动点和最值问题

动点和最值问题

基本图形：

一：两定一动型（“两个定点，一个动点”的条件下求最值。例如上图中直线l的同侧有两个定点A、B,在直线l上有一动点）

例1、1、以正方形为载体

如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是2√3

2、以直角梯形为载体

例2：如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，△APD中AP边上的高为8√17/17

3、以圆为载体

:

如图，AB、CD是半径为5的⊙O的弦，AB=8，CD=6，MN为直径，AB⊥MN于E,CD⊥MN于F,P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为

4、以直角坐标系为载体

如图，一次函数y=kx+b的图像与x、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4).（1）求函数的解析式.（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别是C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值为y=-2x+4 ，此时P点的坐标为（0,1）

5、以抛物线为载体

已知y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3,0），C（0，-2），若在x=-1上存在点P，使得△PBC的周长最小，则P 的坐标为（-1，-4/3）

二、一定两动型（“一个定点”+“两个动点”）

1、以三角形为载体

如图，在阅角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N 分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是

|

2、以正方形、圆、角为载体

正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上的一动点.连接BD，则PB+PE 的最小值是√5

如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB, ∠AOC=60°，P是OB上的一动点，则PA+PC的最小值是2√3

如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是10√2 .

三、两定两动型（两个定点+两个动点）

.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图10（1）是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直，垂足为P),P 到A 、B 的距离之和S 1=PA+PB ； 图10（2）是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A'，连接BA'交直线X 于点P),P 到A 、B 的距离之和S 2=PA+PB.

(1).求S 1 、S 2 ,并比较它们的大小.

、

(2).请你说明S 2=PA+PB 的值为最小.

(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y

与沪渝高速公路垂直，

建立如图所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km,请你在X

旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形

的周长最小.并求出这个最小值.

解:⑴图10（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,

[

∴AC=30 ． 1分

在Rt △ABC 中，AB=50 AC=30 ∴BC=40

∴ BP=24022=+BC CP

S 1=10240+ 2分

⑵图10（2）中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，则A ′C=50，又BC=40

∴BA'=4110504022=+

图11（1） X A B

Y B'

由轴对称知：PA=PA'

∴S 2=BA'=4110 3分

∴1S ﹥2S 4分

(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA' :

∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B

∴S 2=BA'为最小 7分

（3）过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B'，

连接A'B',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 即为所求 ８分 过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G, A'B'=5505010022=+ ∴所求四边形的周长为55050+ 10分