九年级数学下册第5章二次函数5.5用二次函数解决问题5.5.1利用二次函数解决销售利润最值问题同步练

5.5 用二次函数解决问题

第1课时利用二次函数解决销售利润最值问题

知|识|目|标

1．通过建立二次函数模型，利用二次函数性质解决实际生活中利润的最大(小)值问题．2．通过对函数图像的分析，能用二次函数解决利润与图像信息的相关问题

目标一能构造二次函数模型解决最大利润问题

例1 教材问题2变式某市某水产养殖中心xx年鱼塘饲养鱼苗10千尾，平均每千尾鱼的产量为1000千克，xx年计划继续向鱼塘投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾的产量将减少50千克．

(1)xx年应投放鱼苗多少千尾，可以使总产量达到10450千克？

(2)该水产养殖中心xx年投放鱼苗多少千尾，可以达到最大总产量？最大总产量是多少千克？

【归纳总结】利用二次函数求最值的“三注意”

(1)要把实际问题正确地转化为二次函数问题．

(2)列函数表达式时要注意自变量的取值范围．

(3)若自变量的取值范围内函数图像不含抛物线的顶点，则应根据函数的增减性来确定最值．

目标二会解决利润与图像信息相关问题

例2 教材补充例题某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系示意图如图5－5－1所示．

(1)图中点P所表示的实际意义是______________________；销售单价每提高1元时，销售量相应减少________件．

(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：________；自变量x的取值范围为________．

(3)第二个月的销售单价定为多少元/件时，可获得最大利润？最大利润是多少？

图5－5－1

知识点一 与利润相关的量的关系

(1)产品单件利润＝单件售价－单件进价．

(2)销售总利润＝总收入－总成本．

(3)利润率＝售价－进价进价

×100%. 知识点二 解决利润最值问题的基本步骤

(1)认真审题，读懂题意．

(2)正确列出函数表达式．

(3)对函数表达式进行配方或根据顶点坐标公式进行整理．

(4)根据题意进行合理解释并作答．

某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定

其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．当销售单价为x 元/千克时，日销售量为(－2x ＋200)千克．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．当销售单价为多少元/千克时，该公司日获利W (元)最大？最大日获利是多少元？

解：W ＝(x －30)(－2x ＋200)－450＝－2x 2＋260x －6450＝－2(x －65)2＋2000.

∴当x ＝65时，W 最大，W 最大值＝2000.

即当销售单价为65元/千克时，该公司日获利最大，最大日获利是2000元．

找出以上解答中的错误，并改正．

详解详析

【目标突破】

例1 解：(1)设xx 年投放鱼苗m 千尾，那么鱼塘里共有鱼苗(10＋m)千尾，每千尾鱼的产量为(1000－50m)千克．

根据题意，得(10＋m)(1000－50m)＝10450，

解得m 1＝1，m 2＝9.

答：xx 年应投放鱼苗1千尾或9千尾，可以使总产量达到10450千克．

(2)设xx 年投放鱼苗x 千尾，总产量为y 千克，则y ＝(1000－50x)(10＋x)＝－50(x －5)2＋11250.

当x ＝5时，y 的值最大，最大值是11250.

答：xx 年投放鱼苗5千尾，能使总产量最大，最大总产量为11250千克．

例2 解：(1)图中点P 所表示的实际意义是当售价定为35元/件时，销售量为300件； 第一个月该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元/件)，

∴销售单价每提高1元时，销售量相应减少的数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．故答案为当售价定为35元/件时，销售数量为300件；20.

(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b.

将点(30，400)，(35，300)代入y ＝kx ＋b 中，

得⎩⎨⎧400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－20，b ＝1000.

∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1000.

当y ＝0时，x ＝50，

∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50.

故答案为y ＝－20x ＋1000；30≤x ≤50.

(3)设第二个月的利润为w 元．

由已知，得w ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1000)＝－20x 2＋1400x －20000＝－20(x －35)2＋4500.

∵－20＜0，

∴当x ＝35时，w 取得最大值，最大值为4500.

故第二个月的销售单价定为35元/件时，可获得最大利润，最大利润是4500元．

【总结反思】

[反思] 错误：忽略了自变量的取值范围．改正：

∵30≤x ≤60，

∴顶点的横坐标65不在自变量的取值范围内，

∴最大值不是顶点的纵坐标．

由函数的增减性可知，当x ＝60时，W 有最大值，

W 最大值＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.

即当销售单价为60元/千克时，该公司日获利最大，最大日获利是1950元．

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