 证明 (1)因为()()22B BA AB A B A B A --+=-+()()22B BA AB A B A B A -+-=-+由已知BA AB =，可得()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22(2)()()()222B BA AB A B A B A B A +++=++=+ 由已知BA AB =，可得()2222B AB A B A ++=+同理可得： ()2222B AB A B A +-=-(3)由已知BA AB =,可得 ()k k k B A B AB AA AB AABB AB ABAB AB ==== ,A B BA BB B BAB B ABB AB m m =====(4)运用数学归纳法①当2=m 时，由（1）等式成立，即()()B A B A B A +-=-22②假设1-=k m 时，等式成立，即有()()23211-----+++-=-k k k k k B B A A B A B A ③当k m =时，由已知BA AB =，有()()A B B A B A B A B A k k k k k k 1111----+-+-=-()()()A B B A B A B B A A B A k k k k k 12232-----+-++++-= A B B A B A B A B B A B A A k k k k k k k 1133322221------+-----+++= 由性质有11--=k k AB A B ，11--=k k BA B A因此，上式可转化为：A B B A B A B B A B A A B A k k k k k k k k k 1122221-----+----+++=- k k k k k k k k B A B A BA AB B A B A A ----++++=------ 332211221B -()()121---+++-=k k k B B A A B A()()()B A B B A B A B A A k k k -++-+-=---121即证得()()121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A 同理可证得()()B A B B A A B A m m m m m -+++=----121 (5)对m 用数学归纳法同（4）即可得证.(三) 可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.性质1[2] 设A ,B 可交换,则有:(1)BA AB =,AB BA =,其中m ,k 都是正整数(2)()()A B f B Af =,其中()B f 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换(3)()()()()B A B AB A B AB A B A B A -++=++-=-?？(4)()k m mk k m mB AC B A 10-=∑=+ 性质2[4](矩阵二项式定理) 设B A ,可交换,则有：(1)若B A ,均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵(2)若B A ,均为幂等矩阵,则AB B A AB -+,也为幂等矩阵(3)若B A ,均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵(4)若B A ,均为幂零矩阵,则B A AB +,均为幂零矩阵.三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为n 阶实方阵，定理14[7] （1）设B A ,至少有一个为零矩阵,则B A ,可交换(2)设B A ,至少有一个为单位矩阵, 则B A ,可交换(3)设B A ,至少有一个为数量矩阵,则B A ,可交换(4)设B A ,均为对角矩阵,则B A ,可交换(5)设B A ,均为准对角矩阵,则B A ,可交换(6)设*A 是A 的伴随矩阵,则*A 与A 可交换(7)设A 可逆,则A 与A 可交换(8)设E AB =,则B A ,可交换.定理15[7] (1)设B A AB βα+=,其中βα,为非零实数,则B A ,可交换(2)设E AB Am =+α ,其中m 为正整数,α为非零实数,则B A ,可交换.定理16[7] (1)设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则B A ,可交换(2)设B A ,均可逆,若对任意实数ｋ,均有()B kE A A -=,则B A ,可交换.四、可交换矩阵的应用例1 设A 与所有的n 阶矩阵均可交换，证明A 一定是数量矩阵.证明记()n n ij a ⨯，用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的n n ⨯矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，因此必与ij E 可交换.由A E AE ij ij =,得()n j i a a jj ii ,,2,1, ==及()n j i j i a ij ,,2,1,,0 =≠=.故A 是数量矩阵.例2 与任意一个n 阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？解不妨设B 为可逆矩阵，由于BA AB =，所以对于任意可逆阵B 都有A AB B =-1即A 的任意线性变换仍是A 自己，这样的矩阵只能是KI ．例3 如果矩阵A 与所有的n 阶矩阵可交换，则A 一定是数量矩阵，即aE A =．证明记ij A 用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，所以必与E 可交换.由A E AE ij ij =得ij ji a a = （n j i ,3,2,1== 及0=ij a i 不等于j ）故A 是数量矩阵．例4 若矩阵21,A A 都与B 可交换，则2121,A A LA KA +也都与B 可交换.解由已知11BA B A =，22BA B A =，那么()()21212121LA KA B BLA BKA B LA B KA B LA KA +=+=+=+()()()()2121212121A A B A B A BA A B A A B A A ====．例5 A 与B 可交换（即BA AB =)的充分必要条件是AB 为对称矩阵（即()AB AB T =）．解题目根本就是错的，A 取单位阵，B 取任意非对称阵，那么AB 非对称但BA AB =．一定要加一个条件A 和B 本身都是对称阵才有结论.若BA AB =，则()()AB B A BA AB T T TT ===.反之，若()AB AB T =，则 BA A B AB T T ==．例6 设A ,B 为乘积可交换的n 阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n 阶可逆矩阵P ,使得都为对角矩阵.证明在V 中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为B A ,,且A ,B 与对角形相似.例7 所有与A 可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.解一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n 阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n 阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如()⇔+±=±2222B AB A B A A 和B 可交换.()()⇔-=-+22B A B A B A A 和B 可交换.A 和B 可交换⇒(不是⇔!)有二项公式.例8 (1)设矩阵()n a a a diag A ,,,21 =为对角矩阵，其中j i ≠时，()n j i a a j i ,,2,1, =≠,则B A ,可交换的充要条件是B 为对角矩阵.若B A ,均为对角矩阵则，B A ,可交换．若B 与()n a a a diag A ,,,21 =可交换，i 不等于j 时，j i a a ≠，（n j i ,2,1,=），证明设()()()n n ij n n ij n n ij d BA C AB b B ⨯⨯⨯===,,，因为A 为对角矩阵，故()n j i b a d b a c ij j ij ij i ij ,,2,1,, ===由BA AB =,即()n j i d c ij ij ,,2,1, ==得()0=-ij j i b a a而j i ≠时，(),,,2,1,0n j i a a j i =≠⋅故()n j i j i b ij ,,2,1,,0 =≠=所以B 为对角矩阵．五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．参考文献[1].北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007:181-186.[2].戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002(04)[3].阎家灏，赵锡英，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报2002(03)[4].戴笠辉、颜七笙，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)[5].李瑞娟、张厚超，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，2010,24(5)[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C 的显式解及其应用》， 2002 致谢本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表! 课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.。

可交换矩阵的性质及应用_孟献青

１性质
性质１设矩阵 A，B 可交换，且
λn
n
1
n n
n
n
n n n
λ1
n n n
n
n
A＝
n n
……
n n
n
n
n n
λ
1n n
n
n
n
n
n n
λ
， n
n
则
bn
n n
1
n
n
n
n
B
＝
n n
n
n
n
n
n
n
n
b2 b3 … b1 b2 …
…… b1
bn
n
n n
bn
n－1
n n
n
n
n
n
bn
2
n n
n
b1
。 n
λ I ≠
≠ ≠
1 n1
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≠
T－1AT＝
≠ ≠ ≠
≠
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λ2In2
…
≠
≠
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≠
≠
≠
λI ≠
s
ns
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收稿日期：2012－12－12
基金项目：山西省高等学校科技研究开发项目[20121015]
作者简介：孟献青（1979－），女，山西怀仁人，硕士，讲师，研究方向：图论与高等数学。
组基，在此基下 A，B 对应的线性变换 A，B 的矩
阵分别为
2 2 2 2 λ α
μβ
A1 ＝ 0 Α2 B1 ＝ 0 B2 ，