四种命题典型例题
四种命题
1.（1）逆命题 n N ∀∈N ，则n 是完全平方数； （真）否命题 n N ∀∈，若n N ； （真）逆否命题 n N ∀∈N ，则n 不是完全平方数； （真）（2）逆命题 ,a b R ∀∈，如果2a ab =，则a b =； （假）否命题 ,a b R ∀∈，如果a b ≠，则2a ab ≠； （假）逆否命题 ,a b R ∀∈，如果2a ab ≠，则a b ≠； （真）（3）逆命题 ,x q R ∀∈，如果20x x q +-=有实根，则0q >； （假）否命题 ,x q R ∀∈，如果0q ≤，则20x x q +-=无实根； （假）逆否命题 ,x q R ∀∈，如果20x x q +-=无实根，则0q ≤； （真）（4）逆命题 ,x y R ∀∈，如果0x =或0y =，则0xy =； （真）否命题 ,x y R ∀∈，如果0xy ≠，则0x ≠且0y ≠； （真）逆否命题 ,x y R ∀∈，如果0x ≠且0y ≠，则0xy ≠； （真）（5）逆命题 如果四边形的对角线互相垂直，则它是菱形 （假）否命题 如果四边形不是菱形，则它的对角线互相不垂直 （假）逆否命题 如果四边形的对角线互相不垂直，则它不是菱形 （真）（6）逆命题 若0>+n m ，则0>m 且0>n （假）否命题 若0≤m 或0≤n ，则0≤+n m （假）逆否命题 若0≤+n m ，则0≤m 或0≤n （真）2. （1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等；（真）逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等； （真）否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形对应边不都相等； （真）逆否命题：若两个三角形的对应边不都相等，则这两个三角形不全等． （真）（2）原命题可以写成：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形； （假）逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等； （真）否命题：若一个四边形的四条边不都相等，则它不是正方形； （真）逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不都相等． （假）3. 若1x ≥，或1x ≤-，则12≥x4.0a >，0b >且a b -为有理数．因为a b -=+=用反证法证明：已知a 、b .a b =-.由0a >，0b >0>.=.因为a 、b 为有理数，且.所以，+为有理数，即..点评：本例推出的是与已知矛盾，反证法导出结果的几种情况：（1） 导出p ⌝为真，即与原命题的条件矛盾.（2） 导出q 为真，即与假设“q ⌝为真”矛盾.（3） 导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾.（4） 导出自相矛盾的命题.5.证：由求根公式得1,2x p =-±假设1x 和2x m n =，(,)1m n = 则222m p q n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭为整数，因为(,)1m n =，所以1n =，即222p q m -= 所以()()2p m p m q -+=而p m -与p m +同奇偶，所以p m -与p m +均为偶数，所以()()p m p m -+为4的倍数 这与2q （q 为奇数）不为4的倍数矛盾。
四种命题的真假关系(含答案)
B. 当 揀 时该命题成立
C. 当 揀 时该命题不成立
D. 当 揀 时该命题成立
25.已知命题“函数 f（x）、g（x）定义在 R 上，h（x）=f（x）•g（x），若 f（x）、g（x）均为奇函数，
ᇮtan 揀
17.下列命题中，假命题的个数为（ ）．
①对所有正数 p， ；
②不存在实数 x，使 x<4 且
揀；
3
③存在实数 x，使得 ᇮ
ᇮ且 䮠 ；
④3>3，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
18.命题“若 则 ”及其逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数可能是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 都有可能
题中，真命题的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
3.下列命题错误的是（ ）
A. 命题“若 m＞0，则方程 x2+x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为：“若方程 x2+x﹣m=0 无实数根，则
m≤0”
B. 若 p∨q 为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题
C. “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
D. 若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题
4.在命题“若抛物线 揀 ᄂ ܾ 的开口向下，则 䮠ᄂ ܾ
”的逆命题、否命题、逆否命
题中结论成立的是（ ）
A. 都真
B. 都假
C. 否命题真
D. 逆否命题真
5.下列说法正确的是（ ）
A. “若 ᄂ 䮠 ᇮ ，则 ᄂ 䮠 ᇮ ”的否命题是“若 ᄂ 䮠 ᇮ ，则 ᄂ ᇮ ”
A. 3
数学命题的常见形式
例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并 判断这些命题的真假。
1）当 c>0时，若a>b，则ac>bc
真
逆命题：当 c>0时，若ac>bc ，则 a>b 真
否命题：当 c>0时，若a≤b，则ac≤bc
逆否命题：当 c>0时，若ac≤bc ，则 a≤b
2）若x=y，则 x y
真
逆命题：若 x y ，则x=y
c 2、 命题“x R， 使得x2 1 3x ”的否定为（ ）
A、 x R，使得x2 1 3x B、 x R，使得x2 1 3x C、 x R，使得x2 1 3x D、 x R，使得x2 1 3x
3、已知命题甲：“若p，则q”；命题乙：“若q，则p”；
命题丙：“若p ，则q ”；命题丁：“若q ，则p ”。
解：因为原不等式的解集非空，
所以 (2a 1)2 4(a2 2) 0 即 4a 7 0 解得 a 7 ，所以原命题为真，
4
又因为原命题与其逆否命题等价，所以其逆否命题为真。
小结
1）命题的四种形式； 2）四种形式间的真假关系； 3）四种形式间的等价关系；
4）命题的否定与否命题的区别。
假
否命题：若x≠y，则 x y
假
真 真
逆否命题：若 x y ，则x≠y
真
例3与命题“若m M ，则nM ”等价的
命题是 （ D）
A、若 m M ，则 nM
B、若 nM ，则 m M
C、若 m M ，则 nM
D、若 nM ，则 m M
巩固练习：
判断命题的真假
1）若x+y≠3，则x≠1或y≠2
真
假 。
若﹁p则﹁q
高一数学命题与四种命题练习题
高一数学命题与四种命题练习题题型一：判断命题的真假【例1】 判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】 判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3p ，并判断它是不是真命题；【例4】 判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交；⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直；⑶每一个周期函数都有最小正周期；⑷两个无理数的乘积一定是无理数；⑸若A B ，则A B B ≠；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根．⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+；⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【例5】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个典例分析【例6】 命题p ：奇函数一定有(0)0f =；命题q ：函数1y x x=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．则下列四个判断中正确的是（ ） A ．p 真q 真 B ． p 真q 假 C ． p 假q 真 D ． p 假q 假【例7】 给出下列三个命题：①若1≥a b >-，则11≥a b a b++；②若正整数m 和n 满足≤m n 2n ； ③设11()，P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以()，Q a b 为圆心且半径为1．当2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 与圆2O 相切；其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例8】 已知三个不等式：000，，c d ab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例9】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【例10】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥． 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例11】 已知三个不等式：0,0,0c d ab bc ad a b>->->（其中,,,a b c d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （）A. 0B. 1C. 2D. 3【例12】 下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π．②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象． ⑤函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数． 其中真命题的序号是 ．【例13】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例14】 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）【例15】 若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是___________.【例16】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；②对a V ∈，设()2f a a =，则f 是平面M 上的线性变换；w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m ③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，，a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【例17】 设有两个命题：:p 不等式|||1|x x a ++>的解集为R ，命题:q ()(73)xf x a =--在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是 .【例18】 关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【例19】 对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”：1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=；②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=；③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【例20】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．题型二：四种命题之间的关系【例21】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例22】 写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例23】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”；⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”；⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例24】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”；⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”；⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”；⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．【例25】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④命题②、③、④与命题①有何关系？【例26】 下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题②“正多边形都相似”的逆命题③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题④“若x x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④【例27】 命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠【例28】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x -B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x【例29】 已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个【例30】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例31】 下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例32】 有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例33】 原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．4【例34】 给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例35】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥【例36】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例37】 命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 ．【例38】 下列命题中_________为真命题．①“A B A =”成立的必要条件是“A B ”；②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【例39】 “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为 ；【例40】 有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．【例41】 命题“若,x y 是奇数，则x y +是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题.【例42】 写出命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.【例43】 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列；⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．【例44】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x y 22=相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．。
高中数学四种命题经典例题
例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x[ ]A y x yB y kx x yC x y y ．若≠，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k xk xD y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x分析 条件及结论同时否定，位置不变．答 选D ．例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了． 解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}”例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．分析根据命题的四种形式的结构确定．解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0．说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心．例5有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是A B B A B[ ] A．①②B．②③C．①③D．③④分析应用相应知识分别验证．解写出相应命题并判定真假①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；②“不相似三角形周长不相等”为假命题；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；选C．例6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a ＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a ＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a ≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．例7 已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．分析 如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a 范围比较简单．解由－－＜－－＜＋＜得 16a 4(34a)0(a 1)4a 04a 8a 02222⎧⎨⎪⎩⎪说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．例8 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．①＞时，－＋＝无实根；m mx x 10214②当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0．分析 改造原命题成“若p 则q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．解①原命题：“若＞，则－＋＝无实根”，是真 m mx x 10214命题；逆命题：“若－＋＝无实根，则＞”，是真命题；否命题：“若≤，则－＋＝有实根”，是真命题；逆否命题：“若－＋＝有实根，则≤”，是真命题．mx x 10m m mx x 10mx x 10m 222141414②原命题；“若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0”，是真命题；逆命题：“若a ＝0或b ＝0或c ＝0，则abc ＝0”是真命题； 否命题：“若abc ≠0，则a ≠0且b ≠0且c ≠0”，是真命题；(注意：“a ＝0或b ＝0或c ＝0”的否定形式是“a ≠0且b ≠0且c ≠0”逆否命题：“若a ≠0且b ≠0且c ≠0，则abc ≠0”，是真命题．说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．例若、、均为实数，且＝－＋π，＝－＋π，＝－＋π，求证：、、中至少有一个大于．9 a b c a x 2y b y 2z c z 2x a b c 0222236分析 如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法．解 设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则有a ＋b ＋c ≤0，而a b c (x 2y )(y 2z )(z 2x )222＋＋＝－＋π＋－＋π＋－＋π236 ＝(x 2－2x)＋(y 2－2y)＋(z 2－2z)＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)∴ a ＋b ＋c ＞0这与a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此a 、b 、c 中至少有一个大于0．说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定．。
高中数学-命题的四种形式练习
高中数学-命题的四种形式练习课后训练1．命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题是( )A．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B都不是锐角B．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角C．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B必有一钝角D．在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，则∠C＝90°2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数3．下列说法正确的是( )A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为假B．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为真C．一个命题的否命题为真，则它的逆否命题为真D．一个命题的逆否命题为真，则它的逆命题为真4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数5．下列命题中，是真命题的为( )A．“若二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，则b2－4ac＞0”的逆否命题B．“正方形的四条边相等”的逆命题C．“若x2－4＝0，则x＝2”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题6．命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是__________．7．命题“若x，y是偶数，则x＋y是偶数(x∈Z，y∈Z)”的逆否命题是__________，它是__________命题(填“真”或“假”)．8．有下列四个命题：①如果xy＝1，则lg x＋lg y＝0；②“如果sin α＋cos α＝π3，则α是第一象限角”的否命题；③“如果b≤0，则方程x2－2bx＋b＝0有实数根”的逆否命题；④“如果A∪B＝B，则A B”的逆命题．其中是真命题的有__________．9．写出命题“正n(n≥3)边形的n个内角全相等”的否定和否命题．10．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；(2)若a＝2，则函数y＝a x是增函数．参考答案1.答案：B2.答案：B3.答案：B 由四种命题的关系可知，一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系，根据互为逆否的两个命题是等效的(同真同假)，可得选项B正确．4.答案：B5.答案：C 对于A项，该命题是假命题，故其逆否命题也为假；对于B项的逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”是假命题；对于C项的否命题为“若x2－4≠0，则x≠2”为真命题；对于D项的逆命题为“相等的角是对顶角”为假命题．6.答案：到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上7.答案：若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数(x∈Z，y∈Z) 真8.答案：③④命题①显然错误，例如：x＝－1，y＝－1时，lg x＋lg y无意义．对于②，其否命题为“如果sin α＋cos α≠π3，则α不是第一象限角”，因当α＝60°时，sin α＋cos α＝13π23，故知其否命题为假．对于命题③，因当b≤０时，Δ＝4b2－4b≥０恒成立，故方程x2－2bx＋b＝0有实数根．由原命题与其逆否命题真假相同，可知命题③的逆否命题是真命题．对于④，其逆命题为“若A B，则A∪B＝B”，显然为真．9.答案：分析：对该命题的结论加以否定得到其否定为：正n边形的n个内角不全相等．对该命题的结论和条件分别加以否定得到其否命题为：不是正n边形的n个内角不全相等．解：命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．10.答案：分析：依据四种命题的定义分别写出逆命题、否命题、逆否命题．“０或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．解：(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)(2)逆命题：若函数y＝a x是增函数，则a＝2；(假)否命题：若a≠2，则函数y＝a x不是增函数；(假)逆否命题：若函数y＝a x不是增函数，则a≠2.(真)。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
命题的四种形式及充分条件与必要条件
命题的四种形式及充分条件与必要条件⑴【典型例题】例1．填空：⑴B A ⊇是(A ∩C )⊇(B ∩C )成立的 条件．⑵在空间四点中，无三点共线是四点共面的 条件．⑶“在△ABC 中，A ＝60°，且 co s B ＋co s C ＝1”是“△ABC 是等边三角形”的 条件．⑷设集合A ＝{长方体}，B ＝{正四棱柱}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的 条件.⑸一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 .⑹命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的条件.⑺已知0>h ，设命题甲为：两个实数b a ,满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数b a , 满足h a <-1且h b <-1，那么甲是乙的 条件.⑻给出下列命题①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ” ；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。
其中正确命题的序号是_______________.【课堂检测】1.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 条件．2. 以下同个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -= ，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+ 则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点。
四种命题课件-人教版高中数学
把下列命题改写成“若p则q”的形式,并
判定真假。
（1） 负数的平方是正数.
真命题
（2） 正方形的四条边相等.
真命题
（3） 等腰三角形两腰的中线相等 真命题
（4） 面积相等的两个三角形全等. 假命题
（5）偶函数的图象关于y轴对称 真命题
（6）垂直于同一个平面的两个平面 假命题
平行
（7）对顶角相等
真命题
命题：语句都是陈述句，并且可以判断真假。 真命题：判断为真的语句。 假命题：判断为假的语句。
例1.判断下列语句是不是命题？是真命题还是假命题
1) 空集是任何集合的子集
真命题
2) 若整数a是素数，则a是奇数. 3) 指数函数是增函数吗？
假命题 疑问句
4) 若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行.假命题
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
学好要领
下列句子中，你能判断它们的真假吗？
⑴若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点 能源自⑵画一个角等于已知角； 不能
⑶刘翔是世界冠军；
能
⑷垂直于同一条直线的两个平面平行 能
⑸请借我一枝钢笔。不能
⑹玫瑰花是动物。 能
⑺熊猫没有翅膀。
能
⑻若a2＝ b2，则a＝b。 能
题是D( )
A. a,b都不是奇数,则a+b是偶数 B. a+b是偶数 ,则a,b都是奇数 C. a+b是偶数 ,则a,b都不是奇数 D. a+b不是偶数,则a,b不都是奇数;
作业：写出下列各命题的逆命题，否命题，逆 否命题，并判断各命题的真假：
（1）菱形的四条边都相等
（2）若 x2 x 2 0 ，则x 1 且 x 2
四种命题_典型例题.docx
四种命题_典型例题.docx四种命题·典型例题能力素质例 1 命题“若 y ＝ k，则 x 与 y 成反比例关系”的否命题是x[ ]A ．若y ≠ k，则 x 与y 成正比例关系xB ．若y ≠kx ，则 x 与y 成反比例关系kC ．若 x 与y 不成反比例关系，则y ≠kD ．若y ≠ x ，则 x 与 y 不成反比例关系分析条件及结论同时否定，位置不变．答选 D ．例 2 设原命题为：“ 对顶角相等” ，把它写成“若 p 则q ”形式为 ________．它的逆命题为 ________，否命题为 ________，逆否命题为 ________．分析只要确定了“ p ”和“ q ”，则四种命题形式都好写了．解若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．例 3“若 P ＝ {x |x|＜ 1} ，则0∈ P ”的等价命题是 ________．分析等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若0 P ，则 p≠ {x||x| ＜1} ”例 4 分别写出命题“若 x 2＋ y 2＝ 0，则 x 、 y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．分析根据命题的四种形式的结构确定．解逆命题：若 x 、 y 全为 0，则 x 2 ＋y 2＝ 0；否命题：若 x 2＋ y 2≠ 0，则 x ， y 不全为 0；逆否命题：若 x 、 y 不全为 0，则 x 2 ＋y 2≠ 0．说明：“ x 、 y 全为0”的否定不要写成“ x 、 y 全不为0”，应当是“ x ， y不全为0”，这要特别小心．例 5有下列四个命题：①“若 xy ＝ 1，则 x 、 y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－ 1，则方程 x 2－ 2bx ＋ b 2＋ b ＝ 0 有实根”的逆否命题；④“若A ∪ B ＝ B ，则A B ”的逆否命题，其中真命题是[]A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④分析应用相应知识分别验证．解写出相应命题并判定真假①“若 x ， y 互为倒数，则 xy ＝1”为真命题；②“不相似三角形周长不相等”为假命题；③“若方程 x 2－ 2bx ＋ b 2＋b ＝ 0 没有实根，则 b ＞－1”为真命题；选 C ．点击思维例 6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知 a 、 b 、 c 、d 是实数，若 a ＝ b ，c ＝ d ，则 a ＋c ＝b ＋ d ；分析首先应当把原命题改写成“若p 则q ”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补” ；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆” ；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补” ；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知 a 、b 、 c 、 d 是实数，若 a ＝ b ，c ＝d ，则 a ＋c ＝ b ＋d ”，其中“已知 a 、 b 、c 、 d 是实数”是大前提，“ a ＝b ， c ＝d ”是条件，“ a ＋ c ＝ b ＋d ”是结论．所以：逆命题：“已知 a 、 b 、 c 、 d 是实数，若 a ＋ c ＝ b ＋d ，则 a ＝b ， c ＝d ”；否命题：“已知 a 、 b 、c 、d 是实数，若 a ≠ b 或c ≠ d ，则 a ＋c ≠b ＋d ”(注意“ a ＝ b ， c ＝d ”的否定是“ a ≠ b 或c ≠ d ”只需要至少有一个不等即可 )；逆否命题：“已知 a 、 b 、 c 、d 是实数，若 a ＋c ≠b ＋ d 则a ≠b 或c ≠ d ”．逆否命题还可以写成：“已知 a 、b 、c 、 d 是实数，若 a ＋c ≠b ＋ d 则 a ＝ b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞ 0 时，若 a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．例 7 已知下列三个方程：x 2＋ 4ax － 4a ＋ 3＝ 0， x 2＋ (a － 1)x ＋ a 2＝ 0， x 2＋ 2ax － 2a ＝ 0 至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．分析如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想 )来求三个方程都没有实根的a 范围比较简单．2 －－ 4a) ＜16a4(3解由－ 1) 2 － 4a2 ＜0 得(a4a 2 ＋ 8a ＜ 0说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．学科渗透例 8分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．① m ＞ 1时， mx 2 － x ＋ 1＝ 0无实根；4②当 abc ＝ 0 时， a ＝0 或 b ＝0 或 c ＝ 0．分析改造原命题成“若 p 则 q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．解①原命题：“若m ＞ 1，则 mx 2 － x ＋ 1＝ 0无实根”，是真4命题；逆命题：“若 mx 2－x ＋ 1＝ 0无实根，则 m ＞ 1”，是真命题；4 否命题：“若m ≤ 1，则 mx 2 －x ＋1＝ 0有实根”，是真命题；4 逆否命题：“若 mx 2－x ＋1＝ 0有实根，则m ≤ 1”，是真命题．4②原命题；“若 abc ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0 或 c ＝0”，是真命题；逆命题：“若 a ＝0 或 b ＝ 0 或 c ＝ 0，则 abc ＝0”是真命题；否命题：“若abc ≠ 0，则a ≠ 0 且b ≠ 0 且c ≠0”，是真命题；(注意：“a ＝ 0或 b ＝0 或 c ＝0”的否定形式是“ a ≠0 且b ≠0 且c ≠ 0”逆否命题：“若a ≠ 0 且b ≠0 且c ≠ 0，则abc ≠ 0”，是真命题．说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．例 9若 a 、 b 、 c 均为实数，且 a ＝ x 2 － 2y ＋π ， b ＝ y 2－ 2z ＋π，2 3 c ＝ z 2 － 2x ＋π，求证： a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0．6分析如果直接从条件推，方向不明，程不可，，可以使用反法．解a 、b 、c 都不大于 0，即a ≤ 0，b ≤ 0，c ≤ 0，有 a ＋ b ＋c ≤ 0，而＋＋＝ (x2－＋π) ＋ (y 2－＋π) ＋ (z 2 －＋π a b c2y2z2x23 6＝ (x 2－ 2x)＋ (y 2－ 2y) ＋ (z 2－ 2z)＋π＝ (x － 1)2＋ (y －1) 2＋(z －1)2＋( π－ 3)∴ a ＋ b ＋ c ＞ 0 与 a ＋ b ＋c ≤0 矛盾．因此 a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0．明：如下表，我出一些常的否定．大于 ( ＞)是都是所有的?任意一个?至少一个否定不大于(≤ )不是不都是至少一个不?某个不?一个也没有。
1.1.2 命题的四种形式
得出矛盾 第三步 由矛盾可判定假设﹁q是错误的，从而
肯定命题的结论是正确的。 练习：求证：若x 2 y2 0, 则x y 0
作业：P8 2，6
1.1.2 命题的四种形式
命题的四种形式
例如：
(1)原命题：若两个三角形全等，则它们相似；
若p ,
则q
(2)逆命题：若两个三角形相似，则它们全等；
若q ,
则p
可以看到，(1)与(2)中的条件p和结论q互相交换了 例：同位角相等，两直线平行
逆命题：两直线平行，同位角相等
(3)否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似 即同时否定了原命题的条件和结论，“若﹁p，则﹁q”.
们在证明某一个命 题为真 命 题 时, 可 以 通 过 证 明 它 的 逆 否 命 题 为 真 命 题, 来 间 接 地证明原命题为真命题.
例4 证明: 若 p2 q2 2,则 p q 2. 分析 将"若 p2 q2 2,则p q 2"视为原命题.
要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆
3;
2
逆命题 若sin 3 ,则 600
2
否命题 若 600，则sin
3
逆否命题 若sin
3
, 则
2 60 0
(2)原命题
2
设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题 设a 0, b 0, 若a 2 b2 ,则a b
否命题 设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题 若ab 0, 则a 0且b 0 假 否命题 若a 0或b 0, 则ab 0 假 逆否命题 若ab 0, 则a 0或b 0 真 小结：若原命题为真时，逆命题不一定为真，否命题也
四种命题(数学)
问题3：把下列命题写成“如果”、“那么”的形 式 说出它的条件（结论）和逆命题。
（1） 原命题： 如果同位角相等， 那么两直线平行。
（2）逆命题：
两直线平行，同位角相等。
问题4：分析下面两个命题，找出它们与（1）原命题的关系。
（3） 否命题：同位角不相等， 两直线不平行。
它是同时否定原命题的条件和结论，所得的命题
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命题的否定形式与否命题的区别：
命题的否定 条件不动，将命题的结论否定；
否命题 将命题的条件和结论均否定。
小结:
1. 交换原命题的条件和结论，所得命题是原命 题的逆命题
2. 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题 是原命题的否命题
3. 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是原命题的逆否命题
否命题是____若___一___个___四___边___形___的___四_ 条边相等,则它是正方形.
逆否命题___若___一___个___四____边___形___不___是__ 正方形,则它的四条边不相等
若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形.
练习一：填空： 1.已知命题:“末位是0的整数,可以被5整除”,则
常用的一些词语和它的否定词语对照表
原词语 等于 是 大于 小于 都是 否定词 不等于 不是 不大于 不小于 不都是
原词语 至多有 至多有 一个 n个
否定词 至少有 至少有 两个 n+1个
P或q 能
P且q 不 能
至少有一 个
一个也没 有
逆否命题______所__得__的__结__果__不__是__等__式__.___
若一个式子两边都乘以同一个数,所得结果 是不等式,则这个式子不是等式.
1.1命题及四种命题间的关系
q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p，q一真 一假，求m的取值范围．
逆否命题的应用
• 某个命题与自然数n有关，如果当n=k(k∈N )时 该命题成立，那么推得当n=k+1时命题也成立， 现知当n=5时命题不成立，那么可推得( ) • A、当n=6时该命题不成立 • B、当n=6时该命题成立 • C、当n=4时该命题不成立 • D、当n=4时该命题成立
※
例 2.判断下列命题的真假： 对于实数 x 、y，若 x ＋y≠8，则 x ≠ 2 或 y≠6；
逆命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0； （真） （真） 否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2； （假） 逆否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0.
已知原命题：若x＞0，y＜0，则x＋y＞0， 那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是 什么？这些命题的真假如何？
原命题：若x＞0，y＜0，则x＋y＞0（假） ；
2
例3.已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0； 命题q：0<x<4， 若命题p是真命题，命题q是假命题， 求实数x的取值范围． 变式练习：若命题P与命题q一真一假， 求实数x的取值范围。
“若p，则q” 思考2 对具有“若p，则q”形式的命 题，在逻辑上，p、q分别是什么地位？
例如：若两个三角形全等，则它们相似。 例：正方形的四条边相等。
1.1命题及四种命题
新课讲授
(1)命题: 一般地，在数学中，我们把 用语言、符号或式子表达的，可 以判断真假的陈述句叫做命题.
(2)真命题、假命题:
判断为真的语句叫做真命题； 判断为假的命题叫做假命题.
例1、判断下列语句是否是命题，并说明理由。 （1） 3是无理数； (2)福建真美啊！； （3）x R, x 4 x 4 0; (4) x 2 0;
四种命题例题选讲
反证法
例4
用反证法证明:如果a>b>0,那么 a b
分析探求：此题要由a>b>0,两边开方得到
a b 没有定理可用，所以用反证法证明。
证明：
假设 a 不大于 b ， 则
a b
或
a b
因为a>0，b>0，所以
a b a a b a
与 a b b bab
这与已知条件a>b>0矛盾,
求证：弦AB、CD不 被P平分。
A A
O
证明：假设弦AB、CD被P平分， 由于P点一定不是圆心O， 根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB ，OP⊥CD ，
o O
P
C C
P
D D
B
即过一点P有两条直线与OP垂直， 这与垂线性质矛盾。
所以，弦AB、CD不被P平分。
B
反证法的具体步骤： 第一步，假设命题的结论不成立，即假设结 论的反面成立。 第二步，从这个假设出发，经过推理论证， 得出矛盾。 第三步，由矛盾判定假设不正确，从而肯定 命题的结论正确。 由 导致矛盾 反 要证结论p 证 假设非p为 此 真 P一定为真 非p为假
（3）全等三角形一定是相似三角形 不全等三角形一定不是相似三角形 否命题是——————————
例3：与命题“能被6整除的整数，一定能被2 整除”等价的命题是（ D ）
A
B
能被2整除的整数，一定能被6整除
不能被6整除的整数，一定不能被2整除
C
D
不能被6整除的整数，不一定能被2整除
不能被2整除的整数，一定不能被6整除
练习与测试：
（1）试写出命题“若 则x=y 或x=-y”的逆命题、否命题、逆否命题，并判 断其真假。 解： 逆：若x=y或x=-y,则 x 2 y 2
高一数学命题与四种命题练习题
高一数学命题与四种命题练习题典例剖析题型一：判断命题的真假【例 1】判断以下语句是不是命题：⑴张三是四川人；⑵ 1010是个很大的数；⑶ x22x 0 ；⑷ x2 6 0 ；⑸11 2 ；【例 2】判断以下语句是不是命题，假如，判断出其真假，若不是，说明原因.（1）矩形莫非不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（ 3）求证：x R ，方程x2x 10 无实根.（4）x 5（5）人类在 2020 年登上火星 .【例 3】设语句 p(x) ： cos(x πsin x，写出 p(π，并判断它是不是真命题；))23【例 4】判断以下命题的真假．⑴ 空间中两条不平行的直线必定订交；⑵ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直；⑶ 每一个周期函数都有最小正周期；⑷ 两个无理数的乘积必定是无理数；⑸若 A ú B ，则 A I B B ；⑹若 m 1，则方程x22x m0 无实数根．⑺已知 a ，b ，c ，d R ，若 a c 或b d，则a b c d ；⑻已知 a ，b ，c ，d R ，a b c d ，则a c 或b d．【例 5】下边有四个命题：①若 a 不属于N，则 a 属于N；② 若 a N ，b N ，则a b 的最小值为 2 ；③ x2 1 2 x 的解可表示为 1 ，1 ．此中真命题的个数为（）A． 0个B．1个C．2个D．3个- 1 -【例 6】 命题 p ：奇函数必定有f (0) 0 ；命题 q ：函数 yx1的单一递减区间是[ 1，0) U (0 ，1]．x则以下四个判断中正确的选项是（ ） A ． p 真 q 真B ． p 真 q 假C ． p 假 q 真D ． p 假 q 假【例 7】 给出以下三个命题：① 若 a ≥ b 1，则a ≥b ；1 a1 b② 若正整数 m 和 n 知足 m ≤ n ，则 m(nm) ≤ n；2③ 设 P( x 1 ，y 1 ) 为 圆 O 1 : x 2y 2 9 上 任 一 点 ， 圆 O 2 以 Q( a ，b) 为圆 心 且 半 径为 1 ． 当(a x ) 2 (by )2 1时，圆 O 与圆 O 相切；1112此中假命题的个数为（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3【例 8】 已知三个不等式：ab0 ，ad0 ，cd 0（此中a ，b ，c ，d 均为实数）．用此中两个不等bc ab式作为条件，余下的一个不等式作为结论构成一个命题，可构成真命题的个数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3【例 9】 已知 m ，n 是两条不一样直线，， ， 是三个不一样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若m ∥ ， ∥ ，则m ∥ n B ．若，，则∥nC ．若m ∥ ， ∥，则∥D ．若m，，则m ∥ nmn【例 10】 已知直线 m 、 n 与平面 、 ，给出以下三个命题：① 若 m ∥ ，n ∥ ，则 m ∥ n ；②若 m ∥ ，n ，则 nm ；③ 若 m，m ∥，则．此中真命题的个数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3【例 11】 已知三个不等式： ab 0, bc ad 0,cd0 （此中 a,b,c, d 均为实数） .用此中两个不等a b式作为条件，余下的一个不等式作为结论构成一个命题，可构成真命题的个数是 （） A. 0B.1C.2D. 3【例 12】 下边有五个命题：① 函数 y sin 4 x cos 4 x 的最小正周期是 π．- 2 -②终边在 y 轴上的角的会合是 a | a kπ，k Z．2③在同一坐标系中，函数y sin x 的图象和函数y x 的图象有三个公共点．④把函数 y 3sin 2xπ的图象向右平移π获得y 3sin 2x的图象．36⑤函数 y sin xπ 在0，π上是减函数．2此中真命题的序号是．【例 13】对于四周体ABCD，以下命题正确的选项是（写出全部正确命题的编号）．①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线；②由极点 A 作四周体的高，其垂足是BCD 的三条高线的交点；③若分别作ABC 和ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；④ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段订交于一点；⑤ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例 14】设和为不重合的两个平面，给出以下命题：①若内的两条订交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；②若外一条直线 l 与内的一条直线平行，则 l 和平行；③设和订交于直线 l ，若内有一条直线垂直于l ，则和垂直；④直线 l 与垂直的充足必需条件是 l与内的两条直线垂直．上边命题中，真命题的序号是____．（写出全部真命题的序号）【例 15】若x2,5 和 x x | x 1或x 4 都是假命题，则x 的范围是___________.【例 16】设V是已知平面M上全部向量的会合，对于映照r r rf : V V ，a V ，记a的象为 f (a ) ．若映照f :Vr r r r r rV 知足：对全部 a ，b V 及随意实数，都有 f ( a b) f (a) f (b) ，则 f 称为平面 M 上的线性变换．现有以下命题：r r①设 f是平面 M 上的线性变换，则f(0)0 ；r r r②对 a V ，设 f (a )2a ，则 f 是平面M上的线性变换；w．w．w．k．s．5．u．c．o．mr rV r r r是平面 M 上的线性变换；③若 e 是平面M上的单位向量，对a设 f (a )a e ，则 f④设 fr r r r r r是平面 M 上的线性变换，a，b V ，若 a ，b 共线，则 f ( a) ，f (b) 也共线．此中真命题是（写出全部真命题的序号）【例 17】设有两个命题：p : 不等式| x || x 1| a 的解集为R ，命题 q : f ( x)(73a) x在R上为减函数 . 如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围- 3 -是.【例 18】对于 x 的方程 x2 121 k 0 ，给出以下四个命题：x2①存在实数 k ，使得方程恰有 2 个不一样的实根；②存在实数 k ，使得方程恰有 4 个不一样的实根；③存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不一样的实根；④存在实数 k ，使得方程恰有8 个不一样的实根；此中假命题的个数是（）．A．0B．1C．2D．3【例 19】对于直角坐标平面内的随意两点A( x1，y1) 、 B(x2，y2 ) ，定义它们之间的一种“距离”：AB x1 x2y1y2．给出以下三个命题：①若点 C在线段 AB上，则 AC CB AB ；②在 ABC 中，若 C 90，则 AC2CB2AB 2；③在 ABC中，AC CB AB ．此中真命题的个数为（）A．1个B． 2个C． 3个D． 4个【例 20】设直线系 M : x cos( y 2)sin1(0 ≤≤ 2 π) ，对于以下四个命题：A ． M 中全部直线均经过一个定点B．存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上C．对于随意整数n(n ≥ 3) ，存在正 n 边形，其全部边均在M 中的直线上D． M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等此中真命题的代号是（写出全部真命题的代号）．题型二：四种命题之间的关系【例 21】命题“若x y ，则| x | | y |”，写出它的抗命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例 22】写出命题“若a,b都是偶数，则a b 是偶数”的抗命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假 .【例 23】写出以下命题的抗命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴ “负数的平方是正数”；⑵ “若 a 和b都是偶数，则a b 是偶数”；⑶ “当 c 0时，若 a b ，则 ac bc”；⑷ “若 x y 5 ，则x 3 且y 2 ”；【例 24】写出以下命题的否命题，并判断否命题的真假．- 4 -⑴命题 p ：“若ac0, 则二次方程 ax2bx c0 没有实根”；⑵命题 q ：“若x a 且x b ，则x2(a b) x ab 0 ”；⑶命题 r ：“若 (x1)(x 2)0 ，则x 1 或 x 2 ”．⑷命题 l ：“ ABC中，若 C 90，则A、 B 都是锐角”；⑸命题 s ：“若abc0 ，则a，b，c中起码有一个为零”．【例 25】假如两个三角形全等，那么它们的面积相等；①假如两个三角形的面积相等，那么它们全等；②假如两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；③假如两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；④命题②、③、④ 与命题① 有何关系？【例 26】以下命题中正确的选项是（）① “若 x2y20 ，则x，y不全为零”的否命题② “正多边形都相像”的抗命题③ “若 m0 ，则x2x m 0 有实根”的逆否命题④ “若 x3是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B．①③④C．②③④D．①④【例 27】命题：“若220(a ，b R )，则“b0”的逆否命题是（）a b a A ．若a b 0( a，b R ) ，则 a 2b20B．若a0且b0(a，R )，则22b a bC．若a b0(a ，b220 R ) ，则 a bD．若a 0或，，则a22b 0( a b R)b【例 28】命题：“若 x21，则 1 x 1 ”的逆否命题是（2，则 x≥ 1 或 x≤ 1B．若A ．若x≥1 C．若 x 1 或 x2D．若1，则x 1）1 x 1 ，则x21x ≥ 1 或 x ≤1 ，则x2≥1【例 29】已知命题“假如 a ≤ 1 ，那么对于 x 的不等式 (a 24) x2( a 2) x 1 ≥ 0 的解集为”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（）A．0 个B．2 个C．3 个D．4 个【例 30】有以下四个命题：① “若 x y 0 ，则x, y互为相反数”的抗命题；② “全等三角形的面积相等”的否命题；③ “若 q ≤ 1 ，则 x22x q0有实根”的逆否命题；④ “等边三角形的三个内角相等”抗命题；此中真命题的个数为（）- 5 -A ．1B． 2C． 3D． 4【例 31】下边有四个命题：①会合 N 中最小的数是1；② 若 a 不属于N，则 a 属于N；③若a N ,b N , 则a b 的最小值为2；④ x212x 的解可表示为1,1 .此中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【例 32】有以下四个命题：①“若x y0,则 x, y互为相反数”的抗命题；② “全等三角形的面积相等”的否命题；③“若 q1,则x22x q0 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”抗命题 . 此中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④【例 33】原命题：“设 a ，b，c R ，若a b ，则ac2bc2”以及它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）个．A ． 0B．1C． 2D． 4【例 34】给出以下四个命题：① “若 x y0 ，则x，y互为相反数”的抗命题；② “全等三角形的面积相等”的否命题；③ “若 q ≤ 1 ，则 x2x q0 有实根”的逆否命题；④ “不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．此中真命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④【例 35】命题：“若 x21，则 1 x 1 ”的逆否命题是（）A ．若x2≥1，则 x≥ 1 或 x≤ 1B．若 1 x 1 ，则x21C．若 x 1 或 x1，则x21D．若 x ≥ 1 或 x ≤ 1 ，则x2≥1【例 36】有以下四个命题：①“若 x y 0 ，则x，y互为相反数”的抗命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若 q ≤ 1 ，则 x2 2 x q0 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”抗命题．此中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④【例 37】命题“若ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是．【例 38】以下命题中_________为真命题．① “A I B A ”建立的必需条件是“AüB”；- 6 -② “若 x2 y20 ，则 x ，y全为0”的否命题；③ “全等三角形是相像三角形”的抗命题；④ “圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【例 39】“在ABC 中，若 C 90 ，则 A 、 B 都是锐角”的否命题为；【例 40】有以下四个命题：①命题“若xy1 ，则 x ，y互为倒数”的抗命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若 m≤ 1 ，则x 2有实根”的逆否命题；④命题“若2 x m 0AIB B，则A B ”的逆否命题．此中是真命题的是（填上你以为正确的命题的序号）．【例 41】命题“若x, y是奇数，则x y 是偶数”的逆否命题是;它是命题.【例 42】写出命题“若m0 ，则方程x2x m 0 有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.【例 43】已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n．⑴若 S m， S m 2， S m 1成等差数列，证明a m， a m 2， a m 1成等差数列；⑵ 写出⑴的抗命题，判断它的真伪，并给出证明．【例 44】在平面直角坐标系xOy 中，直线l与抛物线 y 22x 订交于A、B两点．（1）求证：“假如直线l过点 T（ 3， 0），那么OA OB＝3”是真命题；（2）写出（ 1）中命题的抗命题，判断它是真命题仍是假命题，并说明原因．- 7 -。
四种命题的形式
四种命题的形式四种命题的形式1、命题什么叫命题？能够明确判断真假的陈述性语句，叫做命题。
其中，判断为真的语句，叫真命题，判断为假的语句，叫假命题。
命题的结构？（条件+结论）如果…，那么…。
问题1：我是你的数学老师。
真X＞15 不是命题全等三角形的面积相等。
真3是10的约数吗？不是命题两直线平行，同位角相等。
真上课请不要讲话不是命题注：（1）疑问句，祈使句，感叹句不是命题。
（2）要判断一个语句是不是命题，关键是能不能判断真假。
（3）判断命题真假的方法有：逻辑推理法、要证明命题是假命题，只需要举出满足条件，不满足结论的例子即可；要证明命题为真，就需要证明满足命题的条件，就一定能推出命题的结论。
2、推出关系如果α成立可以推出β成立，那么就说由α可以推出β，记作：α＝＞β，换言之，α＝＞β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题。
如果α成立不能推出β成立，记作：α≠＞β，换言之，α≠＞β表示以α为条件、β为结论的命题是假命题。
3、四种命题形式问题2:判断下列命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；（如果α，那么β）②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；（如果β，那么α）③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（如果，那么）④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；（如果，那么）注：两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系两个命题为互为逆否命题,它们的真假性相同例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
例2．写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
4、否命题及命题的否定否命题是既否都条件，也否定结论，而命题的否定只否定结论。
（1）常见词语的否定形式“至少”比“至多”多一个：比如，“至多3个”的否定是“至少4个”；“至多”比“至少”少一个：比如，“至少3个”的否定是“至多2个”。
1.1.2四种命题及其相互关系
x0
四种命题形式 原命题 逆命题
原命题
否命题
逆否命题
（1）若同位角相等，则两直线平行 （2）若x 2, 则x 2 3x 2 0 （3）若x 0, 则x 2 2 x 0
（3）互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互 为逆否命题。
作业
1、P8：习题1.1 A组 2、3、4
2、《导学案》P3—4 3.预习：1.2充分条件与必要条件
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判 断它们的真假：
(1)原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (2)原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) (真 ) (真 ) (真 ) (真 )
例5：写出下列命题的原命题、逆命题、 否命题和逆否命题： 逆命题：如果一个四边形四边
相等，那么它是正方形。
（1）正方形的四条边相 等。
假
原命题：如果一个 四边形是正方形， 那么它的四条边相 等。 真
否命题：如果一个四边
形不是正方形，那么它的 四条边不相等。 假
逆否命题：如果一个
四边形四边不相等，那 么它不是正方形。 真
1. 写出下列命题的原命题、逆命题、否命题、 逆否命题
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四种命题·典型例题
能力素质
例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x
[ ]
A y x y
B y kx x y
C x y y ．若≠
，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k x
k x
D y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x
分析 条件及结论同时否定，位置不变．
答 选D ．
例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．
分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了．
解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．
例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________．
分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．
解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}”
例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．
分析 根据命题的四种形式的结构确定．
解 逆命题：若x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0；
否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0；
逆否命题：若x 、y 不全为0，则x 2＋y 2≠0．
说明：“x 、y 全为0”的否定不要写成“x 、y 全不为0”，应当是“x ，y
不全为0”，这要特别小心．
例5 有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是
A B B A B
[ ] A．①②B．②③
C．①③D．③④
分析应用相应知识分别验证．
解写出相应命题并判定真假
①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；
②“不相似三角形周长不相等”为假命题；
③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；
选C．
点击思维
例6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．
①内接于圆的四边形的对角互补；
②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；
分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．
解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；
逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；
否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；
逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．
对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c ＝b＋d”是结论．所以：
逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；
否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；
逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”
说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．
例7 已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．
分析 如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a 范围比较简单．
解由－－＜－－＜＋＜得 16a 4(34a)0(a 1)4a 04a 8a 0
2222⎧⎨⎪⎩⎪
说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．
学科渗透
例8 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． ①＞时，－＋＝无实根；m mx x 10214
②当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0．
分析 改造原命题成“若p 则q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．
解①原命题：“若＞，则－＋＝无实根”，是真 m mx x 10214
命题；
逆命题：“若－＋＝无实根，则＞”，是真命题；否命题：“若≤，则－＋＝有实根”，是真命题；逆否命题：“若－＋＝有实根，则≤”，是真命题．mx x 10m m mx x 10mx x 10m 22214
14
14
②原命题；“若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0”，是真命题；
逆命题：“若a ＝0或b ＝0或c ＝0，则abc ＝0”是真命题；
否命题：“若abc ≠0，则a ≠0且b ≠0且c ≠0”，是真命题；(注意：“a ＝0或b ＝0或c ＝0”的否定形式是“a ≠0且b ≠0且c ≠0”
逆否命题：“若a ≠0且b ≠0且c ≠0，则abc ≠0”，是真命题．
说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．
例若、、均为实数，且＝－＋π，＝－＋π，＝－＋π，求证：、、中至少有一个大于．9 a b c a x 2y b y 2z c z 2x a b c 022223
6
分析 如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法．
解 设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则有a ＋b ＋c ≤0，而 a b c (x 2y )(y 2z )(z 2x )222＋＋＝－＋π＋－＋π＋－＋π236 ＝(x 2－2x)＋(y 2－2y)＋(z 2－2z)＋π
＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)
∴ a ＋b ＋c ＞0这与a ＋b ＋c ≤0矛盾．
因此a 、b 、c 中至少有一个大于0．
说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定．。