中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2

y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两

点，其中A 点的坐标为（－3，0）．

（1）求点B 的坐标；

（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．

①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；

②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94

. 【解析】 【分析】

（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．

②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】

解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.

（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），

∴2a 1

b

12a 9a 3b c 0

=⎧⎪⎪

-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.

∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.

∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322

∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13

S 3p p 22

∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴

3

p 62

=，解得p 4=±. 当p 4=时2

p 2p 321+-=；当p 4=-时，2

p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：

3k b 0

b 3

-+=⎧⎨

=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.

∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).

∴(

)

2

2

2

39QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝

⎭.

∵a 10<=-，-3

302

<<- ∴线段QD 长度的最大值为

94

.

2．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；

（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．

【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；

（3）2213

(03)22

13(03)2

2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞

【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；

（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程

2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2

23

y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3

b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；

（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），

∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；

（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵

，∴QF=1．

①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=

12

PM×QF=21(3)2t t -+=213

22t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t

＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=

12PM×QF=12

（23t t -）=213

22t t -．

综上所述，S=2213

(03)22

{13 (03)22

t t t t t t t 或-+<<-．