解直角三角形的应用专题复习

解直角三角形的应用专题复习

解直角三角形的应用既是初中数学的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题：

一、解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。

二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在

4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题，几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。

1.解直角三角形有以下类型：

①已知两边

先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角．

②已知一边和一锐角

先求另一锐角，再由边角关系求其余两边．

典例分析：

例1 在ABC Rt ∆中,,900=∠C 3,30==∠b A ,解这个三角形.

解法一 ∵ ,30,9000=∠=∠A C ∴ .2a c =

设x a =,则.2x c =由勾股定理,得222)2().3(x x =+ ∴ 1=x . ∴ 000060309090.22,1=-=∠-=∠===A B x c a . 解法二 .13

3

330tan 0=⨯

==b a 0002222603090.2)3(1=-=∠=+=+=

B b a c

说明: 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用本章所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题.

巩固训练： 分别由下列条件解直角三角形（090=∠C ）.

（1）;45,80=∠=B c （2）060,36=∠=B b ；（3）;24,4==c a

（4）.6,2==

b a

解 （1）000045459090=-=∠-=∠B A 。

∵ c

a A =sin ∴ .2445sin 8sin 0=⨯==A c a ∴ 24==a

b 。 （2）000030609090=-=∠-=∠B A 。 ∵ c

b B =sin . ∴ .122

3

3

660sin 36sin 0====

B b c ∵ .sin c

a

A = ∴ .62

11230sin 12sin 0=⨯=⨯==A c a (3) ∵ ,24,4,sin ===c a c

a A ∴ .2

22

44sin =

=

A ∴ .450=A ∴ .454590000=-=

B ∴ .4==a b

(4) ,6,2,tan ===b a b

a A ∴ 3

36

2tan =

=

A . ∴ .300=∠A 000060309090=-=∠-=∠A

B . ∵ 222c b a =+, ∴ 2262=+=c .

说明:本题考查直角三角形的解法,解题关键是正确地选用关系式.易错点是选用关系式不当,造成计算错误或增大结果的误差。

2. 应用解直角三角形知识解决实际问题：

例：直升飞机在跨江大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB ．

【分析】如图所示，要求AB 长，先设法求出边AO 与BO 的长，然后相减即可，由条件可得30PAO ∠=︒，45PBO ∠=︒，又因为PO=450米，可选择上述两特殊角正切分别求得AO 与BO ．

【解】由题意得，

30,45PAO PBO ∠=︒∠=︒，

tan 30,tan 45PO PO OA OB =︒=︒，450

4503tan 30OA ∴==︒

，450450tan 45OB =

=︒， 450(31)()AB OA OB m ∴=-=- 答：大桥的长AB 为450(31)-米．

（强调解题完整，要写“答”，注意单位，这些都是中考失分的重要因素）

β

α

O

B

A

450米 例1图

变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P 点处，且A 、B 、O 三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的 仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO ．

请大家自行分析解决，注意方程思想的运用．

（本题应注意方程思想的运用，可设所求PO 长为x ，由45度角的正切或直接由“等角对等边”可求得OB 也等于x ，然后再由30度角的正切列出方程，即

3

4003

x x =+，熟练后也可以直接列3400x x =+，所以2003200()x m =+）

β

α

P

O

B

A

45°

30°

400米

变题1图

变题2直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO．

将问题转化为两个直角三角形组合图形中加以解决，可割可补

（本题会出现两种不同解法，割或补，即过A作AC⊥PO，要求PO 长，此时CO=AB=200，只需求出PC即可；或是过P作PC垂直BA延长线于点C，求出AC。不管哪种方法，必须注意所设未知数是哪条边，如果不是直接设PO为未知数，则一定要注意最后的结果

必须是PO

的长，结果为300()m）

变题2图