最优控制习题及参考答案

1

2

f

最优控制习题及参考答案

习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：

t f J = ∫

(x

2 +1)dt t 0

解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1

d

由欧拉方程得： (2x ) = 0

dt

x = C 1

x = C 1t + C 2

将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：

C 2 = 1，C 1 = 1

得极值轨线： x *

(t ) = t +1

习题 2

求性能指标： J =

∫

1

(x 2 +1)dt

在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。

解：

由上题得： x *

(t ) = C t + C

由 x (0) = 0 得： C 2 = 0 ∂L

由

∂x

t =t

f

= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0 t

于是： x *

(t ) = 0

【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。

2 0

1 0

∫ ⎩ λ

= −λ 有： C = x ， C = 0 ，即： x *

(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3

已知系统的状态方程为： x 1 (t ) = x 2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )

边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2 (3) = 0 ，

3

1

试求使性能指标 J =

0 u 2

(t )dt

2

取极小值的最优控制 u *

(t ) 以及最优轨线 x *

(t ) 。

⎡ x ⎡

解：

由已知条件知： f = ⎡ 2

⎡

⎡⎡ u ⎡⎡

Hamiton 函数： H = L + λT f H = 1

u 2 + λ x + λ u

⎡λ = 0

由协态方程： ⎡ 1

2 1 2

1 2

2

⎡λ = C

① 得： ⎡

1

1

⎡λ2 = −C 1t + C 2

②

∂H

由控制方程： ∂u

= u + λ2 = 0

得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③

由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2

得： x (t ) = 1

C t 2

− C t + C

④

2

2 由状态方程： x 1 = x 2

1 2 3

得： x (t ) = 1

C t 3

− 1

C t 2

+ C t + C

⑤

1

6 1

2

2 3

4

1

⎪

⎩

=−

=−∫

⎡1⎡⎡0⎡

将x(0) = ⎡⎡，x(3) = ⎡0⎡代入④，⑤,

⎡1⎡⎡ ⎡

10

联立解得：C1 =由③、④、⑤式得：

u* (t) = 10 t − 2

9，C2 = 2 ，C3 = C4 = 1

9

x* (t) =5 t3 −t 2 + t +1

27

x* (t) = 5 t2 − 2t +1

2 9

习题4已知系统状态方程及初始条件为

x=u ，x(0) = 1

试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

1

J =

0解：H = x2e2t + u2e2t + λu

⎡x= u

列方程：⎡λ= −2xe2t

⎡2e2t u + λ= 0(x2 + u2 )e2t dt

①

②

③

由③得，u 代入①得，

x 1 e−2t λ

④2

1 e−2t λ

=−

2

x 1 e−2t λe−2t λ

=−+

2

将②，③代入，并考虑到u= x

x 1 e−2t (−2xe2t ) + e−2t (−2e2t x)2整理可得：x+ 2x−x = 0

1 2 ) = u = 2 2

⎨

s 1

s 特征方程： s 2

+ 2s −1 = 0

s 1 = −1+s 2 = −1−

于是得： x *

(t ) = C e s 1t + C e s 2t

λ* (t ③ −2e 2t ①

−2e 2t x

λ* (t ) = −2e 2t (C 1s 1e s 1t + C s e s 2t ) 由 x (0) = 1 ，得： C 1 + C 2 = 1 ⑤

由 λ(t f ) = λ(1) = 0 得： C 1s 1e

+ C 2 s 2e = 0

⑥

⑤、⑥联立，可得 C 1、C 2

求导

代回原方程可得 x *

→ u

*

（略）

习题 5

求使系统： x 1 = x 2 ， x 2 = u

由初始状态 x 1 (0) = x 2 (0) = 0 出发，在 t f = 1 时转移到目标集

1 x 1 (1) + x

2 (1) = 1，并使性能指标 J =

∫

1 u 2

(t )dt

2

为最小值的最优控制 u *

(t ) 及相应的最优轨线 x *

(t ) 。

解： 本题 f (i)，L (i) 与习题 3 同，故 H (i) 相同→方程同→通解同

⎡λ1 = C 1，λ2 = −C 1t + C 2

⎡

⎡x = 1 C t 3 − 1 C t 2 + C t + C 有： ⎡ 1 6 1 2 2 3 4

⎡x = 1 C t 2 − C t + C

⎡ 2 2

⎡ 1 2 3

⎡u = C 1t − C 2