南通大学数学高代(二)B期末考试及答案

南通大学
学年第二学期高等代数（二）（闭卷）试卷（B ）第
1页共3页
试题
一二
三
四
总分
得分
一、判断题：
（在括号中，正确者填“对”，错误者填“错”，每题2分，共12分）
1：（）若1(,,)s V L αα= ，则V 的任一组基都与向量组1,,s αα 等价。

2：（）设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，若12,V V ∈+α但1V α∉，则2.
V ∈α3：（）若有限维线性空间V 的线性变换A 满足：V V A ≠，则0是A 的一个特征值。

4：（）若n 阶-λ矩阵)(λA 的行列式不等于零，则)(λA 可逆。

5：（）若n 阶方阵A 与B 有相同的特征多项式和最小多项式，则A 与B 相似。

6：（
）设V 是一欧氏空间，,V ∈ξη是两个线性无关的单位向量，则长度：||2+<ξη.
二、填空题：
（每空格2分，共18分）
1：n n P ⨯中主对角元皆为零的全体矩阵作成的子空间，其维数是：，它的一组基可
以取为：
.
2：设1220,30x y ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A B ，且A ，B 相似，则=
x ，=
y .
3：已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则行列式：223--=
A A E .
4：设22
00()0(1)0
00
λλλλλ⎛⎫
+
⎪
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭
A ，则()λA 的标准形是：.
5：已知数字矩阵A 的初等因子是2,,(1),(1),1λλλλλ--+，则A 的不变因子是：
.
6：在欧氏空间
4
中，()()2,0,1,7,3,2,1,1T T
==--αβ，则内积：(),=
αβ，α与β
的夹角是：
.
得分
评卷人
得分
评卷人
三、计算题：
（第1、3题各15分，第2题16分，共46分）
1：设123(1,0,1),(2,1,0),(1,1,1)T T T ===ααα与123(3,1,1),(3,2,1),(2,1,2)T T T ===βββ是3
的两组基，
（1）求由基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵X ；（2）求向量(4,3,4)T =ξ在基123,,βββ下的坐标；
（3）定义线性变换 (1,2,3)i i i ==A αβ，求A 在基123,,ααα下的矩阵。

得分评卷人
使用班级
数学师范151、152、153
出卷日期2016年5月18日
···················装·····················订·························线···················密封线内答题无效学院：专业：班级：学号：
本人承诺：在本次考试中，自觉遵守考场规则，诚信考试，绝不作弊。

学生姓名（签名）：
—————————密————————————封——————————线————————
南通大学2015—2016学年第二学期高等代数（二）（闭卷）试卷（B ）第
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2：设矩阵011232110-⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
A ，试计算：
(1)A 的初等因子与若尔当标准形；(2)A 的不变因子与有理标准形；(3)A 的最小多项式。

3：已知实二次型：222
12312
3121323(,,)22448f x x x x x x x x x x x x =---++，求正交线性替换CY X =，将此二次型化为标准形，要求写出正交矩阵C ，并写出标准形。

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学院：
专业：班级：
姓名：
学号：
—————————
密————————————
封——————————
线————————
南通大学2015—2016学年第二学期高等代数（二）（闭卷）试卷（B ）第
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四、证明题：
（每题8分，共24分）
1：设12,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，若1212()()1,V V V V +=⋂+dim dim 证明：要么
12,V V ⊂要么21.
V V ⊂2：设1,,,n ααβ是欧氏空间
n
中n +1个向量，A 是一个n 阶正定矩阵，且满足：
1） (1,,)i i n ≠=0 α；2）0(,1,,,)T i j i j n i j ==≠ A αα；3)β与 (1,,)i i n = α都正交。

证明：（1）1,,n αα线性无关；（2）=0β.
得分
评卷人
3：设,A B 是n 维线性空间V 的两个线性变换，且=AB BA ，若A 不是零变换，B 没有非平凡不变子空间，证明：A 是可逆变换。

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学院：
专业：
班级：姓名：
学号：
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密
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线————————
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等代数(二)
考试班级
数学师范151、152、153
考试标准用时120分试卷代号B 2-1
参考答案及评分标准：一、判断题：（在括号中，正确者填“对”，错误者填“错”，每题2分，共12分）1：(对)；2：(错)；3：(对)；4：(错)；5：(错)；6：(对)二、填空题：（每空格2分，共18分）1：n 2–n ，(,1,,,)
ij E i j n i j =≠ ；2：4,5x y =-=-；3：0；
4：21000(1)000(1)λλλλ⎛⎫
⎪+ ⎪ ⎪+⎝
⎭；5：21,1,1,1,(1),(1)(1)λλλλλ--+；6:0，
2
π
.
三、计算题：（第1、3题各15分，第2题16分，共46分）
1：（15分）解：（1）设（321,,βββ）=（321,,ααα）X ，(2分)令123123121332(,,)011,(,,)121101112A B αααβββ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
则有AX B =，所以1
101110011X A B -⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
；(3分)
（2）设向量ξ在基321,,βββ下的坐标是123(,,)T x x x ，则有ξβββ=++332211x x x (2分)
解此方程组得向量ξ在基321,,βββ下的坐标是(1,1,2)T -；(3分)
（3）设()()1231231,,,,A αααααα=A ，这里用1A 表示所求线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵，
(2分)
由于线性变换 (1,2,3)i i i αβ==A ，故()()123123123,,(,,),,X αααβββααα==A ，与（1）对比即知，1.A X =(3分)2：（16分）解：
（1）2111002320101100(1)(21)E A λλλλλλλ-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
，
(6分)
所以A 的初等因子是：1, 12,12,λλλ----+A 的若当标准形是：1
0001200012⎛⎫ ⎪
+ ⎪ ⎪-⎝⎭。

(3分)
（2）由（1）知A 的不变因子是：222123()1,()1,()(1)(21)31d d d λλλλλλλλλ===---=-++，
A 的有理标准形为：001101013-⎛⎫
⎪- ⎪
⎪⎝⎭。

(4分)
（3）A 的最小多项式223()()31
A m d λλλλλ==-++(3分)
3：（15分）解：二次型的矩阵是：122224242A -⎛⎫
⎪=-- ⎪
⎪-⎝⎭
，（2分）
特征多项式：2()(2)(7)A f E A λλλλ=-=-+，A 的特征值是：1,22λ=（二重），37,λ=-（2分）命题人
葛志宏
命题时间
2016年5月18日
审核人
审核时间
年
月
日
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等代数(二)
考试班级
数学师范151、152、153
考试标准用时120分试卷代号B 2-2
参考答案及评分标准：
当1,22λ=时，解齐次线性方程组()20E A X -=得基础解系：()()122,1,0,2,0,1,T T
αα=-=（2分）
或者()()121222,2,1,22,1,2,
T T
αααα+=-+=当37λ=-时，解齐次线性方程组()70E A X --=得基础解系：()31,2,2T
α=-，
（2分）把12,αα（或者后者已经正交只需单位化）正交单位化得：52
1
241255
353535(,,0), (,,),
T T ηη-==(2分)
或者2212121233
3333(,,), (,,),T T
ηη-==把3α单位化得：1223333(,,),
T
η-=(1分)
令：2213
5
351
42
35
3552335
0C --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
，或者221333
2123
3312233
3C --⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
则C 是正交矩阵，(2分)
取正交线性替换：X CY =，则二次型通过此正交线性替换化为标准形：22212
3227f y y y =+-.(2分)
四、证明题：（每题8分，共24分）
1：（8分）证明：用反证法，
假设12,V V ⊄并且21,V V ⊄则分别存在11V α∈，但12V α∉，22V α∈，但21V α∉，(2分)且12,αα线性无关，
(2分)又由于1212,,V V αα∈+但1212,,
V V αα∉⋂(2分)这就与条件1212dim()dim()1V V V V +=⋂+矛盾，故原命题成立。

(2分)
2：（8分）证明：
（1）设11n n k k αα++=0 ，则11()0T i n n A k k ααα++= ，根据条件2）即0T i i i k A αα=，
(2分)根据条件1）以及A 是正定矩阵，可知0T i i A αα>，因此有0(1,,)i k i n == ，所以1,,n αα 线性无关。

(2分)
（2）由（1）可知1,,n αα 构成一组基，因此可设11n n b b βαα=++ ，
(2分)根据条件3），有11(,)(,)0n n b b βββαα=++= ，故0β=.
(2分)3：（8分）证明：
首先，根据=AB BA 可得：V A 是B 的不变子空间，(2分)其次，由于A 不是V 上的零变换，故{0},
V ≠A (2分)再次，根据B 没有非平凡的不变子空间，可见,V V =A 因此A 是满映射，
(2分)最后根据n 维线性空间上线性变换A 是满映射当且仅当A 是单映射，因此A 是可逆变换。

(2分)。