高考数学一轮复习： 专题6.4 数列求和(讲)

专题6.4 数列求和

【考纲解读】

【直击考点】

题组一 常识题

1． 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 的前10项和为

________．

【解析】易知S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×9

2×1＝75.

2．数列32，94，258，6516，…，n ·2n

＋1

2

n

的前n 项和为____________． 【解析】易知a n ＝n ·2n

＋12n ＝n ＋12n

，∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫3＋123＋…＋

⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝ (1＋2＋3＋…＋n)＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝（n ＋1）n 2＋12⎝

⎛

⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n （n ＋1）2－12n

＋1.

3．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，1

1＋2＋…＋n

的前n 项和为________．

【解析】易知该数列的通项公式为a n ＝2n （n ＋1），分裂为两项差的形式，即a n ＝21n －1

n ＋1，

则数列的前n 项和S n ＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝

2n n ＋1

. 4． 1＋2x ＋3x 2

＋…＋nx

n －1

＝____________(x ≠0且x ≠1)．

题组二 常错题

5．已知S n ＝

12＋1

＋

13＋2＋

12＋3

＋…＋

1

n ＋1＋n

，若S m ＝10，则m ＝________．

【解析】因为

1n ＋1＋n

＝

n ＋1－n

n ＋1－n

＝n ＋1－n ，所以S m ＝2－1＋3－2＋…

＋m ＋1－m ＝m ＋1－1.由已知得m ＋1－1＝10，所以m ＝120.

6．数列22，422，623， (2)

2

n ，…的前n 项和为________．

【解析】设S n ＝22＋422＋623＋...＋2n 2n ，①则12S n ＝222＋423＋624＋ (2)

2n ＋1，②

①－②，得

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1

，

∴S n ＝4－n ＋2

2n －1.

题组三 常考题

7． 等差数列{a n }的公差是3，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝________. 【解析】由题意，得a 2，a 2＋6，a 2＋18成等比数列，即(a 2＋6)2

＝a 2(a 2＋18)，解得a 2＝6，故a 1＝3，所以S n ＝3n ＋

n （n －1）2×3＝3

2

n(n ＋1)． 8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．

【解析】因为a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以S 1＝－1，S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1

S n

＝－1，

所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以1S n ＝－n ，所以S n ＝－1

n .

9． 已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *

)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)

b n ＝b n

＋1

－1(n ∈N *

)．记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝______________.

【解析】由a n ＋1＝2a n 可得a n ＋1

a n

＝2，即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故数

列{a n }的通项

【知识清单】

数列求和

1. 等差数列的前和的求和公式：. 2．等比数列前项和公式 一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.

3. 数列前项和

①重要公式：（1） （2）

（3）

（4） ②等差数列中，；

③等比数列中，.

【考点深度剖析】

江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C

能级知识点，本章就占

n 11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-==+n 123,,,

,,n a a a a n =n S 123n a a a a ++++1

≠q q q a S n n --=1)1(111n n a a q

S q

-=-1q =1na S n =n 1

n

k k ==∑123n +++

+=

2

)

1(+n n 1(21)n

k k =-=∑()13521n +++

+-=2n 3

1n

k k ==∑2

3

33)1(2121⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=+++n n n 2

1

n

k k ==∑)12)(1(6

1

3212

222++=

++++n n n n m n m n S S S mnd +=++n m

m n n m m n S S q S S q S +=+=+