上海市七宝中学高考数学常见陷阱练习集

{}{} B⎪⎩x -1高考数学常见陷阱大搜索上海市七宝中学李广学在高考中，为了考查考生思维的严谨性和深刻性，常常需要设计一些具有陷阱的试题，以期扩大考试梯度、提高信度。

由于高考时间非常紧迫，来不及对问题深思熟虑，如果学生对知识和方法的掌握有缺陷，那么将毫无意识地纷纷落入陷阱，等到考试后，脑子清醒下来又会恍然大悟，影响情绪，打击信心。

为了解决这个问题，现将常见的陷阱进行暴光，防止解题失误，提升高考数学成绩．1．集合A、，A⋂B=∅时，必须注意到“极端”情况：A=∅或B=∅；A⋂B=A⇒A⊆B,必须注意到A=∅。

例如：已知，A=x x2<a,B=x log x-1<1,A⋂B=A.求实数a的2范围。

由条件知道，A⊆B,必须讨论a≤0时的A=∅的情况。

2．函数的两个性质：（1）如果函数y=f(x)对于一切x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，那么函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.（2）函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=0对称.这两感个问题是有本质区别的，（1）是研究一个函数的图象性质，（2）是研究两个函数的图象性质3．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，必须注意函数的定义域。

例如：求函数f(x)=x2-1(x≥1)的反函数。

正确答案为f-1(x)=x+1(x≥0)。

4．原函数y=f(x)在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数y=f(x)也单调⎧x,x≥0⎪递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．例如：函数y=⎨1存在反函数，,x∈(-1,0)此函数不具备单调性．5．函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的必要非充分条件。

例如：函数 y= 1 + sin x + cos x y=1sin θ +cos θ =1①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是 0, ⎥,[0, ],[0,π ] .π π,当 x= 时函数值为 1，当 x=- 时函数没有意义，所以不具备1 + sin x - cos x2 2奇偶性，没有必要进行化简。

6． 在处理与正（余）切、正（余）割有关的问题时，必须考虑他们本身的定义域。

例如：求函数π的定义域。

必须考虑 2x ≠ k π +, k ∈ Z .1 - tg2 x27． 三 角 函 数 求 值 时 ， 要 注 意 范 围 的 压 缩 ， 否 则 容 易 产 生 增 解 。

例 如 ： 已 知3 4 ,θ ∈ (0,π ) ,求 ctg θ 的值。

两边平方后用万能公式，可以得到 ctg θ =-或者- ，543⎛ π 3π ⎫3 把范围压缩到 , ⎪ ，就知道解为- 。

⎝ 2 4 ⎭48． 对数函数有关的问题，必须注意真数与底数的限制条件，真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数还需要讨论。

例如：求函数 f(x)=log0.5 (x 2 -5x-6)单调区间。

必须在定义域内进行，正确答案为（6，+ ∞ ）9． “实系数一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 有实数解”转化为“ ∆ = b 2 - 4ac ≥ 0 ”，必须注意a ≠ 0 ；当 a=0 时，“方程有解”不能转化为 ∆ =b 2 - 4ac ≥ 0 ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，需要考虑到二次项系数可能为零的情形。

例如：函数 f(x)=(a 2 -1)x 2 +2(a-1)x+1 的图象恒在 x 轴的上方，必须考虑 a=1 的情形。

10．在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，必须注意到它们各自的取值范围。

⎛ π ⎤ π ⎝ 2 ⎦2②直线的倾斜角、 l 到 l 的角、 l 与 l 的夹角的取值范围依次是[0,π ),[0,π ),[0,1212π2]．③向量的夹角的取值范围是[0，π]11．在立体几何的图形分析时，要考虑各种方位所带来的各种可能的情形。

例如：与四面体四个顶点距离相等的平面有几个？应该考虑平面的一旁 1 个点另外一旁 3 个点，以及两旁都是两个点的情况，所以共有 7 个平面。

12．现在研究一元二次方程时，应该分清系数是实数还是虚数，即使是系数是实数还应该分是实根⎛a +b ⎫ 2 , k , x+4, x ∈ (0,π ) y ≥ 2 sin 2x ⋅ 4= 4, 所以y 的最小值为4。

但是 sin 2 x = ⇒ sin 4 x = 4。

这 是 不, , ()1 1还是虚根，因为两者的处理方法不同。

例如：若α, β 为方程 x 2 +4x+m=0(m ∈ R)的两个根，并且 α - β ＝２，求 m 的值得。

本题应该分α, β 为实根还是虚根两种情况分别解决，正确答案为 m=3 或５。

13．对于一个与无理方程、分式方程、对数方程或者不等式有关的问题，必须进行结论的检验。

例如：已知向量 a = {2,-3,0}b = { ,0,3}若a 与b 所成角为120o , 则k = __ 。

容易求出 k = ± 39, 但是验证后知， k = 39为增根，所以 k = - 39.14．换元和消元时必须注意参数的取值范围，保证变化前后的等价性。

例如：若关于x 的方程25 - x +1 - 4 ⋅ 5 - x +1 = m 有实根，求实数 m 的取值范围。

通常是用换元法，令 t = 5 - x +1 。

命题等价变化为：方程 t 2 - 4t - m = 0 在 (0,1 ] 内有实根。

而不是新方程有实根。

15．用重要不等式 a + b ≥ 2 ab 以及变式 ab ≤ ⎪ 等求函数的最值时，要注意到 a ，b ∈ R +⎝ 2 ⎭（或 a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积 ab 或和 a ＋b 其中之一应是定值。

例如：求y=sin2sin 2 x 的 最 小 值 。

有 这 样 一 种 做 法 ，4 sin 2 x sin 2 x可能成立的。

正确的方法应该是令 t= sin 2 x∈ (0,1 ] 这样 y=t+ 4 ,t ∈ (0,1 ] 然后利用奈克函数的t性质可以求出 y 的最小值为 5。

16．利用数形结合解题时，必须注意变量的范围对图形的影响。

例如：已知 A ={x, y) kx - y = 0}，{}B = ( x , y) y =x - 1 ，若A B = Φ ，求实数 k 的取值范围。

问题可以转化为直线 y=kx与半抛物线 y 2 =x-1(y ≥ 0)不相交时 k 的取值范围。

不能认为是整个抛物线。

17．在进行曲线平移时，必须准确确定平移的方向与平移的单位。

例如：曲线 y=2lg(3x-1)经过怎样的平移时，就能得到 y=2lg3x 的图象？首先变形为 y=2lg3(x- 1 3)，就可以从符号与数值上确定向左平移 1 3个单位。

容易误认为向向左平移 1 个单位。

18．在 解 决 与 范 围 有 关 的 问 题 时 ， 对 区 间 的 端 点 要 引 起 特 别 关 注 。

例 如 ： 已 知A=( -5 - 2 x ,1 + 5 - 2 x , A ⋂ Z = {}，求 x 的范围。

因为 A 中有唯一的整数，所以 5 - 2 x”n = 2 n , 得到a = ⎨ ⎩2 n -1 , n ≥ 2a {}a ⎪ ，且被圆 x 2 + y 2= 25 截得的弦长为 8，求此弦所在直⎛的直线有几条？如果用截矩式 x .应该介于 0 与 1 之间，0 和 1 能否取得呢，要专门讨论，当 5 - 2 x =1 时，A=(0,2),适合要求；当 5 - 2 x =0 时，A= Φ ,不适合要求。

所以 0< 5 - 2 x ≤ 1,答案为 2 ≤ x <52。

19．在分类讨论时，首先确定分类标准，然后要既不重合也不遗漏的全方位进行讨论。

例如：解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．20．在应用等比数列求前 n 项和时，需要分类讨论．q = 1 时，S = na ；q ≠ 1 时，S = n 1 n a (1 - q n ) 11 - q。

21．用 a = S - Snnn -1求数列的通项公式时，必须注意到 a = S 的特殊情形。

1 1例如：在数列 { }中，由 S nn ⎧2, n = 122． q n 有极限时，则 q < 1 或 q = 1 ，在求数列 q n 的极限时，你注意到 q ＝1 时，q n = 1 这种特例了吗？例如：数列的通项公式为a = (3x - 1)n ，若{ n案为 0 < x ≤2.3n}的极限存在，求 x 的取植范围. 正确答23．解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．特别要分清是排列还是组合问题，只要你交换两个元素的顺序解不变是组合问题，如果解改变则是排列问题。

24．设直线方程时，一般可设直线的斜率为 k ，你是否注意到直线垂直于 x 轴时，斜率 k 不存在的情况？例如：一条直线经过点 - 3,-⎝3 ⎫ 2 ⎭线的方程。

该题就要注意，不要漏掉 x+3=0 这一解.25．直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性例如：经过点 A(2,3)并且与原点距离等于 2 的直线方程。

如果用点斜式时，只能求出 5x-12y+26=0,还有一条斜率的直线 x=2 容易被忽视。

26．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为 0.例如：经过点 P(1,2),在两个坐标轴上的截矩相等y+ = 1 只能求出一条，另外通过原点的一条直线 y=kx 在两条aa坐标轴上的截距都是 0，也是截距相等，它容易被遗忘。

本题有两个解 x+y-3=0 和 y=2x.27．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式∆≥0的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在∆>0下进行）.另外在使用“点差法”时，千万不要忘记验证判别式。

例如：双曲线x2y2-=1中，被点P(2,1)平94分的弦的所在直线方程是————（）(A)8x-9y-7=0(B)8x+9y-25=0(C)4x-9y-6=0(D)不存在如果用“点差法”获得8x-9y-7=0，再演算判别式发现∆<0，所以选择(D)。

高考中的陷阱是因人而异的，有的同学知识与方法掌握得心应手，做起题目来一马平川。

有的同学知识与方法掌握得不够全面，可能会防不胜防，不知不觉落入陷阱。

因为数学中陷阱无法一一列举，这篇文章的目的是抛砖引玉，敲响警钟，希望大家能够辨析有关概念，关注公式与法则的适用范围，把握各种方法的使用条件等，争取不犯低级错误，获得满意成绩。