数学建模-土地平整问题
土地平整.
（3）绘出填、挖边界线
在地形图上根据等高线内插出高程为设计高程33.04m的曲线，这条曲 线即为填、挖分界线。
（4）计算填、挖高度
各方格点的填、挖高度为该点的地面高程及设计高程之差
1 设计面为水平面的土地平整 （5）计算填、挖土方工程量
角点：填（挖）高度
1 4
小方格面积
边点：填（挖）高度
土地平整
1 设计面为水平面的土地平整 （1）在地形图上拟建场地内绘制方格网源自1 设计面为水平面的土地平整
（2）计算设计高程
H设
Pi Hi P1 H1 P2 H 2 P3 H3 P4 H 4
Pi ni
P1 n1 P2 n2 P3 n3 P4 n4
钉木桩表示。然后在木桩上注记相应各方格点的填、挖高度，作为平整 场地的依据。
2 设计面为具有一定匀坡坡度的土地平整 （1）绘制方格网 （2）计算设计高程 （3）确定倾斜面最高点网线和最低点格网线的设计高程 （4）确定填、挖边界线 （5）确定方格点的填、挖高度 （6）确定方格点的填、挖土方工程量 （7）放样填、挖边界线及填挖高度
2 4
小方格面积
拐点：填（挖）高度
3
小方格面积
4
中点：填（挖）高度
4
小方格面积
4
1 设计面为水平面的土地平整
（6）放样填、挖边界线及填、挖高度 在拟建场地内，按适当间隔分别放样出设计高程点，用明显标志将这
些设计高程点连接成曲线，该曲线即为填、挖边界线。 填、挖高度的放样，应首先将地形图上设计的方格点放样于实地，并
场地平整土方量计算例题(方格网法)
场地平整土方量计算例题(方格网法) 今天星期天空闲之余，给大家提供一个我接手的一个用专业的飞时达土方计算软件计算某场地平整土方量计算案例例题，其实场地平整施工前后产生的土方量计算在工程施工当中也是经常碰到的，具体看我怎么用专业化的飞时达土方计算软件FastTFT来计算场地平整土方量呢？别急，听我慢慢说怎么用飞时达土方计算软件来计算场地平整土方量。
一、工程概况
该场地总面积为304.23亩，所处位置地形起伏不大，平整前的自然地形高程介于1676.080 m~ 1697.560m之间，平整后的设计地形高程介于1677.99m~1712.900m，总挖方量为549 192.05方左右，填方量609.98方。
二、提供场地平整前后的矢量化的地形图
1、平整前的现状地形图
2、平整后的现状地形图
三、场地平整土方量计算方法步骤
1、先将场地平整前后的地形图按照坐标合并到一张图里去，如下图所示：
青色的是平整后的地形高程点，红色是平整前的地形高程点，黄色的是场地范围线
2、分别转换平整前的高程点数据（视作自然地形标高）、平整后的高程点数据（视作数据地形标高）
平整前的自然地形标高高程范围1676.08~1697.56
平整后的设计地形标高高程范围1677.99~1712.900 3、布置土方计算范围
4、布置方格网（采用方格网法计算平整土方量）
5、分别采集平整前的地形标高和平整后的设计标高
方格网标高数据局部放大
6、计算场地平整方格网土方量
方格网土方量局部放大7、方格网法土方量统计
来源：/tft/post/55.html。
数学建模——合理开挖土地问题(附matlab源程序)
本页只是说明，论文从第二页开始，下载后请删除本页即可:论文内容：关于合理开挖土地问题的数学建模竞赛论文（含Matlab源程序）特别申明：本论文版权归百度文库账号dxzsk同学所有，仅限个人下载学习使用，其他人不得转载分享，侵权必究。
以下是本论文原始题目：合理开挖土地问题：A市是一个山区城市,向山要地是A市发展的一个必然的选择,但是如何在一片山地之中选择合适的方位与开挖深度,从而使总的土石方量最小,就是一个十分有意义的课题.A市某工厂为了在一片长度为1500米,宽度为900米的山地之中,开挖出一个800米×600米平坦连续的长方形地块作为工厂的厂房地基,前期已经在本块土地上测量出长、宽每隔30米的网格的对应网格点的海拔高度（详细数据见附件）.请你考虑以下几个问题：问题（1）：用附件中的数据画出工厂的这片土地的三维图形与等高线图；问题（2）：从什么地方,什么海拔高度平整一块800米×600米的连片土地能使总的土石方量最小?问题（3）：如果允许平整出来的土地为二层的台阶状地块,要求各地块的长、宽不少于60米,又将从什么地方、什么海拔高度分别开挖,能使总的土石方量最小?提示：在平整土地的过程中,有些地方是要挖山的,但有些地方是要填土的,假设填土的每立方米所需的费用为挖山的每立方米土石方所需费用的1/3.2013**大学金水节第五届研究生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
土地平整问题
如图所示，我们选的位置左上角在（720,270）处。 将各实测点高程与平均高程相比较，大于平均高程的为挖方，小于平均高程 的为填方， 等于平均高程的表示不挖不填。在方格的挖方点与填方点之间, 必定 有一个不挖不填的点, 即填挖边界点(零点) , 把所有相临的零点连接起来, 就 是填挖边界线(零线) 。零点和零线是计算土方量和施工的重要依据。以此算出 个点高程与平均高程的差值，将其中的正值求平均，可算出平平均挖的深度，负 的求平均值，算出平均填高，计算公式如下： Hc =
50 40 30
z
20 10 0 1000 1500 500 500 y 0 0 x 1000
图 5-1-1
所在山体图
此工厂所在土地的等高线图如图 5-1-2，5-1-3 所示：
40
30
z
20
10
0 800 600 400 200 y 0 0 500 x 1000 1500
图 5-1-2 其所占土地的三维等高线图
Ⅱ 问题分析
2.1 问题一
本题要求利用附件（1）中的数据画出工厂所用的这片土地的三维图形与等 高线图。这道题可以利用 MATLAB 可以对插入的 EXCEL 数据进行模拟整合过程， 由此得到此土地的三维图与等高线图。此问题也可以利用 MATLAB 的 surf 和 contour 功能予以实现。
2.2 问题二
6.3 问题三的评价与改进
问题三：
参考文献
[1] 张贤明等，MATLAB 及应用实例语言， 南京：东南大学出版社，2010 年。 [2] [3] [4] [5]
传统的土方量计算方法有许多种,常用的有:断面法、方格法、散点法及表格 法。断面法主要适合山地及高差比较大的地形;方格法主要适合地形平坦及高差 不太大的场地平整;散点法适用于地形有起伏,但变化比较均匀,不太复杂的地形。 传统的土方量计算方法手工工作量大,不易在计算机上实现,不能有效利用现有 的数据资源;而且,不同的计算方法均存在计算结果精度低,结果差异大的问题。 许多研究表明,应用数字高程模型(DEM)能够比较精确地解决土地整理设计中涉 及的土方量计算问题。 因此,本研究主要探索在 （DEM） 的支持下,运用遗传算法(Genetic Algorithm, GA)的非线性和全局优化的能力,来确定在一定条件下土地平整的设计高程的最 优解的新方法。 问题 2：在问题 1 的基础上有 3 种办法。方法 1：直接遍历枚举。计算矩形 地块的左上角走到每个点时的开发成本。如果点的密度是 1 米的话，那么方案大 约有 21000 个，计算量不算太大。方法 2：遗传算法（具体原理网上有，并不复 杂，这里不再赘述） 。方法 3：鉴于地面是连续的，可以先采用与方法 1 相同的 方法，但矩形每次平移的距离是 30 米，也就是遍历每个最初的已知点（不可行 的除外） 。然后找到成本最低的若干个（比如 5 个）已知点后，再在这些点的周 围寻找更好的方案。
平整场地面积计算例题
平整场地面积计算例题
平整场地面积计算是在土地规划、建设和农业等领域中常见的问题。
它的计算涉及到测量场地的尺寸和形状，并根据这些数据计算出场地的面积。
例如，假设我们有一个矩形的场地，长为10米，宽为5米。
要计算这个场地的面积，可以使用简单的公式：面积 = 长×宽。
在这个例子中，面积 = 10 × 5 = 50平方米。
所以，这个矩形场地的面积为50平方米。
但是，实际情况往往比较复杂。
场地的形状可能是不规则的，例如三角形、圆形或者多边形。
在这种情况下，我们需要使用不同的公式或方法来计算面积。
对于三角形，可以使用面积 = 底边长×高÷ 2 来计算。
底边长是三角形的底边，高是从底边到对角顶点的垂直距离。
对于圆形，可以使用面积 = π×半径的平方来计算。
其中，π是一个常数，约等于3.14159，半径是圆形的半径长度。
对于多边形，计算面积的方法则更加复杂。
通常，我们将多边形分割成若干个简单形状，例如矩形、三角形或梯形，然后计算每个简单形
状的面积，并将它们相加。
此外，在实际测量中，我们还需要考虑到地势的高低和场地的不平整程度。
有时候，我们需要对地面进行修整、平整或填土，以便将其调整为更加适合使用的状态。
这时，我们需要将这些因素考虑在内，并在计算面积时进行相应的调整。
总之，平整场地面积的计算是一个重要且常见的问题。
了解不同形状的场地面积计算方法，以及考虑到实际情况的调整，对于土地规划、建设和农业等领域的工作都十分有用。
数学建模土地问题
摘要“拍卖土地问题”主要是探讨如何能够在满足投标人的购买兴趣的前提下获取最大福利。
由题目我们知道拍卖的土地有五块，投标人有三个，经初步分析，本次问题有排列组合和最大值问题两部分。
我们就是要分析，在哪种组合的情况下，政府能够获得最大的利益。
因此我们就常常会需要用到数学当中数学建模来解决这个实际中的问题了，利用数学中的方法来找到一个最佳最优最完好拍卖方案。
选择最优化来实现总福利最多是拍卖方案中最常见的问题，也是最有实际意义的问题。
我们所要解决的就是在多种方案中，计算出最佳拍卖方案。
所以在解决此类经济学问题的时候，我们需要应用数学知识，借助数学模型来得到具体的组合方案并结合经济学的观点进行综合性的分析。
在解决最优问题时，我们也会需要应用线性规划法来确定最优组合方案的决策。
在具体计算中，我们也常常借助于lingo软件来计算，希望能够得到比较精确的数据，进行更有实际意义的经济揣摩，从而指导实际当中的工作。
通过精确计算所得到的数据，便于我们结合经济知识去分析和找出多种商品组合中的最优组合方案，并分析其最优方案时所需的成本。
在实际经济应用中，能做到有效的节约成本，对我们是具有指导性意义的.问题：假设某国政府准备将5块土地A,B,C,D,E对外拍卖，采用在规定日期前投标人提交投标书的方式进行，最后收到了3个投标人的投标书。
每个投标人对其中的若干块土地有购买兴趣，分别以两个组合包的形式投标，但每个投标人最多只能购买其中1个组合包，投标价格如下表所示。
如果政府希望最大化社会福利，这5块土地应该如何售出？投标组合包投标人1投标人1投标人2投标人2投标人3投标人3包含的土地ABD CDE BE AD BDE CE投标价格95 80 60 82 90 71问题分析：通过对题目的分析，我们可以清晰看到，这样类型的题目是一个优化求极值的问题，而且是代有线性约束优化条件的极大值问题.首先，我们要考虑土地实际价值与投标者的投标价格之间的区别，政府希望最大化社会福利，也就是希望5块土地以某种方案售出时投标价格总和最大（不一定每块土地的投标价格都比真实价值高，只考虑总和最大化）。
例析用数学建模解决地理问题_图文
课后演练
（2016浙江卷） • 材料一 • 图1为某区域略图，图2
为图1中甲地和丁地的气 候统计图
• 材料二 • 图1中所示道路沿线自然
带类型多样，从甲地的 半干旱草原带，变为丁 地的热带季雨林带。
• 材料三 • 由于河流每年带来的2亿
吨的泥沙，图1中戊区域 形成了面积8万平方千米 的三角洲。
（3）流域面积大，泥沙来源广（ 泥沙来自两条河流）；流域降水 量大（两河支流主要分布在喜马 拉雅山迎风坡）；夏季降水集中 ，降水强度大；流域内地形坡度 大；坡地开发，植被破坏，水土 流失。
（2）制糖厂建在本岛而不是国外消费市场，可以降低企业 的生产成本，为什么？请答出两条。（4分）
回头看
• （2）甘蔗制成糖，重量大减，所以把制糖 厂建在本岛，可以降低运输原料的运输费 用，降低生产成本；长距离运输甘蔗，会 增加消耗；该国属于发展中国家，劳动力 的工资水平较低，地租较低。
利润=销量X价格-成本+副产品的价值
2008
1380 0
5287 0
2010
1400 0
5464 0
2012
1630 0
5895 0
2014
1930 0
6071 0
真题演练
• （2016•天津卷）13.(18分)读图 文材料，回答问题。
• 某中学地理小组查阅了巴西 和中国农业发展状况相关资料。
•（1）结合材料从农业生
产条件角度，分析巴西 年份 国家
（4） 问题①：说明横县茉莉花茶产业的发展经验对我国一些贫困县脱贫 致富的启示。（4分）
问题②：为以茉莉种植为基础的横县经济进一步发展提出建议。（4分）
• （4）问题①：因地制宜，发挥特色农产品优势；扩大生产规模 以达到规模效益和影响（实行专业化生产）；推进农产品的加 工业，延长产业链，增加附加值。
山地平整问题.doc
经推导可求得:
n
i 1
i
1
n
(5.1.4)
在无偏条件下使得估计的方差达到最小，即：
Min{Var[ Z * ( x0 ) Z ( x0 ) 2 (i 1)]}
i 1
(5.1.5)
其中： 为拉格朗日乘子。可得求解权系数 i （ i =1,2，…,n）的方程组： n i Cov( xi , x j ) Cov( x0 , x j ) i 1 i 1,2,..., n (5.1.6) n 1 i i 1 求出诸权系数 i (i 1,2,..., n) 后， 就可以得到为采样点 x0 处的属性值 Z * ( x0 ) 。 若用变异函数 ( xi , x j ) 表示则形式为： n i ( xi , x j ) ( x0 , x j ) i 1 n 1 i i 1 由上式则易知：
5
最小。再次尽量考虑到台阶上的设计高度，场地的设计高度由该点的坐标 x, y 决 定的。最后考虑填挖时应符合实际情况，即要保证填挖平衡，而台阶的宽度及高 度对填挖平衡和土方量的大小， 因此台阶式土地的长度和宽度的变化也是考虑的 因素。 根据上述研究的定性分型和定量计算相结合的模型及解决现有的缺点又使 的方案达到最优的经济效益。但同时本文在计算时有可能存在满足了约束条件， 但目标函数达不到最优的情况，此时可寻求在满足约束条件下目标函数的次优 解，使该模型有更宽广的应用价值，这可作为该方法下一步的研究方向。
* *
h 0
2
则根据克里金插值原理,未采样点 x0 处的属性值 Z x0 估计值是 n 个已知采 样点属性值的加权和, Z x0 的协方差 Cov( xi , x j ) 存在且只有两点之间的位置有关 满足
数学建模——合理开挖土地问题(附MATLAB源程序)教学内容
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以下是本论文原始题目：合理开挖土地问题：A市是一个山区城市,向山要地是A市发展的一个必然的选择,但是如何在一片山地之中选择合适的方位与开挖深度,从而使总的土石方量最小,就是一个十分有意义的课题.A市某工厂为了在一片长度为1500米,宽度为900米的山地之中,开挖出一个800米×600米平坦连续的长方形地块作为工厂的厂房地基,前期已经在本块土地上测量出长、宽每隔30米的网格的对应网格点的海拔高度（详细数据见附件）.请你考虑以下几个问题：问题（1）：用附件中的数据画出工厂的这片土地的三维图形与等高线图；问题（2）：从什么地方,什么海拔高度平整一块800米×600米的连片土地能使总的土石方量最小?问题（3）：如果允许平整出来的土地为二层的台阶状地块,要求各地块的长、宽不少于60米,又将从什么地方、什么海拔高度分别开挖,能使总的土石方量最小?提示：在平整土地的过程中,有些地方是要挖山的,但有些地方是要填土的,假设填土的每立方米所需的费用为挖山的每立方米土石方所需费用的1/3.2013**大学金水节第五届研究生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地
面上放稳吗)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ。
场地平整土方量计算方法
场地平整土方量计算方法我折腾了好久场地平整土方量计算方法，总算找到点门道。
我一开始真的是瞎摸索。
最开始我就知道个大概，心想不就是把这块场地想象成规则的几何体，然后用对应的体积公式来算嘛。
我试过把场地当成长方体来计算，就量个长、宽、高，长乘宽乘高就得出体积。
可实际操作起来发现问题大了去了，场地哪有那么规整啊，有坑洼有凸起的。
这就像是我要量一个歪七扭八的石头，硬当成正方体来量它的体积，那肯定不对呀。
然后我就想这得按照实际地形来。
我就尝试划分方格网。
这就好比把场地这块大饼，用刀切成一块一块的小方格。
我花了好大力气在那测量每个方格顶点的高度。
不过我犯错了，我一开始测量顶点高度的时候，工具没校准好，导致数据不准，等回头发现错误的时候又得重新测量，费了好多冤枉工。
测量好心累，可这还没算完呢。
然后要根据这些顶点高度来算出每个方格的土方量。
这里有平均高度法啥的。
比如说平均高度法吧，就是把这个方格四个顶点的高度加起来除以四得到平均高度，再乘方格的面积就大致算出这个方格的土方量。
但是有的方格地形起伏特别大，这个方法就又有点不那么精确了。
后来我又学了一个三角网法。
这个方法就相当于把场地分成一个个三角形。
三角形相对方格来说，在处理不规则地形的时候更灵活一点。
但是这个方法计算起来更复杂，要确定好每个三角形的顶点坐标和高程，然后再通过特定的公式算。
我在确定顶点坐标的时候老是搞混，又要返工几次。
不过话说回来，虽然复杂，但是如果地形非常复杂，这个方法算出来的土方量相对更准确一些。
我觉得无论是哪种方法，测量的时候一定要仔细千万要校准测量工具，还有记录数据也要清晰准确。
要是能多测几次取个平均值的话就更靠谱了，这样算出的土方量也能更接近真实值。
还有对于比较大的场地，更要慎重选择计算方法，有时可能得综合几种方法来用。
比如说那种中间有大块平整的部分用方格网法，边缘不规则的地方用三角网法，这样综合算下来，土方量的结果就会相对准确不少呢。
应用路面平整度预测的数学模型促进黑龙江省高速公路建设
应用路面平整度预测的数学模型促进黑龙江省高速公路建设【摘要】路面平整度是高速公路建设中一个重要的指标，影响着车辆行驶的舒适性和安全性。
本文针对黑龙江省高速公路建设，以应用路面平整度预测的数学模型为研究对象，通过分析影响路面平整度的因素和现有的预测模型，构建了一种适用于该地区的数学模型。
实验结果表明，该模型能够准确预测路面平整度，为提高道路质量提供了有效指导。
在本文总结了数学模型的实用性和有效性，以及对黑龙江省高速公路建设的促进作用。
未来，我们将进一步完善模型并推广至其他地区，以促进道路建设的可持续发展。
本研究为高速公路建设提供了重要的技术支持和理论指导。
【关键词】路面平整度预测、数学模型、黑龙江省高速公路建设、研究背景、研究目的、研究意义、路面平整度、影响因素、现有模型分析、实用性、促进作用、研究展望1. 引言1.1 研究背景当前，随着交通运输的快速发展和社会经济的不断发展，高速公路建设已成为国家发展的重要基础设施之一。
而路面平整度是影响行车安全和行车舒适性的重要指标之一。
如果路面平整度不佳，将会增加行车噪音、影响车辆燃油经济性、加剧车辆磨损等问题，进而影响交通运输效率和行车安全。
在高速公路建设中，如何提前预测路面的平整度，并采取相应措施加以改善，成为了工程建设的重要问题。
当前，尽管已经有一些针对路面平整度预测的数学模型，但存在着一些局限性和不足之处，需要进一步完善和优化。
本研究旨在构建应用路面平整度预测的数学模型，从而更好地指导和促进黑龙江省高速公路建设。
通过对路面平整度的影响因素进行分析和现有模型的改进，旨在提高预测的准确性和实用性，为高速公路建设的质量提供更好的保障。
本研究也将探讨数学模型在实际工程中的应用效果，以及对未来研究的展望。
1.2 研究目的研究目的是通过构建应用路面平整度预测的数学模型，来提高黑龙江省高速公路建设的效率和质量。
具体来说，我们的研究目的包括以下几个方面：1. 确定影响路面平整度的关键因素，为建立数学模型提供理论基础和实证支持。
数学建模_铺路问题的最优化模型
铺路问题的最优化模型摘要本文采用了两种方法，一种是非线性规划从而得出最优解，另一种是将连续问题离散化利用计算机穷举取最优的方法。
根据A地与B地之间的不同地质有不同造价的特点，建立了非线性规划模型和穷举取最优解的模型，解决了管线铺设路线花费最小的难题。
问题一：在本问题中，我们首先利用非线性规划模型求解，我们用迭代法求出极小值（用Matlab实现），计算结果为总费用最小为748.6244万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.6786km，3.1827 km，2.1839 km，5.8887km，13.0661km。
然后，我们又用穷举法另外建立了一个模型，采用C语言实现，所得最优解为最小花费为748.625602万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.70km,3.20km,2.20km,5.90km,13.00km。
问题二：本问题加进了一个非线性的约束条件来使转弯处的角度至少为160度，模型二也是如此。
非线性规划模型所得计算结果为最小花费为750.6084万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.4566km,4.3591km,2.5984km,6.5387km,12.0472km。
遍历模型所得最优解为最小花费为750.821154万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.10km,4.30km, 2.70km,6.70km,12.20km。
问题三：因为管线一定要经过一确定点P，我们将整个区域依据P点位置分成两部分，即以A点正东30km处为界，将沙土层分成两部分。
非线性规划模型最小花费为752.6432万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.2613km,3.3459km,2.2639km,3.1288km,2.4102km,7.5898km。
遍历模型最小花费为752.649007万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.30km,3.30km,2.30km,3.10km,2.40km,7.60km。
场地平整土方计算实例
例题【例1.1】某建筑场地方格网如图1-7所示，方格边长为20m×20m,填方区边坡坡度系数为1.0,挖方区边坡坡度系数为0.5,试用公式法计算挖方和填方的总土方量.图1-7 某建筑场地方格网布置图【解】(1)根据所给方格网各角点的地面设计标高和自然标高，计算结果列于图1-8中. 由公式1.9得：h1=251.50-251.40=0.10m h2=251.44-251.25=0.19mh3=251.38-250.85=0.53m h4=251.32-250.60=0.72mh5=251.56-251.90=-0.34m h6=251.50-251.60=-0.10mh7=251.44-251.28=0.16m h8=251.38-250.95=0.43mh9=251.62-252.45=-0.83m h10=251.56-252.00=-0.44mh11=251.50-251.70=-0.20m h12=251.46-251.40=0.06m图1-8 施工高度及零线位置(2)计算零点位置.从图1-8中可知,1—5、2—6、6—7、7—11、11—12五条方格边两端的施工高度符号不同,说明此方格边上有零点存在. 由公式1.10求得：1—5线x1=4.55(m)2—6线x1=13.10(m)6—7线x1=7.69(m)7—11线x1=8.89(m)11—12线x1=15.38(m)将各零点标于图上,并将相邻的零点连接起来,即得零线位置，如图1-8.(3)计算方格土方量.方格Ⅲ、Ⅳ底面为正方形,土方量为：VⅢ(+)=202/4×(0.53+0.72+0.16+0.43)=184(m3)VⅣ(-)=202/4×(0.34+0.10+0.83+0.44)=171(m3)方格Ⅰ底面为两个梯形,土方量为：VⅠ(+)=20/8×(4.55+13.10)×(0.10+0.19)=12.80(m3)VⅠ(-)=20/8×(15.45+6.90)×(0.34+0.10)=24.59(m3)方格Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ底面为三边形和五边形,土方量为：VⅡ(+)=65.73 (m3)VⅡ(-)=0.88 (m3)VⅤ(+)=2.92(m3)VⅤ(-)=51.10 (m3)VⅥ(+)=40.89(m3)VⅥ(-)=5.70 (m3)方格网总填方量：∑V(+)=184+12.80+65.73+2.92+40.89=306.34(m3)方格网总挖方量：∑V(-)=171+24.59+0.88+51.10+5.70=253.26 (m3)(4)边坡土方量计算.如图1.9,④、⑦按三角棱柱体计算外,其余均按三角棱锥体计算, 可得：V①(+)=0.003(m3)V②(+)=V③(+)=0.0001(m3)V④(+)=5.22(m3)V⑤(+)=V⑥(+)=0.06(m3)V⑦(+)=7.93(m3)图1-9 场地边坡平面图V⑧(+)=V⑨(+)=0.01(m3)V⑩=0.01(m3)V11=2.03 (m3)V12=V13=0.02 (m3)V14=3.18 (m3)边坡总填方量：∑V(+)=0.003+0.0001+5.22+2×0.06+7.93+2×0.01+0.01=13.29(m3) 边坡总挖方量：∑V(-)=2.03+2×0.02+3.18=5.25 (m3)。
土地平整计算的原理与方法
土地整理在我国是一个较新的学科领域，面对“二十一世纪谁来养活中国?”的严峻挑战，积极推行土地整理，已成为解决各方用地矛盾，实现土地资源可持续利用和保持经济快速、健康发展的必然选择。
近年来随着人们对自身生存条件和环境意识的觉醒，深刻地感受到了土地整理的急迫性，许多地方的国土部门都在积极申报土地整理项目，以便利用国家投资，通过对项目区田、水、路、林、村的综合整治，提高土地质量，改善农业生产条件和生态环境。
土地平整工程是土地整理项目的核心内容，是实现农田水利化、农业机械化的重要条件，是建设高产稳产、旱涝保收基本农田的重要措施。
土地平整工程量大、投资额高，为保证工程的顺利实施，必须解决好以下几个关键性问题。
1．土地平整与其他土地整理工程的协调问题土地平整工程作为整个土地整理项目的一个环节，它的规划和实旌应当与土地整理的其他各项工程协调进行。
要把耕地、道路、防护林、排灌渠道、机井、抽水站、输电线路和村庄等结合起来考虑，全面规划，合理安排。
要以村镇定路，以地形定渠，渠路搭架，划块定方。
以干、支路与干、支、斗渠分大方，生产路与分、引渠分小方，大方套小方，各个方田形成网格。
要先修渠、路，搭好骨架，然后平整土地，进行方内建设。
2．实施土地乎整工程应遵循的技术标准平整后的田块应有利于作物的生长发育，有利于田间机械化作业，有利于水土保持，满足灌溉排水要求和防风要求，便于经营管理。
2.1田块大小耕作田块大小的确定应综合考虑地形起伏情况、田间工程难易程度、是否便于耕作和排灌等方面的情况，方田的大小和形状受田间渠系和道路的走向控制。
在平原地区方田长度一般为500～800米，宽度一般为200～300米，方向为南北向。
2.2田面坡降耕作田块的设计必须保证排灌畅通，灌排调控方便，必须保持一定的田面坡降。
纵向(灌水方向)坡降应小于1／500，横向以水平为宜。
2.3田块土壤为保证耕作田块的土壤质量及当年增产，土地平整时应尽量保留耕层熟土，保蓄底墒，打碎土块，深耕细作。
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土地平整问题摘要随着社会的快速发展，对于山区的土地整理显得格外重要。
为了更好地合理利用土地，选择合适的土地整理地点，达到节约成本的目的。
我们会建立模型，根据几个重要的制约因素，使得土石方量最小，而且成本最低，在实际的操作过程中更接近于科学实施。
针对问题一：利用软件MATLAB中的绘图功能，对数据进行处理，得到这片土地的三维图形与等高线图。
针对问题二：采用二重积分的意义，即曲顶柱体的体积。
利用分割、取值、求和、取极限的思想，将山地分割成无数个小曲顶柱体，然后对这些小曲顶柱体进行求和，并结合土石方量最小，挖填土时费用使用的最少限制条件，从而求得在什么海拔高度进行平整。
对于平面位置的确定，利用枚举法，总费用最少，求得在什么位置，什么海拔高度平整，已达到最优的标准。
针对问题三：类比于问题二，采用相同的方法，在不同的海拔高度上平整，已满足二层的台阶状地块的要求，达到挖填土石方量最小的目标。
最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。
·}关键词：土石方量最小；二重积分；枚举法；一、问题重述与分析问题的重述十堰市是一个山区城市，向山要地是十堰市发展的一个必然的选择，但是如何在一片山地之中选择合适的方位与开挖深度，从而使总的土石方量最小，就是一个有意义的命题了！某工厂为了在一片长度为1500米，宽度为1000米的山地之中，开挖出一个800米×600米平坦连续的长方形地块作为工厂的厂房地基，前期已经在本块土地上测量出长、宽每隔30米的网格的对应网格点的海拔高度。
问题：①用附件（1）中的数据画出工厂的这片土地的三维图形与等高线图；②从什么地方，什么海拔高度平整一块800米×600米的连片土地能使总的土石方量最小~③如果允许平整出来的土地为二层的台阶状地块，要求各地块的长、宽不少于60米，又将从什么地方、什么海拔高度分别开挖，能使总的土石方量最小问题的分析问题一我们可以利用MATLAB软件直接调用surf函数和contour函数分别画出这片土地的三维图形和等高线图。
问题二考虑要平整一块800米×600米的连片土地，且要使土石方量最小，我们需要确定这块800米×600米的连片土地的底面投影区域，以及海拔高度，使得其土石方量最小。
让底面投影区域在长度为1500米，宽度为900米内枚举，此时计算出对应的土石方量最小的是，在这些所有的最小值中取得最小值的那块投影区域即为所求。
我们采用此种方法求解。
在平整土地的过程中，凸出的地方是要挖土的，凹下的地方是可以填土的，这样挖下来的土可以填充到凹下去的部分。
通过计算体积的方式计算挖土和填土大小，求出最小值对应的海拔高度，即可确定整连片土地的具体高度。
二、基本假设1、在平整土地的过程中，有些地方是要挖山的，但有些地方是要填土的，假设填土的每立方米所需的费用为挖山的每立方米土石方所需费用的1/3。
\2、假设除了挖土和填土以外，在平整土地的过程中其他作业（如登高）产生的费用都与800米×600米的连片土地所处的位置方向和海拔高度均无关。
这样我们只需考虑挖土和填土的土石方量及费用，据此来考虑连片土地所处的位置方向和海拔高度。
3、假设计算体积的过程中，分割的小曲顶柱体不能达到无穷小，而产生的误差忽略不计。
实际计算中我们取一个很小的步长去划分，使其划分尽可能的小，产生的误差忽略不计。
三、符号约定四、模型的建立4.1.|4.2.问题一求解1．利用软件的三维绘图功能，画出工厂这片土地的三维图形如图所示：图山地的三维图形2、这片土地的三维等高线图如图所示，二维等高线图所示：。
图 山地的三维等高线图图 山地的二维等高线图4.3. 问题二模型建立4.2.1. 平整块的海拔高度的确定通过土石方量费用最小的原则，确定平整土地海拔的开挖高度。
平整土地快所对应的的底面区域记为D ，显然D 是一个800米×600米的矩形区域。
设顶部海拔高度是一个非负连续函数),(y x f ，D y x ∈),(。
假设 D 的位置已经确定，下面我们来讨论在什么样的海拔高度下，土石方量费用最小。
？考虑底面区域D 对应的山体是一个曲顶柱体，把区域D 分成n 个小区域1D ∆，2D ∆，…，n D ∆，为了简化运算，我们分成n 个等大的区域，每个区域)1(n i D i ≤≤∆都是边长为d 的正方形。
再分别以这些小区域的边界为准线，作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面将原曲顶柱体分成n 个细的曲顶柱体。
每个区域i D ∆上任取一点),(i ηξi 。
当n 很大时，所分的区域i D ∆很小，边长d 的值很小，每个区域i D ∆对应的海拔高度z 可以近似为一个相同的值),(i ηξi f ，记所有小区域i D ∆的最小海拔高度为1h ，最大海拔高度为2h{}),(min i 11ηξi ni f h ≤≤= （1） {}),(max i 12ηξi ni f h ≤≤= （2） 设在平整块连片土地建在海拔高度为z 处21h z h <<。
当小区域i D ∆所对应的海拔高度z f i >),(i ηξ时，说明这块区域需要挖土，挖土量为i V ，i i w z f V i σηξ∆-=]),([i （3）这里i σ∆表示i D ∆的面积。
z f i <),(i ηξ时，说明这块区域需要填土，填土量为f Vi i f f z V i σηξ∆-=)],([i （4）总的挖土量w V ，]∑∑==∆-==ki i i k i w w z f V V i 1i 1]),([σηξ （5）其中k 为满足z f i >),(i ηξ条件的小区域i D ∆的个数。
总的填土量f V ，∑∑==∆-==li i i l f f f z V V i 1i 1i )],([σηξ （6）其中k 为满足z f i <),(i ηξ条件的小区域i D ∆的个数。
当f w V V ≥，挖土量大于填土量，这样挖出来的土足够填充凹下的山地。
总的土石方量费用为：∑∑==∆-+∆-=+=lj j k i i i f z z f V V C 1j j 1i f w )],([31]),([3σηξσηξ （7） 当f w V V <，挖土量小于填土量，这样挖出来的土不足以填充凹下的山地。
需要从别的地方挖土来填充。
总的土石方量费用为：∑=∆-==-+-++=lj j f w f w f f z V V V V V V V C 1j j w w )],([3434)(313σηξ （8） ~因此（9）如果让平整块的底面投影区域取遍所有可能的值，再根据上述思想求解此底面投影区域对应土石方量费用最小min C 的开挖海拔高度h 。
按照最小的min C 对应的底部和开挖海拔高度来开挖，所得平整的连片土地能使总的土石方量最小。
4.2.2. 平整块的底面区域的确定将平整块区域投影到底面（xoy 平面），确定开挖方向，即要确定平整块的底面位置。
显然底面是800米×600米的矩形，假设矩形的四个顶点分别为D C B A 、、、。
山地是长度为1500米，宽度为900米的矩形区域，因此平整块底面投影矩形ABCD 可以在1500×900的区域范围内任意移动，四个顶点不能超出这个范围我们要取遍所有可能的位置，必须枚举所有的可能值。
设矩形ABCD 的边长为AB =W =600，AC =L =800，且各点坐标位置也已经确定，设各顶点的坐标分别为A （a x ，a y ）、B （b x ，b y ）、C （c x ，c y ）、D （d x ，d y ）。
设AB 边的中点为E ，CD 边的中点为F ，那么唯一确定了线段EF 。
)由中点公式，中点E ，F 的坐标分别可以表示为 f w lj j ki i i V V f z z f ≥∆-+∆-∑∑==，1j j 1i )],([31]),([σηξσηξf w l j j V V f z <∆-∑=，1j j )],([34σηξ=C`E （2ba x x +，2ba y y +），F （2d c x x +，2d c x x +），且EF 的边长为EF =AC =800,因此只要矩形ABCD 的位置和大小确定，那么EF 的大小和位置就唯一确定。
反过来如果EF 的位置和大小确定了（F E ,分别为短边的中点），那么矩形ABCD 的位置和大小也唯一确定。
下面我们分别说明矩形四个顶点坐标，以及四个边的直线方程计算方法。
设EF =800，F E 、两点的坐标分别为E （e x ，e y ）、F （f x ，f y ），为了使计算不重复，保证EF 的唯一性，我们不妨设f e y y ≤ ，且当f e y y =时, f e x x <,若EF 所在直线的斜率存在，设为k 。
当e f x x ≠时，斜率存在，e f ef x x y y k --=分以下四种情况讨论：(1)当e f x x =,即EF 平行于y 轴时，此时矩形如下图所示：此时，四条边对应的直线方程分别为AB ：e y y =，BC ：2W x x e +=，CD ：f y y =，AD ：2W x x e -=， 四个顶点的坐标分别为：A （2W x e -，e y ）,B （2W x e +，e y ），C （2W x e +，f y ）,D （2W x e -，f y ） ∈∀),(00y x P 矩形ABCD 的充分必要条件是：·(2)当0k >此时，四条边对应的直线方程分别为AB : e e y x x y +--=)(k1,即：0=--+e e ky x ky x CD : f f y x x y +--=)(k1,即：0=--+f f ky x ky x AD ：0122=-+++-e e kx y k W y kx BC : 0122=-++--e e kx y k W y kx |任意两条直线的交点即为顶点，A 、B 、C 、D 四个顶点的坐标分别由以下方程组解出：0=--+eky e x ky x fe e kx y k Wy kx 0122=-+++-220W x x W x e e +≤≤-fe y y y ≤≤0∈∀),(00y x P 矩形ABCD 的充分必要条件是：@(3)当0=k ，即EF 垂直于x 轴时 0=--+f f ky x kyx 0122=-+++-e e kx y k W y kx 0=--+f f ky x kyx 0122=-++--e e kx y k W ykx 0=--+e ky e x ky x f e e kx y k W y kx 0122=-++--0122>-++--e e kx y k W ykx 0>--+e e ky x ky x 0<--+f f ky x ky x 0122<-+++-e e kx y k W y kx此时，四条边对应的直线方程分别为AB ：e x x =，BC ：2W y y e -=，CD ：f x x =，AD ：2e Wy y +=，四个顶点的坐标分别为：A （2W x e -，e y ）,B （2W x e +，e y ），C （2W x e +，f y ）, D （2Wx e -，f y ） 》∈∀),(00y x P 矩形ABCD 的充分必要条件是：(4)当0<k ，220W x x W x e e +≤≤-fe y y y ≤≤0此时，四条边对应的直线方程分别为AB : e e y x x y +--=)(k1,即：0=--+e e ky x ky x…CD : f f y x x y +--=)(k 1,即：0=--+f f ky x ky xBC ：0122=-+++-e e kx y k Wy kx AD : 0122=-++--e e kx y k Wy kx 任意两天直线的交点即为顶点，A 、B 、C 、D 四个顶点的坐标分别由以下方程组解出：=--+eky e x ky x fe e kx y k W y kx 0122=-+++-0=--+eky e x ky x f e e kx y k Wy kx 0122=-++--]∈∀),(00y x P 矩形ABCD 的充分必要条件是：如果让EF 在平面内取遍所有可能的值，再根据上述的思想求解可以确定平整块的底面投影区域的位置，再根据的介绍求解海拔位置。