高考数学一轮复习： 专题6.4 数列求和(讲)

专题6.4 数列求和【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．【解析】易知S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92×1＝75.2．数列32，94，258，6516，…，n ·2n＋12n的前n 项和为____________． 【解析】易知a n ＝n ·2n＋12n ＝n ＋12n，∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝ (1＋2＋3＋…＋n)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝（n ＋1）n 2＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n （n ＋1）2－12n＋1.3．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为________．【解析】易知该数列的通项公式为a n ＝2n （n ＋1），分裂为两项差的形式，即a n ＝21n －1n ＋1，则数列的前n 项和S n ＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 4． 1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1＝____________(x ≠0且x ≠1)．题组二 常错题5．已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝________．【解析】因为1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1－n＝n ＋1－n ，所以S m ＝2－1＋3－2＋…＋m ＋1－m ＝m ＋1－1.由已知得m ＋1－1＝10，所以m ＝120.6．数列22，422，623， (2)2n ，…的前n 项和为________．【解析】设S n ＝22＋422＋623＋...＋2n 2n ，①则12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1，②①－②，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1，∴S n ＝4－n ＋22n －1.题组三 常考题7． 等差数列{a n }的公差是3，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝________. 【解析】由题意，得a 2，a 2＋6，a 2＋18成等比数列，即(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋18)，解得a 2＝6，故a 1＝3，所以S n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝32n(n ＋1)． 8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．【解析】因为a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以S 1＝－1，S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n＝－1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以1S n ＝－n ，所以S n ＝－1n .9． 已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n＋1－1(n ∈N *)．记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝______________.【解析】由a n ＋1＝2a n 可得a n ＋1a n＝2，即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列{a n }的通项【知识清单】数列求和1. 等差数列的前和的求和公式：. 2．等比数列前项和公式 一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3. 数列前项和①重要公式：（1） （2）（3）（4） ②等差数列中，；③等比数列中，.【考点深度剖析】江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n 123,,,,,n a a a a n =n S 123n a a a a ++++1≠q q q a S n n --=1)1(111n n a a qS q-=-1q =1na S n =n 1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n 1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-=2n 31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n 21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n m n m n S S S mnd +=++n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1 数列求和 【题组全面展示】【1-1】数列的通项公式，其前项和为，则= . 【答案】【解析】由数列的通项公式可知,数列的项依次为，数列每四项和为，故，所以．【1-2】已知函数，且则.【答案】-100【1-3】已知数列的通项公式为，其前n 项和为，则在数列中，有理数项的项数为 .【答案】43 【解析】，{}n a cos 2n n a n π=n n S 2014S 1008-0,2,0,4,0,6,0,8,--2201450342=⨯+()2014503220141008S =⨯+-=-()()2cos f n n n π=()()1,n a f n f n =++123100a a a a +++⋅⋅⋅+={}na n a =*()n N ∈n S 122014S S 、S、1n a n n ===-+∴为有理项，∴且，∴有理数项的项数为43项.【1-4】已知数列若，求=_______.（用数字作答）【答案】923 【解析】，．【1-5】已知是递增的等差数列，，是方程的根，则数列的前项和 . 【答案】综合点评：这些题都是数列求和，做这一类数列求和的题，，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 【方法规律技巧】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的． 若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令3815,,,S S S 212014n -<2n ≥{},n a )(,1221+-∈+-=N n n a n n 10S ()11221221n n n a n n --=-+=--210102101222(13519)211010241100923S =++++-++++=--=--={}n a 2a 4a 2560x x -+=2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 1422n n n S ++=-n n {}n a n n n n n，则两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1），特别地当时，；（2），特别地当（3）（4） （5）5．分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，.7. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式．()1n k n kn k n =+-++11n n n n=+++()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭)()11(11q p qp p q pq <--=n ()()1nn a f n =-22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．8. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n . 【新题变式探究】【变式一】对于函数，部分与的对应关系如下表：数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为 .【答案】7549【变式二】若在数列中，对任意正整数，都有（常数），则称数列为“等方和数列”，称 为“公方和”，若数列为“等方和数列”，其前项和为，且“公方和”为，首项，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】2【解析】由得，两等式相减得：.又“公方和”为n S n qS n n S qS -)211(21)2(1+-=+n n n n 12n n -+12)(x f y =x y }{n x 11x =*n ∈N ),(1+n n x x ()y f x =123420132014x x x x x x ++++++{}n a n 221n n a a p ++={}n a p {}n a n n S 111a =2014S 221n n a a p ++=2212n n a a p +++=222n n a a +=，首项，所以.所以的最大值为1007，最小值为-1005，其和为2.【综合点评】这两个题都是数列求和,第一题是函数与数列相结合,解题突破口为根据函数数据,找出数列满足的规律,然后利用合项法求和,第二个题是根据新定义求和,紧扣定义找出实质是解本题的关键. 考点2数列综合 【题组全面展示】【1-1】已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值正负为 .【答案】正【解析】⇒⇒⇒同理，，，…，，又⇒，以上各式相加，得.【1-2】设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为 .【答案】 .111a =2222223520132420141,0a a a a a a ========2014S )(x f R {}n a 01007>a )()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 021********>=+a a a 20131a a ->)()()(201320131a f a f a f -=->0)()(20131>+a f a f 0)()(20122>+a f a f 0)()(20113>+a f a f 0)()(10081006>+a f a f 01007>a 0)0()(1007=>f a f 0)()()()()(20132012321>+++++a f a f a f a f a f (2),2()1()1,22x k x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩()n a f n ={}n a k 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭7(,)4-∞【1-3】已知，已知数列满足，且，则最大值为 .【答案】6030【1-4】已知，其导函数为，设，则数列自第2项到第项的和_____________.【答案】【解析】已知，则有，所以，，所以，所以. 【1-5】对于每一个正整数，设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则.【答案】.()[]23,0,31x f x x x +=∈+{}na 03,n a n N *<≤∈122010670a a a +++=122010()()()f a f a f a +++()()()()()()123,2,f x x x x x n n n N =++++≥∈()f x '()()20n f a f '-={}n a n S =11n-()()()()()2[13]f x x x x x n =++++()()()()()()()()()2[13]2[13]f x x x x x n x x x x n '''=+++++++++()()(2)112322!f n n '-=-⋅⋅⋅⋅-=--(0)!f n =()2!111!(1)1n n a n n n n n -=-=-=---111111*********1S n n n=-+-+-++-=--n 1n y x+=()1,1x n x n a lg n x =1299a a a +++=2-【解析】利用导数求得曲线在点处的切线方程为，即，它与轴交于点，则有，， .综合点评：这些题都是数列与函数综合问题，解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理． 【方法规律技巧】1. 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围． 以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解，或利用放缩法证明.解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较．数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法.2. 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．3. 处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒1n y x+=()1,1()()111y n x =+-+()1y n x n =+-x (),0n x ()101n n n n x n x n +-=⇒=+()lg lglg lg 11n n na x n n n ∴===-++()()()1299lg1lg2lg2lg3lg99lg100lg1lg1002a a a ∴+++=-+-++-=-=-成立的条件求解．4. 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．5.数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．数列与函数的综合问题，解决此类问题时要注意把握以下两点：(1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义；(2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．【新题变式探究】【变式一】设数列满足 ,且对任意,函数满足，若，则数列的前项和为 .【答案】 【变式二】在直角坐标平面内，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，P 3(3,23)，…，P n (n,2n )，….如果n 为正整数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为________．【答案】23(4n －1) 【解析】P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2k ＋1－2k )＝(1,2k )，于是P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为{}n a 6,1421=+=a a a *n N ∈12()()n n n f x a a a x ++=-++1cos n a x +-2sin n a x +'()02f π=n a n n a c 21+={}n c n n S n n n 21222-++2＋23＋25＋…＋22n －1＝21－4n 1－4＝23(4n －1)． 【综合点评】第一题是函数与数列结合，此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．第二题是数列与新背景、新定义的综合问题，解决数列与新背景、新定义的综合问题，可通过对新数表、图象、新定义的分析、探究，将问题转化为等差(比)数列的问题．【易错试题常警惕】易错典例：已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 易错分析：未对q ＝1或q ≠1分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误．错解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4， 解得a 1＝3，d ＝－1，∴a n ＝4－n . (2)由(1)知b n ＝n ·q n －1， ∴S n ＝1＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，qS n ＝1·q ＋2·q 2＋3·q 3＋…＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋qn －1＋n ·q n ＝1－q n 1－q ＋n ·q n .∴S n ＝1－q n 1－q 2＋n ·q n 1－q. 正确解析：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知得温馨提醒：错位相减法适合于一个由等差数列{a n}及一个等比数列{b n}对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．因此利用错位相减法求解时，两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．。