数学建模

一、 问题重述

为向灾区空投救灾物资共2000kg ，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m ，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s 。降落伞面为半径r 的半球面，用每根长 L, 共16根绳索连接的载重m 的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由3部分组成。伞面价格C 1由伞的半径r 决定，见表1；绳索费用

C 2由绳索总长度及单价4元/米决定；其他费用C 3固定为200元。

表1

降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力Ff ，可以认为与降落速度v 和伞的受力面积s 的乘积成正比。为了确定阻力系数k ，用半径r=3m 、载重m=300kg 的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各时刻的高度h ，见表2。 表2

试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径r

为多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使总费用最低。

综合以上，在考虑情况一的时候有

二 问题分析

由题意可知每个伞的价格由三部分组成：伞面费用C 1、绳索费用C 2、固定费

用C 3。伞面费用由伞的半径r 决定；绳索费用C 2由绳索的长度L 及单价决定，

由图一可 知绳索的长度又由降落伞的半径决定即r L 2 ；固定费用为定值200。因为题中已给出每种伞面的半径，所以每种伞的价格为定值。要想确定选购方案，即共需半径（在题中给出的半径中选择）为多大的伞的数量，在满足空投物资要求的条件下使总费用最少。

这是一个有约束的优化问题，目标函数是降落伞的总费用。我们可以分成二种情况考虑。

情况一：为了实用上的方便，只选用一种规格（伞半径）的降落伞，于是总

费用是降落伞的个数与每个降落伞价格的乘积。而决策变量是降落伞数量n和每个伞的半径r。虽然n和r都只能取有限多个离散值，但是对n和r的各种组合进行枚举计算，逐个验证是否满足约束条件、比较费用，是相当烦琐的，并且缺乏一般性。我们可以先将n和r看做连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求做适当调整。

约束条件主要是伞的落地速度不能超过20m/s，为表达这一条件需要建立并求解降落伞速度满足的微分方程，而方程中的重要参数——空气阻力系数k——又要通过测量数据（表2）做拟合得到。显然，由于测量数据是时间与高度，所以需要找出速度与高度之间的关系。

确定费用函数的关键是找出伞面价格与伞半径的关系，她可以根据所给数据（表一），用适当的函数来拟合，观察这些数据的散点图，用幂函数拟合比较合适。

建立降落伞下落的微风方程时，关键是对所受阻力的分析，显然，阻力随着降落速度和伞的面积的增加而变大。

情况二：我们可以同时选多种规格的降落伞。首先我们需要确定每种伞的最大承载量。然后进行线性规划，确定总费用和每种伞的个数。要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分析（如图二）。降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数、运动速度、伞的受力面积有关。运动速度和受力面积是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数。

图一图二

对图二的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于0的加速运动。因此，我们可以建立一个位移与时间的函数关系式，在根据题中所给的数据拟合出阻力系数k的值。然后再建立一个速度与时间的函数关系式，两个关系式联立求解出最大载重量（其中高度和速度由题目已经给出）。最后用LINGO软件进行线性规划算出问题要的结果。