现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性

3.1 线性定常系统的能控性
线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。

当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。

这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。

并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。

还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。

并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。

能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态
空间结构的关系。

第一节线性定常系统的能控性
能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。

状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：
一、离散系统的状态可控性
引例设单输入离散状态方程为：
初始状态为：
用递推法可解得状态序列：
可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从
初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。

系统中只要有一个状态变量不受控制，
便称作状态不完全可控，简称不可控。

可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。

下面来进行一般分析。

设单输入离散系统状态方程为：
(3-1)
式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其
幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩
阵：表示离散瞬时，为采样周期。

初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方
便，且不失一般性地假定。

单输入离散系统状态可控性定义如
下：
在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,
，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。

由方程(3-1)的解
(3-2)
可导出可控性应满足的条件。

按定义，令，且，方程两端左乘，给出：
(3-3) 令
(3
-4)
该阵为维。

方程(3-3)表示非齐次线性方程组，含个方程，含个
未知数, 。

根据线性方程组解存在定理可知，当矩阵的秩与增
广矩阵的秩相等时，方程有解，否则无解。

在任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：能控阵满秩，即
(3-5)
或能控阵的行列式不为零
det (3-6)
或能控阵是非奇异的。

这时，方程组存在唯一解，即任意给定，
可求出确定的，, 。

已知满秩矩阵与另一满秩矩阵相乘，其秩不变，故
ran rank
rank (3-7)
交换矩阵的列，且记为，其秩也不变，于是有：
ran rank (3-8) 使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至式(3-8)均称为能
控性判据。

，均称为单输入离散系统能控性矩阵，由该式显见状态能控
性取决于系统矩阵及输入矩阵。

当rank 时，系统不可控，不存在能使任意转移到的控制。

从以上推导看出，当不受约束时，能使任意转移到，意味
着至多经过个采样周期便可完成转移，而乃是系统矩阵的阶数，或系统特征方程的阶次数。

以上研究假定了终态。

若令终态为任意给定状态，则方程(3-2)
变为：
(3-9)
方程两端左乘，有
(3-10) 该式左端完全可看作任意给定的另一初态，其状态能控性条件能用以上推导方法
得出完全相同的结论，故假定是不失一般性的。

例3-1利用递推法研究下列离散系统
初态为，试选择，，使系统状态在时转移到零。

解令0，1，2，得状态序列：
令，即解如下方程组：
系数矩阵即能控阵，当其非奇异时，可解出：
即取时，可在第三个采样周期瞬时使系统转移到零状态，因而系统是能控的。

若想研究可否在第二个采样周期内便使转移到零状态，只需研究时
是否存在令，解如下方程组：
容易看出系数矩阵的秩为2，但增广矩阵的秩为3，两个秩不等，故
无解，表示不能在第二个采样周期内使给定初态转移到零。

对于某些系统则是可能的。

例3-2试用能控性判据判断例3-1的状态能控性。

解 ran rank rank；
或，故能控。

例3-3设同例3-1，，试判断能控性。

解 rank rank rank故不能控。

关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系统。

设系统状态方程为：
(3-11)
式中为维控制向量，为维输入矩阵。

问题转化为能否求出
无约束的控制向量，, ，使系统从任意初态转移到。

方程(3-11)的解为：
(3-12) 令，且两端左乘得：
(3-13) 令 (3-14)
该阵为维矩阵；同, 子列向量构成的控制列向量是
维的。

式(3-13)含有个方程，个待求控制量。

由于初态可任意给定，
根据解存在定理，唯有矩阵的秩为时，方程组才有解，于是多输入离散系统状态能控的充要条件是：
rank (3-15) 或
ran (3-16) 或
rank rank
rank (3-17) 或
rank rank (3-18) 式(3-15)至式(3-18)均称为多输入离散系统能控性判据。

一般多输入系统，式(3-13)所含的方程个数总少于未知数个数，方程组的解
不唯一，可以任意假定个控制量，其余个控制量才能唯一确定，这意味着控制序列的选择将有无穷多种方式。

例3-4试判断下列双输入三阶离散系统的状态可控性：
式中
解计算；
故
显见由前三列组成的矩阵的行列式
det
故ran，系统可控。

显见出现全零行，rank，故不能控。

多输入系统能控阵，其行数小于列数，在计算列写能控阵时，若显见
矩阵的秩为，便不必把矩阵的所有列都写出。

有时可通过计算的
秩是否为来判断多输入系统的能控性。

这是因为，当非奇异时，必
非奇异，而为方阵，只需计算一次阶行列式即可确定能控性，但在计算时，可能需多次计算阶行列式。

在多输入系统中，使任意初态转移至原点一般可少于个采样周期。

见例3-4，令，可给出；
则
已知，若能唯一确定，便表示能在第一个采样周期将转移到原点。

一、连续系统的状态能控性
引例设单输入连续系统方程为：
其中，第二个方程只与状态变量本身有关，且与无关，是不能控状态
变量；受控制，是能控状态变量。

显见可影响而不能影响，于是使状态微量不能在作用下任意转移，称状态不完全能控，简称不能控。

为导出连续定常系统的状态能控性矩阵，需应用凯莱-哈密尔顿定理的推论，故先介绍该定理。

关于凯莱-哈密尔顿定理及其推论
设阶矩阵的特征多项式为：
(3-19) 则矩阵满足
(3-20) 证明据逆矩阵定义有：
(3-21)
式中为元素埏是的伴随矩阵。

方程(3-21)两端右乘得：
(3-22)
由于的元素代数余子式，均为次多项式，故据矩阵加法运算规则，可将其分解为个矩阵之和：
(3-23)
式中均为阶矩阵。

将式(3-23)代入式(3-22)并展开两端：
(3-24)
利用两端同次项相等的条件有：
(3-25)
将式(3-25)按顺序两端右乘，可得：
(3-26) 将式(3-26)中各式相加有：
(3-27) 得证。

推论1矩阵可表为的次多项式：
(3-28)
故可一般表为的次多项式：
(3-29)
式中均与阵元素有关。

利用推论1可简化计算矩阵的幂。

例3-5已知，求
解为二阶矩阵，。

先列定的特征多项式：
据凯莱-哈密尔顿定理：
故
据数学归纳法有：
故：
推论2矩阵指数可表为的次多项式：
(3-30) 由于
(3-31) 式中
(3
-32)
均为幂函数，在时间区间内，不同时刻构成的向量组
是线性无关向量组，这是因为其中任一向理都不能表为其它向量的线性组合。

同理：
(3-33) 其中
(3-34) 设单输入连续系统状态方程为：
(3-35) 其状态能控性定义如下：
在有限的时间间隔内，存在无约束的分段连续控制函数,能使
系统从任意初态转移到任意终态，则称此系统是状态完全能控的，简称是能控的。

方程(3-19)的解为：
(3-36)
为状态转移矩阵。

为导出能控性应满足的条件，仍可不失一般性地假定
，及，于是有：
故
(3-37)
利用凯莱-哈密尔顿定理，可推论出如下结果（证明见本问题末）：
(3-38)
即用无穷级数表示的可改用的次多项式来表示；并经证明，其
都是时间的不同幂函数，并且向量是线性无关向量。

于是有：
(3-39)
令
(3-40) 为纯量；则
3.2 线性定常系统的能观测性
一、离散系统的能观测性
引例设单输入离散系统动态方程为
用递推法求解第采样时刻的输出量：
可看出在已知的情况下，在第步便可由输入、输出确定，
而输出中始终不含有，于是不能由输出量观测到，是不能观测的状态变
量。

系统中只要有一个状态变量不能由输出量观测到，就称该系统不完全可观测，简称不能观测。

能观测特性与系统矩阵及输出矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。

下面只对多输出情况进行一般分析。

离散系统能观测性定义如下：
已知输入的情况下，通过在有限个采样周期内量测到的输出
，能唯一地确定任意初始状态的n个分量，则称系统是
完全能观测的，简称是能观测的。

设多输入-多输出离散系统动态方程为：
状态方程的解：
(3-70) 则
(3-71)
既然均为已知，研究能观测性问题时可不失一般性地简化动态方程为：
(3-72)
(3-73)
其状态方程的解：
(3-74) 及
(3-75)
若将式(3-71)右边后两项移至左边合并起来，仍为已知量，其方程性质同式
(3-75)。

展开式(3-75)有：
(3-76)
式中各代表个方程，共计个方程，含有个未知量。

写成矩阵向量形式：
(3-77) 令
(3-78)
式(3-78)为维能观测性矩阵。

在式(3-75)的个方程中若有个独立方程，便可确定唯一的一组，故系统能观测的充要条件是：
(3-79)
由于，故系统能观测的充要条件通常表示为：
(3-80)
为离散系统能观测性矩阵，显见只与矩阵有关
例3-11 判断下列系统的能观测性：
式中
解计算能观测性矩阵：
⑴
，故系统可观测。

⑵
显见矩阵出现全零行，故，系统不能观测。

本例看出，输出矩阵为时，第步便同输出确定了；当
时便可确定；当
时便可确定，对三阶系统来说，在三
步以内能由，，测得全部状态，故能观测。

而输出矩阵为时，
可看出在三步内，其输出始终不含，故是不能观测状态。

以上分析表明，
能观测性是与有关的；确定后，则与的选择有关。

二、连续系统的能观测性
连续系统的能观测性定义如下：
已知输入，通过在有限时间间隔内量测到的输出，能唯
一确定任意初始状态的每一分量，则称系统是完全能观测的，简称是能观测的。

设连续系统动态方程为：
状态方程的解：
则
已知、、、、，可不失一般性地假定及，于是有：
(3
-81)
式中为阶单位矩阵，是为将记为向量矩阵形式而引入的。

已知
的列线性无关，于是根据测得的值可唯一确定
的充要条件是：维矩阵的秩为，即
rank rank (3-82)
由于rank rank ，故连续系统能观测的充要条件通常表示为：
rank rank(3-83)
、均称能观测性矩阵。

若系统能观测，则其对称为能观测对，
亦然。

例3-12判断下列连续系统的可观测性：
⑴
⑵
解计算能观测性矩阵：
⑴ rank rank arnk，故不能观测。

⑵ rank rank arnk
故可观测。

三、为对角阵、约当阵的能观测性判据
当系统矩阵已化成对角形或约当形时，应用能观测性矩阵导出判断能观测性的简捷方法。

引例设对角化系统矩阵及输出矩阵为：
能观测性矩阵的行列式为：
det det，
当det时系统能观测，于是要求：
当有相异根时，应存在。

若，该系统始终不
能观测。

也就是说，阵对角化且具有相异根时，只需根据输出矩阵没有全零列即可判断能观测；对角化阵中含有相同元素时，则不能这样判断。

设约当化系统矩阵及输出矩阵为
能观测性矩阵的行列式为：
只要系统便能观测；允许为零或为任何非零数值。

也就是说，阵仅
含约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列所对应的列没有全零列，即可判断系统能观测。

以上判据方法可推广到对角化、约当化的阶系统。

设系统动态方程（已令而不失一般性）为：
(3-84)
(3-85)
其中为对角阵且元素各异，这时状态变量间解除了耦合。

容易写出状态方程的解：
(3-86)
(3-87)
显见当输出矩阵中第一列全零时，在输出量中均不含有，
是不能观测的。

为对角化且元素各异时，系统能观测的充要条件可表示为：输出矩阵中没有全零列。

为对角形但含有相同元素时（对应于重特征值但仍能对角化的情况），以上表达方式不适用，仍应根据能观测性矩阵的秩条件来判断。

设系统动态方程如下：
(3-88)
(3-89)
系统矩阵中含有二重特征值及相异特征值，…，。

动态方程的解：
(3-90)
(3-91)
显见输出矩阵第一列全零时，输出量均不含有；若第一列不全零，
必有输出量，既含有，又含有，于是输出矩阵第二列允许全零。

故
阵为约当形时，系统能观测条件必满足如下两个条件：
⑴输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不得全零（允许输出矩阵中与约当块其它列对应的列为全零）；
⑵输出矩阵中与阵中相异特征值对应的列不得全零。

当相同的特征值不是包含在一个约当块内，而是分布于不同约当块时，例如
，上述判断方法不适用，其分析见能控判断，这时仍应以能观测性矩阵的秩来判断。

例3-13判断下列系统的能观测性：
1．
2.
3．
4.
5.
6.
解 1. 约当块第一列位于系统矩阵第一列，而输出矩阵第一列不全零；相异根位于系统矩阵第三列，而输出阵第三列也不全零，故能观测。

2．含两个约当块，其第一列分别位于系统矩阵第一列及第三列，其输出阵第一、三列不全零，故能观测。

3．已对角化且元素各异，但输出阵有全零列，故不能观测。

4．已对角化但元素相同，输出阵虽无全零列，也不能观测。

5．约当块第一列位于系统矩阵第一列，但输出阵第一列全零，故不能观测。

6．含两个约当块，其第一列分别位于系统矩阵第一、三列，但输出阵中第三列为全零列，故不能观测。

四、能观测标准形问题
设单输入线性定常系统动态方程（单输入为例）为：
(3-92
)
(3-93)
计算能观测性矩阵：
(
3-94)
显见这是一个右下三角阵，，一定是能观测的，这就是形如式(3-92)、
式(3-93)中的、称作能观测标准形名称的由来。

一个能观测系统，若其矩阵、不具能观测标准形时，定可选择适当变换化为能观测标准形，其变换矩阵的求法见对偶原理一节。

五、线性变换的特性
在前面所作的分析中，为了便于研究系统各种特性，需对系统进行线性变换，
所有这些变换都是满秩线性变换，如将阵化对角形或约当形需进行变换，
将、化为能控标准形需进行变换，将、化为可观测标准形需进
行变换等等。

引入线性变换后，对于系统的特性，如特征值、可控性、可观测性，是否会引起改变呢？下面来分析论证。

设系统动态方程为：
以引入变换为例，即令，于是变换后：
1. 线性变换后系统特征值不变。

证明列出变换后系统矩阵的特征多项式：
表明与变换前特征多项式相同，故特征值不变。

2.线性变换后系统能控性不变。

证明列出变换后可控性矩阵的秩：
表明与变换前能控性矩阵的秩相同，故系统能控性不变。

3.线性变换后系统能观测性不变。

证明列出变换后可观测性矩阵的秩：
表明与变换前能观测性矩阵的秩相同，故系统能观测性不变。

4．线性变换后系统传递矩阵不变（其证明见第一章第四节）。

3.3 能控性、能观测性与传递函数（矩阵）关系
描述系统内部结构特性的能控性和能观测性，与描述系统外部特性的传递函数之间，是必然存在密切关系的，这里揭示出能控性、能观测性与传递函数的零极点对消现象之间的关系，可用来判断单输入-单输出系统的能控性、能观测性；传递函数矩阵的行或列的线性相关性，可用来判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性。

这是又一种判断系统的能控性、能观测性的判据，是在s域内的判据。

一、单输入-单输出系统
设系统动态方程为：
当阵具有相异特征值时，引入满秩线性变换，一定可使对角化，得：
(3-95)
(3-96)
其传递函数：
(
3-97)
根据阵对角化后可利用输入矩阵是否有全零行来判断能控性，及利用输出矩阵是否有全零列来判断能观测性的判据，可知：
当时，必能控、不能观测；
当时，必能观测、不能控；
当时，既不能控又不能观测。

以上特性反映在传递函数中，必出现的项，而此时传递函数中必存在零极
点对消的现象，如，由状态方程表
示出的阶系统，但其传递函数分母阶次（即特征方程阶次）却小于。

故当由动态导出的传递函数存在零极点对消时，该系统或是能控不能观测、或是能观测不能控、或是不能控不能观测，三者必居其一。

当由可约的传递函数列写其实现方式时，也必列写出以上三种类型的动态方程，视状态变量的选择而定。

当时，既能控又能观测。

这时由动态方程导出传递函数后，
不存在零极点对消现象。

由不可约传递函数列写其实现方式时，其动态方程必是能控、能观测的，与状态变量选择无关。

当阵具有重特征值时，情况又将如何呢？假定线性变换后得到如下约当化动态方程：
(3-98)
(3-99)
其传递函数:
(3-1
00)
根据阵约当化后利用输入、输出矩阵判断能控、能观测的判据，可知：
当时，系统能控；
当时，系统能观测；
至于时，并不影响能控能观测性。

以上特性反映在传递函数中，
同样是不出现零极点对消现象。

故对单输入-单输出系统可综合出以下判据：
无论阵有相异或重特征值，系统能控能观测的充要条件是：传递函数没有零极点对消，或传递函数不可约。

但以上判据不适用于多输入-多输出系统，以及多输入-多输出、单输入-多输出系统。

例3-12已知下列动态方程，试研究能控性、能观测性与传递函数的关系：
1．
2.
3.
解三个系统的传递函数为：
存在零极点的对消对象。

1．对为能控标准形，故能控，则不可观测；
2．对为能观测标准形，故能观测，则不可控；
3．用阵对角化后的输入、输出矩阵可判断不能控、不能观测。

例3-13设有两个能控、能观测的单输入-单输出系统相串联，其动态方程分别为：
：
式中
：
式中
试写出串联连接系统物动态方程（设）；考察串联连接系统的
能控性、能观测性；求及串联连接系统的传递函数并验证能控性能观测性结果。

解 1. 求串联系统动态方程：输入为，输出为，利用串联连接条件，有：
写出分块矩阵形式：
令
则串联连接系统的动态方程为：
式中
2.求串联系统的可控性、可观测性：
rank rank rank
故不能控；
rank rank rank
故能观测。

原来是能控能观测的系统，如图2-2串联连接后变成不能控、能观测的了。

若改变图2-2串联连接的顺序，则串联系统将变成能控、不能观测的。

3. 的传递函数分别为：
串联连接系统的传递函数：
显见存在零极点对消，使特征方程阶次降低，故不能控。

一、多输入-多输出系统
多输入-多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不能控或不能观测的，这时需利用传递矩阵中的行或列向量的线性相关性来作出判断。

传递矩阵的元素一般是的多项式。

设表示为列向量组：
若存在不全为零的实常数使下式
(3-101)
成立，则称是线性相关的，若只有当全为零时，式(2-101)
才成立，则称是线性无关的。

有如下判据：
1．多输入系统能控的充要条件是：的行线性无关。

证明设系统状态方程为：，两端取拉氏变换，令初始条件为零，有
(3-102)
该式表明乃是输入向量与状态向量间的传递矩阵。

由于，故；定常系统中的阵为常数矩阵，于是有：
(3-103)
展开左端：
(3-104)
式中为阶单位矩阵，为写面矩阵形式而引入的，其为
维矩阵，其中的行与列均线性无关。

当维可控性矩阵行线性
无关时，其及其必行线性无关，故系统可控的充要条件可表示为：
的行线性无关。

2．多输出系统能观测的充要条件是：的列线性无关。

证明研究能观测性时，可不失一般性地假定系统动态方程为：
；两端取拉氏变换：
故
(3-105)
该式表明乃是初始状态向量与输出向量间的传递矩阵。

定常系统中阵为常数矩阵，于是有：
(3-106)
展开右端：
(3-107)
式是为阶单位矩阵，为写成矩阵形式而引入的，其为
维矩阵，其中的行与列均线性无关。

当维可观测性矩阵列线性
无关时，其及其必列线性无关，故系统可观测的充要条件可表示
为：的列线性无关。

运用以上判据判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性时，只需检查行或列的线性相关性，至于传递矩阵中是否出现零极点对消是无妨的。

以上判据也可适用于单输入-单输出系统，不过，线性无关时必不存在零极点对消，线性相关时必有零极点对消，也就是说，它们是一致的。

例2-16试判断下列比输入-双输出系统的能控性、能观测性：
，式中
解计算能控性阵、能观测性阵的秩：
，故能控。

，故能观测。

计算传递矩阵（将公因子析出矩阵以外以便判断）：
由于
故
①
为判断三行线性相关性，试看下列方程解的性质：
②
分为两个方程：
解得：：
利用同次项系数对应相等的条件，得。

故只有时，
才能满足方程②，可判断①式中三行线性无关，故系统能控，与零极点存在对消现象无关。

由于
为判断三列线性相关性，试看下列方程解的性质：
③
分为：
解得，故③式中三列线性无关，系统能观测，与零极点对消无关。

例2-17试判断下列单输入-单输出系统的能控性、能观测性：
，式中
解计算能控性阵、能观测性阵的秩：
，故不可控。

，故不可观测。

计算传递矩阵：
由
分为两个方程
得：
可求得不全零的使④式成立，故不能观测。

由⑤
分为：，得任意，可求得不全零的
使⑤式成立，三行线性相关，故系统不能控。

由传递函数存在零极点对消，也可得出不能控、不能观测的相同结论。

3.4 对偶原理
设系统的动态方程为：；式中为维，为
维。

可按规则构造系统的动态方程如下：
式中为维，为维。

与均为维状态向量，与均为
输出向量，阵具有相应维数。

称系统与是互为对偶的系统。

系统的能控（能观测）条件与对偶系统的能观测（能控）条件完全相同，称对偶原理。

应注意到，系统与的输入向量分别是维和维的；输出向
量分别是维和维的，即系统与对偶系统之间，输入、输出向量的维
数是相交换的。

不难验证，系统的能控性矩阵为：。