江西省南昌市第三中学教育集团2021届九年级第四次月考数学试卷

第5题
2021届南昌三中教育集团初三第四次月考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18分）
1. 在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则cos A 的值是( )
A. 1213
B. 513
C. 5
12
D. 12
5
2. 从一个正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图．从正面
看如图的几何体，得到的主视图是( )
A. B. C.D.
3. 在平面直角系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O 为位似中心，相似比为1
2，把△ABO 缩小， 则点A 的对应点A′ 的坐标是( )
A. (−2,1)
B.(−8,4)
C.(−2,1)或(2,−1)
D.(−8,4)或(8,−4)
4. 如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB
⏜=AD ⏜，AC 交BD 于点G. 若∠COD =126°，则∠AGB 的度数为( )
A. 99°
B. 108°
C. 110°
D. 117°
5. 如图，把一个含45°角的直角三角板OAB 的斜边OA 放在x 轴的正半轴上，点O 与坐标原点重合，OA ＝4，把三角板OAB 绕坐标原点O 按顺时针方向旋转75°， 使点B 的对应点B′恰好落在反比例函数y =k
x (k ≠0)的图象上，由此k 的值为( )
A. －4
B.
C.
D.
6. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a,b ，c ，是常数，a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点，
顶点P(m,n).给出下列结论，正确的有( ) ①abc >0；②9a −3b +c <0;
③若点(−1
2,y 1),(1
2,y 2),(3
2,y 3)在抛物线上，则y 2<y 1<y 3; ④关于x 的ax 2+bx +k =0有实数解，则k ≥c −n ； ⑤当n =−3a 时，ΔABP 为等边三角形．
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
第2题
第6题
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7. 有一个圆心角为120°，半径长为8cm 的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径
是______cm ． 8. 已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k +3)x +k 2=0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1
x 1+
1
x 2=−1，则
k 的值为______．
9. 某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是 .
10. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD
相交于点P ，则tan∠APD 的值是___________．
11. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝
，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ ⊥BC
于点Q ，则PQ =______．
12. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，，点E 是BC 的中点，点F 在AB 上，FB ＝4，P 是矩形上
一动点．若点P 从点F 出发，沿F →A →D →C 的路线运动，当∠FPE =30°时，FP 的长为______． 三、（本大题共5小题，共30分）
13. （1）计算：4cos30°+(π−2021)0−√12+|√3−2|．
（2）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，求该几何体的表面积.
14. 已知，如图，点C 、D 在⊙O 上，直径AB ＝6ｃｍ，弦AC 、BD 相交于点E ，CE =BC ．
（1）求图中阴影部分的面积．
（2）求CD 的长．
15. 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于
地面的大树顶端C 的仰角为45°，然后沿斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平 方向行走4米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i =1：2.4，求大树CD 的高度．
第10题
第11题
第12题
16. 如图，A，B，C是⊙O上的三上点，且四边形OABC是菱形，请用无刻度直尺完成下列作图．
(1)如图①，作出线段OA的垂直平分线；
(2)如图②，作出线段BC的垂直平分线．
17.某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg.在销售过程中发现销量y(kg)与售价x(元/kg)之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：
x12141517
y36323026
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
三、（本大题共3小题，共24分）
18.为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部
分出行市民的主要出行方式(参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成
种类A B C D E
出行方式共享单车步行公交车的士私家车
根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有______人，其
中选择B类的人数有______人；
（2）根据统计图信息，求A类对应扇形圆心角α的度数，补全条形统计图；
（3）该市约有10万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．
19.近年来，共享单车服务的推出（如图1），图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半
径约为30cm），其中BC∥直线l，∠BCE＝71°，CE＝54cm．
（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）
（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒适．小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
(x<0)的图
20.如图，已知∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数y=−3
x
(x>0)的图象过点A．
象过点B(−3,a)，反比例函数y=k
x
(1)求a和k的值.
（2）过点B作BC//x轴，与双曲线y=k
交于点C.求△OAC的面积．
x
四、（本大题共2小题，共18分）
21.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，
在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接DG，若AC//EF时．
①求证：△KGD∽△KEG；
②若cosC=4
，AK=√10，求EG的长．
5
22 . 我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B(或∠BCD=∠A)，则称满足这样条件的点D为△ABC边AB上的“理想点”．
(1) 如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，，AB=6，试判断点D是不是△ABC边AB上
的“理想点”，并说明理由．
(2) 如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB=10，AC=8，若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求
CD的长．
(3) 如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2)，B(0,−3)，C(6, 0) ，且满足∠ACB=45°，在y轴上
是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
五、（本大题共1小题，共12分）
23. 在直角坐标系xOy中，定义点C(a,b)为抛物线L：y=ax2+bx(a≠0)的特征点坐标．
(1) 已知抛物线L经过点A(−2,−2)、B(−4,0)，求出它的特征点坐标；
(2) 若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示：
①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为______；
②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；
③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值.。