一元函数积分学

一元函数积分学

考试要求：

1. 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法。

2. 了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.

3. 会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题.

4.

了解反常积分的概念，会计算反常积分.

考试内容解析：

（一） 不定积分 1. 基本概念

（1）原函数：若在某区间I 内， ()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则称()F x 为

()f x 在该区间内的一个原函数（有时候区间略而不提）.

（2）原函数与不定积分的关系： 若已知()F x 是()f x 一个原函数，则

()()f x dx F x C =+⎰，其中C 为任意常数.

注：若()f x 有一个原函数()F x ，则()f x 必有无穷多个原函数，并且所有原函数皆为()F x C +的形式。

例1设()f x 的导数是sin x ，则()f x 的原函数是 （3）求不定积分与求导是互为逆运算的关系：

(())()f x dx f x '=⎰或()()d f x dx f x =⎰

()()F x dx F x C '=+⎰或()()d dF x F x C =+⎰

（4）不定积分的性质：

[]()()()()af x bg x dx a f x dx b g x ±=+⎰⎰⎰，,a b 为任意常数.

（5）不定积分的几何意义：

()f x 的不定积分()f x dx ⎰表示具有斜率为()f x 的“平行”曲线组.

2. 基本积分表（式中C 为任意常数，0a ≠）

(1)0dx =⎰ (2)x dx α=⎰ (3)dx

x

=⎰

(4)x a dx =⎰ (5)x e dx =⎰ (6)sin xdx =⎰ (7)cos xdx =⎰

2(8)sec xdx =⎰ 2(9)csc xdx =⎰ (10)sec tan x xdx =⎰ (11)csc co t x xdx =⎰

(12)=⎰ 2

(13)1dx

x =+⎰

(14)=⎰

22(15)dx a x =+⎰

22(16)dx

a x

=-⎰ (17)sec xdx =⎰ (18)csc xdx =⎰

(19)=⎰

(20)=

3. 基本积分法

（1）直接积分法：直接利用或将被积函数适当恒等变形后，再利用基本积分表以及积分的性质和法则，可以求一些较简单的不定积分，此法成为直接积分法.

例2求下列不定积分：

2221

(1);

(2)tan .cos sin dx xdx x x

⎰

⎰

（2）第一类换元积分法：

设()f u 是u 的连续函数，()u x ϕ=及其导数()x ϕ'是x 的连续函数，若

()()f u du F u C =+⎰则(())()(())f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰.

x

u x

u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x

x f x

d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da

a f a dx a a f de

e f dx e e f x d x f dx x

x f x d x

f dx x

x f a b ax d b ax f a

dx b ax f x x x

x

x

x

x

x

x

x

arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)

(arcsin .11)

(arctan )(arctan 11

)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1

)(.5)()(..4)

(ln )(ln 1

)(ln .3)

0()()(1

)(.2)

0()

()(1)(.12

2

2

21

==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=

⋅≠=

≠++=+⎰

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰

-μμ

μ

μμμμ

法

分积元换一第换元公式

积分类型

例3求下列不定积分：

(1)sec ;

(2).

xdx ⎰⎰

例4设()arcsin xf x dx x C =+⎰，则()

dx

f x =⎰

例5设()x x f e xe -'=，且(1)0f =则()f x =

（3）第二类换元积分法： 设()f x 连续，而()f x dx ⎰难计算，可选择连续可微且其导数无零点的函数()x t ϕ=，

则

1

()(())()()()f x dx f t t dt G t C G x C ϕϕϕ

-'⎡⎤==+=+⎣⎦⎰⎰.

常用的方法： 当被积函数中含有

a) 可令 sin x a t = b)

可令 tan x a t =

c)

可令 sec x a t = 可令 t =

e) 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1

=.

例6求下列不定积分：

(1)(2)⎰

⎰

（4）分部积分法：公式：

udv uv vdu =-⎰⎰或uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰

使用这个公式的时候，选取谁是u ，谁是v '很关键。顺序：反对幂指三。 例7求不定积分⎰

dx e x x 2.

分析：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u , 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.