3、平面的法线式方程

平面的法线式方程

x

y

on 为原点至平面的垂线，也即是平面的法向量。(,,)p x y z 为平面上任意一点，0p 为平面上一固定点，0on pp ⊥。 由此推出：00()0on pp on op op =-= ， （1）

即00on op on op -= ， （2）

设0(cos ,cos ,cos )on αβγ= 为单位法向量，

故0000on op on op -= （3）

其中000on op d =≥ ，d 为原点到平面的距离。

由于0(cos ,cos ,cos )on αβγ= ，(,,)op x y z = ，

（3）式可写为：

(,,)(cos ,cos ,cos )cos cos cos 0x y z d x y z d αβγαβγ-=++-= （4） 222cos cos cos 1αβγ++=

到此，推出了平面的法线式方程：

222,(1,0)ax by cz d a b c d ++=++=≥ （5）

注：

1）坐标形式法线式方程是平面的坐标形式一般式方程的特例，其一次项的系数是平面法向量的方向余弦，常数项-d≤0，d表示坐标原点到平面的距离.

2）当平面不通过坐标原点时，一次项所表示的(单位)法向量从坐标原点指向平面，法线式方程是唯一确定的.

3）当平面通过原点时，对应于两个法向量，就有两个法线式方程，其系数只差一个负号.

4）设给定平面的坐标形式一般式方程为

Ax By Cz D

+++=，

为了将其化为法线式方程，只要将

λ=称为法化因子)乘以上述一般式方程的两边，可得法线式方程

)0

Ax By Cz D

+++=，并选取λ的符号与常数项D相反的正负号.