函数最值问题教案
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当 x＝6 时，函数 y＝ 在区间[2,6]上取得最小值 f(6)＝5.
【总结与反思】 单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面 的结论：①如果函数 y＝f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递 减，则函数 y＝f(x)在 x＝b 处有最大值 f(b)；②如果函数 y＝f(x)在区间(a， b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数 y＝f(x)在 x＝b 处有最小值 f(b). 类型三 函数最值的应用
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适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 单调性的概念、单调性的判断（证明）方法、单调性的应用、最值问题
教学目标
使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用 通过渗透数形结合的数学思想，掌握求函数最值的方法
教学重点 函数最大(小)值的定义和求法
例题 1
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“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆 裂．如果烟花距地面的高度 hm 与时间 ts 之间的关系为 h(t)＝－4.9t2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多 少？(精确到 1m)
【解析】：作出函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18 的图象，如图所示， 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最 佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度． 由二次函数的知识，对于函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：
(1考)函点数2最小函值数的的定最义小是值： 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M； ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M. 那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最小值。 函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标． (2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时， 这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．
教学难点 如何求一个具体函数的最值
【知识导图】
教学过程
一、导入
(1)由于某种原因，2019 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟 到 8 月 8 日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况． 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到 8 月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大 型国际体育赛事．下图是北京市某年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的 曲线图． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低． 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我 们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
当
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时，函数有最大值
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即烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是 29m. 【总结与反思】 本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解 应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③ 归纳结论． 注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．
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类型一 函数最值的求法 三 、例题精析 例题 1
画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象，指出函数的单调区间和最大值． 【解析】：函数图象如图所示． 由图象得，函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1] 上是上升的，在[－1,0]和(1， ＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)， 故函数在(－∞，－1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，(1，＋∞)上是减函 数，最大值是 4. 【总结与反思】本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法．求函数的 最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单 调性写出最值，这种方法适用于做解答题． 类型二 单调法求函数最值
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二、知识讲解
函考数点图1象上函任数意的点最P大的值坐标(x，y)的意义：横坐标 x 是自变量的取值，纵坐标 y 是自变量为 x 时对应的函数值的大小．
(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值． (4)由于点 C 是函数 y＝f(x)图象上的最高点，则点 A 在点 C 的下方，即对 定义域内任意 x，都有 y≤y0，即 f(x)≤f(x0)，也就是对函数 y＝f(x)的定义域 内任意 x，均有 f(x)≤f(x0)成立． (5)一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M. 那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最大值． (6)f(x)≤M 反映了函数 y＝f(x)的所有函数值不大于实数 M；这个函数的特 征是图象有最高点，并且最高点的纵坐 标是 M. (7)函数图象上最高点的纵坐标． (8)函数 y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数 y＝－2x＋1， x∈(－1，＋∞)的图象没有最高点． (9)不是，因为该函数的定义域中没有－1. (10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时， 这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．
例题 1 2 求函数 y＝x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．
【解析】设 2≤x1＜x2≤6，则有 f(x1)－f(x2)＝
∵2≤x1＜x2≤6，∴x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，即函数 y＝ 在区间[2,6]上是减函数．
∴当 x＝2 时，函数 y= 在区间[2,6]上取得最大值 f(2)＝2；
当 x＝6 时，函数 y＝ 在区间[2,6]上取得最小值 f(6)＝5.
【总结与反思】 单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面 的结论：①如果函数 y＝f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递 减，则函数 y＝f(x)在 x＝b 处有最大值 f(b)；②如果函数 y＝f(x)在区间(a， b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数 y＝f(x)在 x＝b 处有最小值 f(b). 类型三 函数最值的应用
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2 课时
知识点 单调性的概念、单调性的判断（证明）方法、单调性的应用、最值问题
教学目标
使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用 通过渗透数形结合的数学思想，掌握求函数最值的方法
教学重点 函数最大(小)值的定义和求法
例题 1
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“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆 裂．如果烟花距地面的高度 hm 与时间 ts 之间的关系为 h(t)＝－4.9t2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多 少？(精确到 1m)
【解析】：作出函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18 的图象，如图所示， 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最 佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度． 由二次函数的知识，对于函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：
(1考)函点数2最小函值数的的定最义小是值： 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M； ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M. 那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最小值。 函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标． (2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时， 这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．
教学难点 如何求一个具体函数的最值
【知识导图】
教学过程
一、导入
(1)由于某种原因，2019 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟 到 8 月 8 日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况． 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到 8 月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大 型国际体育赛事．下图是北京市某年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的 曲线图． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低． 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我 们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
当
wk.baidu.com
时，函数有最大值
.
即烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是 29m. 【总结与反思】 本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解 应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③ 归纳结论． 注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．
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类型一 函数最值的求法 三 、例题精析 例题 1
画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象，指出函数的单调区间和最大值． 【解析】：函数图象如图所示． 由图象得，函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1] 上是上升的，在[－1,0]和(1， ＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)， 故函数在(－∞，－1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，(1，＋∞)上是减函 数，最大值是 4. 【总结与反思】本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法．求函数的 最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单 调性写出最值，这种方法适用于做解答题． 类型二 单调法求函数最值
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二、知识讲解
函考数点图1象上函任数意的点最P大的值坐标(x，y)的意义：横坐标 x 是自变量的取值，纵坐标 y 是自变量为 x 时对应的函数值的大小．
(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值． (4)由于点 C 是函数 y＝f(x)图象上的最高点，则点 A 在点 C 的下方，即对 定义域内任意 x，都有 y≤y0，即 f(x)≤f(x0)，也就是对函数 y＝f(x)的定义域 内任意 x，均有 f(x)≤f(x0)成立． (5)一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M. 那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最大值． (6)f(x)≤M 反映了函数 y＝f(x)的所有函数值不大于实数 M；这个函数的特 征是图象有最高点，并且最高点的纵坐 标是 M. (7)函数图象上最高点的纵坐标． (8)函数 y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数 y＝－2x＋1， x∈(－1，＋∞)的图象没有最高点． (9)不是，因为该函数的定义域中没有－1. (10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时， 这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．
例题 1 2 求函数 y＝x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．
【解析】设 2≤x1＜x2≤6，则有 f(x1)－f(x2)＝
∵2≤x1＜x2≤6，∴x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，即函数 y＝ 在区间[2,6]上是减函数．
∴当 x＝2 时，函数 y= 在区间[2,6]上取得最大值 f(2)＝2；