3-5 一阶电路的零状态响应
一阶电路响应
δ (t)
uL
L
Байду номын сангаас
t 1 0+ di 1 1 τ ∴i = e ε (t) (uL (0+ ) = δ (t), iL = ∫ L dt = ) l 0 dt L L
di R Lt uL = L = [δ (t) e ]ε (t) dt L
R
10k 5k
10k
将电压源短路
10k 5k
10k
20V
u0
Req
uOC =10v
原电路变为：
10k iC
Req = 5 +10 // 10 =10k
τ = ReqC =104 *10*106 =101 s
10F
uC =10(1 e10t )v
duC =103 e10t a iC = c dt
10V
摘要 :
一阶电路响应
零输入响应、 零状态响应、 全响应、 阶跃响应和冲激响应
一阶电路的响应:
零输入响应指当电路中无独立电源而依靠储能元件的初始条件 维持的电压、电流响应； 全响应指电路中既有独立电源、储能元件又处在非零状态时的响应。 零状态响应指电路中有独立电源而储能元件的初始条件为零时的响应； 根据电路的KCL、KVL和元件的电压、电流约束关系，描述电路性状 的是一阶微分方程，描述零输入响应的方程是一阶齐次微分方程， 描述零状态响应和全响应的方程是非齐次微分方程。 依照数学中微分方程的解法和电路理论中的换路定律， 可得到三种情况下的表达式分别为：
uc (0 ) =100*iL (0+ ) = 24 ν
t
100 t t ≥ 0时 L = iL (0+ )e τ = 0.24e 1.0 = 0.24e1000 t i 因此: t t 2 6 u = u (0 )e τ = 24e 100*20*10 = 24e500t
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式电路是电子工程中非常重要的基础概念之一，而一阶电路是最简单的电路之一。
在学习电路的过程中，我们经常会遇到一阶电路的零状态响应问题。
本文将通过介绍一阶电路的零状态响应公式，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一阶电路是指由一个电容或一个电感与电阻串联或并联而成的电路。
它的特点是电流或电压的变化是连续的，不存在跳变。
在进行一阶电路的分析时，我们常常需要考虑其零状态响应，即在初始时刻电路中没有输入信号的情况下，电路中的电压或电流如何变化。
在分析一阶电路的零状态响应时，我们可以使用以下公式：V(t) = V0 * (1 - e^(-t/τ))其中，V(t)表示时间t时刻电路中的电压，V0表示初始时刻电路中的电压，τ表示电路的时间常数。
这个公式是根据一阶电路的微分方程推导出来的。
微分方程描述了电路中电压或电流的变化规律。
通过求解微分方程，我们可以得到电路中电压或电流随时间的变化关系。
在上述公式中，指数函数e^(-t/τ)描述了电压的衰减过程。
随着时间的推移，电压逐渐趋向于稳定值V0，衰减的速率由时间常数τ决定。
时间常数τ越小，衰减越快；时间常数τ越大，衰减越慢。
通过这个公式，我们可以计算出一阶电路中电压随时间的变化情况。
根据实际问题的要求，我们可以选择合适的初始电压V0和时间常数τ，来分析电路的响应特性。
需要注意的是，这个公式适用于没有输入信号的情况下的零状态响应。
如果电路中存在输入信号，我们需要将输入信号和零状态响应进行叠加，得到完整的响应过程。
除了零状态响应公式，我们还可以使用其他方法来分析一阶电路的响应特性。
例如，可以使用拉普拉斯变换、复数分析等方法。
不同的方法可以适用于不同的情况，读者可以根据实际需要选择合适的方法。
一阶电路的零状态响应是电子工程中重要的基础概念之一。
通过零状态响应公式，我们可以计算出电路中电压或电流随时间的变化情况。
这对于分析和设计电路具有重要的意义。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用一阶电路的零状态响应公式。
一阶电路的过渡过程
一阶电路的过渡过程1、一阶电路的零输入响应零输入响应：换路后动态电路中没有外施激励，电路响应由动态元件所储藏的能量引起。
一阶电路的零输入响应包括有RC放电电路和RL 放电电路。
2、RC放电电路RC电路的时间常数：对于含有电容的一阶电路，电路的时间常数定义为，时间常数，其中为一阶电路中，除电容以外的含源一端口网络或无源一端口网络的等效电阻。
如：在图1电路中，电阻、电容以及电压源全部为已知参数，开关S 在t=0时刻从位置1合到位置2，开关移动之前电路处于稳态，换路后的、以及流过电路中的电流为：，，图1 RC放电电路图2 电容电压、电阻电压和电路电流随时间的变化根据所求得的、和，可得它们随时间的变化规律如图2所示。
从图22中电压和电流随时间的变化规律，可得结论：1）电流和电压都按照同样的指数规律变化，因电路的特征方程和特征根仅取决于电路的结构和元件的参数，而与变量的选择无关。
2）由于特征根是负值，电流和电压都按同样的指数规律衰减，最终趋于零。
从上可以看出，电压和电流的衰减的快慢取决于指数中的大小。
反映了一阶电路过渡过程的进展速度，越小，过渡过程越快，是讨论过渡过程的一个重要参数。
3、RL放电电路RL电路的时间常数：对于含有电感的一阶电路，电路的时间常数定义为，时间常数，其中为一阶电路中，除电感以外的含源一端口网络或无源一端口网络的等效电阻。
利用微分方程的求解，RL电路响应的电压和电流随时间的变化规律，可得出与RC电路相同的结论。
4、一阶电路的零状态响应零状态响应：换路后动态电路中动态元件所储藏的能量为零，电路响应是由外施激励引起。
零状态响应的时间常数与零输入响应的时间常数的求解相似。
且零状态响应的过渡过程变化规律主要也是由时间常数来决定。
一阶电路的零输入响应
dt
50 1 e1500t 0.05 1500 e1500t
50 25e1500tV
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§10.4 一阶电路的全响应 一、全响应的分解
全响应：电路中输入激励和储能元件的储能共同产生的响应。
R
+
+ uR – i
–US
C
uC 0 U0
电路方程
ui US
+u US-U0 C
一、RC电路的零输入响应
12 i
uC i
特征根
p
1
+ U0
—
R0
+ C uC
—
+ R uR
—
U0
U0
R
uC
i
0
RC
t
uC Ae RC t 0
确定积分常数
t
uC 0 U0
uC 0 U0
电路方程
uR uC 0
电压与电流的关系
u R iR
电路方程
RC
duC dt
uC
0
t＞0
通解
uC Aept
二、全响应的分解
1.全响应可分解为稳态分量和瞬态分量。
t
uC = uC′+ uC″ = US + （U0 - US）e
τ
稳态分量 瞬态分量
强制分量 自由分量
2.全响应可分解为零输入响应和零状态响应。
t
t
uc = uc1 + uc2 = U0e τ + US（1-e τ ）
零输入响应 零状态响应
uC US
+ uR –
uR uC i
+
R+i
10 零状态 全响应 三要素
− t
零输入+零状态 零输入 零状态
τ
t≥0
uC = U S (1 − e τ ) + U 0 e
−
t
−
t
τ
t≥0
电路响应与其工作状态 之间的关系
激励与响应的因果关系
根据需要任选其中的一种 RC电路 τ=RC 电路 RL电路 电路τ=L/R 电路
− t
一阶电路的零状态响应(zero state response) §3-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应： 零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用 下产生的响应(excited response) 下产生的响应 一. RC电路的零状态响应 电路的零状态响应 K(t=0) US R
R
i
R
i
C
+u –
uC
–
duC RC + u C = U S 非齐次方程 dt +
uC = U S + Ae)= uC (0+)= U0
由起始值定A 由起始值定 ∴ A=U0 - US
uC = U S + (U 0 − U S )e
强制分量(稳态解 强制分量 稳态解) 稳态解
− t
τ
t≥0
′ u C′ ：通解（自由分量，暂态分量） 通解（自由分量，暂态分量） t
′′ uC = A e
−
RC
变化规律由电路参数和结构决定
− t RC
′ ′′ 全解 u C = uC + uC = U S + A e
− t RC
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
电路原理5.3.3一阶电路的动态响应 - 一阶电路的动态响应2
解的构成：
dt
y = y' + y''
对应的齐次方程的通解
非齐次方程的特解
方法一：从数学方程形式求解
（1）先求对应齐次方程的通解y’’
dy + py = 0 dt
-t
y'' = Ae
动态电路的时域分析
（2）求非齐次方程的特解y’——待定系数法
a.形如
dy dt
+
py
=
K
（K为常数——直流）
则设 y' = （常数），代入非齐次方程，求得y’。
b.形如
dy + py = Kt dt
则设 y' = t + ，代入非齐次方程，求得y’。
c.形如 dy + py = Ksint （交流）
dt
则设 y' = sint + cost ，代入非齐次方程，求得y’。
（或者 y' = Am sin(t + ) ）
动态电路的时域分析
方法二：从电路的角度分析 y = y' + y''
i2 (t )
=
-
R1
+
R R2
+
R3
i(t)
=
-2e-t A
动态电路的时域分析
二、一阶电路的零状态响应 1、零状态响应：电路在储能元件零初始条件下(电容电压
值uC和电感电流值iL为零），而由外施激励引 起的电路响应。
2、RC电路的零状态响应
S(t = 0) R iC(t)
+ US
2
1
+
uR C
实验五RC一阶电路的零输入响应和零状态响应ppt
实验操作流程
3. 打开电源，使电路正常工作，观察并记录电压表和电流表的读数，直到电容充电完毕。
4. 关闭电源，记录关闭时刻的电流和电压值，作为零输入响应的起始状态。
实验操作流程
零状态响应 1. 将电容放电至零电荷状态，确保电容两端的电压为零。
2. 将电源、电阻按照正确的极性连接在实验线路板上，确保连接牢固。
实验设备介绍
电阻
阻值为已知的定值 电阻，用于构成RC 电路。
电流表和电压表
用于测量电路中的 电流和电压。
电源
提供稳定的直流电 源，用于给RC电路 供电。
电容
已知容值的电解电 容，用于RC电路。
实验线路板
提供电路连接的接 口和固定装置。
实验操作流程
零输入响应
1. 将电源、电阻、电容按照正确的极性连接在实验线路板上，确保连接 牢固。
在RC一阶电路中，当电路的初始状态为零 时，输入信号引起的响应被称为零状态响应。 通过给电路施加不同频率和幅值的正弦波信 号，我们观察到随着频率的增加，响应的幅 值减小，相位滞后增大。这一结果表明， RC电路对于不同频率的输入信号具有不同 的响应特性。
结论总结
RC一阶电路的零输入响应表现 为电容的放电过程，电压随时间
03
在数字电路中，RC一阶 电路可以用于时钟信号 的生成和整形。
04
在控制系统中，RC一阶 电路可以用于控制系统 的稳定性分析和设计。
入信 号时，电路中由于储能元件（如电感 或电容）的能量交换所产生的响应。
在RC一阶电路中，零输入响应表现为 电容上的电压或电流的衰减过程。
RC电路在电子工程、电路分析 和控制系统等领域有广泛应用。
一阶电路的零输入响应基础知识讲解
R
现象 ：电压表坏了
10V
L
例2 t=0时 , 开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两
端电压u12。 解
iL(0 ) iL(0 )
K(t=0) 2
+1
24V
– 4
2 iL 3 4 u+L 6H
－
6
24 6 2A 4 2 3 // 6 3 6
R 3 (2 4) // 6 6
L 6 1s
t>0
iL() 10A
iL (t ) 10(1 e100t )A
10A
+
2H uL Req
iL –
uL(t ) 10 Reqe100t 2000e V 100t
例2 t=0时 ,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端
电压。
5 10
解
这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有：
K(t=0)
10V
+
uV
–
V RV 10k
iL
解 R=10 L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
iL e t/ t 0
L 4 4104 s
RV 10k
R RV 10000
uV RV iL 10000e2500t t 0
iL
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
－
iL –
u 5I S 10iL uL 20 10e V 10t
储能大 放电电流小
放电时间长
t
t
uc U0e
0
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
2
3
U0 e -2
5-5零输入响应与零状态响应的再理解
“零输入响应”和“零状态响应”分别是由什么原因产生的?一阶电路。
若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应，称为零输入响应。
反之，电路的初始储能为零，仅由激励引起的响应为零状态响应。
动态电路，电源、电感或电容度的初始储能均能作问为电路的激励引起响应。
全响应可以看成是零输入与零状态的相加。
1、零输入响应,是研究没有激励源作用答下,但L,C一开始有能量储存,电路中LC,RC回路的版电路状态的时权间演化。
2、零状态响应,是研究电路中一开始L,C原件没有储存能量,然后在激励源作用下的电路参数的时间演化。
3、两个效应叠加起来,就可以处理L,C一开始有能量力储存,然后又有激励源作用下的电路参数的时间演化。
一阶电路。
若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应百，称为零输入响应。
反之，电路的初始储能为零，仅由激励引起的响应为零状态响应。
动态电路，电源、电感或电容度的初始储能均能作问为电路的激励引起响应。
全响应可以看成是零输入与零状态的相加。
1、零输入响应,是研究没有激励源作用答下,但L,C一开始有能量储存,电路中LC,RC回路的版电路状态的时权间演化。
2、零状态响应,是研究电路中一开始L,C原件没有储存能量,然后在激励源作用下的电路参数的时间演化。
3、两个效应叠加起来,就可以处理L,C一开始有能量力储存,然后又有激励源作用下的电路参数的时间演化。
一、零输入响应----没有外部激励源，电路的响应是由电路中的储能元件作为激励源而产生的响应当系统的输入为小于等于0时，即当输入端小于等于t=0时，输出端的响应叫做零输入响应【输入为0，输出不一定为0】。
零输入响应是指当系统的输入为0时系统的输出响应并不为0，这个响应叫做零输入响应【即输入为0时输出函数就是零状态响应】二、零状态响应----电路中的储能元件的储能为0，电路中的响应只由外部激励源的作用而产生的响应。
零状态响应非零初始条件下的零状态响应=系统在t=0时的输入时的输出响应- 初始条件下的输出响应，有输入信号时系统的输出响应，这个响应只与系统有关，与输入无关线性系统表达式的中不包括常数项，如果包括常数项，。
一阶电路零状态响应公式
一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。
在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。
当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。
我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。
在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。
根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。
假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。
根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。
从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。
当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。
通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。
这对于设计和分析电路的性能非常重要。
例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。
需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。
实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。
因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。
总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。
通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。
但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。
(电路分析)一阶电路的零状态响应
一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应：储能元件的初始状态为零，仅由外加激励作用所产生的响应，称为零状态响应（ zero-state response ）。
一、 RC 电路的零状态响应图 5.4-1 所示 RC 电路，开关闭合之前电路已处于稳态，且电容中无储能，即。
时开关闭合，讨论时响应的变化规律。
t=0 时开关闭合，则由换路定则得这时直流电压源 Us 与 R 、 C 构成回路，由 KVL 得这是一阶非齐次微分方程，它的解由对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解组成。
采用常数变易法来解，得 RC 电路的零状态响应为当 t →∞时，电路已达到新的稳态，电容又相当于开路，则，因此，电容电压的零状态响应为式中，为 RC 电路的时间常数。
二、 RL 电路的零状态响应图 5.4-3 所示电路，时开关 S 处于闭合状态，电感的初始状态，时开关打开。
讨论开关打开后响应的变化规律。
t=0 时，开关 S 打开，直流电流源 Is 开始对电感充电，这时这也是一阶非齐次微分方程，解得式中，为 RL 电路的时间常数。
当 t →∞时，这时电路已达到新的稳态，电感相当于短路。
，因此，电感电流的零状态响应为三、一阶电路零状态响应的计算计算步骤1 、求 t →∞时的稳态值。
对于 RC 电路，求；对于 RL 电路，求。
2 、求电路的时间常数τ。
对于 RC 电路，，对于 RL 电路，。
其中， R 为从电容 C 或电感 L 两端看进去的戴维南等效电阻。
3 、求出零状态响应RC 电路：RL 电路：4 、如需求其它响应，再根据已求得的或去求解。
例 5.4-1 图 5.4-5 所示电路，已知时开关 S 处于位置 2 ，且电感中无储能， t=0 时开关 S 拨到位置 1 ，求时的，。
解：电感的初始储能为 0 ，则电路换路后， t →∞时，电路进入新的稳态，电感又相当于短路，则换路后，从电感两端看进去的等效电阻是 4 Ω和 8 Ω两个电阻串联，即R=4 ＋ 8=12 Ω所以，时间常数为因此，电路的零状态响应为。
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
一阶电路的零输入响应和零状态响应
(t )
uc(t)的微分方程及其求解 R duc RC uc U s + 由KVL dt US uc ( 0) 0
非齐次一阶微分方程的解为：
2.
ic C + uc -
uc ( t ) uch ( t ) ucp ( t )
st t Ke RC
t0
R0
t=0 i + + R uR C uc -
+ -
U0
R0
t=0 i + + R uR C uc C + uc -
i + R uR -
+ -
U0
1、换路前后，电路的物理过程
t 0, uc (0) U 0
t 0 时，uc ( 0 ) U0，i ( 0 ) 0，uR ( 0 ) 0
可写成
并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳 态值，例如 ic(t) 是从其初始值按指数规律衰减到 零。这是上图电路中 ic 本身性质所确定的。
uc ( t ) uc ( )(1 e
t
)
。
例 图示电路，2A电流源在t=0时加于电路， u(0)=0，求i1(t)，t>0，并画出其波形。 4 i2
2. 电路的微分方程及其求解
i
设响应为 uc(t) + + uc uR 0 C uc R uR duc uR Ri RC t 0, uc (0) U 0 dt duc RC uc 0，t （齐次微分方程） 0 dt 及uc ( 0) U 0 一阶齐次微分方程的解为 uc ( t ) Ke 式中K是由初始条件确定的待定常数，S 是特征方程的特征根。
电路一阶电路的零输入响应-精品文档
d i L Ri 0 t 0 d t
pt i(t) Ae
特征方程 Lp+R=0
R 特征根 p = L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
A= i(0+)= I0
pt 得 i ( t ) I e I e 0 0
1 CU 2
2 0
-
C
电容放出能量
电阻吸收（消耗）能量
W R
0
t 2t 2 U U 2 RC ( 0e RC)2 Rdt 0 i Rdt e dt 0 0 R R
U RC ( e R 2
2 0
2 t RC 0
)|
1 2 CU 0 2
二. RL电路的零输入响应
解 （ 1） t≥0 电路如图（ b）所示 ,为一 RL 电路。
L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
例:L=0.4H, R=1Ω, US=12V, RV=10kΩ, 量程为50V。 L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
S(t ＝ 0) i C ＋ － uC
du C u Ri , i C R dt
一.RC电路的零输入响应
＋ R uR －
设
du C RC u 0 C dt
pt u A e C
( t 0 )
一阶微分方程
特征方程 1 p RC
RCp 1 0
uC Ae
1 RC
S(t ＝ 0) i C ＋ － uC
uC (t1 ) t 2 t1 tan t uC (t1 ) U 0e t1 duC (t ) 1 t t1 U e 0 dt
动态电路 3-5.
uCf (t) 8 8et (V ), t 0 u1f (t) 8 4et (V ), t 0
uC (t) 8 12et (V ), t 0
波形 uC/V 8
u1(t) 8 6et (V ), t 0
u1/V 8
6
uCf
uC
u1f
6
u1
4
4
2
2
0
越小，响应衰减越快，暂态过程就越短。工程上取
t=(3∽5)τ或t=4τ，暂态过程结束，电路达到稳定
状态（理论上t→∞）
零状态响应
1.零状态响应是动态元件贮能从无到有的积累过程。
2.uC和iL都是从零开始按指数规律上升达到新稳定值。 （其它变量则不一定！）
3.时间常数与零输入响应的相同。
4.在新的稳定状态下
2.稳态值 y() 或虚平衡值 y()
iL(t0+)
C
L
画出 t 等效电路,得要求的各稳态值或平衡值.
3.时间常数
RC电路: ReqC
RL电路: L Req
Req是换路后，电路中所有独立源置零时，从动态元件两端向电
路看去的等效电阻(即戴维南或诺顿等效电路中的等效电阻).
＋
(b) t=0-等效电路
1S
画出t=0+等效电路:
6
－
8V
2
2
Is 4A
3+
3 6 u1 - 0.25F
+ uC -
＋
3 6
2
+ u1x(0＋) -
+ uCx(0＋) -
(a)原电路
Is 4A
3
2
+ u1(0＋)
3.5 一阶电路的三要素公式
2、三要素公式
y(t ) = y(∞) + [ y(0+ ) − y(∞)]e
τ > 0 时：
−
t
τ
t ≥0
上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电路 全响应的三要素公式。
换路时刻为 t0 时的三要素公式为：
y(t) = y(∞) + [ y(t0+ ) − y(∞)] e
XIDIAN UNIVERSITY
Gao Jianning
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©西安电子科技大学电路信号与系统实验中心
如何画出 t =0-时刻等效电路？
由于t = 0-时电路已处于稳态，则： 情况一、若t = 0- 时等效电路中有独立源：
电容: 用开路线替代； 电感: 用短路线替代； 在t = 0- 时等效电路中计算：uc ( 0− ) , iL ( 0− )
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Gao Jianning
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二、三要素法求解步骤如下
1、 确定初始值 y (0+) 初始值y(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的 数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。 (1)、独立初始值的计算 换路后瞬间 (t0=0+) 电容电压、电感电流的初始值， 受换路定律的约束，即
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Gao Jianning
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4、应用举例
例1 图 (a)所示电路中，t=0时将S合上，求t≥0时的 i1、 iL、uL。
5-4、5一阶电路的零状态响应和三要素法1(new)(乙)
−
t
τ
u
C (0 )=U0
uC (= t ) U S + Ae
τ
τ =RC
− t
由起始值定A
uC (0+)=A+US=U0
uC = U S + (U 0 − U S )e
∴ A=U0 - US
t≥0
τ
(1). 全响应 = 强制分量(特解、稳态解)+自由分量(齐次解、暂态解)
uC (t ) =U S + (U 0 − U S )e
(0 < t ≤ 0.2)
i (A) 5 2 0.2 1.26 t(s)
i (t )= 5 − 3.74e −2(t −0.2) A ( t ≥ 0.2)
)A 例：某一阶电路在阶跃函数US 1(t) 激励下响应 i (t ) = (4 − 3 e 若将其初始状态量增加为二倍，此响应变为？ 若将激励增加为三倍，此响应变为？ 若将其初始状态量增加为二倍，同时将激励增加为三倍， 此响应变为？ i (t ) = 2 × i (t ) + i (t )
零状态响应
−
τ
(t ≥ 0)
零输入响应
uC
US U0 0
全响应
零状态响应
t
零输入响应
二.
df (t ) + bf (t ) = u (t ) 一阶电路的数学模型是一阶微分方程：a dt
其解答一般形式为： 令 t = 0+
三要素法分析一阶电路
= f (t )
f (0+ = )
f P (t ) + A e
t ≥ t1
§5-5
一阶电路的全响应和三要素法
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u ( 0 ) 0 ，求开关S t 0 已知电路在 时处于稳态， C 例题
闭合后的 uC (t ) 和 u0 (t ) ，并画出他们的变化曲线。
解：t=0时，开关闭合。
电路再达稳态，电容开路， 所以电容电压的稳态值为： 1 1 uC () 1 V 1 2 3
S ( t 0)
（与R消耗的能量相等） 电源提供的总能量： Ws WR WL LI 充电效率为50%。
2 s
（与R的大小无关）
1 2 dt LI s 2
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
通过分析RC电路或者RL电路的所求变量，可以 看出任何状态变量的零状态响应都可以写成：
1 t
y(t ) y()(1 e
1 1 (1 e ) 3 3 t 2 1 4 e V ，t 0 3 3
3 t 4
t
3 t 4
1
u( t ) / V
2 3
u0 ( t )
13
uC ( t )
0
t/s
X
例题
t 0 i ( 0 已知电路在 时处于稳态，L ) 0 ，求开关S 闭合后的 iL (t ) 和 u1 (t ) ，并画出他们的变化曲线。
X
duC RC uC us (t ) t 0 dt 解的形式为： uC uCh uCp t uCh 齐次方程的通解：uCh (t ) Ae RC( A由初始条件决定) uCp (t ) B（与激励同形式） uCp 非齐次方程的特解： 设us (t ) U s , 则特解uCp (t ) U s
+ +
1V
uC ( t )
2F
+ u (t )
0
1
2
-
-
2 与电容连接的等效电阻为：Req 1 / /2 3 2 4 ReqC 2 s 电路的时间常数为： 3 3
X
解（续）
uC (t ) uC ()(1 e ) 1 (1 e ) V ，t 0 3 u0 (t ) 1 uC (t )
X
（充电）过渡过程与时间常数的关系
t = 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的 63.2%。 t = 4 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的98.17%。 t = 5 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的99.33%。 工程上常取 t = (3 ~ 5 ) 作为充电完毕所需时间。
t
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
iL t I s (1 e )
t
uL (t ) I s Re
t
t 0
t 0
响应曲线 iL(t)
Is
终值（稳态值）:
L 时间常数： R R 固有频率： s L
uL () 0
0
Is R
uL(t)
20
u1 (t ) / V
0
t/s
X
例题
i ( 0 ) 0 t 0 u ( 0 已知电路在 时处于稳态，L ，C ) 0，
求开关S闭合后的 i L (t ) 和uC (t )。
R2
R3
S ( t 0)
t=0时，开关闭合。电源 解： 左右两部分可看成独立的两 u 部分。电路再达稳态，电感
t
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
uC (t ) U s (1 e
1
1 t
) t0
响应曲线
uC (t)
Us
t
U s t iC (t ) e t 0 R 终值（稳态值）uC () U s , iC () 0 0
1 s 固有频率： RC
时间常数： RC
解：t=0时，开关闭合。
电路再达稳态，电感短路， 所以电感电流的稳态值为： 100 i L ( ) 4A 25
S ( t 0)
+
u1 (t )
iL (t )
+
100 V
25
100
20mH
-
Req 25 / /100 20 与电感连接的等效电阻为： L 0.02 0.001s 电路的时间常数为： Req 20
§3-5 一阶电路的零状态响应
北京邮电大学电子工程学院 2012.1
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内容提要
一阶RC电路的零状态响应
一阶RL电路的零状态响应
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励 源产生的响应。零状态响应是储能从无到有的建立 过程——充电过程。 S ( t 0) R iC ( t ) t 0 合上开关S
Us R
iC ( t )
0
t
RC电路的零状态响应是一个充电过程。
X
§3-5-1 一阶RC电路的零状态响应
充电过程中电阻消耗的能量： 充电过程中的能量
WR i (t ) Rdt
0 2 C
U s2 R
2 t e RC dt
0
1 2 CU s 2
（与R消耗的能量相等） 电源提供的总能量： Ws WR WC CU s2 充电效率为50%。
uC (t ) Ae Us t 0 由初始值uC (0 ) uC (0 ) 0 求得：A U s
uC (t ) U s e
t RC t RC
t RC
U s U s(1 e ) U s(1 e ) t 0 t t duC U s RC U s iC (t ) C e e t0 dt R R
uC (0) uC (0 ) uC (0 ) 0 t 0 KVL方程： RiC (t ) uC (t ) us (t ) duC RC uC us (t ) t 0 dt
us ( t )
C
uC (t )
uC (0 ) 0
（一阶线性常系数非齐次微分方程）
t L
iL (t ) Ae
Is
iL t I s (1 e ) I s (1 e ) t 0 t R t i L (t ) uL (t ) L I s Re L I s R e t 0 dt
R t L
t 0 , 解得：
时间常数影响过渡过程的快慢： 时间常数 越小，过渡过程越快； 时间常数 越大，过渡过程越慢；
X
以RC电路为例，不同时间常数时的充电曲线
X
时间常数的测定
方法一： 在 y (t )曲线上测量0.632 y () y ( ) 所对应的时间为时间常数。 0.632 y() 方法二： 过 y (0) 作切线，切线与 y () 交 点为时间常数，其中切线斜率为：
X
解（续）
i L (t ) i L ()(1 e ) 4(1 e 1000 t )A，t 0
t
iL (t ) / A
4
0
t/s
di L (t ) u1 (t ) 100 L 100 dt 100 0.02 (4) (1000)e 1000 t 100 80e 1000 t V ，t 0
t
0
t
RL电路的零状态响应是一个充电过程。
X
§3-5-2 一阶RL电路的零状态响应
充电过程中电阻消耗的能量： 充电过程中的能量
WR i (t ) Rdt 0 I Re
0 2 R
2 s
2R t L
1 2 1 2 电感的最终储能： WL () Li L ( ) LI s 2 2
C
1 4 s L
X
3.小结
(1) 零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的 响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此， 只要知道电容电压或电感电流的稳态值和电路的时间 常数，就能求得一阶电路的z.s.r。
(2) 零状态响应线性：激励增长k倍，响应也增长k倍。
如果有多个激励，则零状态响应是每个激励单独 作用产生的零状态响应的叠加。
t dy (t ) 1 ( ) y ( ) e dt t 0
y (t )
0
t
t 0
y ()
X
时间常数的计算
方法一： 若已知电路的微分方程，求得特征方程的特征根s， 因此可以得到时间常数 1 s 。 方法二： 若已知函数表达式，根据 y(t ) t 0.632 y() 确定时间 常数 。 方法三： 根据电路，利用公式 RC 和 L R 计算。对于复 杂电路，利用戴维南定理或诺顿定理将除动态元件以 外的电路用戴维南等效电路或诺顿等效电路替代，由 此可以确定R为戴维南等效电阻或诺顿等效电阻。
X
3.小结
(3) 一阶电路零状态微分方程的一般形式为: d 1 y t y t E E为与激励相关的函数 t dt
z.s.r： y t y ()(1 e ) t 0 L 1 RC or ，s ( 固有频率) R 时间常数 愈小, 增长愈快
C (t )
+ -
C
R1
短路，电容开路，所以有： Us R1U s i L ( ) , uC () R3 R1 R2 R3 R4 ReqL R3 / / R4 与电感连接的等效电阻为： R3 R4 L( R3 R4 ) L L 右边电路的时间常数为： ReqL R3 R4