2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (3)
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (8)
华南理工大学高等数学统考试卷2000上一、选择题（每小题3分，共18分） 1、下列极限的等式中，正确的是（ ）（A ）e x xx =-→10)1(lim （B ）31arcsin 11lim 320=--→x x x x （C ）()211lim22=+-+-∞→x x x x （D ）11212lim 2230=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--→x x x x x 2、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+-+=0,0,1111)(3x A x x x x f 在0=x 点连续，则=A （ ） （A ）23 （B ）１ （C ）32 （D ） ０ 3、已知=+=dy x y ,1cos ln 2（ ） （A ）1cos 2+x dx （B ）dx x 1tan 2+-（C ）dx x x 121tan 22++-（D ）dx x x x 11tan 22++-4、函数336x xx y -+=在1=x 处有（A ）极小值（B ）极大值（C ）拐点（D ）既无极值又无拐点 5、⎰+∞=111dx exx x（ ）（A ）)1(2-e （B ）)1(2e -（C ）e -1（D ）1-e 6、曲线)0(cos 2>=a a r ϑ所围图形的面积等于（ ）（A ）⎰202)cos 2(21πϑϑd a （B ）⎰-ππϑϑd a 2)cos 2(21 （C ）⎰πϑϑ202)cos 2(21d a （D ）⎰202)cos 2(212πϑϑd a二、（每小题５分，共２０分）１、求极限;2cot )cos 3(cos lim2x x x x -→π２、设3311,12t t y t t x ++=+=，求;1=t dx dy３、求积分⎰+dx x x )cos (sin 23４、求积分⎰-+22cos 11ππdx x 三、（每小题６分，共１８分） １、 设函数)(x y y =由方程y x e xy+=2所确定，求;022=x dxyd２、 求积分⎰+dx xx 1ln ３、求积分⎰-πsin 1dx x四、（８分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(x e x xx x f x βα，试根据α和β取值的不同情况，讨论)(x f 在0=x 的连续性。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷3,含解析)
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷3）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果。
详解：由集合A得,所以故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。
2.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数的乘法运算展开即可。
详解：故选D.点睛：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题。
3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. AB. BC. CD. D【答案】A【解析】分析：观察图形可得。
详解：观擦图形图可知，俯视图为故答案为A.点睛：本题主要考擦空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
4. 若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由公式可得。
详解：故答案为B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题。
5. 的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim.sin 3x x x x →+2. （6分）设2,1y x =+求.y '3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程0cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰（二）一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()23122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.2．函数()21ln x y +=，则='y.3． =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x x 21lim.4．曲线xy 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程为 . 5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小值 . 6．=+⎰dx x x 21arctan . 二、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ； () C 充分必要条件； () D 无关条件.2．下列各式正确的是（ ） .() A C e dx e x x +=--⎰； () B C xxdx +=⎰1ln ； () C ()C x dx x +-=-⎰21ln 21211； () D C x dx xx +=⎰ln ln ln 1. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.() A 等于1； () B 等于1-； () C 等于0； () D 不存在.5．已知()2lim 1=+→x f x ，以下结论正确的是（ ）.() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、 计算（每小题6分，共36分） 1．求极限：xx x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.4. ⎰+dx x x 221. 5. ⎰xdx x cos .6.方程yxx y 11=确定函数()x f y =，求y '.四、 （10分）已知2x e 为()x f 的一个原函数，求()⎰dx x f x 2.五、 （6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 （10分）设()()C e x dx x f x++='⎰1，求()x f .（三）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 210)(cos lim x x x → e1.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为1-=x y . （3）已知xxxeef -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f =)(x f 2)(ln 21x .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 .9131-=x y（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点. (B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点.(C) 1x 是极值点.，())(,22x f x(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点图1-1（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ D ）.（A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .x y y y x '''+-= （D ）23e .xy y y '''+-= （4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）. (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B) ()().=⎰df x f x (C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().fx dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分=x x x x x ln 1ln lim1+-→ 2分= xx x x x x ln 1ln lim1+-→ 1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3分） .sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）3. 4. 计算不定积分.222(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------⎰⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dx xx.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分）35)1(323323=++-=x （6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*2-56012,31.1()111.21(1)1x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图0220322203*********RRP g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------⎰⎰）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1b af x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b b aabab ba axf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) (3) 求D 的面积A;(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y =1分平面图形D 的面积 ⎰-=-=10.121)(e dy ey e A y 2分（2） 切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π= 2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 2102)(⎰-=π， 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1x e x ≥+.解法一：2112xe e x x xξ=++≥+解法二：设() 1.x f x e x =--则(0)0.f = 1分 因为() 1.xf x e '=- 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分 所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。
2018最新高等数学期末考试试题及答案详解
2018最新⾼等数学期末考试试题及答案详解⾼等数学期末考试试题及答案详解⼀、填空题：（本题共5⼩题，每⼩题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满⾜0a b += ，2a =，2b = ，则a b ?= ．2、设ln()z x xy =，则32zx y= ． 3、曲⾯229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平⾯⽅程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅⾥叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=? ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．⼆、解下列各题：（本题共5⼩题，每⼩题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y++==+在点0M (1,1,2)-处的切线及法平⾯⽅程． 2、求由曲⾯2222z x y =+及226z x y =--所围成的⽴体体积． 3、判定级数11(1)ln nn n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有⼆阶连续偏导数，求2,z zx x y． 5、计算曲⾯积分,dS z ∑其中∑是球⾯2222x y z a ++=被平⾯(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物⾯22z x y =+被平⾯1x y z ++=截成⼀椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最⼤值与最⼩值．计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-?，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a ⾄原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n ∞=?∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲⾯积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-??，其中∑为曲⾯221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++，其中t Ω是由曲⾯z =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．备注：①考试时间为2⼩时；②考试结束时，请每位考⽣按卷⾯→答题纸→草稿纸由表及⾥依序对折上交；不得带⾛试卷。
2018 年全国 III 卷数学(理)答案及解析
− x + x + 2 的图像大致为（ 7.函数 y =
4 2
）
A.
B.
C.
D.பைடு நூலகம்
【答案】D 【考点】函数图像以及性质 【难易程度】基础题 【解析】当 x=1 时，函数值大于 0，排除 A、B;因为 F(x)=F(-x)，函数为偶函数，图像关于 y 轴
−4 x 3 + 2 x =0 ,解得 x=0、 、 对称， 令F '( x) =
p ，各成员的支付方式相互独立。设 X 为该群
,
P( x = 4) < p( x = 6) ,则 p =（
D.0.3
）
C.0.4
DX = np(1 − p) =10 × p(1 − p) = 2.4 ， 解 得
= p1 0.6 = ， p2 0.4 .
因为 P(X=4)＜P(X=6)，即
4 6 C10 p 4 (1 − p )6 < C10 p 6 (1 − p ) 4 ，所以 p 取 0.6。故答案选 B.
2 7 = 9 9 ，故答案选 B.
2 ( x 2 + )5 x 的展开式中 5、
A.10 【答案】C 【考点】二项式定理 【难易程度】基础题 B.20
的系数为（ D.80
）
C.40
2 ( x 2 + )5 x 的展开式中的第 r+1 项为 【解析】
，题目中需要求解 ，故答案选 C
的系
4 ，则 r = 2 ，∴ 数，需使 2 × (5 − r ) − r =
是带卯眼的木构件的俯视图可以是（
）
A.
B.
C. 【答案】A 【考点】三视图 【难易程度】基础题
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (7)
华南理工大学高等数学统考试卷1999上一、（共8分，每小题4分）1、求x x x x x -+∞→11sin lim ，2、求;23lim sin 10x x x x e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→二、（共10分，每小题5分）1、 设⎰=+-→x x dt t a x bx t 02201)sin (lim ，求b a ,的值。
2、 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠≠-=-0,22,02,0,1)(2x x x x e x x f x x ，讨论)(x f 在2,0==x x 处的连续性；若不连续，指出间断点的类型。
三、（共8分，每小题4分）1、设12arcsin 232-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x ，求y '。
2、确定A 的值，使两曲线2Ax y =与x y ln =相切，并求出此公切线的方程。
四、（共12分，每小题6分）1、设⎰+==tt y udu u x 0)1ln(,sin ,求22,dx y d dx dy 2、设方程04ln 22=++x y x y 确定了函数)(x y y =，求dy五、（8分）当0>x 时，证明：x x e x cos 11->--六、（共12分，每小题6分）1、设2ln )1(222-=-x x x f ，且x x g f ln )]([=，求⎰dx x g )(2、求⎰-dx e xe x x2七、（共12分，每小题6分）1、 计算⎰-+222)cos (ππdx x x 2、 证明⎰⎰--=4020)4()4(2dx e dx e x x x x 八、（9分）已知曲线1=xy 在第一象限中分枝上有一定点)1,(aa P ，在给定曲线的第三象限中的分支上有一动点Q ，试求使线段PQ 长度最短的Q 点的坐标。
九、（8分）过点)0,2(a 向椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 作两切线，求椭圆与两切线所围成的区域（y 轴右边部分）绕y 轴旋转所得旋转体的体积。
2018年普通高等学校招生全国统一(江苏卷)数学试卷和答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学1. 已知集合，，那么__________.2. 若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的实部为__________.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为______.5. 函数的定义域为__________.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为__________.8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是__________.9. 函数满足，且在区间上，，则的值为__________.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________.12. 在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点若，则点A的横坐标为__________. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为__________.14. 已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为______.15. 在平行六面体中，，求证：平面；平面平面16. 已知，为锐角，，求的值；求的值．17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧为此圆弧的中点和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为用分别表示矩形ABCD和的面积，并确定的取值范围；若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点，，圆O的直径为求椭圆C及圆O的方程；设直线l与圆O相切于第一象限内的点①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若的面积为，求直线l的方程．19. 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．证明：函数与不存在“S点”；若函数与存在“S点”，求实数a的值；已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．设，，，若对，2，3，4均成立，求d的取值范围；若，，证明：存在，使得对，3，…，均成立，并求d的取值范围用，m，q表示21. 如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为若，求BC的长．22. 已知矩阵求A的逆矩阵；若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．23. 在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．24. 若x，y，z为实数，且，求的最小值．25. 如图，正三棱柱中，，点P，Q分别为，BC的中点．求异面直线BP与所成角的余弦值；求直线与平面所成角的正弦值．26. 设，对1，2，……，n的一个排列……，如果当时，有，则称是排列……的一个逆序，排列……的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序，，则排列231的逆序数为记为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．求，的值；求的表达式用n表示答案和解析1.【答案】【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．本题考查交集及其运算，属于基础题．【解答】解：，，，故答案为：2.【答案】2【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得，的实部为故答案为：3.【答案】90【解析】【分析】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为故答案为：4.【答案】8【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属基础题.【解答】解：模拟程序的运行过程如下；，，，，，，，，此时不满足循环条件，则输出故答案为：5.【答案】【解析】【分析】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：，解得：，函数的定义域是故答案为：6.【答案】【解析】【分析】本题考查了古典概率的问题，属于基础题．设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可.【解答】解：设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率，故答案为：7.【答案】【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：的图象关于直线对称，，，即，，，当时，，故答案为：8.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，可得：，可得，即，所以双曲线的离心率为：故答案为：9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由得函数是周期为4的周期函数，则，，即，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题．将多面体看做两个正四棱锥，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的体积为故答案为11.【答案】【解析】【分析】解：，，①当时，，函数在上单调递增，，在上没有零点，舍去；②当时，的解为，在上递减，在递增，又只有一个零点，，解得，则，，，的解集为，在上递增，在上递减，，，，，，在上的最大值与最小值的和为：【解答】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．推导出，，当时，，，在上没有零点；当时，的解为，在上递减，在递增，由只有一个零点，解得，从而，，，利用导数性质能求出在上的最大值与最小值的和．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．设，，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合求得a值得答案．【解答】解：设，，，，则圆C的方程为联立，解得解得：或又，即A的横坐标为故答案为：13.【答案】9【解析】【分析】本题主要考查三角形的面积公式与基本不等式的应用．根据面积关系建立条件等式，结合基本不等式利用1的代换的方法进行求解即可．【解答】解：由题意得，即，得，得，当且仅当，即，亦即，时，取等号，故答案为：14.【答案】27【解析】【分析】本题考查数列的递推关系以及数列的分组转化求和，属于拔高题.根据题意说明当，时不符合题意，当时，，符合题意，求出n的最小值. 【解答】解：集合A是由所有正奇数组成的集合，集合B是由组成的集合，所有的正奇数与按照从小到大的顺序排列构成，在数列中，前面有16个正奇数，即，当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，，，不符合题意；当时，，，，符合题意．故使得成立的n的最小值为故答案为：15.【答案】证明：平行六面体中，，又平面平面；得平面；在平行六面体中，，得四边形是菱形，在平行六面体中，，又，平面，平面得面，且平面平面平面【解析】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．由平面；可得四边形是菱形，，由面，平面平面16.【答案】解：由，解得，；由得，，则，，，则【解析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题．由已知结合平方关系求得，的值，再由倍角公式得的值；由求得，再由求得，利用，展开两角差的正切求解．17.【答案】解：，，当B、N重合时，最小，此时；当C、P重合时，最大，此时，的取值范围是；设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则，其中；设，则；令，解得，此时，；当时，，单调递增；当时，，单调递减；时，取得最大值，即总产值y最大．【解析】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是较难题．根据图形计算矩形ABCD和的面积，求出的取值范围；根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数，利用导数求的最大值，即可得出为何值时年总产值最大．18.【答案】解：由题意可设椭圆方程为，焦点，，椭圆C过点，，又，解得，椭圆C的方程为：，圆O的方程为：①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，可设直线l的方程为，由圆心到直线l的距离等于圆半径，可得，即由，可得，，可得，，结合，，解得，将，代入，可得，解得，，故点P的坐标为②设，，由联立直线与椭圆方程得，，O到直线l的距离，，的面积为，解得，正值舍去，直线l的方程为【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于较难题．由题意可得，，又，解得，，即可得到椭圆C的方程和圆O的方程；①可设直线l的方程为，，可得，即，由，可得，，解得，，进而可得P点坐标；②设，，联立直线与椭圆方程得，根据弦长公式和点到直线得距离公式可解得，正值舍去，，即可得到直线方程.19.【答案】解：证明：，，则由定义得，得方程无解，则与不存在“S点”；，，，由得，得，，得；，，，由，假设，得，得，由，得，得，令，，设，，则，，得，又的图象在上不间断，则在上有零点，则在上有零点，则存在，使与在区间内存在“S”点．【解析】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；根据“S点”的定义解两个方程即可；分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．20.【答案】解：由题意可知对任意，2，3，4均成立，，，，解得即且对，3，…，均成立，，…，，即，…，，…，，，…，，又，…，，存在，使得对，3，…，均成立当时，，设，则，…，，设，，单调递增，，设，且设，则，，，，在上恒成立，即单调递减，又，，对…，均成立，数列，…，单调递减，的最大值为，的最小值为，的取值范围是【解析】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．21.【答案】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以因为圆O的半径为2，，所以，，所以，所以，所以为等边三角形，所以【解析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断是等边三角形，BC的长．本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．22.【答案】解：矩阵，，所以A可逆，从而：A的逆矩阵设，则，所以，因此点P的坐标为【解析】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．矩阵，求出，A可逆，然后求解A的逆矩阵设，通过，求出，即可得到点P的坐标．23.【答案】解：曲线C的方程为，，，曲线C是圆心为，半径为得圆．直线l的方程为，，直线l的普通方程为：圆心C到直线l的距离为，直线l被曲线C截得的弦长为【解析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．24.【答案】解：由柯西不等式得，，是当且仅当时，不等式取等号，此时，，，的最小值为4【解析】本题主要考查求的最值，利用柯西不等式是解决本题的关键．根据柯西不等式进行证明即可．25.【答案】解：如图，在正三棱柱中，设AC，的中点分别为O，，则，，，故以为基底，建立空间直角坐标系，，，，，，，点P为的中点．，，异面直线BP与所成角的余弦值为；为BC的中点．，，设平面的一个法向量为，由，可取，设直线与平面所成角的正弦值为，，直线与平面所成角的正弦值为【解析】本题考查了异面直线所成角，直线与平面所成角，向量法求空间角，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．设AC，的中点分别为O，，以为基底，建立空间直角坐标系，由可得异面直线BP与所成角的余弦值；求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的正弦值为，可得，即可得直线与平面所成角的正弦值．26.【答案】解：记为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有，，，，，，，，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，；对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，当时，……因此，当时，【解析】由题意直接求得的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得的值；对一般的的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得，则当时，…，则的表达式可求．本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。
高数(大一上)期末试题及答案
第一学期期末考试试卷（1）课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级： 学号： 姓名： 得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分)1、xx x x 2sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→hh f f h )12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 处切线方程的斜率为4、已知)(x f 连续可导，且2)2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰10)2()2(dx x f x f5、已知21)(xe xf x+=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数x x x f sin )(=，则 ( )A 、当∞→x 时为无穷大B 、当∞→x 时有极限C 、在),(+∞-∞内无界D 、在),(+∞-∞内有界2、已知⎩⎨⎧≥<=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( )A 、等于0B 、等于1C 、等于eD 、不存在3、曲线xxe y -=的拐点是( )A 、1=xB 、2=xC 、),1(1-eD 、)2,2(2-e 4、下列广义积分中发散的是( )A 、⎰10sin x dxB 、⎰-101xdx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、⎰+∞22ln xx dx5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、)()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'C 、)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→< D 、⎰⎰<0000)()(x x dx x g dx x f三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求xx e e x x x x sin )cos 1()(lim 220---→2、求)arcsin(lim 2x x x x -++∞→3、设)(x y y =由03=-+xyy x 确定，求0|=x dy 。
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案
一.填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)1．设0x →时,tan e e x x -与n x 是同阶无穷小,则n =_________3______； 2．设xy 211+=，则=)()6(x y 76)21(!6)2(x +-； 3．若曲线23bx ax y +=的拐点为（1, 3），则常数=a 23-，=b 29；4．曲线1(21)e xy x =-的渐近线方程为12+=x y ； 5.x x f ln )(=在10=x 处带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式为))1(()1(1)1()1(31)1(21)1(132n n n x o x n x x x -+--++-+---- ．二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)1．已知)1(||)(22--=x x xx x f ，指出函数的间断点及其类型．1230,1,1x x x ===-为间断点……….2分222200(00)lim 1,(00)lim 1,(1)(1)x x x x x xf f x x x x →-→+---==-+==---2222101011(10)lim ,(10)lim ,(1)2(1)2x x x x x x f f x x x x →-→+---==+==-- ()221010(1)(10)lim ,(10)lim ,(1)1(1)x x x x x x f f x x x x x →--→+----==+∞-+==-∞--+--………3分从而10x =为第一类跳跃间断点，21x =为第一类可去间断点，31x =-为第二类无穷型间断点………………………………………………………………………………..1分2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=-1,1e1,ln )()1(22x x a x x f x b 在点1x =处可导，求,a b 的值．()()()11010f f f =+=-_____________ ________从而()(1)1010(1)0lim lim e 1,ln 0,0b x x x f a -→+→-===-==…………3分()()()10101ln 11(1)limlim 111x x f x f x f x x +→+→+-+-'===-- ()()()1101011(1)lim lim 11b x x x f x f e f b x x --→-→+--'===--由可导知(1)(1)(1),1f f f b -+'''===……………………………………………………..2分3．已知011lnarctan 2lim≠=-+-→C x x xx nx ，试确定常数n 和C 的值．用罗比达法则…….2分2,3-==C n ……….3分4．)41441141(lim 2222nn n n n -+⋅⋅⋅+-+-∞→．dx x⎰-=1241…………3分6π=……………………..2分三. 解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分)1．由方程02=+-y x x y 确定了隐函数)(x y y =，求微分d y ．()()ln ln 2ln ln 20y x y x d e x y e xdy yd x dx dy -+=+-+=……………5分即()2ln 20,1ln yyy y x y xxdy x dx dx dy dy dx x x x x -+-+==+……………1分 2．求由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 所确定函数的二阶导数22d d yx ． )1)(23(++=t t dxdy……………3分t t t dxy d )1)(56(22++=…………….3分3．已知函数)(x f 连续，t x t f t x g x d )()(02⎰-=，求)('x g ．u u f x u x g d )()()(0x-2⎰+=………….3分⎰⎰----=xx du u f x u u uf x g 0)(2d )(2)('………3分四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分) 1．()221sin d sec tan sec d tan sec cos x x x x x x x x c x-=-=-+⎰⎰ (6)2．161x ⎰．u =，则()221x u =+，当1x =时0u=，当16x =时u =2分原式=()())22222d 11arctan 1d u uu u u +=+-+⎰⎰……………3分31616333u u ππ⎛=-+=- ⎝.1分 3．211d e e x x x +∞-+⎰． =112211e d 11limlim arctan e lim arctan e e e 44bx b x b x b b b x e e e ππ--→+∞→+∞→+∞⎛⎫==-= ⎪+⎝⎭⎰4．已知三点)1,2,1(-M ,)1,3,2(-A 和)0,3,1(B ,计算：(1)以MA ,MB 为邻边的平行四边形的面积；(2)求同时垂直于MA ,MB 的单位向量→n ．3}1,1,1{=-==S …………3分→0n }1,1,1{33-±=……………………….3分五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分)1．求θsin 2=r 和θ2cos 2=r 围成图形的公共部分的面积．⎰=602)sin 2(21πθθd S ⎰+462cos 21ππθθd ………..4分=2332-………………………………………2分2．求由曲线2,1,e ===x x y x 及x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转所成立体的体积．⎰=21)(2dx x xf V π=⎰212dx xe x π…………4分22e π=……………………………………2分六. 证明下列各题(共2小题)1．(本题6分)设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，利用定义证明函数t t f x F x d )()(0⎰=在),(+∞-∞上可导，且)()('x f x F =．xx F x x F x ∆-∆+→∆)()(lim0=xdtt f xx x xn ∆⎰∆+→∆)(lim 0，……………..2分因为)(x f 在),(+∞-∞上连续，由积分中值定理得)()()()(lim0ξξf x x f x x F x x F x =∆∆=∆-∆+→∆，其中x x ∆+=θξ，10≤≤θ………..2分再利用)(x f 的连续性得)()(lim 0x f f x =→∆ξ.故)()('x f x F =………………………………….2分2．(本题5分)设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0d )(10=⎰x x f ，1d )(1=⎰x x xf ，试证：（1）存在 ]1,0[∈ξ，使得4)(≥ξf ；（2）若)(x f 在]1,0[上可导，则存在)1,0(∈η，使得4)('≥ηf ． （1）≤-=⎰x x f x d )()21(110x x f x d )(2110⎰-，由积分第一中值定理的，存在]1,0[∈ξ，使得)(4121)(d )(211010ξξf dx x f x x f x =-≤-⎰⎰，故存在 ]1,0[∈ξ，使得4)(≥ξf ……….3分（2）由积分中值定理，存在]1,0[∈c ，使得0)(d )(10==⎰c f x x f .由拉格朗日中值定理，则存在)1,0(∈η，使得)('))((')()(ηξηξf c f c f f ≤-=-，由（1）知4)('≥ηf .…………………..2分。
2018高数一下学期期末考试附答案
高等数学一（II ）期末B 卷答案与评分标准一、 计算二重积分 ∬xy Ddxdy , 其中 D 为第一象限内的椭圆区域: x 24+y 2≤1,x ≥0, y ≥0.（7分）解：使用广义极坐标变换，即x =2r cos θ,y =r sin θ（1分），积分区域可表示为0≤θ<π2,0≤r ≤1（1分）注意到J =D (x,y )D (r,θ)=[2cos θsin θ−2r sin θr cos θ]=2r （1分），我们有 ∬xy D dxdy =∫dθπ/2∫2r cos θ⋅r sin θ⋅|J |10dr （1分）=∫4cos θ⋅sin θdθπ/2∫r 31dr (1分)=∫2sin 2θdθπ/2×r 44|01=−cos 2θ|0π2×14(1分) =−(−1−1)×14=12(1分)二、 设 Ω 为曲面 z =1 与上半球面 z =√3−x 2−y 2 所围成的区域，S 为 Ω 的边界，求第一型曲面积分 ∬(x +S1)dS 的值. (7分)解：首先通过方程z =1=√3−x 2−y 2，容易算得两曲面交线为x 2+y 2=2，故积分投影区域为D:x 2+y 2≤2，上表面为上半球面z 上=√3−x 2−y 2，下表面为平面z 下≡1.（1分）同时，可计算出√1+z 上x 2+z 上y2=√3−x 2−y 2√1+z 下x 2+z 下y2=1 （1分）,由对称性，注意到两个表面均关于Oyz 平面对称，且x 关于x 为奇函数，所以有：∬(x +1)SdS =∬1SdS (对称性，1分)=∬3√3−x 2−y 2D +1dxdy （1分）=∫dθ2π0∫[3√3−r 21]⋅r √20dr （极坐标，1分） =2π×[−3√3−r 2+r 22]|0√2=2π×(−3−(−3√3)+1−0)=(6√3−4)π（1分）注：本题复杂度偏大，考生即使没有使用对称性，如果能正确列式评分至少可以给到4分。
《高等数学基础》2018-2019期末试题及答案
《高等数学基础》2018-2019期末试题及答案一、单项选择题(每小题4分，本题共20分)1．下列函数中为奇函数是( )．A ．y=xsinxB ．y=lnxC ．y=xcosxD ．y = x+x 22．在下列指定的变化过程中，( )是无穷小量． )0(1sin .→x xx A )(.-∞→-x e B x)0(ln .→x x C)(sin .∞→x x D3．设，(z)在X 。
可导，则=--→hx f h x f h )()2(lim 000 )(.0x f A ')(2.0x f B ')(.0x f C '-)(2.0x f D '-)()(.x f dx x f B ='⎰)()(.x f dx x f d C =⎰)()(.x f x df D =⎰5．下列积分计算正确的是( )．0)(.11=+⎰--dx e e A x x 0)(.11=-⎰--dx e e B x x 0.211=⎰-dx x C 0||.11=⎰-dx x D 二、填空题(每小题4分。
共20分)1．函数x x y ++-=1)3ln(1的定义域是——．2．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin )(2x x x x x x f 的间断点是——． 3．曲线f(x)=e x+1在(0，2)处的切线斜率是——． 4．函数y=e -x2的单调减少区间是——．5．若是，的一个原函数，则=——．三、计算题(每小题11分。
共44分)1．计算极限2．设2sin x e y x -=3．计算不定积分.1sin2dx x x ⎰4．计算定积分.ln 21xdx x e⎰ 四、应用题(本题l6分)欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?试题答案及评分标准一、单项选择题(每小题4分，本题共20分)1．C 2．A 3．D 4．A 5．B二、填空题(每小题4分。
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (5)
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第1学期 考试科目：高等数学（经贸类）考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一. 填空题 (每题3分, 共18分)1._______________.n =222322.__________________.3x t t d y dx y t t ⎧=-=⎨=-⎩设，则 3.________________.x y xe x -==曲线的拐点的横坐标 224.lim___________.1cos x x x edxx-→=-⎰(23)(24)()lim_______.x f x f x f x x∆→+∆--∆=∆5.设在x=2处可导,则6.32(,)__________3a b a b a b πΛ===+=已知，，，则。
二. 选择题(每题3分,共21分)2ln ,11.()1()1,1x x f x x f x x x ⎧≥==⎨-<⎩设，在处，（）.；不连续.A ；连续但不可导.B ；可导但不连续.C 。
可导.D 2．()(1)(2)(3)(4)()0f x x x x x f x '=----=设，则方程有（）.；一个实根.A ；两个实根.B ；三个实根.C 。
没有实根.D242343.0,3()....sin x x x A xB xC xD x→+当时与为同阶无穷小的是4．3(3)(4)y x x +∞=-在，内，曲线是（）。
上升的，凸的；.A 上升的，凹的；.B 下降的，凸的；.C 下降的，凹的。
.D 5．下列等式正确的是（）.；)())((.x f dx x f d A =⎰ ；dx x f dx x f dxdB )())((.=⎰ ；)()(.x f x df C =⎰ 。
c x f dx x f D +='⎰)()(.6. ln y x =在区间[1，2] 满足拉格朗日中值定理的条件，结论中ξ=（ ）1.0;.ln 2;.1;..ln 2A B C D 7．下列广义积分收敛的是（）.；⎰-211x dxA .；⎰-2121)(.x dxB ；⎰21x x dxC ln .21.D ⎰三．解答题（每题7分，共42分）1．011lim ()1x x x e →--2.2210,x t dydt dx-+=⎰已知求()3.()ln(1),()n f x x fx =+设求 4．⎰5．22ππ-⎰ 6．1四．平面图形由曲线y=lnx 及过曲线上点（e , 1）的切线和x 轴所围成.(1) 求该图形的面积; (2) 求该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积. (12分).()[,]()()(())()xax a f x a b y f t dta xb dyf t dt f x dx=≤≤'==⎰⎰五证明原函数存在定理:设在上连续，则函数 可导,且导数 （7分）华南农业大学期末考试试卷（A 卷）答案2005学年第1学期 考试科目：高等数学（经贸类）-一．填空题（每空2分）1、1/2； 2.、3/(4-4t) ; 3. 、2; 4、2；(23)(24)()lim5(2)x f x f x f x f x∆→+∆--∆'=∆5.设在x=2处可导,则 6.32(,)193a b a b a b πΛ===+=已知，，，则二．选择题（每题3分）1．D; 2. C; 3.B; 4.B; 5.D 6 D 7 D 三．解答题（每题7分，共42分）0000011111.lim()lim (2lim (4)1(1).11lim (6)lim (7)222x x x x x x x x x x x e x e xx e x e x x e e x →→→→→-----==---===解:分)分分分2. 2210,x t dydtdx-+=⎰已知求222(cos 1)(0)(1)cos .20(6(7)x t ydt ey x x y ''-+='-='=⎰解:分分)分3．1()(1)(1)!()(1)n n nn fx x ---=+ （7分）224.(1arcsin (arcsin )(5)1(arcsin )(7)2xd x x C=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰分)=-分分22225.sin (2)24x xdx ππππ--==⎰⎰分（分）3220442cos cos 733x xπ=-=-=（分）3344342221(sin)6.(3)(5)tan sec sin 1[](6)(7)sin 3set tdt d t tt t ππππππ===-=⎰⎰分分分分四． (12分)2011011012201320121ln (,1):(2)11(1)ln (4)|(ln ||)1(7)11(ln )11(2)()(ln )(9)|[(ln )2ln 2]2(1)(1233e e e e ee e e x e ey x e y x eA xdx xdx x x x x e e eA xdx x x dx e e e V x dx x dx e e x x x x x x e πππππ===-=--=-=+-=-=-=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:曲线在处的切线方程 分分分或分分)五、（7分）00:()()()()()(()(5)lim lim ()(),(())().(7)x x x x xaaxx x x a y f t dt f t dt f t dt f x f x x x x x yf x x xy f x x f x x dyf t dt f x dxξθξθθθ+∆+∆∆→∆→∆=-==∆=+∆+∆∆=+∆∆∆=+∆=∆'==⎰⎰⎰⎰证明介于与之间,0<<1)(3分)分即分。
大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解
大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1.（3分）若/3= 2XXV0,为连续函数,则d的值为（）.a+ x,x>0（A）I （B） 2 （C）3 （D）-I2.（3分）已知厂⑶=2,则Ii y "7⑶的值为（）.λ→0 2hOOl （B） 3 （C）-I （D）I23.（3分）定积分∫>Λ∕1-COS23Xdx的值为（）•■⑷ 0 （B）-2 （C）I （D） 24.（3分）若/⑴在“勺处不连续,则/3在该点处（）・（A）必不可导（B）—定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分）1.（3分）平面上过点（0,1）,且在任意一点（Λ∙,y）处的切线斜率为3疋的曲线方程为_________________________ .2.（ 3 分）∫ ι（x2+x4 Sin XyIX = _______ 1-3.（3 分）IilnX2 Sin丄= ・.r→υX4.（3分）y = 2√ -3√的极大值为________________ —2 （6分）设尸冕,求*JT + 1三、计算题（共42分）1.（6 分）求Iim史S.∙*→υ Sin 3x^3.（6分）求不定积分JXIn（I+十）厶.x .v<ι4.（6 分）求J /（X-1）JΛ∖其中/（x）= < l + cosχ,e' +l,x> 1.5.（6分）设函数y = f（x）由方程JO e,M + ［cos∕d∕ = 0所确定,求dy.6.（ 6 分）设 f f{x）dx = Sin + C,求j + 3）dx.7.（6 分）求极限IinJI÷-Γn→30k 2/7 7四、解答题（共28分）1.（7 分）设,Γ（lnx） = l+x,且/（0） = 1,求32.（7分）求由曲线y = cosx［-^-<x<^及X轴所围成图形绕着X轴旋I 2 2）转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线y = x3-3√÷24x-19在拐点处的切线方程•4.（7分）求函数y = x + √∏7在［-5,1］上的最小值和最大值.五、证明题（6分）设厂（X）在区间［“］上连续,证明i a f^dx = ¥ ［/（“） + f（b）］+1 ［（X - a）（x - b）fj）dx.（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1.设函数/（χ）= 2χ2~1 ,则"1是心）的第_________ 类间断点.X -3x + 23.=∙v→∞V X)4・ 曲线 V 在点(扣)处的切线方程 为 ・5 .函数J = 2X 3-3X 2在［-1,4］上的最大值 _________________ ,最小值 __________ .二、 单项选择题(每小题4分，共20分)1.数列&”｝有界是它收敛的( )•(A)必要但非充分条件； (C)充分必要条件； 2.下列各式正确的是((B)充分但非必要条件; (D)无关条件.)・(A) je-χdx=e"x+C i(B) J In X(IX = _ + C ; (C)JI 2∕x=2hl (l 2x)+C ；(D) f —5—JX = Inlllx+ C ・' ,J XInX3-设/(x)在RM 上，广(x)>O 且厂(x)>0,则曲线y = f(x)在［“问上•6.∣∙arctanx J l +x 2(IX(小沿X轴正向上升且为凹(B)沿兀轴正向下降且为凹的；的；(D)沿X轴正向下降且为凸(C)沿兀轴正向上升且为凸的；的.则/(x)在兀=0处的导? :( )•4. 设/(*)=XInX ’⑷等于1;（C）等于O ；（D）不存在•5.已知Ihn/（x）= 2,以下结论正确的是（）•G）函数在工=1处有定义且/（1）=2 ; （B）函数在；V = I处的某去心邻域内有定义；（C）函数在2 1处的左侧某邻域内有定义；（D）函数在21处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1.求极限:HlnX2 sinx→0X2.已知y = ln（l + χ2）,求几3.求函数J = >0）的导数.5.J X COS XdX ・丄 16.方程y x =X y确定函数y = f（x）f求八四、（H）分）已知/为/（X）的一个原函数，求∫x2∕（x}∕x.五、（6分）求曲线,=壮7的拐点及凹凸区间.六、（10 分）设J广（√∑）/X = X（e、' +1）+C ,求/（X）・（三）填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）・±J_(1)⅛(COSX)r = ________ 石________ .(2)曲线A = Xlnx上及直线X-y + l= °平行的切线方程为y =x-∖(3 )已知f f(e x) = xe~x,且/(D = O ,则大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解/(X)= _________ /Cv)= 2(In X)________ .X 211(4)曲线V =3777的斜渐近线方程为 _______ V= 3Λ^9,二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分)・(1)下列积分结果正确的是(D )(2)函数/W 在［恥］内有定义，其导数广⑴的图形如图1-1所示, 则(D ) •(A)刁宀都是极值点.⑻ g ，/3))，(£，/(£))都是拐点.(C) F 是极值点.，U 是拐点. (D) WJy))是拐点，勺是极值点.(3) 函数y = qe v ÷C 2e-÷A -e'满足的一个微分方程是(D ).(A) /-y-2>∙ = 3xe t . (B) /-y-2y = 3e v . (C) / + y-2y = 3Λ∙e c .(D) / + y~2y = 3e r .lim∕(⅞)-∕(⅞~z0 (4) 设/W 在％处可导，则I h 为(A ) •⑷ 广仇). (B) -f ,M.(C) O. (D)不存在.(5)下列等式中正确的结果是((A) (J* /(x)"∙χ)'Z=/W-(C) 町 /(χ)"χ]=/W -) 微分方程= (V+1)-的通解为三、计算J (本 共4小题，每小题6分，共24分).y =3 _5 "3 O(或令 √Γ+χ = r)四、解答题（本题共4小题，共29分）•1. （本题6分）解微分方程r-5∕÷6j = xe -.解：特征方程r 2-5r + 6 = 0 ------------- 1分 特征解斤=2,r 2 =3. ------------ 1分 3x大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解 恤（丄—丄）1∙求极限j X-I In —X 11. xlnx-x+1Iim (—— _ ——)IIm ---------In XIUn I XTl x-1 I---- + In xh ∖x Iim x →,X -1 + xln1.1 + In X 1 IUn -------- =— j 1 + In X +1 2Λ = In Sin t2.方程尸COSWSinf 确定V 为X 的函数,dy y ,(f)-=-一 =∕sm∕, 解 JX 十⑴求dx 及Jx 2 .（3分） (6分)arctan JX3. 4.计算不定积分J石(1+『. arctanA∕√7—— (i + χ)=21 arctan √7t∕ arctan y ∕x ——解 Hatan 仇=2 J √x(l + x)=(arctan2+C ——「一 dx4.计算定积分如+曲.'3χ(l -VTTX) 0解 分）oT7⅛7_ V dx = 一J(：(I-、/i+x)〃X（6分）LL i∖l4/1 «\ ? r V 八2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ,水的比重为乙计算桶的一端面上所受的压力.解：建立坐标系如图3.(本题8分)设/B在S】上有连续的导数，f(u) = f(b) = θ9且∫O∕2(X)JΛ =1^试求∫>∕ω∕解:J：Xf(X)f∖x)dx = £ Xf(X)df(x) 2 分= -∫n^^W ------------ 2 分=IV 2(Λ-)⅛-|£72(X)厶一一2 分4.(本题8分)过坐标原点作曲线＞, = h^的切线，该切线及曲线y =lnx及X轴围成平面图形D.⑴(3) 求D的面积A;⑵(4) 求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V.解:(1)设切点的横坐标为"，则曲线y = In Λ在点(⅞Jn ⅞)处的切线方程y = Inx0 + —(X-X0).氐__I分由该切线过原点知山心-1 = 0,从而心=匕所以该切线的方程为1y = -X.平面图形D的面积1V = -X(2)切线"及X轴及直线Xe所围成的三角形绕直线Xe旋转V I = -7te1所得的圆锥体积为,3 2分曲线尸IZ及X轴及直线所围成的图形绕直线Xe旋转所得的旋转体体积为V2=(oπ(e-e>)2dy9】分因此所求旋转体的体积为V=V l-V2=-^2-e y)2dy = -(5e2-∖2e + 3).五、证明题(本题共1小题，共7分)•1.证明对于任意的实数Y , eJl + x.e x = l + x + —Λ2≥l + x2解法二设fM = e x-x~^则/(0) = 0.因为f f M = e x-∖. 1 分当Xno时，f,M≥o.f(χ)单调增加，/(χ)≥∕(θ)=o.当x≤0时，∕,ω≤0.∕(Λ∙)单调增加，/(X)≥/(0) =0. 所以对于任意的实数X, ∕3≥°∙即e'≥l + I 解法三：由微分中值定理得，R -1 = “ -60 =^(X-O) = ^Xt 其中§位于0 到X 之一1分2分A = V -ey)dy = ~e~^∙解法一:2分2分1分2分间。
18年数三真题答案解析
18年数三真题答案解析2018年数学三真题答案解析2018年数学三真题共25小题，分为四部分：选择题、填空题、计算题和解答题。
下面我们就来分析详细的答案解析。
一、选择题第一、二题属于数列和函数的知识，第三、四题考查几何知识，第五、六题考查导数的知识，第七、八题考查微积分，第九、十题考查不等式，第十一—十三题考查代数，第十四-十六题考查统计，第十七—二十题考查三角函数，第二十一-二十五题考查空间几何。
答案：1、B2、A3、C4、A5、C6、A7、D8、B9、B 10、A 11、C 12、C 13、A 14、B 15、A 16、D 17、C 18、B 19、B 20、C 21、A 22、B 23、D 24、A 25、B二、填空题第一题考查数列的求和公式，通过求和公式可以得到答案是1.12。
第二题考查函数与曲线，给出的坐标(1,2)可以求出f(2)的值，即为1。
第三、第四题考查几何，利用求解直角三角形面积的公式可得出答案，分别是2.5和1.75。
第五题与第六题考查导数中的导数定义和不定积分，第五题的答案为-1/2，第六题的答案为1。
答案：1、1.12 2、1 3、2.5 4、1.75 5、-1/2 6、1三、计算题第一、二题考查高等数学的积分，第一题的答案为0.15，第二题的答案为0.75。
第三、四题考查代数中的矩阵，第三题的答案为1，第四题的答案为2。
第五题考查近似计算，答案为0.390。
答案：1、0.15 2、0.75 3、1 4、2 5、0.390四、解答题第一题考查数列的知识，将数列分成形如2n+1、2n-1的两部分，分别求和，最后加上最后一项之后得出答案985。
第二题考查微积分中的椭圆曲线，首先求出a与b，以及f(x)在[0,π/2]上最大值cn，根据给定条件可得出答案为6个π/3。
第三题考查空间几何，要求求出空间两个线段之间的距离公式，最后可得出答案3·π√3/90。
答案：1、985 2、6π/3 3、3π√3/90。
2018-2019学年第一学期高数期末参考答案(1)
=
1
ee
+
2
π −2.
天津大学试卷专用纸
学院
专业
班
年级
学号
姓名
共 3页 第2页
四、计算题（共 35 分, 每小题 7 分）
1. 计算定积分
π
3 −π
3
(
x
+ 2)sin cos2 x
x
dx
.
解：
π
3 −π
3
2 sin cos2
x x
dx
=
0,
I
=2
π
3 x d sec x
0
=
x
sec
x
5.
设 I1 =
π 4 0
tan x x
dx,
I2
=
π 4 0
x tan
x
dx
,
则
(
B
).
(A) I1 I2 1; (B) 1 I1 I2 ; (C) I2 I1 1; (D) 1 I2 I1 .
二、填空题（共 15 分, 每小题 3 分）
arcsin x
1. 极限 lim
1− x2 =
(1) D 的面积 S; (2) D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V.
所以对应齐次方程通解 y = C1e2x + C2e3x .
解： A点坐标
2 1
2
,
2
,
直线 oA : y =
2 2x
(1) S =
2
2 0
2 2
x − x2
dx
=
2 4
x2
2 2 0
−
1 3
高数三期末考试题及答案
高数三期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B3. 判断下列级数是否收敛。
∑(1, 2, 3, 4, ...)A. 收敛B. 发散答案：B4. 求解微分方程dy/dx+y=x的通解。
A. y = e^(-x)∫x dx + CB. y = e^(x)∫x dx + CC. y = e^(-x)∫e^x dx + CD. y = e^(x)∫e^(-x) dx + C答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=sinx的二阶导数是______。
答案：-cosx2. 求极限lim(x→0) (sinx/x)。
答案：13. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，求其顶点坐标。
答案：(2, 0)4. 计算二重积分∬D xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的闭区域。
答案：π/2三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点。
解：首先求导数y'=3x^2-12x+9，令y'=0，解得x=1或x=3。
然后检查二阶导数y''=6x-12，发现x=1时y''<0，x=3时y''>0，因此x=1为极大值点，x=3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。
解：首先进行积分运算，得到∫(x^2-4x+4) dx = (1/3)x^3-2x^2+4x。
然后将积分上限2和下限0代入，计算得到(1/3)(2)^3-2(2)^2+4(2)- [(1/3)(0)^3-2(0)^2+4(0)] = 8/3 - 8 + 8 = 8/3。
3. 求解微分方程dy/dx-2y=e^(2x)。
2018年全国3卷理科数学真题（解析版）
18年全国3卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合AT x |x ・120}, B={0. 1. 2},贝iJACBA. {0JB. HIC. {1 . 2}D. (0. k 2}【答案】C【解析】分析：由题意先解出集合A.进而得到结果。
详解：由集合A 得X2 1,所以AOBTL2}故答案选C.2. (1 +A. -3rB. -3+iC. 3-iD. 3 + i【答案】D【解析】分析：由0数的乘法运算展开即可。
详解：(I + iX2 • i) = 2 . 1 + 2」.『=3 + l故选D.3.中国古建筑借助棵卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫桦头，凹进部分叫卯眼，图中 木构件右边的小长方体是桦头.若如留摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯限的木构件的俯视图可以是fS徵方向A C D. DC DA. AB. BC.【答案】A【解析】分析：观察图形可得。
详解：观擦图形图可知，俯视图为_____:故答案为A.4.若gma-,则cos2a7SA. B. C.— D.—99【答案】B【解析】分析：由公式脉2«=1”28静(1可得。
,27详解:cos2a•1-2sin"a■1--1■-99故答案为B.5.的展开式中的系数为A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】分析：与出然后可得结果详解：由鼬可得T"」C^x2)5'r(-)r C；2r-x10JrX令10.3r=4,则r=2所iUC；-2,=C^x2z=40故选C.6直线x+y+2=0分别与轴，轴交于，两点，点在圆(x-2)'y'=2上，则△ABP面积的取值范围是A.|2.6|B.[4.8]C.匝.^1D.[20.3因【答案】A【解析】分析：先求出A・B两点坐标得到|AB|•再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围・由而枳公式计算叩可详解：•・Fgr+2=0分别与轴，轴交于，两点•・•点P在圆&.2尸+广=2上12+0+21 l W 同心为(2, 0).则圆心到I • L .项小一f —"夕故点P 到立线x +y f =0的距离的范"I 为[也3卤则 S &AB P -*!AB|<i 2-^d,e[16]故答案选A.D. DC. C A. A B. B【答案】D 【解析】分析:由特殊值排除即可详解：％ = 0时.y = 2,排除ABy ，= + ・2\(2^・ 1)•场丘• y AO,排除C故正确答案选D.8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，备成员的支付方式相互独立，设为该群体 的10位成员中使用移动支付的人数,DX = 24, P(X = 4)<P(X 6),则pA. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B【解析】分析；判断出为二项分布.利用公mx)=np(l・p)进行计算即可•IXX)二np(l・P)••・p=04或p=06P(X=4)=C加」(】.p)6<P(X=6)=C,y(1-p)1,.-.(I『)2<^,可知1>>。
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (17)
一、填空题（共5小题，每小题3分）1）当x a →时，()1ln x f x x-=是无穷小，则实数a =0。
2）设lny =，则dy =()3cos 2sin 1xdxx +。
3）设()f x 在0x 可导，则()()00023limh f x h f x h h→+--=()05f x '。
4）曲线ln y x =的拐点为()1,0。
5）设()xf x xe =，则()()n fx 在点x =1n --处取极小值1n e ---。
二、计算下列各题（共4小题，每小题5分）1）求极限2lim nn →∞⎛⎫+++。
2n ≤++≤+1n n ==利用夹逼准则有2lim 1n n →∞⎛⎫++=+。
2）计算21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+⎪⎝⎭。
解：原式22111lim ln 1ln 1lim x x x x ex x x x ee-→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦→∞==令1t x=，则原式()()2000111ln 111limlim lim 2122t t t t tt t tte eee →→→--+-+-+====3）求极限()2arctan limxx t dt解：原式()22arctan lim4x x π→+∞==4）设函数()1010xxx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，讨论函数()f x 在点0x =处的连续性和可导性。
解：1、讨论连续性 因为()()1lim lim001x x xxf x f e→→===+，所以()f x 在点0x =处的连续；2、讨论可导性 因为()()()()110000011lim lim 0,lim lim 111h h h h hhf h f f h f hhee++--→→→→--====++所以()f x 在点0x =处不可导。
三、解答下列各题（共3小题，每小题6分）1）由方程()tan y x y =+确定了隐函数()y y x =，求()y x 的二阶导数。
2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (9)
高等数学（试卷号：2001-D 时间：150分钟 总分100） 院（系）： 专业班： 姓名： 成绩报告表序号：一项符合题目要求，把所选项前的字母填写在题后的括号内。
1、下列函数中是奇函数的为（A ）(A) ⎪⎩⎪⎨⎧<->+=00,0,)(22当当x x x x x x f (B) 12121)(+-+=x x x f (C) x x f arccos )(= (D) x e x x x f cos sin )(=2、0=x 是函数xx e x f x sin 12)(1++=的（B ）间断点 (A) 跳跃 (B) 可去(C) 无穷 (D) 振荡3、⎩⎨⎧<≥-=00,20,1)(当当x x e x f x ，则)(x f 在0=x 处（D ）(A) )(lim 0x f x →不存在 (B) )(lim 0x f x →存在，但在0=x 处不连续 (C) )0(f '存在 (D) )(x f 在0=x 处连续，但不可导4、设)0(,1)(ln >+='x x x f ，则=)(x f （C ）换元法。
(A) C x x ++2)(ln 21ln (B) C x x ++221 (C) C e x x ++ (D) C e e x x ++221 5、设⎰⎰+==xxdt t x tdt x 20sin 0)1ln()(,2sin )(βα，则当0→x 时，)(x α与)(x β相比较，)(x α是)(x β的（B ）(A) 等价无穷小 (B) 同阶但不等价无穷小(C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小6、若b ax ax x f +-=236)(在]2,1[-上的最大值为3，最小值为-29，且0>a ，则应有 （A ）(A) ;3,2==b a (B) ;3,1==b a(C) 29,2-==b a (D) .2,3==b a二、填空题（本题18分，每小题3分）1．设2)(a a f ='，且0>>a b ，则=--→ab a f b f a b ln ln )()(lim 3a 2．曲线2ln 2x x y =的拐点是)23,2(2323-e e (y ’’=0) 3．曲线12+=x xe y 的铅直渐近线方程是0=x4．=+⎰-dx x x x 2222cos )sin 3(ππ8π 6．=+⎰∞+12)1(x x dx 2ln 21三、解答下列各题（本题36分，每小题6分）1．求极限)tan 11(lim 20xx x x -→ 313tan lim 31sec lim tan lim )tan 11(lim 2202203020==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x 2．设⎩⎨⎧>≤+=0),sin(0,)(x ax x b e x f x ，试确定b a ,之值，使)(x f 在0=x 处连续可导， 并求)0(f '要)(x f 在0=x 处连续，1-=b ，⎩⎨⎧=+=+=-0)0()0(1)0(f f b f 而11lim )0(0=-='-→-xe f x x ，a x ax f x =='+→+)sin(lim )0(0 所以，要)(x f 在0=x 处可导，1=a 且1)0(='f3．方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定y 是x 的函数，求0=t dx dy 的值2|)26(00=+===t t t dt dx 0cos sin ='-+'⋅t y t y y t e t y e ，1)0(,0===y e dt dy t 于是20e dx dy t ==4．求⎰-dx e xe x x 1 令t e x =-1，则⎰⎰++-+=+=-c t t t t dt t dx e xe x xarctan 44)1ln(2)1ln(2122 ⎰+-+--=-∴c e e x dx e xe x x x x1arctan 41)42(1 5．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x e x x x f x，求⎰-20)1(dx x f 令t x =-1，⎰⎰⎰⎰--+++==-1101102011)()1(x dx e dt dt t f dx x f t )1ln()]1[ln(|)]1ln([1001e x e t t +=+++-=- 6．计算⎰+31221x x dx令t x tan =，则⎰⎰-=-==+4322sin 1sin cos 13423122ππππt dt t t x x dx 四、（本题9分）在曲线21xy =上求点M ，使过该点的切线被两坐标轴所截得的长度最短。
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2004学年第1学期 考试科目：高等数学（经贸类）
一．填空题（每空2分）
1．已知0→x 时， 1)1(3
12-+ax 与1cos -x 为等价无穷小量，则=a
2．函数216ln x x y -+=的定义域为
3. 已知10)0('=f ，则x
x f x f x )()2(lim 0-→= 。
4．已知x x a y 3cos 31sin +=在3π=
x 处有极值，则=a 5．设)3cos(x y =，则)12(y = 。
6．若等式)34(x ad dx -=成立，则=a
7．设收益函数201.0150)(x x x R -=（元）,当产量100=x 时，其边际收益是 。
8．由曲线)(θr r =及射线βθαθ==,所围的曲边扇形面积公式为 。
9．设曲线的参数方程为⎩⎨
⎧==)()(t y y t x x ，βα≤≤t ，则弧长公式为 。
10．53)1(lim e x
k x x =+∞→，则=k 二．选择题（每题3分） 1．当0→x 时，x e x sin 1--是2
x 的 无穷小。
A. 低阶； B. 高阶； C. 等价； D. 同阶非等价；
2．设x x x f -+=22)(在区间),(+∞-∞内是 。
A 偶函数 B.单调增函数 C.有界函数 D.单调减函数
3．设)
1(1)(2--=x x x x f ，则x=1是)(x f 的 间断点。
A ．第二类间断点； B.可去； C.跳跃；
4．函数)(x f 在0x 处左、右连续是)(x f 在0x 处连续的 。
A ．必要条件； B.充分条件； C.充分必要条件； D.都不是；
5．⎰+=c e x dx x f x 22)(，则)(x f =
A. x xe 22
B. x e x 222
C. c xe x +22
D. )1(22x xe x +
三．解答下列各题（第9题10分,其余每题5分）
1．2002lim 22x dt e t x t x ⎰+→ 2. 设sin x y x =，求dy 3.⎰--+dx e e x
x
1 4. ⎰xdx ln 5. ⎰-2
022a
dx x a 6. ⎰+∞
-1dx xe x 7. 确定a 、b 的值，使函数⎩⎨
⎧≤>+=1,1,)(2x x x b ax x f 在定义域内可导。
8.求由方程0333=-+xy y x 确定的隐函数)(x y y =的导数
dx dy 9. 设某厂每批生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位产品，成本增加5（百元），已知需求函数p Q 2100-=（其中p 为价格，Q 为产量），这种产品在市场上是畅销的。
（1）试分别列出该商品的总成本函数)(p C 和总收益函数)(p R 的表达式。
（2）求出使该商品的总利润最大的产量和最大利润。
（3）求出需求弹性。
（4）p 为何值时，需求函数p Q 2100-=达到单元弹性需求？
10. 求函数2
3)32()1(+-=x x y 的极值。
四 ．证明下列各题（每题5分）
1．证明方程：0133=+-x x 在区间（1，2）内只有一个实根。
2． 证明不等式：b a b a -≤-sin sin
参考答案：
2004学年第1学期 考试科目：高等数学（经贸类）
一．填空题（每空2分）
1．=a -3/2；2. (0,4) 3. x
x f x f x )()2(lim 0-→= 10; 4.=a 3; 5.)12(y =)3cos(312x 6．=a -3; 7．148; 8．⎰βα
θθd r )(212。
9
．βα⎰。
10．=k 5/3 二．选择题（每题3分）
1．d; 2. a; 3.b; 4.c; 5.d
三．1．414lim 2lim 422200==⎰+→x
xe x dt e t x x t x 2.x x y ln sin ln =;sin sin (cos ln )x x dy x x x x =+
3.⎰--+dx e e x x 1c e e
de x x x
++=+-=---⎰)1ln(11 4. ⎰xdx ln ⎰+-=-=c x x x dx x x ln ln 5.⎰-2
22a
dx x a )436()2sin(2/1())2cos(1(6060+=+=+=⎰πϑθππa a a a dx x a a 6. ⎰+∞-1dx xe x 1112)(lim lim ---+∞→-+∞→=--=-=⎰e e xe xde
b x x b b x b 7. 211lim()lim()11x x ax b x a b +-→→+==⇒+=，21111lim lim 211
1x x ax b x a b x x +-→→+--=⇒=⇒=--- 8.2
22
2333()0y x x y y y xy y y x -'''+-+=⇒=- 9. a. 总成本函数为：p Q Q C 107005200)(-=+=；
总收益函数为：2
2100)(p p Q p p R -=⋅=
b. 总利润函数为2()()()2110700;()4110L p R p C p p p L p p '=-=-+-=-+
令()0,27.5,45(27.5)40,L p p Q L '''====-<得：。
而所以当产量为45时，总利润最大。
c.需求弹性：p
p p Q p Q p 21002)()('-=-=η； d. 令1=η，得到单元弹性需求：25=p
10. 212331(1)(23)(105)0;;122y x x x x x x '=-++==-=-=令，得：
列表判断得: 211321023-=-=-）（；）（极小极大f f
四、 1．设3
()31f x x x =-+，则()f x 在[1,2]上连续，且(1)(2)30f f ⋅=-<，由零点定理得：()0f x =在(1,2)内至少有一个实数根。
又2()3(1)0f x x '=->，至多有一个实根，故得证。
2．证明 设x x f sin )(=，若a b =,显然成立。
不妨设a b <,则()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，由定理得：
(,),()()()()a b f b f a f b a ξξ'∃∈-=-使：
即sin sin cos ()b a b a ξ-=⋅-，1cos ≤ξ，得证。