有限元计算原理与方法..
计算电磁学中的有限元方法
计算电磁学中的有限元方法随着计算机技术的不断发展和应用，计算电磁学研究的范围和深度不断提高，其应用领域也越来越广泛。
有限元方法是计算电磁学研究中重要的数值分析方法之一，其可模拟复杂电磁场问题，有着广泛的应用。
本文将简要介绍计算电磁学中的有限元方法的一些基本原理和应用。
一、有限元法基本理论有限元方法是数值分析中一种重要的数学工具，其基本思想是将整个计算区域分割成若干个简单的单元，然后在每个单元内选取一个适当的基函数，通过求解基函数系数来表示数值解。
这种思想很容易扩展到计算电磁场问题上，因为电磁场分布可以被视为由一些小电磁场单元组成。
有限元方法的基本过程包括建立有限元模型、离散化、求解以及后处理。
其中建模是有限元方法中最重要的一个环节。
在建模过程中，首先需要选取合适的计算区域，并将其离散化为若干个小单元（如三角形、四边形等）。
然后，我们需要选取适当的基函数，并确定它们所对应的系数的初始值。
一旦有限元模型被建立，我们就可以进行求解了。
具体来说，有限元法的求解过程需要求解一个大规模的稀疏矩阵方程，其中系数矩阵和右侧向量都与电磁场有关。
这个过程需要借助计算机的优势，通过矩阵解法算法完成求解。
最后，我们通过后处理来获得我们需要的电磁场信息或工程参数，例如电势、磁场强度、感应电动势等。
二、有限元法应用领域有限元法在计算电磁学中广泛应用。
其应用范围涉及电机、变压器、电力电子、雷达、电磁兼容等多个领域。
有限元法可用于仿真复杂的电磁场分布问题，例如在电机设计中，有限元法可用于电机磁场分析、电机振动分析以及谐波分析等。
在电力电子领域中，有限元法可用于设计电感元件和变压器等。
另外，有限元法在雷达技术中也有着广泛的应用，可用于雷达天线设计和仿真。
三、有限元法的优缺点有限元法作为一种数值分析方法，具有一定优缺点。
有限元法的主要优点在于它具有很强的适应性和通用性，可用于模拟各种复杂的材料和几何形状。
此外，有限元法允许我们针对不同的模型选择不同的元素类型和元素尺寸，因此可以根据实际需求自由选择不同的模型。
有限元和有限体积
有限元和有限体积引言有限元和有限体积方法是数值计算中常用的一种数值方法，用于求解连续介质力学问题。
有限元方法通过将连续介质分割为无数个小单元，通过对小单元进行分析，来近似求解整个问题。
而有限体积方法使用有限体积元胞对区域进行离散化，通过求解元胞边界上的通量和源项来逼近整体问题的解。
本文将详细讨论这两种方法的基本原理、应用领域和优缺点。
有限元方法基本原理有限元方法是将连续介质划分为一个个小的有限元，每个有限元都有自己的形状函数和自由度。
通过将连续问题离散化为有限个自由度上的代数方程，再通过求解代数方程组来近似求解连续问题的解。
具体步骤如下：1.将连续介质划分为有限个小的有限元；2.在每个有限元上选择适当的形状函数；3.建立有限元刚度矩阵和载荷向量；4.组装有限元刚度矩阵和载荷向量；5.边界条件的处理；6.求解代数方程组得到近似解。
有限体积方法基本原理有限体积方法是将连续介质划分为有限个的离散控制体积，通过对每个控制体积内部的平衡方程进行积分，得到离散控制方程。
以控制体积为基本单位，建立离散方程，通过对自由度进行遍历，求解整个问题。
具体步骤如下：1.将连续介质划分为有限个的离散控制体积；2.在每个控制体积内部建立平衡方程并进行积分；3.得到离散控制方程；4.边界条件的处理；5.求解离散方程组得到近似解。
有限元方法和有限体积方法的区别有限元方法和有限体积方法都是数值计算的重要方法，但在求解连续介质力学问题时有一些差异。
离散化方式不同有限元方法对连续介质进行的离散化是基于几何结构的，将连续域划分为小的有限元。
而有限体积方法则是基于控制体积划分，离散化程度相对较小。
近似程度不同有限元方法是在各个有限元上进行近似，通过调节有限元的数量和自由度的精度来改变近似程度。
有限体积方法是在每个控制体积上进行平衡方程的积分，通过选取不同大小的控制体积来改变近似程度。
单元法程度的力学意义不同有限元方法中的单元法是具有力学意义的，可以通过单元的应力、应变等物理量来反映力学本质。
有限元计算原理
有限元计算原理
有限元计算原理是一种工程分析的方法，用于求解各种结构及连续体的力学问题。
其基本思想是将结构或连续体分割成有限数量的小单元，然后通过对这些小单元进行计算，再将其组合起来求解整体问题。
这种方法可以将结构或连续体的力学行为分析得非常精确，可以获得结构的应力应变分布、位移分布等信息。
有限元计算的原理可以概括为以下几个步骤：
1. 网格划分：将结构或连续体划分成许多小单元，即有限元，这些小单元通过节点连接起来构成整个结构。
2. 求解力学方程：根据结构或连续体的几何形状和物理特性，建立相应的力学方程组。
通常采用弹性力学理论来描述结构或连续体的力学行为。
3. 边界条件的处理：给定结构或连续体的边界条件，如固支、约束力等，在有限元网格中对应的节点上施加相应的约束。
4. 单元刚度矩阵的组装：通过计算每个小单元的刚度矩阵，将其组装成整个结构或连续体的整体刚度矩阵。
5. 单元荷载向量的组装：根据给定的荷载条件，在每个小单元上计算相应的荷载向量，将其组装成整个结构或连续体的荷载向量。
6. 求解位移和应力：根据组装好的整体刚度矩阵和荷载向量，通过求解线性方程组，得到结构或连续体中每个节点的位移和应力。
7. 后处理：根据求解得到的位移和应力，可以计算出结构或连续体的各种物理量，比如应变、应力、变形等。
通过这种有限元计算的方法，可以对各种复杂的结构或连续体进行力学分析和优化设计。
材料力学中的有限元方法分析
材料力学中的有限元方法分析材料力学是研究物质初始状态至最终破坏状态之间的力学行为及其规律的科学。
有限元分析是一种数值计算方法，可以求解各种工程问题的数学模型。
有限元方法在材料力学研究中有着重要的应用，本文将从有限元方法的基本原理、材料力学中的有限元分析、有限元模拟在材料力学中的应用等方面进行分析。
一、有限元方法的基本原理有限元方法是一种通过建立复杂结构的有限元模型，将一个复杂的连续问题转化为离散问题来求解的方法。
其基本思想是将一个连续物体分割成很多小的单元，使用一些简单的解析方法求解每个小单元内的力学问题，然后将所有小单元的解组合在一起来求解整体力学问题。
有限元方法求解的过程分为以下基本步骤：1.建立有限元模型2.离散化3.施加约束4.建立刚度矩阵和荷载向量5.求解未知量二、材料力学中的有限元分析材料力学中的有限元分析是指通过有限元方法对材料力学问题进行分析、计算和评估的方法。
材料力学问题中的目标是通过施加荷载或外界力，来得到物体内部的应力和应变状态，以及其随时间和载荷变化的规律。
在建立材料力学有限元模型时，需要考虑以下因素：1.应力集中和应变集中的位置和程度2.物理边界和几何结构3.材料的力学性质和力学参数材料力学中的有限元分析包含以下几个方面：1.静态分析：研究物体在静态等效荷载下的应力状态，计算物体的静态变形。
2.动态分析：研究物体在动态载荷下的应力和应变状态，计算物体的动力响应。
3.疲劳分析：研究物体在周期性载荷下的损伤状态、损伤机理和寿命预估。
4.热力耦合分析：研究物体在温度场和应力场的共同作用下的应力和应变状态。
5.多物理场分析：研究物体在电、磁、声、液、气、红外、光、辐射等多个物理场的共同作用下的应力和应变状态。
三、有限元模拟在材料力学中的应用有限元模拟在材料力学中的应用范围非常广泛，包括了以下几个方面：1.材料的结构设计和分析2.材料的性质和参数的测试和评估3.材料的制造和加工工艺的模拟4.材料的破坏和损伤机理的研究5.材料的寿命评估和振动疲劳分析最终，有限元分析的结果可以在材料设计、材料优化和制造流程等方面提供准确的数据支持，帮助人们更好地理解材料的力学行为和性质，促进材料科学的发展。
有限元计算原理与方法
有限元计算原理与方法有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种通过将复杂的物理系统离散成有限的简单子域，并在每个子域上建立适当的解析函数，最终通过数值解法计算系统性质的方法。
它是目前工程界最常用的一种数值分析方法，适用于各种不同领域的问题求解。
有限元法的核心思想是将连续问题转化为离散问题，将复杂的物理系统划分成有限数量的简单几何单元，称为有限元。
每个有限元内只需要考虑有限自由度的变量，然后通过建立方程组，求解出系统的响应。
有限元法的优点是适用于各种复杂的几何形状和边界条件，并且可以处理非线性、动力学和多物理场等问题。
有限元法的基本步骤包括以下几个方面：1.几何建模：根据实际问题，将物体的几何形状抽象为有限的简单几何单元，如线段、三角形、四边形单元等。
2.离散化：将物体划分成有限元，并建立有限元网格。
有限元网格的划分应该足够细致，以保证对模型进行准确的描述。
3.单元及节点自由度的确定：确定每个有限元的节点，以及每个节点对应的自由度，自由度包括位移、应力、温度等。
4.建立元素刚度矩阵和载荷向量：根据单元的几何关系和物理性质，建立单元刚度矩阵和载荷向量。
单元刚度矩阵描述了单元内各个节点之间的相互作用关系，载荷向量描述了单元受到的外部力和边界条件。
5.组装：将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量。
6.施加边界条件：根据实际问题，将边界条件施加到系统方程中，通常为位移或载荷。
7.解方程：根据边界条件和施加的载荷，求解系统方程，得到节点的位移和应力等解。
8.后处理：根据求解的结果，计算出物体的各种性质，并对结果进行分析和可视化显示。
有限元法具有广泛的应用，例如结构力学、流体力学、电磁场等领域。
它的研究包括有限元离散化方法、有限元解法和计算误差分析等。
随着计算机技术的发展和计算能力的提高，有限元法在科学研究和工程实践中的应用将会更加广泛和深入。
有限元计算
有限元计算有限元计算是一种数值分析方法，用于求解工程问题的数学模型。
它通过将复杂的连续介质划分为离散的有限元素，然后针对每个元素进行力学方程求解，最终得到整个系统的响应。
本文将介绍有限元计算的基本原理和应用领域。
有限元计算的基本原理是以分片函数为基础的。
分片函数是一个在每个元素上定义的形状函数，它可以用来描述元素内部的物理量如位移、应力等。
通常，分片函数采用多项式函数来近似实际的分布。
然后，有限元计算将整个系统分割成多个元素，并在每个元素上使用分片函数进行离散化。
通过对每个元素的力学方程进行求解，可以得到整个系统的响应。
有限元计算可以应用于多个领域，例如结构力学、热传导、流体力学等。
在结构力学中，有限元计算可以用于预测材料的应力、变形以及断裂等。
在热传导中，有限元计算可以用于模拟热流的传递和分布。
在流体力学中，有限元计算可以用于模拟流体的运动和流场的分布。
有限元计算的具体步骤包括几何建模、边界条件的施加、离散化、方程的求解和结果的后处理。
在几何建模中，需要将实际的工程问题转化为几何模型。
边界条件的施加涉及到对问题的边界进行限制，例如施加位移边界条件或载荷边界条件。
离散化阶段是将整个模型分割成多个有限元素，并定义适当的分片函数。
在方程求解中，需要根据给定的边界条件和分片函数对每个元素的力学方程进行求解。
最后，在结果后处理中，可以对计算结果进行可视化和分析。
有限元计算的优点是可以解决复杂的工程问题，并且具有较高的精度和灵活性。
它可以通过改变网格密度和分片函数的阶数来调节计算精度。
另外，有限元计算可以处理几何形状复杂、边界条件多变的问题，具有广泛的适用性。
总之，有限元计算是一种常用的数值分析方法，可以用于求解工程问题的数学模型。
它通过将系统离散化成多个有限元素，并使用分片函数进行力学方程求解，来获得系统的响应。
有限元计算在结构力学、热传导、流体力学等领域有着广泛的应用。
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
有限元计算原理与方法
1.有限元计算原理与方法有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体，这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上，计算在外荷载作用下各节点的位移，进而计算各单元的应力和应变。
用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。
1.1. 有限元分析的基本理论有限元单元法的基本过程如下：1.1.1.连续体的离散化首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接而成为一个整体。
单元可采用各种类型，对于三维有限元分析，可采用四面体单元、五西体单元和六面体单元等。
在Plaxis 3D Foundation程序中，土体和桩体主要采用包含6个高斯点的15节点二次楔形体单元，该单元由水平面为6节点的三角形单元和竖直面为四边形8节点组成的，其局部坐标下的节点和应力点分布见图3.1，图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布界面单元采用包含9个高斯点的8个成对节点四边形单元。
在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方，应适当将单元划分得密集些；若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束，则应把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。
最后，还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。
由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。
因此，用有限元法计算获得的结果只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高。
与位移不同，应力和应变是在Gauss 积分点(或应力点)而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通过对桩截面进行积分褥到。
1.1.2. 单元位移插值函数的选取在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移作为未知量，即{}[u ,v ,w ,...]e T i i i δ=，单元体内任一点的位移为{}[,,]Tf u v w =。
有限元数值计算范文
有限元数值计算范文有限元数值计算是一种通过数值方法来解决实际工程问题的数学模拟技术。
它主要应用于结构力学、流体力学和热传导等领域，可以用来分析结构的强度、刚度、振动特性、热流传递以及流体流动等问题。
本文将介绍有限元数值计算的基本原理和应用。
一、有限元数值计算的基本原理：有限元数值计算的基本原理是将复杂的连续体问题分割成许多简单的几何单元，也称为有限元。
每个有限元内部的物理场量（如位移、应力、温度等）可以通过一个数学函数进行近似表示。
在有限元分析中，基本的假设是物理场的变化在每个有限元内是线性的，并且通过有限元之间的插值函数进行连接。
1.几何建模：根据实际问题的几何形状，将其建模成有限元的几何形状。
2.网格划分：将几何模型划分成许多小的有限元，构成有限元网格。
3.材料特性定义：为每个有限元指定相应的材料特性，如弹性模量、泊松比等。
4.加载和边界条件定义：确定边界条件和加载情况，如力、位移等。
5.求解方程组：根据有限元离散化的模型，建立求解方程组，例如强度方程或热传导方程等。
6.求解方程组：通过数值方法求解建立的方程组，得到物理场量的近似解。
7.结果分析和后处理：对求解结果进行分析和后处理，获得感兴趣的结果，如位移、应力、温度分布等。
二、有限元数值计算的应用：1.结构力学：有限元数值计算在结构工程中的应用非常广泛，可以用于分析结构的强度、刚度、振动特性、疲劳寿命等。
例如，有限元分析可以用来确定承受外部载荷时结构的应力和变形情况，从而评估结构的安全性。
2.流体力学：有限元数值计算在流体力学领域的应用主要包括流场分析和传热问题。
通过有限元数值计算，可以研究液体或气体在管道、河道或空气中的流动行为，从而得到流速、压力、温度等物理量的分布。
3.热传导：热传导问题是指物体内部或跨界面的热量传递过程。
有限元数值计算可以用来分析热传导问题，例如通过实验测量温度分布，确定材料的热传导系数，并进一步预测温度变化。
总之，有限元数值计算是一种重要的数学模拟技术，可以帮助工程师解决复杂的实际问题。
有限元法基本原理及应用教学设计
有限元法基本原理及应用教学设计一、引言有限元法作为结构力学、流体力学、热力学等学科中最常用的数值分析方法之一，已经广泛地用于工程领域。
本文将介绍有限元法的基本原理，并结合教学实践，提出一些应用场景下的教学方法。
二、有限元法基本原理有限元法是一种通过将连续体分割成一系列互相联系的单元，再在每个单元内进行局部近似的方法。
其基本步骤如下：1.确定问题的几何形状，将其离散化为有限数量的单元。
2.寻找适当的函数形式，用于单元内的场函数近似。
3.根据边界条件、本构关系等确定模型中所需的参数。
4.利用有限元法求解离散模型中的场函数，获得结果。
其中，第一步和第二步是离散化的过程，第三步是确定问题的物理参数，第四步是利用有限元方法来求解局部近似的结果。
三、教学设计3.1 教学目标通过本教学，学生应该能够：1.理解有限元法的基本原理。
2.能够根据问题特点选择有限元法模型，熟练掌握其求解方法。
3.能够独立地完成一定的有限元法计算，掌握基本的讨论和分析技巧。
3.2 教学内容教学内容的设计应该以让学生掌握有限元法的基本原理和中小型有限元法计算实验为主。
具体包括：1.有限元法基本概念和基本原理。
2.有限元法求解流程。
3.有限元法中力学问题的处理方法。
4.有限元法计算程序的操作实践及其调试过程。
3.3 教学方法教学方法应该根据教学目标和教学内容来选择。
具体而言，可以采用以下教学方法：1.讲授法：介绍有限元法的基本理论、公式、步骤等。
2.组织实践：每个学生都可以应用所学的有限元法计算流程，通过校内实践检验所得结果，加深学习效果。
3.讨论演示法：引导学生根据教材内容和实践结果展开讨论，举一反三，形成总结性的详细讨论分享现象，并进行比较，以及某些特殊情况的讨论。
4.自学法：学生在自习时间用充足的学习资料在当地的工程和计算机实验室研读，掌握有限元法的道理和方法。
3.4 教学评估教学评估应包括考试成绩和实际计算结果。
在学年末进行考试，考试的内容应该包括基本理论和实践的实际应用以及进行有限元法计算产生结果的分析。
有限元法基本原理及应用 尹飞鸿 课件
有限元法基本原理及应用尹飞鸿课件
有限元法基本原理及应用
有限元法是一种数值计算方法，用于求解复杂结构的物理问题。
它可通过将物理系统分割成许多小的有限元素来近似描述系统行为，并根据元素之间的关系和物理方程求解系统的响应。
有限元法的基本原理是建立数学模型，将连续体划分为多个离散的有限元素。
每个有限元素代表了原问题的一个小区域，具有一定的属性和形状。
通过将元素的局部行为进行组装，可以重建出整个物理系统的行为。
有限元法的应用非常广泛，涵盖了许多工程领域。
在结构力学中，有限元法可用于分析和优化建筑、航空航天器、机械设备等的力学性能。
在流体力学中，有限元法可用于模拟流体流动、传热和传质等问题。
在电磁学中，有限元法可用于计算电磁场和电磁波的分布。
有限元法的应用过程包括模型建立、划分网格、选取适当的数值计算方法以及求解和后处理结果等步骤。
模型建立是指将物理问题转化为数学描述，包括确定几何形状、材料性质和加载条件等。
划分网格是将物理模型分割成有限元素，通过合适的网格划分可以提高计算效率和精度。
数值计算方法是选择适当的数值算法来求解离散化的模型方程。
求解和后处理结果是对模拟结果进行分析和可视化展示。
总之，有限元法基于分割和离散化的思想，是一种强大的数值计算方法。
通过应用有限元法，我们可以更好地理解和解决复杂的物理问题，提高工程设计的效率和可靠性。
有限元和有限体积
有限元和有限体积有限元和有限体积是数值计算领域中常用的两种方法，用于求解偏微分方程组。
它们的应用范围非常广泛，包括结构力学、流体力学、电磁学等领域。
下面我将分别介绍有限元和有限体积的基本原理和应用。
一、有限元有限元方法是一种将连续问题离散化为有限个小元素的方法，然后在每个小元素内部求解方程组，最后将所有小元素的解组合起来得到整个问题的解。
这种方法的基本思想是将一个复杂的结构分割为若干个简单的几何单元，如三角形、四边形、六面体等，然后在每个单元内部建立局部方程组，再将所有单元的方程组组合成整体方程组，最终求解得到问题的解。
有限元方法的优点是适用于各种不规则的几何形状，可以处理非线性和动态问题，但是需要对问题进行网格划分，计算量较大。
有限元方法的应用非常广泛，例如在结构力学中，可以用有限元方法计算各种结构的应力、应变、变形等；在流体力学中，可以用有限元方法求解各种流动问题；在电磁学中，可以用有限元方法计算电场、磁场等。
有限元方法已经成为了工程计算中不可或缺的一种方法。
二、有限体积有限体积方法是一种将连续问题离散化为有限个小体积的方法，然后在每个小体积内部求解方程组，最后将所有小体积的解组合起来得到整个问题的解。
这种方法的基本思想是将一个区域分割为若干个小体积，然后在每个小体积内部建立局部方程组，再将所有小体积的方程组组合成整体方程组，最终求解得到问题的解。
有限体积方法的优点是不需要进行网格划分，适用于各种不规则的几何形状，计算量相对较小，但是对于非线性和动态问题的处理能力较弱。
有限体积方法的应用也非常广泛，例如在流体力学中，可以用有限体积方法求解各种流动问题，如自由表面流、湍流等；在热传导中，可以用有限体积方法计算温度场、热流等。
有限体积方法也已经成为了工程计算中不可或缺的一种方法。
总之，有限元和有限体积是两种常用的数值计算方法，它们在各自的领域内都有着广泛的应用。
有限元计算
有限元计算有限元计算是通过对物体进行数学分析和离散化，然后对分析结果进行仿真和模拟的一种计算方法。
其基础理论是应用数学中的有限元法，可将一个实际的物体模型划分为很多小的有限元，对每一小元素进行数值分析，然后将其组合起来得到整个物体的数值模拟结果。
本文将介绍有限元计算的相关内容。
有限元计算的步骤：1.建立模型选取与实际物体相似且易于模拟的结构模型，并将其进行划分，分配节点和元素。
2.设置边界条件通过选择力、位移或位移斜率等条件来设定边界条件。
边界条件的选择将直接影响计算结果的精度和可靠性。
3.选择材料参数物体材料参数的选择同样对计算结果具有重要影响，如杨氏模量、泊松比等。
4.进行离散化分析对物体分段离散化，按照有限元方法构造刚度矩阵，然后解决有限元方程。
5.求解结果输出节点的应力和位移等计算结果，根据结果进行分析和优化设计。
有限元计算可以用于以下领域：1.结构力学包括建筑、桥梁、飞机、船舶等的设计和分析。
2.热力学应用于热传导和对流分析，如汽车引擎、烟囱、锅炉、烤炉等。
3.电磁场分析用于设计电动机、电磁铁、变压器等电气设备。
4.流体动力学包括风力发电机翼型、燃气轮机叶片等失稳特征的分析及模拟。
5.生物医学工程用来模拟人体骨骼和器官在受力或运动时的生物力学反应。
有限元计算的好处：1.准确性高有限元方法可以对物体进行分析和仿真，并给出较准确的结果。
2.可靠性好有限元计算可以对物体的变形、应变及其他应力进行分析，确定其可靠性及破坏规律等。
3.设计周期短有限元计算可以替代传统的实验和试制方法，在产品设计的早期阶段就可以获得可靠的模拟结果，从而降低设计开发周期。
4.处理问题广泛有限元方法适用于复杂、异形的结构物及各种材料，处理问题广泛。
总之，有限元计算是一种强大而灵活的计算方法，可以在许多领域中应用。
其准确性、可靠性、设计周期短、处理问题广泛等优点，使得有限元计算得到广泛应用和重视，也成为了现代科技的重要组成部分。
有限元方法基本原理
有限元方法基本原理有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，主要用于求解偏微分方程的数值解。
它最早由Courant、Bubnov和Galerkin等人在20世纪50年代提出，并在以后的几十年中得到了广泛的发展和应用。
有限元方法的基本原理是将要求解的区域分割成若干个小的子区域，通常称为有限元，每个有限元内部的物理量可以用一个简单的数学表达式来表示。
然后，通过在有限元之间建立连续性条件，将整个问题转化为一组代数方程，进而得到数值解。
有限元方法的基本步骤包括：建立有限元模型、离散化、建立代数方程、求解代数方程和后处理。
下面将详细介绍每个步骤的具体内容。
第一步，建立有限元模型。
该步骤主要是对要求解的问题进行数学建模，包括选择适当的坐标系、定义物理量和约束条件等。
通常，物理问题可以通过连续介质假设，将其离散化为一组小的有限元。
第二步，离散化。
将要求解的区域划分为有限个小的子区域，通常称为有限元。
常见的有限元形状包括三角形、四边形和六面体等。
有限元的选择通常是根据问题的几何形状和物理条件来确定的。
第三步，建立代数方程。
有限元方法的核心是建立代数方程，用于描述物理问题在离散点上的数值解。
代数方程通常是通过施加适当的数学形式和边界条件来建立的。
建立代数方程的基本思想是使用一组试验函数来近似描述有限元内部的解。
通常采用Galerkin方法，即在离散点上进行加权残差积分，使得残差的加权平均为零。
第四步，求解代数方程。
一旦代数方程建立完成，就可以使用数值方法求解这组代数方程。
常见的求解方法包括直接法和迭代法等。
直接法适用于方程较小的情况，而迭代法适用于方程较大的情况。
常见的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和共轭梯度法等。
第五步，后处理。
求解代数方程后，需要对结果进行后处理和分析。
后处理包括计算和显示物理量、绘制图形以及进行误差估计等。
通过后处理，可以对模型进行验证，并对结果进行解释和解释。
有限元方法
有限元方法有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种基于物理数学原理和工程力学理论的数值计算方法，它广泛应用于工程领域中结构分析、流体力学和热传导等问题的求解。
本文将为读者介绍有限元方法的原理、应用和发展，并探讨其在工程实践中的重要性。
有限元方法的核心思想是将一个连续的物理问题离散化，通过将其分解为许多小的有限单元，利用数值计算的方法来求解整个问题。
因此，所使用的数学模型将物理问题转化成一个由大量独立节点和元素组成的离散系统，并通过求解节点上的未知量（通常是位移或其他物理量）来得到问题的数值解。
有限元方法的工作流程主要包括以下几个步骤：建立物理模型、离散化、确定边界条件、建立刚度矩阵和荷载向量、组装和求解代数方程组、后处理结果。
首先，将真实的物理问题抽象成一个数学模型，包括几何形状、材料性质和加载条件等。
然后，将物理模型离散化为许多小的有限单元，通常是三角形或四边形。
接下来，根据边界条件确定节点的约束和加载条件。
然后，根据离散化后的模型建立刚度矩阵和荷载向量，用于描述各个单元之间的相互作用关系和力的传递。
随后，将每个单元的刚度矩阵和荷载向量组装成整个系统的刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解代数方程组，得到节点上的位移或其他物理量的数值解，并进行后处理分析，如应力、应变和位移等。
有限元方法在工程实践中具有重要的意义。
首先，它可以帮助工程师和科学家研究和理解各种复杂的物理现象和工程问题。
其次，通过有限元分析，可以在设计阶段对工程结构进行性能预测和优化，提高产品质量和工程效率。
此外，有限元方法还能为工程实践提供快速、准确和经济的解决方案，节约成本和时间。
近年来，随着计算机技术和数值算法的不断发展，有限元方法在计算规模、精度和可视化方面取得了重大突破。
在结构分析领域，有限元方法已经成为工程设计和分析的重要工具。
同时，在流体力学和热传导等领域，也有广泛的应用。
有限元方法的发展使得工程师和科学家能够更好地理解和解决复杂的工程问题。
数值计算中的有限元方法
数值计算中的有限元方法现代科学技术的蓬勃发展离不开数值计算方法，而数值计算方法中的有限元方法被广泛应用于工程设计、建筑结构分析以及材料研究等领域。
有限元方法是通过将复杂的系统分割成许多小的子系统，并分别对其进行处理，最终通过拼接得到整个系统的计算结果。
本文将讨论数值计算中的有限元方法的基本原理和应用，以及该方法的局限性。
一、有限元方法的基本原理有限元方法可以理解成一种将连续系统转化为离散点计算的方法。
其基本思想是通过将大型系统分解成小型系统（单元），并采用数值方法对每个小型系统进行计算，最终将结果进行组合得到整个系统的计算结果。
在有限元方法中，应先对待求解问题进行离散化，即将其转化为有限个区域（称为离散化单元）及相应的计算模型。
离散化过程往往取决于待求解问题的特性。
最常见的离散化方式是采用三角剖分、四面体剖分等方法将待求解区域划分为许多小单元。
之后，对于每个小单元都采用连续性函数的形式进行近似，从而得到一系列的代数方程。
通过求解这些代数方程求得系统的解即可。
二、有限元方法的应用有限元方法广泛应用于工程设计、建筑结构分析、材料研究、流体力学以及天文学等众多领域。
在工业和机械领域，有限元方法可以用来分析机器的强度和稳定性。
例如，通过使用有限元方法，可以预测在高速运转时发动机，叶轮和其他机械结构是否会发生破裂或振动。
同样，在土木工程中，有限元方法可以用来预测各种结构，如桥梁，大坝和建筑物受力情况，优化设计结构。
在材料科学中，有限元方法可以用来研究不同材料的性能，例如强度，刚度，韧度和疲劳寿命。
该方法可以采用真实的材料属性（例如塑性和弹性的应力 - 应变关系），并对材料的变形进行建模。
在流体力学方面，有限元方法可以用来研究液体和气体的流动。
例如，该方法可以用来设计潜水艇，研究海洋流和气候模式等。
三、有限元方法的局限性与其它数值方法一样，有限元方法也存在着一些局限性。
虽然该方法在许多领域中广泛应用，但是当存在一些问题时，它也有许多限制。
有限单元法基本原理和数值方法 (2)
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值计算方法。
它的基本原理是将连续体分割为离散的有限单元，通过建立有限单元间的关系，近似求解连续体的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法。
2. 有限单元法基本原理有限单元法基于两个基本假设：一是一个连续物体可以用小的有限单元来近似表示；二是连续物体在每个有限单元内有近似均匀的力和位移。
有限单元法的基本原理可以概括为以下几个步骤：2.1 离散化将连续物体划分为有限个离散的单元，每个单元都有自己的性质和参数。
通常采用三角形、四边形、四面体等简单形状的单元。
2.2 建立单元间的关系通过节点和单元之间的连接关系来构建整个有限元模型。
每个单元都与相邻的单元共享一些节点，通过共享的节点建立单元间的关系。
2.3 定义单元的属性为每个单元定义材料性质、几何属性和荷载条件等参数，这些参数将用于描述单元的行为。
2.4 定义求解问题的边界条件为有限元模型定义相应的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等。
2.5 利用单元间的关系建立方程通过应变能最小原理，利用单元间的关系建立求解整个结构的方程。
2.6 求解方程将建立的方程离散化，采用数值方法求解得到解。
3. 有限单元法数值方法有限单元法中常用的数值方法有直接法和迭代法。
3.1 直接法直接法是指直接求解线性方程组的方法，通常使用高斯消元法、LU分解法等。
直接法的优点是计算简单，稳定性好。
但是当方程组规模较大时，计算量会很大。
3.2 迭代法迭代法是指通过迭代逼近求解方程组的方法，常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
迭代法的优点是计算量相对较小，适用于大规模方程组。
但是迭代法的收敛性需要保证，且需要选择合适的迭代停止准则。
4. 有限单元法应用有限单元法广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、电磁场分析等。
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
有限元法建模原理及应用
有限元法建模原理及应用有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，通过将一个复杂的物理问题划分为多个简单的子问题，即有限元，来求解问题的数值逼近解。
它广泛应用于多学科领域，如力学、结构工程、流体力学、电磁学等。
有限元法建模原理主要包括以下几个步骤：1. 问题的离散化：将实际的连续体划分为有限个离散的子域，即有限元。
这些子域可以是线段、三角形、四边形等简单的几何形状，也可以是更为复杂的几何体。
2. 弱形式的建立：根据问题的物理方程和边界条件，将问题表达为一组偏微分方程或积分方程，然后通过集成法将其转化为弱形式。
一般情况下，弱形式就是在一个有限元内部或周边区域进行积分，将物理方程转化为一系列积分方程。
3. 转化为代数方程组：将弱形式的积分方程通过有限元基函数的展开系数，转化为一组代数方程组。
这些方程组往往是大规模的线性代数方程组，可以通过数值方法求解。
4. 求解方程组：使用数值方法求解转化得到的代数方程组，得到问题的数值逼近解。
常用的求解方法包括有直接法、迭代法和优化算法等。
有限元法的应用非常广泛，以下是一些常见的应用领域：1. 结构力学：有限元法可以用于分析结构的力学性能，如应力、应变、变形等。
它可以帮助工程师设计和优化各种结构，如桥梁、建筑物、汽车和航天器等。
2. 流体力学：有限元法在流体力学中的应用主要是求解Navier-Stokes方程，用于模拟流体在复杂几何结构中的流动行为。
它广泛应用于风力发电机、船舶设计、汽车空气动力学等领域。
3. 电磁学：有限元法可以用于求解电磁场分布和电路问题。
它在电磁兼容与电磁干扰分析、电机设计、电子器件热分析等方面有广泛应用。
4. 生物医学工程：有限元法可以模拟人体组织和器官的力学行为，如骨骼、关节、心脏和血管等。
它可以帮助医生进行手术规划和设计医疗器械。
5. 地质工程：有限元法在地质工程中的应用主要是求解地下水流动、土壤力学和岩体力学等问题。
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1.有限元计算原理与方法有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体，这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上，计算在外荷载作用下各节点的位移，进而计算各单元的应力和应变。
用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。
1.1. 有限元分析的基本理论有限元单元法的基本过程如下：1.1.1.连续体的离散化首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接而成为一个整体。
单元可采用各种类型，对于三维有限元分析，可采用四面体单元、五西体单元和六面体单元等。
在Plaxis 3D Foundation程序中，土体和桩体主要采用包含6个高斯点的15节点二次楔形体单元，该单元由水平面为6节点的三角形单元和竖直面为四边形8节点组成的，其局部坐标下的节点和应力点分布见图3.1，图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布界面单元采用包含9个高斯点的8个成对节点四边形单元。
在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方，应适当将单元划分得密集些；若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束，则应把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。
最后，还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。
由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。
因此，用有限元法计算获得的结果只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高。
与位移不同，应力和应变是在Gauss 积分点(或应力点)而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通过对桩截面进行积分褥到。
1.1.2. 单元位移插值函数的选取在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移作为未知量，即{}[u ,v ,w ,...]e Ti i i δ=，单元体内任一点的位移为{}[,,]T f u v w =。
引入位移函数N (x,y,z )表示场变量在单元内的分布形态和变化规律，以便用场变量在节点上的值来描述单元内任一点的场变量。
因此在单元内建立的位移模式为：{}[]{}e f N δ= （3-1）其中：12315[][,,......]N IN IN IN IN =，I 为单位矩阵。
按等参元的特性，局部坐标(,,)ξηζ到整体坐标,,x y z （）的坐标转换也采用与位移插值类似的表达式。
经过坐标变化后子单元与母单元(局部坐标下的规则单元)之间建立一种映射关系。
不管内部单元或边界附近的单元均可选择相同的位移函数，则为它们建立单元特性矩阵的方法是相同的。
因此，对于15节点楔形体单元体内各点位移在整体坐标系,,x y z （）下一般取：151151151(,,)(,,)(,,)i i i i i i i i i u N u v N v w N w ξηζξηζξηζ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑32-（） 上式中的(,,)i i i u v w 为整体坐标系下节点i 处的位移值，(,,)i N ξηζ为在局部坐标系下节点相应的形函数。
1.1.3. 单元特性分析利用几何方程、本构方程、虚功原理或位能变分方程求解单元节点力与节点位移关系的表达式，即单元刚度矩阵。
根据几何方程可建立单元内的应变矩阵{}{,,,,,}x y z xy yz zx εεεεγγγ=：{}[]{}e B εδ= （3-3）其中1215[][,......]B B B B =，/000/000/[]//00///0/i i i i i i i i i i N x N y N z B N y N x N z N y N z N x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂=⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦(34)- 对于小变形线性弹性问题，根据物理方程建立单元内的应力矩阵：{}[]{}[][]{}e D D B σεδ== （3-5）其中,[]B 为几何矩阵，[]D 为弹性矩阵，[]S 为应力矩阵，[][][]S D B =。
根据虚功原理求出单元中的节点力{}e F ：{}[]{}e eF k δ= （3-6）其中[]k 为单元的劲度矩阵，[][][][]T e k B D B dxdxdz =⎰⎰⎰{}R 对于整体结构上的任一点 i ，建立平衡方程：{}{}i ie F R =∑ (37)-{}i R 为i 节点上的外荷。
上式表示{}i R 与围绕i 点的各单元在i 点上的节点力之和相平衡。
1.1.4. 总体特性分析对每一个位移未知的节点，都可写出3-7式的方程，利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成分析对象的整体有限元平衡方程组：[]{}{}K R δ= （3-8）其中， 为整体劲度矩阵， ； 为整个结构的节点位移矩阵，为整个结构的节点荷载矩阵，是已知的。
由式(3-8)求出节点位移 ,由式(3-3)、式(3-5)求出各单元的应变和应力。
1.2. 非线性有限元分析非线性现象是在实际的结构分析中经常遇到的问题。
与线性分析相比，非线性分析中荷载与位移之间的关系已不是直线关系，而是曲线关系。
土体的非线性分析一般来说采用非线性的分析方法，选用适当的土体本构系，进行有限元计算。
非线性问题一般有材料非线性和几何非线性两种。
几何非线性即存在大变形，其变化的几何形状可能引起结构的非线性[]k ij ij K k =∑{}δ{}δ响应，即应变与位移的关系不里线性，应变不仅包括位移对坐标的一阶导数，还要包括高阶导数。
在进行小应变或者小变形分析时，假定位移和变形总是足够小(这种假定取决于特定分析要求中的精度等级)可以忽略结构变形对系统刚度的影响，即基于最初几何形状的结构刚度的一次迭代足以计算出分析结果。
随着变形位移增长，一个有限单元的已移动的坐标可以多种方式改变结构的刚度，进行多次迭代来获得一个有效的解，这就是几何非线性。
除了结构大变形引起剐度变化以外。
许多与材料有关的参数同样可以改变结构刚度。
材料的非线性即是材料的应力—应交关系是非线性的。
主要有弹性非线性模型和弹塑性模型两大类。
弹性非线性理论是以弹性理论为基础，在微小的荷载增量范围内，把土看作弹性材料，从一个荷载增量变化到另一个荷载增量，土体的弹性常数发生变化，以考虑非线性；弹塑性模型理论认为土体的变形包括弹性和塑性变形两部分，把弹性理论和塑性理论结合起来建立的本构模型。
土体中的弹塑性本构关系都是用增量形式表示的，因此，计算方法也宜用增量法。
某级荷载增量作用下，各单元的应力状态不同。
有些可能处于弹性区，则刚度矩阵要用弹性矩阵，有些可能产生塑性屈服，则须运用屈服准则、硬化规律和流动法则建立的弹塑性刚度矩阵来代替 。
反映到式(3-5)，其中的矩阵 不是常量其随应力或应变改变，由此推导的劲度矩阵 也随应力或变形而变。
对于相适应流动法则，则：[]R ∆[]D []ep D []D []D []K g f =[D]{}{}[D][D ][D]{}[D]{}T ep T f f f f A σσσσ∂∂∂∂=-∂∂+∂∂(38)-式中A 为塑性硬化模量,是硬化参数函数。
因此,不管是材料非线性还是几何非线性,推出的劲度矩阵将随位移而变。
因此，不管是材料非线性还是几何非线性，推出的劲度矩阵将随位移而变。
（3-10）这是位移的非线性方程组。
直接解这样的方程组是困难的，因此简化为一系列的线性问题的解逐步逼近非线性问题的解，非线性问题可以理解为一些线性解进行迭代的结果。
1.3. 有限单元法解比奥固结方程对于土工问题有限元分析可以采用有效应力法、总应力法和准有效应力法三种。
有效应力法严格区分土体中的有效应力与孔隙水压力。
将土体骨架变形与孔隙水的渗透同步考虑，因而比总应力法更真实反映土体自身特性，能更合理计算土体对荷载的响应。
有效应力法有两个未知量，即土体骨架的变形和孔隙水压力。
对于非饱和土还需要增加一个孔隙气压力这个变量。
有效应力法基本上以Biot 动力固结方程为基础，其计算较为复杂，计算工作量也较大。
土体的总应力有限元法实际上与其他结构有限元分析在计算原理上没有大的区别，主要在材料的本构模型的选择上不同，其实质认为土体是一种由土颗粒和孔隙水组成之间的相互关系，将之合成一个整体，共同一个整体，共同研究其整体的应力与变形状态。
总应力法不能反映土体固结作用。
[()]{}{}K R δδ=在有效应力分析中，如果采用与总应力法同样的土性参数并令孔隙水压力为0，则有效应力等于总应力，相应的有效应力法转变为总应力法。
因此，总应力法是有效应力法的一个特例。
在土体材料采用不捧水指标时，总应力法计算出来的是加荷瞬间或短期应力和变形，而采用排水指标进行的总应力分析则得到的是有效应力分析的最终结果，也就是孔压消散完毕，土体固结完成时的应力和交形结果。
在土工问题分析中有时还用总应力和太沙基固结理论相结合的方法来进行有效应力分析(简称准有效应力法)，该法是先用总应力法求得应力和变形，然后根据太沙基固结理论考虑孔压的消散以及有效应力和变形随时间的变化。
这种分析法对于二维和三维渗流而已是近似的，对于只有一个方向渗水的固结问题是精确的。
在Plaxis 3D Foundation程序中，进行最终沉降分析时是材料类型为排水指标的总应力法分析，而进行固结有限元沉降分析时采用的是以Biot固结理论为基础的有效应力法．采用有效应力法可以较为全面地得到桩土的应力、变形和孔压变化的情况。
1.3.1.比奥固结理论太沙基固结理论只在一维情况下是精确的，对二维、三维问题并不精确。
太沙基一伦杜立克理论(扩散方程)将应力应变关系视为常量(E=常数)的同时，假设三个主应力(总应力)之和不变，不满足变形协调条件。
比奥理论从较严格的固结机理出发推导了准确反映孔隙水压力消散与土骨架变形相互关系的三维固结方程。
该理论将水流连续条件与弹性理论结合求解了土体受力后的应力、应变、孔隙水压力的生成和消散过程，一般称为“真三维固结理论”。
两理论均假设土骨架是线弹性体，变形为小变形，土颗粒与孔隙水均不可压缩，孔隙水渗流服从达西定律。
在土工数值计算中，可使用非线性弹塑性模型代替线弹性模型与比奥固结理论耦合求解。
比奥固结理论是严格按照弹性理论，使饱和粘土在固结过程中必须满足应力平衡方程、几何方程及虎克定律，因此对于三维固结问题可导出如下三个平衡方程：（3-11）根据饱和土的连续性在一个元素体中，在一定的时间内单元土体积的压缩量等于流进和流出该单元体的流量变化之和，并引进达西定律，从而推导如下连续方程：（3-12）式(3一11)和式(3一12)联立就是比奥固结方程。