广东省广州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷C卷
2019-2020学年广东省广州市番禺高中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年广东省广州市番禺高中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.如果a<b<0，那么下面一定成立的是()A. a−c>b−cB. ac<bcC. a2>b2D. 1a <1b2.()A. B. C. D.3.已知sinα=−14,a∈(π,3π2),cosβ=45,β∈(3π2,2π)，则α+β是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角4.已知等比数列{a n}满足：a1=4，S n=pa n+1+m(p>0)，则p−1m取最小值时，数列{a n}的通项公式为()A. a n=4⋅3n−1B. a n=3⋅4n−1C. a n=2n+1D. a n=4n5.函数y=3sin(3x+π3)−3的最小正周期为()A. π3B. 2π3C. 3πD. 3π26.古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？()A. 2B. 4C. 3D. 57.若是偶函数，则p是q的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8.正项等比数列{a n}中，a1+a3=5，a5−a1=15，则a n=()A. 2B. 2n+1C. 2nD. 2n−19.在△ABC所在平面上有三点，满足，，则的面积与的面积之比为()A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:510.已知x2−ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是()A. (0,4)B. (−8,8)C. RD. (0,8)11. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC =90°，AB =BC =2，AD =1，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −2 B. −3 C. 2 D. 512. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2+a 5=0，则下列式子中数值不能确定的是( )．A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ ，且|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =2，则|t b ⃗ +(1−2t)a ⃗ |(t ∈R)的最小值为______． 14. 已知角A 满足cos(π2−A)=3cosA ，则tan(A +π4)=______．15. 若“∀x ∈[0,π3],m ≥2tanx ”是真命题，则实数m 的最小值为______ ． 16. 已知a ，b ∈R ，若2a =5b =100，则1a +1b =______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4=2S 2+4． (Ⅰ)求公差d 的值；(Ⅱ)若a 1=−5，求S n 取得最小值时n 的值．18. 已知a ⃗ =(3,−√3)，求b ⃗ ，使a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3且a ⃗ 的模是b ⃗ 的模的12．19. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?20. 某企业生产A、B两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两种溶液的计量如下表所示：单位：升A B甲42乙15生产产品A和B每件分别获得利润2万元、3万元，现只有甲、乙两种溶液各60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产A.方案二：只生产B.方案三：按一定比例生产A、B实现利润最大化．(1)方案一和方案二中哪些方案利润较高；(2)按照方案三生产则产品A、B各生产多少件，最大利润为多少，判断方案三是否优于方案一和方案二．S n+2n(n∈N∗)．21. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且a n=12(Ⅰ)求a1，a2的值；(Ⅱ)令b n=a n2n，求证：数列{b n}是等差数列；(Ⅲ)若数列{C n}满足C n=1+n⋅(−1)n+1S n，对任意的p、q∈N∗，λ≥|C p−C q|恒成立，求实数λ的取值范围．22. 已知函数f(x)=4sinxcos(x+π6).(Ⅰ)求f(π6)的值；(Ⅱ)求f(x)在[−π6,π3]上的最大值和最小值；(Ⅲ)求f(x)的单调递减区间．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵a <b <0， ∴a −c <b −c ，∴A 错误；∵c 不确定，∴ac 与bc 的大小不等确定，∴B 错误； a 2>b 2正确，∴C 正确； 1a >1b ，∴D 错误． 故选：C ．根据a <b <0及不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确的选项． 本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：试题分析：．考点：特殊角的三角函数值3.答案：B解析：解：∵sinα=−14,a ∈(π,3π2),cosβ=45,β∈(3π2,2π)，∴cosα=−√1−(−14)2=−√154， sinβ=−√1−(45)2=−35，∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−√154×45−(−14)(−35)=3−4√1520<0， sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=−14×45+(−√154)×(−35)=3√15−420>0，∵π+3π2<α+β<3π2+2π，∴α+β是第二象限角． 故选：B ．由已知利用同角三角函数关系式先求出cosα，sinβ，再利用两角和的正弦和余弦函数求出cos(α+β)和sin(α+β)，由此能判断α+β所在象限．本题考查两角和所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和两角和的正弦和余弦函数公式的合理运用．4.答案：A解析：本题主要考查了等比数列的求和公式和通项公式，数列的递推关系，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．对等比数列公比q进行讨论，由已知结合等比数列求和公式的特点可得，4p+m=0，结合基本不等式可求p−1m的最小值及取得条件，然后结合等比数列的通项公式即可求解．解：设等比数列公比为q，1°当q=1时，a n=4 , S n=4n，则4n=4p+m(p,m为常数)对任意正整数n成立，这显然不可能；2°当q≠1时等比数列{a n}满足：a1=4，S n=pa n+1+m=4p⋅q n+m(p>0)，由等比数列的求和公式S n=−a11−q⋅q n+a11−q，可得4p+m=0，则p−1m =p+14p≥2√p⋅14p=1，当且仅当p=14p，即p=12时取等号，此时S n=12a n+1−2，S n−1=12a n−2(n≥2)，两式相减可得，a n=S n−S n−1=12a n+1−12a n，即a n+1=3a n(n≥2)，∵S1=12a2−2，∴a2=12=3a1，等比数列{a n}满足：a1=4，公比q=3，此时，a n=4⋅3n−1，故选：A．5.答案：B解析：解：函数y=3sin(3x+π3)−3的最小正周期为T=2π3，故选：B．由条件根据y=Asin(ωx+φ)的周期等于T=2πω，可得结论．本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin(ωx+φ)的周期等于T=2πω，属于基础题．6.答案：C解析：解：设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2．∴a1(27−1)2−1=381，解得a1=3．故选：C．设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2.利用求和公式即可得出．本题考查了等比数列的定义求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：A解析：解：若f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数，f(x)=sin(ωx+φ)=±cos(ωx+φ)是偶函数，∴p是q的充要条件，故选：A．8.答案：D解析：解：依题意，a1+a3=5，a5−a1=15，所以{a1+a1q2=5, ①a1q4−a1=15, ②，所以① ②得q2−1=3，即q2=4，又因为数列{a n}为正项等比数列，所以q=2，a1=1，所以a n=a1q n−1=2n−1，故选：D．依题意，将a1+a3=5，a5−a1=15，转化为a1和q的算式，解得a1，q，即可得到a n．本题考查了等比数列的通项公式，考查分析解决问题的能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 分别AB ，BC 的一个三等分点， △PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，∴S △PQR =S △ABC −(12×23a ×13c ×sinB +12×23b ×13a ×sinC +12×23c ×13b ×sinA)=S △ABC −(29×12acsinB +29×12absinC +29×12bcsinA)=S △ABC −(29S △ABC +29S △ABC +29S △ABC )=13S △ABC∴所求的面积比为1：3， 故选B ．10.答案：D解析：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题．将关于x 的不等式x 2−ax +2a >0在R 上恒成立，转化成△<0，从而得到关于a 的不等式，求得a 的范围．解：因为不等式x 2−ax +2a >0在R 上恒成立． ∴△=(−a)2−8a <0，解得0<a <8 则实数a 的取值范围是：(0,8)． 故选：D ．11.答案：A解析：本题考查向量数量积的计算，属于中档题．根据题意，由向量的三角形法则可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而由向量的数量积公式计算即可．解：根据题意，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC =90°，AB =BC =2，AD =1，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+2=−2； 故选：A ．12.答案：D解析：由8a 2+a 5=0，得8a 2+a 2q 3=0，∵a 2≠0，∴q =−2，∴=q 2=4；=；=q =−2；=，其值与n 有关．13.答案：1解析：解：由|b ⃗ |=2，不妨取b ⃗ =(2,0)， 设a⃗ =(x,y)， ∵a ⃗ ⋅b ⃗ =2，∴2x =2，解得x =1． ∴a ⃗ =(1,y)，∴t b ⃗ +(1−2t)a ⃗ =(1,(1−2t)y)则f(t)=|t b ⃗ +(1−2t)a ⃗ |=√1+[(1−2t)y]2≥1，当且仅当(1−2t)y =0时取等号． 故答案为：1．由|b ⃗ |=2，不妨取b ⃗ =(2,0)，设a ⃗ =(x,y)，由a ⃗ ⋅b ⃗ =2，可得a ⃗ =(1,y)，则f(t)=√1+[(1−2t)y]2，即可得出．本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：−2解析：解：角A 满足cos(π2−A)=3cosA ，可得tanA =3，则tan(A+π4)=tanA+tanπ41−tanAtanπ4=3+11−3=−2．故答案为：−2．利用诱导公式以及两角和的三角函数，化简求解即可．本题考查两角和的三角函数，诱导公式的应用，考查计算能力．15.答案：2√3解析：解：∵“∀x∈[0,√3]，m≥2tanx”是真命题，∴x∈[0,π3]时，m≥2(tanx)max，∵y=tanx在[0,π3]的单调递增，∴x=π3时，tan x取得最大值为√3，∴m≥2√3，即m的最小值2√3，故答案为：2√3将条件“∀x∈[0,π3],m≥2tanx”是转化为“x∈[0,π3]时，m≥2(tanx)max”，再利用y=tanx在[0,π3]的单调性求出tan x的最大值即可．本题主要考查了转化思想，将恒成立问题转化为最值问题，再通过正切函数的单调性求出函数的最值即可，属于中档题．16.答案：12解析：解：a，b∈R，若2a=5b=100，∴a=log2100=lg100lg2=2lg2，b=log5100=lg100lg5=2lg5，∴1a +1b=12(lg2+lg5)=12，故答案为：12．先两边求出对数，求出a，b的值，再根据对数的运算性质计算即可．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵{a n}是公差为d的等差数列，S4=2S2+4，∴4a1+3×42d=2(2a1+d)+4，解得d=1.…(6分)。
广东省名校2019-2020学年高一下期末联考数学试题含解析
广东省名校2019-2020学年高一下期末联考数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4C ．125-D ．125【答案】A 【解析】 【分析】根据公式，向量a 在向量b 上的投影等于a bb⋅，计算求得结果. 【详解】向量a 在向量b 上的投影等于1243a b b⋅-==-. 故选A. 【点睛】本题考查了向量的投影公式，只需记住公式代入即可，属于基础题型. 2．下列条件不能确定一个平面的是（ ） A ．两条相交直线 B ．两条平行直线C ．直线与直线外一点D ．共线的三点【答案】D 【解析】 【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解． 【详解】解：对选项A ：经过两条相交直线有且只有一个平面，故A 错误． 对选项B ：经过两条平行直线有且只有一个平面，故B 错误． 对选项C ：经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故C 错误． 对选项D ：过共线的三点，有无数个平面，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查确定平面的公理及推论．解题的关键是要对确定平面的公理及推论理解透彻，属于基础题． 3．已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对任意,a b ∈R ，有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅成立，()22f =，令()2nn a f =，()22n nnf b =则有( )A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 为等比数列C ．{}n b 为等差数列D ．{}n b 为等比数列【答案】C 【解析】令0a b ==,得到()00;1,f a b ===得到()10f =，()()()()(),22,*f ab af b bf a f n N =+=∈.()()()()()()111112222222221122222n n nnnnn n nnn n n n f f f f f f b b b++++++=====+=+，,说明{}n b 为等差数列，故C 正确，根据选项，排除A ，D. ∵()()()()()111122222222222nn nnnn n n n n a f a f f f f a ++++===+=+=+，.显然{}n a 既不是等差也不是等比数列． 故选C.4．已知两点()4,0P -,()3,2Q ,若直线2y kx =-与线段PQ 相交,则实数k 的取值范围是( ) A ．14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．41,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．14,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】找出直线2y kx =-与PQ 相交的两种临界情况，求斜率即可. 【详解】因为直线2y kx =-恒过定点()0,2M -，根据题意，作图如下：直线2y kx =-与线段PQ 相交的临界情况分别为直线MP 和直线MQ ， 已知12MP k =-，43MQ k =，由图可知： 当直线绕着点M 向y 轴旋转时，其斜率范围为：4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 当直线与y 轴重合时，没有斜率；当直线绕着点M 从y 轴至MP 旋转时，其斜率范围为：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦综上所述：k ∈14,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查直线斜率的计算，直线斜率与倾斜角的关系，属基础题.5．如图，在ABC ∆中，PA ⊥面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【解析】试题分析：因为PA ⊥面ABC ，所以，则三角形为直角三角形，因为，所以，所以三角形是直角三角形，易证，所以面，即，则三角形为直角三角形，即共有7个直角三角形；故选C ． 考点：空间中垂直关系的转化．6．执行下面的程序框图，则输出的q 的值为（ ）A ．10B ．34C ．36D ．154【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环：2,2,2,q i p ===第二次循环：4,3,6,q i p ===第三次循环：10,4,24,q i p ===第四次循环：34,5,120,q i p ===结束循环，输出34q =，选B.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．设集合{}22,0,2,{|20}A B x x x =-=--=,则A B ⋂=（ ）A ．∅B ．C ．{}0D ．{}2-【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =-，，故{}2A B ⋂=，选B ． 考点：集合的运算．8．将3sin 4y x =的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移3个单位长度得到()y f x =的图象，若()f m a =，则π3f m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．a -B ．3a --C ．3a -+D ．6a --【答案】D 【解析】因为()3sin[4()]33sin[4]3123f x x x ππ=+-=+-，所以3sin[4]33m a π+-=，因此3f m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭53sin[4]33sin[4]333633m m a a ππ--=-+-=---=--，选D. 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.9．如图：样本A 和B 分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s ，则（ ）A ．,AB A B x x s s >> B ．,A B A B x x s sC ．,A B A B x x s s ><D ．,A B A B x x s s << 【答案】B 【解析】 【分析】从图形中可以看出样本A 的数据均不大于10，而样本B 的数据均不小于10，A 中数据波动程度较大，B 中数据较稳定，由此得到结论． 【详解】∵样本A 的数据均不大于10， 而样本B 的数据均不小于10，A B x x ∴<，由图可知A 中数据波动程度较大， B 中数据较稳定，A B s s ∴>.故选B.10．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){}|π1arctan 2,kx x k k =+-∈Z 【答案】C 【解析】 【分析】利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为k π，即可得到原方程的解. 【详解】 由tan 2x =，根据正切函数图像以及周期可知：arctan 2x k π=+，故选：C 【点睛】本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题. 11．用数学归纳法证明不等式111131214n n n n ++⋅⋅⋅+>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ） A ．增加了一项()121k +B ．增加了两项121k +，()121k + C ．增加了A 中的一项，但又减少了另一项11k + D ．增加了B 中的两项，但又减少了另一项11k +【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别写出n k =和1n k =+时，左边对应的式子，进而可得出结果. 【详解】当n k =时，左边11112=++⋅⋅⋅++++k k k k， 当1n k =+时，左边111(1)1(1)2(1)(1)=++⋅⋅⋅++++++++k k k k()11111232121=++⋅⋅⋅++++++++k k k k k k ， 所以，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了121k +，()121k +；减少了11k +；故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型. 12．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C ．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n 是基本事件的总数，m 是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．二、填空题：本题共4小题13．已知2tan θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=_________. 【答案】45【解析】 由题意可得：22222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos tan tan 2tan 14.5θθθθθθθθθθθθθ+-+-=++-=+= 点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；注意公式的变形应用，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．14．已知P 为直线:3120l x y +-=上一点，过P 作圆()22:21C x y -+=的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．【答案】3x =或4330x y --= 【解析】 【分析】利用切线长最短时，PC 取最小值找点P ：即过圆心C 作直线l 的垂线，求出垂足点()3,3P ．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】设切线长为L，则L =，所以当切线长L 取最小值时，PC 取最小值，过圆心()2,0C 作直线l 的垂线，则点P 为垂足点，此时，直线PC 的方程为360x y --=，联立3120360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得33x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为()3,3.①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为3x =，圆心C 到该直线的距离为1，合乎题意； ②若切线的斜率存在，设切线的方程为()33y k x -=-，即330kx y k -+-=.1==，化简得340k -=，解得43k =， 此时，所求切线的方程为()4333y x -=-，即4330x y --=. 综上所述，所求切线方程为3x =或4330x y --=， 故答案为3x =或4330x y --=． 【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题． 15．已知()cot csc f ααα=+，若角α的终边经过点()43P ,-，求()f α的值.【答案】13【解析】 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cot α和csc α的值，从而可得()f α的值. 【详解】因为角α的终边经过点()43P ,-，所以4cot =3α-=x y ， 5csc 3α===r y ，则451()cot csc 333=+=-+=f ααα.故答案为：13【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.【解析】 【分析】 根据正弦定理将()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求解.【详解】 根据正弦定理()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为()()()a b a b c b c +-=-，化简得222bc a bc +-=由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==sin ==A 因为2222+=+≥b c a bc bc所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=所以1sin 4244∆==≤=ABC S bc A 则ABC ∆【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年广东省广州市天河区高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年广东省广州市天河区高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知点A是椭圆的右顶点，点B是其上顶点，点C是其左焦点，若，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.2.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出人数为()A. 20B. 25C. 35D. 453.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinCsinA=2，b=√3a，则B=()A. π6B. π4C. π3D. π24.贵州省的五个旅游景区门票票价如表所示：景区名称黄果树龙宫百里杜鹃青岩古镇梵净山票价(元)1501509080290关于这五个旅游景区门票票价，下列说法错误的是()A. 众数为150B. 平均数为152C. 中位数为90D. 极差为2105. 一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是()A. 1−π4B. π4C. 1−π6D. π66. 设F(c,0)为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，点B的坐标为(0,b).若圆(x−c)2+y2=r2(r>0)与双曲线的渐近线相切，且|FB|≥√3r，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A. (1,√2]B. [√2,+∞)C. (1,√3]D. [√3,+∞)7. 如图所示的圆锥的俯视图为()A.B.C.D.8. 按如图连接圆上的五等分点，得到优美的“五角星”，图形中含有很多美妙的数学关系式，例如图中点H即为弦BE的黄金分制点，其黄金分割比为BHHE =HEBE=√5−12≈0.618，且五角星的每个顶角都为36°等.由此信息你可以求出sin18°的值为()A. √5−12B. √5−13C. √5−14D. √5−159. 已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，则此四棱锥的体积为()A. 4B. 6√2C. 12D. 8√210. 以点A(−1,1)，B(2,−1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形11. 在空间四边形ABCD中，AC=BD，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是()A. 梯形B. 矩形C. 正方形D. 菱形12. 定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为()A. B. C. D.二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13. 某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如表：x3528912y46391214假设得到的关于x和y之间的回归直线方程是ŷ=b̂x+â，那么该直线必过的定点是______．14. 在△ABC中，已知sin A：sin B：sinC=6：5：4，则cosA=______．三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）15. 圆x2+y2−4x+2y+4=0的圆心坐标是(1)，半径是(2)．π，则正方体的棱长等于(1)；该正方体内切球的表面积为(2)．16. 若正方体外接球的体积是92四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知圆C：(x−1)2+y2=1．(1)若直线与圆C相切且斜率为1，求该直线的方程；(2)求与直线x+y−1=0平行，且被圆C截得的线段长为√2的直线的方程．18. 某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．(1)设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点分别为AB和PD中点．⑴求证：直线AF平面PEC；⑴求PC与平面PAB所成角的正弦值．20. (文)已知函数f(x)=cos(x−π4)，(1)若f(a)=7√210，求sin2α的值；(2)设g(x)=f(x)⋅f(x+2π)，求g(x)在区间[−π6,π3]上的最大值和最小值．21. 如图，在长方体ABCD −HKLE 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，对角线AC 与BD 相交于点O ，点F 在线段AH 上，且2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +HF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，BE 与底面ABCD 所成角为π3． (1)求证：AC ⊥BE ；(2)求二面角F −BE −D 的余弦值；(3)设点M 在线段BD 上，且AM//平面BEF ，求DM 的长．22. 22、 已知圆心在第二象限内，半径为的圆与x 轴交于和两点。
2019-2020学年广东省佛山市禅城区高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年广东省佛山市禅城区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题一共10小题，每题5分，共50分，每个小题给出的4个答案只有一个正确的选对得5分，不选或选错均为0分）1．（5分）在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然现象是（）A．3本都是语文书B．至少有一本是英语书C．3本都是英语书D．至少有一本是语文书2．（5分）数列﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，x，15，﹣17…中的x等于（）A．12B．﹣13C．14D．﹣153．（5分）用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20名同学，某男学生被抽到的机率是（）A．B．C．D．4．（5分）某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是（）A．193B．192C．191D．1905．（5分）在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形6．（5分）不等式＞1的解集是（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|x∈R}7．（5分）P是△ABC内的一点＝（+），则△ABC的面积与△ABP的面积之比为（）A．2B．3C．D．68．（5分）△ABC中，c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状一定为（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形9．（5分）下列说法正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b⇒a3＞b3D．a2＞b2⇒a＞b10．（5分）f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）二、多选题（本大题一共2小题，每题5分，共10分，在每个小题给出的4个答案中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对的但不全的得2分，有选错的得0分）11．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，满足a1+3a2＝S6，则下列四个选项中正确的有（）A．a7＝0B．S13＝0C．S7最小D．S5＝S812．（5分）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（）A．ab≤1B．+C．a2+b2≥2D．a3+b3≥3三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13．（5分）同时掷两粒骰子，则点数之和为7的概率是．（结果用分数表示）14．（5分）在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝3，则此三角形中最大角的度数是．15．（5分）不等式的解集为．16．（5分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得表数据，X681012Y2356请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程，据此可预测判断力为4的同学的记忆力．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下．寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布立方图；（3）估计元件寿命在100～400h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例．18．（12分）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4′）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）设（i，j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有事件；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜．你认为此游戏是否公平？请说明你的理由．19．（12分）已知：向量＝（1，2），＝（2，1）．（1）求向量，夹角的余弦值；（2）求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．20．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）分别指出两种生产方式完成任务时间的最大值、最小值、极差．（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m．（3）分别求出两种生产方式完成任务的平均时间．（4）哪种生产方式的效率更高？并说明理由．21．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列的前n项和T n．22．（12分）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C+c sin B．（1）求角B；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．2019-2020学年广东省佛山市禅城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题一共10小题，每题5分，共50分，每个小题给出的4个答案只有一个正确的选对得5分，不选或选错均为0分）1．（5分）在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然现象是（）A．3本都是语文书B．至少有一本是英语书C．3本都是英语书D．至少有一本是语文书【分析】由必然事件的含义：结果一定会出现，直接选择即可．【解答】解：因为12本书中只有2本英语书，从中任意抽取3本书，必然至少有一本是语文书故选：D．【点评】本题考查、随机事件、必然事件的含义，属基本概念的考查．2．（5分）数列﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，x，15，﹣17…中的x等于（）A．12B．﹣13C．14D．﹣15【分析】数列﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，x，15，﹣17…中，奇数项为：﹣1，﹣5，﹣9，x，﹣17，…，可得此数列为等差数列，进而得出x．【解答】解：数列﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，x，15，﹣17…中，奇数项为：﹣1，﹣5，﹣9，x，﹣17，…，可得此数列为等差数列，首项为﹣1，公差为﹣4，∴x＝﹣1﹣4×3＝﹣13．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20名同学，某男学生被抽到的机率是（）A．B．C．D．【分析】用随机数表法从100名学生中抽选20人，属简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为【解答】解：本抽样方法为简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为，故某男学生被抽到的机率是故选：C．【点评】本题考查简单随机抽样、等可能事件的概率等知识，属基础知识的考查．4．（5分）某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是（）A．193B．192C．191D．190【分析】利用分层抽样方法中所抽取的比例相等，求出对应的样本容量．【解答】解：由题意知：＝，解得n＝192．故选：B．【点评】本题考查了用分层抽样方法抽取样本的应用问题，是基础题目．5．（5分）在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形【分析】先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵∴平行四边形的对角线相等由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形．故选：C．【点评】本题主要考查向量在平面几何中的应用．6．（5分）不等式＞1的解集是（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|x∈R}【分析】移项通分变形可化原不等式为＞0，即x+2＜0，易得答案．【解答】解：＞1可化为﹣1＞0，整理可得＞0，即x+2＜0，解得x＜﹣2，解集为{x|x＜﹣2}故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解集，属基础题．7．（5分）P是△ABC内的一点＝（+），则△ABC的面积与△ABP的面积之比为（）A．2B．3C．D．6【分析】设（+）＝，则D是BC的中点，由＝（+），知，设△ABC在AB边上的高为h，则△ABP在AB边上的高为，由此能求出△ABC的面积与△ABP的面积之比．【解答】解：设（+）＝，则D是BC的中点，∵＝（+），∴，如图，过D作DE∥AB，交AC于E，过P作MN∥AB，交AC于N，交BC于M，设△ABC在AB边上的高为h，则△ABP在AB边上的高为，∴△ABC的面积与△ABP的面积之比＝＝3．故选：B．【点评】三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比．8．（5分）△ABC中，c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状一定为（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】由已知利用正弦定理可求sin C，进而可得C＝或，分类讨论，分别求出A的值即可判断得解．【解答】解：△ABC中，因为，由正弦定理，可得sin C＝，故C＝或，当C＝时，A＝，△ABC为直角三角形；当C＝时，A＝，△ABC为等腰三角形；综上，△ABC的形状一定为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了运算能力，分类讨论思想，逻辑推理能力，属于基础题．9．（5分）下列说法正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b⇒a3＞b3D．a2＞b2⇒a＞b【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．【解答】解：选项A，当c＝0时，由a＞b，不能推出ac2＞bc2，故错误；选项B，当a＝﹣1，b＝﹣2时，显然有a＞b，但a2＜b2，故错误；选项C，当a＞b时，必有a3＞b3，故正确；选项D，当a＝﹣2，b＝﹣1时，显然有a2＞b2，但却有a＜b，故错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．10．（5分）f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【分析】由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u＝x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．【解答】解：令u＝x2﹣2ax+1+a，则f（u）＝lgu，配方得u＝x2﹣2ax+1+a＝（x﹣a）2﹣a2+a+1，故对称轴为x＝a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u＝x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u＝x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x＝1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x＝1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．二、多选题（本大题一共2小题，每题5分，共10分，在每个小题给出的4个答案中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对的但不全的得2分，有选错的得0分）11．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，满足a1+3a2＝S6，则下列四个选项中正确的有（）A．a7＝0B．S13＝0C．S7最小D．S5＝S8【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，据此由等差数列的前n项和公式依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，对于A，若a1+3a2＝S6，即4a1+3d＝6a1+d，变形可得：a1+6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，B正确；对于C，若a1+3a2＝S6，即4a1+3d＝6a1+d，变形可得：a1+6d＝0，即a7＝0，而不知道前6项的符号，故不能判断S7最小还是最大，因此C不正确；对于D，S5﹣S8＝（5a1+d）﹣（8a1+d）＝﹣3a1﹣18d＝﹣3a7＝0，D正确．故选：ABD．【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．12．（5分）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（）A．ab≤1B．+C．a2+b2≥2D．a3+b3≥3【分析】根据a＞0，b＞0，a+b＝2，取a＝b＝1，即可排除错误选项，根据本题为多选题，即可得到答案．【解答】解：根据a＞0，b＞0，a+b＝2，取a＝b＝1，则BD不成立，因本题为多选题，故AC正确．故选：AC．【点评】本题考查了不等式的基本性质和不等式比较大小，属基础题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13．（5分）同时掷两粒骰子，则点数之和为7的概率是．（结果用分数表示）【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件为掷两颗骰子所有的6×6＝36种结果，而满足条件的事件通过列举得到结果为1，6；2，5；3，4；4，3；5，2；6，1共有6种结果，列举时要做到不重不漏．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件为掷两颗骰子所有的6×6＝36种结果，而满足条件的事件为1，6；2，5；3，4；4，3；5，2；6，1共有6种结果，∴由古典概型公式得到结果P＝＝，故答案为：．【点评】高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．14．（5分）在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝3，则此三角形中最大角的度数是120°．【分析】由题意可知此三角形中最大角为A，根据余弦定理可求cos A＝﹣，结合A∈（0°，180°），可求A的值．【解答】解：∵a＝7，b＝5，c＝3，∴此三角形中最大角为A，∴cos A＝＝＝﹣，∵A∈（0°，180°），∴A＝120°．故答案为：120°．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的运用，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）不等式的解集为[﹣3，1]．【分析】把变为2﹣1，然后利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：＝2﹣1，依题意得：x2+2x﹣4≤﹣1，因式分解得（x+3）（x﹣1）≤0，可化为：或，解得﹣3≤x≤1，所以原不等式的解集为[﹣3，1]．故答案为：[﹣3，1]【点评】此题要求学生灵活运用指数函数的单调性化简求值，会求一元二次不等式的解集．考查了转化的思想，是一道中档题．16．（5分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得表数据，X681012Y2356请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝0.7x﹣2.3，据此可预测判断力为4的同学的记忆力9．【分析】由已知求得与a的值，则线性回归方程可求；取y＝4求得x值得答案．【解答】解：＝＝9，＝＝4，＝158，＝344，＝＝＝0.7，a＝＝﹣2.3，所以回归直线方程为＝0.7x﹣2.3．当＝4时，x＝9．故答案为：＝0.7x﹣2.3；9．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下．寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布立方图；（3）估计元件寿命在100～400h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例．【分析】（1）由题意知，本题已经对所给的数据进行分组，并且给出了每段的频数，根据频数和样本容量做出频率，填出频率分布表（2）结合前面所给的频率分布表，画出坐标系，选出合适的单位，画出频率分布直方图．（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，我们估计电子元件寿命在100～400h内的概率为0.65．（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率，我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35．【解答】解：（1）样本频率分布表如下（4分）寿命（h）频数频率100～200200.10200～300300.15300～400800.40400～500400.20500～600300.15合计2001（2）频率分布直方图如下．（4分）（3）估计元件寿命在100 h～400 h以内的在总体中占的比例为0.65（3分）（4）估计元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例为0.35（3分）【点评】解决频率分布直方图的题目，一定注意直方图中的纵坐标为，分布某范围内的频率等于该范围内的直方图中的面积．画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义．通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤．18．（12分）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4′）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）设（i，j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有事件；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜．你认为此游戏是否公平？请说明你的理由．【分析】（1）分别计抽到红桃2、红桃3、红桃4、方块4为2，3，4，4′，则易用列举法写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况（2）由甲抽到红桃3，则乙只能抽取红桃2、红桃4、方块4，易求出基本事件总数及满足条件乙抽到的牌面数字比3大的基本事件个数，进而代入古典概型概率计算公式，得到答案．（3）根据（1）中结论，我们分别计算出甲乙两人获胜的概率，比较后，即可得到结论．【解答】解：（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况为（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4），共12种不同情况（4分）（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为．（8分）（3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2），（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），共5种甲获胜的概率，乙获胜的概率为∵∴此游戏不公平..（13分）【点评】本题考查的知识点是等可能事件的概率，古典概型，（1）中选择基本事件的排列方法，以免列举时有遗漏或重复情况是关键，（3）游戏是否公平要看甲乙两人获胜的概率是否相同．19．（12分）已知：向量＝（1，2），＝（2，1）．（1）求向量，夹角的余弦值；（2）求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．【分析】（1）根据条件即可求出，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出夹角的余弦值；（2）根据题意即可设，从而可得出，从而得出sinθ＝cosθ，然后即可得出向量的坐标．【解答】解：（1），∴；（2）根据题意，设，∵与向量的夹角相等，∴，∴，∴cosθ+2sinθ＝2cosθ+sinθ，∴sinθ＝cosθ，∴，或．【点评】本题考查了向量夹角的余弦公式，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．20．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）分别指出两种生产方式完成任务时间的最大值、最小值、极差．（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m．（3）分别求出两种生产方式完成任务的平均时间．（4）哪种生产方式的效率更高？并说明理由．【分析】（1）结合茎叶图分别求出最大值、最小值、极差即可；（2）根据中位数的定义求出m的值即可；（3）结合茎叶图分别求出两种生产方式完成任务的平均时间即可；（4）根据平均数判断即可．【解答】解：（1）第一种生产方式的最大值是92，最小值是68，极差是24，第二种生产方式的最大值是90，最小值是65，极差是25；（2）这40名工人完成任务所需时间的中位数为：＝80，故m＝80；（3）第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间＝（68+72+76+77+79+82+83+83+84+85+86+87+87+88+89+90+90+91+91+92）＝84，第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间＝（65+65+66+68+69+70+71+72+72+73+74+75+76+76+78+81+84+84+85+90）＝74.7；（4）由＞，显然第二种生产方式的效率更高．【点评】本题考查命题真假的判断，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列的前n项和T n．【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{a n}的通项公式．（2）利用对数运算法则化简b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，然后化简数列{}的通项公式，利用裂项相消法求和即可．【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，由＝9a2a6．得＝9a42．所以q2＝．由条件可知q＞0，故q＝．由2a1+3a2＝1，得2a1+3a1q＝1，所以a1＝．故数列{a n}的通项式为a n＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝log3（a1a2…a n）＝log3（3﹣（1+2+3+…+n））＝﹣（1+2+3+…+n）＝﹣．故＝﹣＝﹣2（），数列{}的前n项和：T n＝＝＝﹣．所以数列{}的前n项和为：T n＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．22．（12分）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C+c sin B．（1）求角B；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）利用正弦定理化简，结合三角形内角和定理可得B．（2）利用余弦定理建立等式关系，结合不等式的性质求解ac的最大值，可得△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵a＝b cos C+c sin B，∴根据正弦定理，得sin A＝sin B cos C+sin B sin C…①，∵A+B+C＝π．sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C…②，∴比较①②，可得sin B＝cos B，即tan B＝1，结合B为三角形的内角，可得B＝45°；（2）∵△ABC中，b＝2，B＝45°，∴根据余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得a2+c2﹣2ac cos45°＝4，化简可得a2+c2﹣ac＝4∵a2+c2≥2ac，∴4＝a2+c2﹣ac≥（2）ac即ac≤4）当且仅当a＝c时等号成立．∴△ABC面积S＝ac sin B≤，综上所述，当且仅当a＝c时，△ABC面积S的最大值为．【点评】本题考查了正余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式与基本不等式的运用等知识，属于中档题．熟练掌握有关定理及公式是解决本题的关键．。
2019-2020学年广东省高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年广东省高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 2．在等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝（）A．7B．9C．11D．133．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（）A．9B．10C．18D．204．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1＝（0，0），2＝（1，﹣2）B．1＝（﹣1，2），2＝（5，7）C．1＝（3，5），2＝（6，10）D．1＝（2，﹣3），2＝（，﹣）5．已知a＝log32，b＝（）﹣0.1，c＝，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．已知平面向量＝（3，0），＝（，），则与的夹角为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝，B＝，a＝6，则b ＝（）A．3B．2C．6D．8．在正项等比数列{a n}中，若a6＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11＝（）A．5B．6C．10D．119．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.65D．0.610．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．11．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2n 4.5 4.8 6.7若回归直线方程是＝0.95x+2.6，则下列说法不正确的是（）A．n的值是4.3B．变量x，y呈正相关关系C．若x＝6，则y的值一定是8.3D．若x的值增加1，则y的值约增加0.9512．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝3，b∈（2，3），且a2＝3b cos B+b2cos A，则cos A的取值范围为（）A．[，]B．（，）C．[，]D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知a＞0，则5a+的最小值是．14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生．则在该学校的高三学生中应抽取名．15．在相距3千米的A，B两个观察点观察目标点C，其中观察点B在观察点A的正东方向，在观察点A处观察，目标点C在北偏东15°方向上，在观察点B处观察，目标点C 在西北方向上，则A，C两点之间的距离是千米．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500h．若合理安排生产可使收入最大为元．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知向量，满足||＝，＝（1，2），且∥，求的坐标；（2）已知A（﹣1，﹣4），B（5，2），C（3，4），判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：cm），得到如图茎叶图：（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若2S n＝23+a2n+4，求n．20．某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：2015年2016年2017年2018年2019年年份收入和支出收入x（万元）99.61010.411支出y（万元）7.37.588.58.7（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为9.5万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．（参考公式：回归方程＝x +中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣）21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）＝a sin C，且a＝2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．22．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：D．2．在等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝（）A．7B．9C．11D．13【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a7＝a3+4d，代入数据计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中，若a3＝﹣1，公差d＝2，则a7＝a3+4d＝（﹣1）+2×4＝7；故选：A．3．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为（）A．9B．10C．18D．20【分析】由样本的频数等于样本容量与频率的乘积可得所求．解：频数为50×0.18＝9．故选：A．4．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1＝（0，0），2＝（1，﹣2）B．1＝（﹣1，2），2＝（5，7）C．1＝（3，5），2＝（6，10）D．1＝（2，﹣3），2＝（，﹣）【分析】不共线的两个向量才可作为基底，从而判断每个选项的两个向量是否共线，这样即可找出能作为基底的一组向量．解：A.，∴共线，不能作为基底；B．﹣1×7﹣2×5≠0；∴不共线，可以作为基底；C.；∴共线，不能作为基底；D.；∴共线，不能作为基底．故选：B．5．已知a＝log32，b＝（）﹣0.1，c＝，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性直接求解．解：∴0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，b＝（）﹣0.1＞（）0＝1，c＝＜0，∴b＞a＞c．故选：B．6．已知平面向量＝（3，0），＝（，），则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据条件可求出，，然后即可求出的值，从而得出与的夹角．解：∵，，∴，且，∴．故选：D．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝，B＝，a＝6，则b ＝（）A．3B．2C．6D．【分析】由已知利用正弦定理即可计算求解．解：因为A＝，B＝，a＝6，则由正弦定理，可得b＝＝＝2．故选：B．8．在正项等比数列{a n}中，若a6＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11＝（）A．5B．6C．10D．11【分析】由题意利用等比数列的性质，对数的运算性质，求得结果．解：因为a6＝3，所以，log3a1+log3a2+log3a3+...+log3a11＝log3（a1a2a3 (11)＝＝log3311＝11，故选：D．9．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.65D．0.6【分析】设事件D为“抽到幸运奖”，则事件A，B，C，D互为互斥事件，记事件M ＝{抽到三等奖或幸运奖}，则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）．解：奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，设事件D为“抽到幸运奖”，则事件A，B，C，D互为互斥事件，记事件M＝{抽到三等奖或幸运奖}，P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）＝1﹣0.1﹣0.25＝0.65．故选：C．10．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．【分析】先确定出各向量的夹角，然后根据向量的数量积的定义即可求解解：由题意可得，＝∴＝＝﹣故选：D．11．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2n 4.5 4.8 6.7若回归直线方程是＝0.95x+2.6，则下列说法不正确的是（）A．n的值是4.3B．变量x，y呈正相关关系C．若x＝6，则y的值一定是8.3D．若x的值增加1，则y的值约增加0.95【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得n，然后逐一核对四个选项得答案．解：，，∴样本点的中心为（2，），代入＝0.95x+2.6，得，解得n＝4.3．故A正确；∵y关于x的线性回归方程为，∴变量x，y呈正相关关系，故B正确；若x＝6，则求得，但不能断定y的值一定是8.3，故C错误；若x的值增加1，则y的值约增加0.95，故D正确．故选：C．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝3，b∈（2，3），且a2＝3b cos B+b2cos A，则cos A的取值范围为（）A．[，]B．（，）C．[，]D．（，）【分析】由已知利用余弦定理可求c＝，可求cos A＝，由已知可求范围b2∈（12，18），求得范围b2+∈（，），即可得解cos A的范围．解：因为a＝3，a2＝3b cos B+b2cos A，所以9＝3b•+b2•，所以bc＝9，所以c＝，则cos A＝＝．因为b∈（2，3），所以b2∈（12，18），所以b2+∈（，），则cos A∈（，）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知a＞0，则5a+的最小值是10．【分析】直接使用基本不等式即可求出答案．解：∵a＞0，∴5a+≥2＝10（当且仅当5a＝也即a＝1时，等号成立）．故答案为：10．14．某学校高一、高二、高三共有3600名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为90的样本．已知高一有1280名学生，高二有1200名学生．则在该学校的高三学生中应抽取28名．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．解：高三学生人数：3600﹣1280﹣1200＝1120．∴该学校的高三学生中应抽取：1120×15．在相距3千米的A，B两个观察点观察目标点C，其中观察点B在观察点A的正东方向，在观察点A处观察，目标点C在北偏东15°方向上，在观察点B处观察，目标点C 在西北方向上，则A，C两点之间的距离是千米．【分析】由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，利用三角形内角和定理可求∠ACB＝60°，由正弦定理即可求解AC的值．解：由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，所以∠ACB＝60°，所以由正弦定理＝，可得＝，可得AC＝＝．故答案为：．16．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲，乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h，2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h，1h，A，B两种设备每月有效使用时数分别为400h和500h．若合理安排生产可使收入最大为800000元．【分析】设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为z＝3000x+2000y．写出约束条件，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为z＝3000x+2000y．需要满足的条件是，作出可行域如图，作直线z＝3000x+2000y，当直线过点A时，z取最大值．联立，解得A（200，100），则z的最大值为800000元．故答案为：800000．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知向量，满足||＝，＝（1，2），且∥，求的坐标；（2）已知A（﹣1，﹣4），B（5，2），C（3，4），判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【分析】（1）设＝（x，y），由题意可得，解得x，y的值即可得解．（2）由已知可求，的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求•＝0，可得，即可得解．解：（1）设＝（x，y），则，解得，或，于是＝（1，2），或＝（﹣1，﹣2）．（2）△ABC是直角三角形，∠B为直角．证明：∵＝（﹣1，﹣4）﹣（5，2）＝（﹣6，﹣6），＝（3，4）﹣（5，2）＝（﹣2，2），∴•＝﹣6×（﹣2）+（﹣6）×2＝0，∴，即△ABC是直角三角形，∠B为直角．18．为研究某农作物的生长状态，某研究机构在甲、乙两块试验田中各随机抽取了6株农作物，并测量其株高（单位：cm），得到如图茎叶图：（1）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值，并比较它们的大小；（2）分别求甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的方差，并说明哪块试验田的此种农作物长得相对较齐．【分析】（1）根据茎叶图的概念和平均数的计算方法即可得解；（2）根据方差的计算分别求出和，而方差越小，农作物长得越齐．解：（1）＝＝30cm，＝＝30cm．∴甲、乙两块试验田中被抽取的农作物株高的平均值相等．（2）＝＝，＝＝．∴＜，即甲试验田的此种农作物长得相对较齐．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若2S n＝23+a2n+4，求n．【分析】（1）依题意结合数列的通项公式，能列出两个关于基本量首项a1和公差d的两个方程，解方程即可得数列{a n}的通项公式；（2）将2S n＝23+a2n+4转化为关于n的一元二次方程，解方程即可得答案．解：（1）设数列{a n}的公差为d，依题意得，所以，解得，所以a n＝2n﹣1．（2）由（1）得，因为2S n＝23+a2n+4，所以2n2＝23+2×（2n+4）﹣1，化简得n2﹣2n﹣15＝0，解得n＝5或n＝﹣3（舍去）．20．某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：2015年2016年2017年2018年2019年年份收入和支出收入x（万元）99.61010.411支出y（万元）7.37.588.58.7（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年的年收入为9.5万元，请根据（1）中的线性回归方程预测该家庭2020年的年支出金额．（参考公式：回归方程＝x +中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣）【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝9.5求得y值即可．解：（1）由题意可得，＝，，，＝1.8，，≈0.24．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当2020年的年收入为9.5万元时，．∴预测该家庭2020年的年支出金额为7.65万元．21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）＝a sin C，且a＝2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b2＝ac，结合a ＝2c，利用余弦定理可求cos B＝，结合范围利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，结合a＝2c，可求a的值，由（1）可求b的值，即可得解三角形的周长．解：（1）因为b sin（A+C）＝a sin C，可得b sin B＝a sin C，所以b2＝ac…因为a＝2c，所以cos B＝＝＝＝，…因为0＜B＜π，所以sin B＝＝＝…（2）因为△ABC的面积为ac sin B＝c2＝4，所以c＝4…因为a＝2c，所以a＝8…因为b2＝ac＝32，所以b＝4…故△ABC的周长为a+b+c＝8+4+4＝12+4…22．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m ≥T n恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由已知数列递推式直接利用构造新数列的方法证明数列{a n﹣2}是等比数列；（2）利用（1）的结论求得a n，进一步利用裂项相消法分类求出数列{b n}的前n项和为T n，再分类求出T n的最大值，即可求得m的取值范围．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a n+1﹣3a n+4＝0，∴a n+1﹣2＝3（a n﹣2），即＝3（常数）．数列{a n﹣2}是以12为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即．∴b n＝＝．当n为偶数时，＝；当n为奇数时，﹣…+＝．当n为偶数时，是递减的，此时当n＝2时，T n取最大值﹣，则m ≥﹣；当n为奇数时，T n＝﹣是递增的，此时T n＜﹣，则m≥﹣．综上，m的取值范围是[﹣，+∞）．。
2019-2020学年广州市八区高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年广州市八区高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知一直线斜率为3，且过A(3,4)，B(x,7)两点，则x的值为()A. 4B. 12C. −6D. 32.某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为A. 12B. 13C. 14D. 153.在区间[−1,m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为25，则实数m的值为()A. 2B. 3C. 4D. 54.将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”与事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”是()A. 互斥但不对立事件B. 对立事件C. 既不互斥又不对立事件D. 以上都不对5.在空间直角坐标系中，已知点A(2,1，3)，B(−4,3，0)，则A，B两点间的距离是()A. 5B. 6C. 7D. 86.已知空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，下列命题正确的是()A. 若m//α且n//α，则m//nB. 若m⊥β且m⊥n，则n//βC. 若m⊥α且m//β，则α⊥βD. 若m不垂直于α，且n⊂α则m不垂直于n7.已知直线l1：mx+2y−4−m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x+y−1=0间的距离为()A. √22B. √2 C. √22或√2 D. 0或√28.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于占E，则()A. AD ⋅AB =CD 2B. CE ⋅CB =AD ⋅ABC. CE ⋅CB =AD ⋅DBD. CE ⋅EB =CD 29.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a =√63,c =√2,C =60°，则角A 的大小是( )A. 45°B. 30°C. 150°D. 30°或150°10. 中国女排战胜日本队的概率为23，战胜美国队的概率为25，两场比赛的胜负相互独立；则中国队在与日本队和美国队的比赛中，恰好胜一场的概率是( )A. 415B. 15C. 815D. 71511. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，线段B 1A 1，B 1C 1上(不包括端点)各有一点P ，Q ，且B 1P =B 1Q ，下列说法中，不正确的是( )A. A ，C ，P ，Q 四点共面B. 直线PQ 与平面BCC 1B 1所成的角为定值C. π3<∠PAC <π2D. 设二面角P −AC −B 的大小为θ，则tanθ的最小值为√212. 如图PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA =2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O交于点B ，PB =1，则圆O 的半径R =( )A. 2B. 3C. √2D. √3二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知直线l 1：(m +2)x −3y =2，l 2：x +(2m −1)y =m +3，若l 1//l 2，则实数m 的值为______ ． 14. 已知三棱锥P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为15.命题“∀x∈R，x2+1>2x”的否定为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出80名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图：观察图形，回答下列问题：(1)[79.5,89.5)这一组的频率是(1)．(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分以上为及格)为(2)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l 与圆x2+y2+2x=0相切于点T，且与双曲线x2−y2=1相交于A、B两点．若T是线段AB的中点，求直线l 的方程．18.已知函数f(x)=ax+4．x(1)若连续掷两次质地均匀的骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6)得到的点数分别为a和b，记事件B={f(x)>b2在x∈(0,+∞)恒成立}，求事件B发生的概率．(2)从区间(−2,2)内任取一个实数a，设事件A={方程f(x)−2=0有两个不同的正实数根}，求事件A发生的概率．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3asinB=bcosA．(1)求角A的大小；(2)若a=1，求△ABC周长的最大值．20.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数间的关系，他们调查了1月至6月的每月10号的昼夜温差x(℃)与患感冒的人数y的数据如下表：该兴趣小组确定的研究方案是：先从6组数据中选择2组，再用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(Ⅰ)若选取的是1月与6月的数据，请根据2月至5月份的数据，求y关于x的线性回归方程；(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：，21. 如图所示，四边形ABCD为菱形，AF=2，AF//DE，DE⊥平面ABCD．(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)当DE为何值时，直线AC//平面BEF？请说明理由．22. 已知圆C的圆心为C(m，0)，m<3，半径为，圆C与椭圆E：(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线PF 1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF 1的方程，若不能，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：试题分析：由题意可得考点：两点坐标求斜率 点评：则2.答案：B解析：本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．根据分层抽样的定义，即可得到结论． 解：设高二参加人数为x 人，由分层抽样可知： ，解得 .故选B ．3.答案：C解析：本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，属于基础题． 利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于m 的等式解之． 解：由题意x ≤1的概率为25，则1−(−1)m−(−1)=25，解得m =4； 故选C ．4.答案：A解析：解：将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张， 事件A ：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”， 事件B ：“乙得到的扑克牌数字为3”， 事件A 为：(3,4)，(3,5)，(4,5)， 事件B 为：(4,3)，(5,3)，事件A 与事件不能同时发生，但能同时不发生， ∴事件A 与事件B 是互斥但不对立事件．故选：A．事件A与事件不能同时发生，但能同时不发生，由此得到事件A与事件B是互斥但不对立事件．本题考查两个事件的关系的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：C解析：本题考查了空间两点间的距离计算问题，是基础题．由两点间的距离公式计算即可．解：由两点间的距离公式，得|AB|=√(2+4)2+(1−3)2+(3−0)2=7．故选：C．6.答案：C解析：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，n//β或n⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m可以垂直于n．解：由空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，知：在A中，若m//α且n//α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥β且m⊥n，则n//β或n⊂β，故B错误；在C中，若m⊥α且m//β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m可以垂直于n，故D错误．故选C．7.答案：B解析：解：∵直线l1：mx+2y−4−m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，∴m+4m =m+42，∴m=2，故直线l1即：2x+2y−4−2=0，即x+y−3=0，则直线l1与直线l2：x+y−1=0间的距离为√2=√2，故选：B．由题意利用直线的截距的定义求得m的值，再利用两条平行线之间的距离公式，求得结果．本题主要考查直线的截距的定义，两条平行线之间的距离公式，属于基础题．8.答案：C解析：解：连接DE ，∵以BD 为直径的圆与BC 交于点E ， ∴DE ⊥BE ，∵∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ， ∴△ACD∽△CBD ， ∴CD BD=AD CD，∴CD 2=AD ⋅BD ． ∵CD 2=CE ⋅CB ， ∴CE ⋅CB =AD ⋅BD ， 故选：C ．连接DE ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，DE ⊥BE ，由∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，△ACD∽△CBD ，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE ⋅CB =AD ⋅BD本题考查与圆有关的比例线段的应用，考查三角形相似和切割线定理的灵活运用，属于中档题．9.答案：B解析：解：由a =√63,c =√2,C =60°，根据正弦定理可得a sinA =csinC ，则sinA =asinC c=√63×√32√2=12，∵0°<A <180°，∴A =30°，或150°(舍去)，∴A =30°故选：B ．根据正弦定理直接可以求出．本题考查了正弦定理的应用，考查了运算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：根据题意，两场比赛中，中国队恰好胜一场包括两种情况， ①中国队只胜日本队，其概率P 1=23×(1−25)=615， ②中国队只胜美国队，其概率P 2=(1−23)×25=215，则中国队恰好胜一场的概率为615+215=815； 故选C ．根据题意，分析可得根据题意，两场比赛中，中国队恰好胜一场包括两种情况，①中国队只胜日本队，②中国队只胜美国队，分别求出两种情况的概率，由互斥事件概率的加法公式，计算可得答案． 本题考查互斥事件概率、相互独立事件的概率计算，关键是正确对事件进行分类讨论．11.答案：D解析：本题考查正方体中的直线与平面的位置关系，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．利用平面的基本性质判断A 的正误；直线与平面所成角判断B 的正误；通过解出∠PAC 的范围判断C 的正误；通过二面角的大小求解判断D 的正误． 解：对于A ，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，如图：∵B 1P =B 1Q ，故PQ//A 1C 1，即PQ//AC ， ∵平行的两条直线可以确定一个平面， ∴A ，C ，P ，Q 四点共面，故A 正确； 对于B ，P 在平面BCC 1B 1的射影是B 1， ∴∠PQB 1即为直线PQ 与平面BCC 1B 1所成的角，tan∠PQB 1=PB1QB 1=1，为定值，故∠PQB 1为定值，故B 正确；对于C ，不妨设正方体的棱长为2，B 1P =B 1Q =x ，(0<x <2)， 易得AP 2=4+(2−x)2，PC 2=x 2+8，AC 2=8， 在△PAC 中，cos∠PAC =PA 2+AC 2−PC 22×PA×AC，把AP ，PC ，AC ，代入化简可得cos∠PAC =√22×√14(2−x )2+1，∵0<x<2，∴cos∠PAC∈(0,12)，即π3<∠PAC<π2，正确；对于D，作PE⊥AB于E，过E作EF⊥AC于F，θ=∠PFE，则tanθ取最小值时EF最大，此时P在B1，tanθ=√2，又P点不与线段B1A1重合，∴最小值取不到，即D不正确．故选：D．12.答案：D解析：解：由于PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，PB=1，PBC为圆的割线，由切割线定理得，PA2=PB⋅PC，即PC=4，BC=3，在直角三角形ABP中，AB=√4−1=√3，在直角三角形ABC中，AC=√3+9=2√3，∴圆O的半径R为√3．故选D．由圆的切割线定理，得到PA2=PB⋅PC，求出BC，由直径所对的角为直角，运用勾股定理即可求出圆的半径．本题主要考查圆的切割线定理及运用，以及直径所对的角为直角，勾股定理的运用，是一道基础题．13.答案：−12解析：解：直线l1：(m+2)x−3y=2，l2：x+(2m−1)y=m+3，且l1//l2，∴(m+2)(2m−1)=−3×1，整理可得2m2+3m+1=0，即(2m+1)(m+1)=0解得m=−12或m=−1，经验证当m=−1时，两直线重合，应舍去故答案为：−12由平行关系可得m的方程，解方程排除重合即可．本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．14.答案：13解析：。
(3份试卷汇总)2019-2020学年广东省佛山市高一数学下学期期末学业水平测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2-B ．2-C ．2D ．22．已知,a b 是平面内两个互相垂直的向量，且||1,||3a b ==，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．103．已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=； ②2()f x x =； ③()x f x e =；④()f x x =，则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④4．数列{}n a 中，若12a =，123n n a a +=+，则10a =（ ） A ．29B ．2563C ．2569D ．25575．已知向量(1,3),(2,0)a b ==，则|2|a b -=（ ） A ．12B ．22C ．23D ．86．设()()ln 21xg x +＝，则(4)(3)(3)(4)g g g g -+---=A ．-1B ．1C ．l n2D ．-ln27．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．118．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的正切值为（ ） A ．13B ．23C ．23D ．739．已知(3,1)AB =，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,2)--D ．(1,2)10．一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去30，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是3.6，方差是9.9，则原来数据的平均数和方差分别是（ ） A ．11.2，1.1 B ．33.6，9.9C ．11.2，9.9D ．24.1，1.111．在数列中，，（，），则A ．B ．C ．2D ．612．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．23二、填空题：本题共4小题13．如图，在B 处观测到一货船在北偏西45︒方向上距离B 点1千米的A 处，码头C 位于B 的正东2千米处，该货船先由A 朝着C 码头C 匀速行驶了5分钟到达C ，又沿着与AC 垂直的方向以同样的速度匀速行驶5分钟后到达点D ，此时该货船到点B 的距离是________千米.14．点(1,3)-到直线4320x y -+=的距离为________.15．已知圆C 的方程为22220x y ax y a ++++=，一定点为A(1,2)，要使过A 点作圆的切线有两条，则a 的取值范围是____________16．已知向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)
高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。
2019-2020学年广东省广州市增城区高一下期末数学试卷及答案解析
2019-2020学年广东省广州市增城区高一下期末数学试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）sin210°＝（）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
2．（5分）已知a 是第二象限角，，则cosα＝（）
A ．﹣
B ．
C ．
D ．
3．（5分）一个半径是2的扇形，其圆心角的弧度数是，则该扇形的面积是（）
A ．
B ．
C ．D．π
4．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）
A ．钱
B ．钱
C ．钱
D ．钱
5．（5分）已知，则m＝（）A．1B．2C．3D．4
6．（5分）已知，则＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（5分）已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2＝1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝9．点M、N 分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．2+4B．9C．7D．2+2
8．（5分）要得到函数y＝2sin（2x +）的图象，只要将y＝2sin2x的图象（）
A ．向左平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向左平移个单位
D ．向右平移个单位
9．（5分）已知各项为正数的等比数列{a n}中，a2＝1，a4a6＝64，则公比q＝（）A．4B．3C．2D ．
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2019-2020学年广东省广州市八区高一(下)期末数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年广东省广州市八区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线y=√3(x−1)+1的倾斜角为()A. 0B. π6C. π3D. 3π42.某中学共有1400名学生，其中高一年级有540人，用分层抽样的方法抽取样本容量为70的样本，则高一年级抽取的人数为()A. 18B. 21C. 26D. 273.已知P是△ABC的重心，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A. 14B. 13C. 12D. 234.给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 35.在空间直角坐标系中，已知P(1,0，0)，Q(3,−2,2)，则P，Q两点间的距离|PQ|=()A. 2√3B. 4C. 2√5D. 2√66.a，b是两条异面直线，下列命题正确的是()A. 若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一个平面与a，b都平行B. 过直线a且垂直于直线b的平面有且只有一个C. 若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一条直线与a，b都平行D. 若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一条直线与a，b都垂直7.直线l1：x−y−1=0与直线l2：x−y+1=0之间的距离为()A. 1B. √22C. √2D. 28.设圆C1：x2+y2=1与C2：(x−2)2+(y+2)2=1，则圆C1与C2的位置关系是()A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，a=2，b=3，则sinB=()A. 3√3B. 4√3C. 3√34D. 4√3310.若小王通过英语听力测试的概率是12，则他连续测试2次，其中恰有1次通过的概率是()A. 14B. 13C. 12D. 3411.已知三棱锥D−ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=√5，BC=2，则二面角D−BC−A的大小()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘12.已知直线l：kx−y−4k+1=0被圆C：x2+(y+1)2=25所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有()A. 9条B. 10条C. 11条D. 12条二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行，且直线ax+by+1=0在y轴上的截距为13，则a+b=______ ．14.已知圆锥的高为√3，底面直径和母线长相等，则圆锥的体积为__________．15.已知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有__________个．16.在非等腰△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2C2+ccos2A2=32c，2sin(A−B)+bsin B=asinA，则△ABC的周长为______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求过点A(3,2)且垂直于直线4x+5y−8=0的直线方程．18.在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n(n=1,2，…，6)的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n12345体重x n6066626062(Ⅰ)求第6位同学的体重x 6及这6位同学体重的标准差s ；(Ⅱ)从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的概率．19. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ca+b +sinAsinB+sinC =1；(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若b =√2，求a 2+c 2的最大值．20. 某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：y =b x +a(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C ？ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=i ni=1i −nx·y ∑x 2n −nx2，a ^=y −b ^x ．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点．(1)求证：PB//平面AEC；(2)求D到平面AEC的距离．22.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2+4x−2y+m=0与直线x−√3y+√3−2=0相切．(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2√3，求直线MN的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：直线的斜率k=√3，倾斜角为θ，即tanθ=√3，因为0≤θ<π，所以θ=π3．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查了分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题．根据分层抽样即可得高一年级抽取的人数．【解答】解：∵1400名学生抽取样本容量为70的样本，抽样比为701400=120，∴根据分层抽样高一年级抽取的人数为540×120=27，故选D．3.答案：B解析：解：如图所示，P是△ABC的重心，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是：P=S△PBCS△ABC =13．故选：B．根据题意画出图形，结合图形求出对应图形的面积比即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．4.答案：C解析：【分析】利用互斥事件的定义直接求解．本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的定义的合理运用．【解答】解：在①中，某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；在②中，甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；在③中，从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不能同时发生，是互斥事件，故③正确．故选C．5.答案：A解析：解：∵在空间直角坐标系中，P(1,0，0)，Q(3,−2,2)，∴P，Q两点间的距离：|PQ|=√(3−1)2+(−2−0)2+(2−0)2=√4+4+4=2√3．故选：A．利用空间中两点间距离公式直接求解．本题考查两点间距离公式的求法，考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查空间直线和直线，直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，利用异面直线的定义和性质是解决本题的关键．根据异面直线的定义和直线平行的性质分别进行判断．【解答】解：A.若直线a与过b的平面α平行时，若P∈α，则此时b⊂α，∴A错误．B.过直线a且垂直于直线b的平面不一定存在，当a⊥b时，结论成立，若a不垂直于b，则结论不成立，∴B错误．C.满足条件的直线为c，若a//c，b//c，∴a//b，与a，b是两条异面直线矛盾，∴C错误．D.∵a，b是两条异面直线，∴同时和a，b都垂直的直线有无数多条，∴过P的直线只有一条，∴D正确．故正确的是：D．故选D．7.答案：C解析：【分析】本题考查两条平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．属于基础题．判断两条直线平行，代入两平行线间的距离公式得答案．【解答】解：∵直线l1：x−y−1=0与直线l2：x−y+1=0平行，由两平行线间的距离公式得：d=2=√2．故选C．8.答案：A解析：解：圆心C1：(0,0)，C2：(2,−2)，半径R=1，r=1，则|C1C2|=√22+(−2)2=√4+4=2√2>1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选A．求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径之间的关系进行判断即可．本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：A=π3，a=2，b=3，由正弦定理可得asinA =bsinB，则sinB=bsinAa=3×√322=3√34，故选：C．直接根据正弦定理即可求出．本题考查了正弦定理，考查了运算能力，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题考查n次独立试验中恰有k次发生的概率计算，属于基础题，正确应用公式计算即可．连续测试2次，恰好有一次通过，可看成2次独立重复试验，其中恰有一次通过，由n次独立试验中恰有k次发生的概率公式，计算可得答案．【解答】解：连续测试2次，恰好有一次通过；可看成2次独立重复试验，恰有1次发生，则其概率为P=C21×12×(1−12)=12．故选C．11.答案：C解析：【分析】本题考查了二面角的求法，难度不大．取BC中点M，利用等腰三角形中线与高重合可知∠AMD为所求角，易解．【解答】解：∵三个侧面与底面全等，且AB=AC=√5，BC=2，∴BD=CD=√5，AD=2，取BC中点M，连接DM，AM，则BC⊥MD，BC⊥MA，∴∠AMD为二面角D−BC−A的平面角，易得DM=AM=2，∴∠AMD=60°，故选：C．12.答案：B解析：解：直线l：kx−y−4k+1=0可化为k(x−4)+(−y+1)=0，即直线过定点(4,1)∵圆心到定点(4,1)的距离为2√5，∴直线l：kx−y−4k+1=0被圆C：x2+(y+1)2=25所截得的最短弦长为2√25−20=2√5又过定点(4,1)的最长的弦长为10过点(4,1)垂直x轴的直线x=4与圆C所截得的弦长恰好为6，这条直线应舍去，∴弦长为整数时直线l共有10．故选B．先确定直线过定点(4,1)，再计算直线被圆截得的最短弦长、最长的弦长，即可求得结论．本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．13.答案：−7解析：【分析】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属于基础题．由平行关系和截距可得a、b的两个方程，联立解方程组可得．解析：解：∵直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行，∴4b=3a，，又直线ax+by+1=0在y轴上的截距为13∴1b+1=0，解得：b=−3，3∴a=−4，∴a+b=−7．故答案为：−7．14.答案：解析：【分析】本题考查圆锥体积的求法，属于基础题．根据题意求出圆锥的高，利用体积公式即可求出体积．【解答】解：因为圆锥的高为√3，底面直径和母线长相等，根据勾股定理可得其底面直径为2，半径为1，所以圆锥的体积为．15.答案：880解析：【分析】本题考查频率分布直方图的应用，属于简单题。
2019-2020学年广东省广州市新高考高一数学下学期期末质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)910n⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大 B ．a 8＝a 9最大 C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大2．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．21π-B ．122π- C ．2πD ．1π3．矩形ABCD 中，6, 4AB =AD =，若在该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆的面积不大于3的概率是（ ） A ．18B ．16C ．14D ．124．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α,则直线a 与平面β的关系为( ) A ．a ∥βB ．a ⊂βC ．a ∥β或a ⊂β D ．a A β⋂=5．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A ．直线l 不平行于直线m B ．直线l 与直线m 异面 C ．直线l 与直线m 没有公共点 D ．直线l 与直线m 不垂直6．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位7．已知角α的终边上有一点P （sin23π，cos 23π），则ta nα=（ ） A ．3B 3C ．3-D 38．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,3,4,5ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．17πB ．25πC ．34πD ．50π9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若acosA=bcosB ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形10．在空间四边形ABCD 中，2AD = ， 23BC =，E ，F 分别是AB ， CD 的中点 ，7EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（ ） A ．150︒B ．60︒C ．120︒D ．30︒11．若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相切，则实数m =（ ）A ．9B ．-11C ．-11或-9D ．9或-1112．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．716二、填空题：本题共4小题13．竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式为2136V l h =.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中π取的近似值为______. 14．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题：①由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图像关于点06⎛⎫-⎪⎝⎭，π对称，其中正确的序号是____________. 15345°，则该正四棱锥的体积是________ . 16．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j<时，j ia a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =_____． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年广州市华南师大附中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年广州市华南师大附中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.四面体P−ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的()A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心2.已知直线l1：x−2y+1=0与直线l2：mx−y=0平行，则实数m的值为()A. 12B. −12C. 2D. −23.三条直线l1：x−y=0，l2：x+y−2=0，l3：5x−ky−15=0构成一个三角形，则k的取值范围是()A. k∈RB. k∈R且k≠±1，k≠0C. k∈R且k≠±5，k≠−10D. k∈R且k≠±5，k≠14.如果圆柱与圆锥的底面直径、高和球的直径相等，则体积比V圆柱：V圆锥：V球为()A. 3：1：2B. 3：1：4C. 6：√3：4D. 3：3：25.两圆和的位置关系是()A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=1，B=π4，△ABC的面积S=2，则bsinB的值为()A. 5√2B. 5C. 5√22D. 527.已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A−EF−C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为()A. 6πB. 5πC. 4πD. 3π8.若直线过两点A(1,2)，B(3,6)，则该直线的斜率为()A. 2B. 3C. 4D. 59.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()A. a⊥α，b⊥β，α//βB. a⊥α，b//β，a⊥βC. a⊂a，b⊥β，α//βD. a⊂α，b//β，α⊥β10.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=1，线段AC1的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值为()A. 15B. 25C. √55D. √10511.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C−ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为()A. √22B. 12C. √24D. 1412.已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l与直线3x+4y−5=0垂直，则a的值为()A. −34B. 34C. −43D. 43二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.两条平行线4x+3y+1=0与4x+3y−9=0的距离是______ ．14.直线mx+y−m=0，无论m取任意实数，它都过点______ ．15.如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(在A的上方)，且|AB|=2.过点A任作一条直线与圆O：x2+ y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①|NA||NB|=|MA||MB|；②|NB||NA|−|MA||MB|=3；③|NB||NA|−|MA||MB|=2√2其中正确结论的序号是______.(写出所有正确结论的序号) 16.如图是正方体的平面张开图，在这个正方体中：①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与是异面直线；以上四个命题中，正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. (本小题满分12分)已知△ABC中，A(2,−1)，B(4,3)，C(3,−2)，求：(1)BC边上的高所在直线方程的一般式；(2)求18. 如图，ABCD和ABEF都是正方形，M∈AC，N∈FB，且AM=FN.证明：MN//平面BCE．19. 如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．(1)求证：∠EDF=∠CDF；(2)求证：AB 2=AF・AD．20. 已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=1，M是2PB的中点(Ⅰ)证明：面PAD⊥面PCD；(Ⅱ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小．21. (本题满分14分)已知三个顶点坐标分别为：，且，直线经过点．(1)求值；(2)求外接圆⊙M的方程；(3)若直线与⊙M相切，求直线的方程；22. 已知函数f(x)=|x2−ax|(a∈R)．(1)当a=2时，写出函数f(x)的单调区间；(不要求写出过程)3(2)当a=−2时，记函数g(x)=f(x)−t，(t∈R)，讨论函数g(x)的零点个数；(3)记函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式，并求g(a)的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查三角形外心的判断，是基础题，解题时认真审题，注意空间思维能力的培养．由已知条件推导出△POA≌△POB≌△POC ，由此能求出点P 在平面ABC 内的射影点O 是三角形ABC 的外心．解：设P 在平面ABC 射影为O ，∵PA =PB =PC ，PO =PO =PO(公用边)，∠POA =∠POB =∠POC =90°， ∴△POA≌△POB≌△POC ， ∴OA =OB =OC ， ∴O 是三角形ABC 的外心． 故选：B ．2.答案：A解析：解：∵直线l 1：x −2y +1=0与直线l 2：mx −y =0平行， ∴m 1=−1−2，解得m =12． 故选：A ．由已知条件推导出m1=−1−2，由此能求出m 的值．本题考查实数m 的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．3.答案：C解析：解：由l 1//l 3得k =5，由l 2//l 3得k =−5， 由{x −y =0x +y −2=0得{x =1y =1， 若(1,1)在l 3上，则k =−10．故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠−10． 故选：C ．如果三条直线组不成三角形，则必存在平行线，或三条直线过同一点，由此求出不能构成三角形的条件再求此条件的补集．本题考查两条直线平行的判定，直线的一般式方程，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题．4.答案：A解析：解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，则球的体积V球=43πR3，圆柱的体积V圆柱=2πR3，圆锥的体积V圆锥=23πR3，故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：23πR3：43πR3=3：1：2故选：A由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可得到答案．本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．5.答案：C解析：试题分析：圆的圆心为，半径；圆的方程可以变形为，其圆心为，半径.圆心距，所以圆内切于圆．考点：平面内两圆的位置关系．6.答案：A解析：解：∵a=1，B=π4，△ABC的面积S=12acsinB=12×1×c×√22=2，∴解得：c=4√2，∴由余弦定理可得：b=√a2+c2−2accosB=√12+(4√2)2−2×1×4√2×√22=5，∴bsinB =√22=5√2．故选：A．由已知及三角形面积公式可求c，利用余弦定理即可求b的值，根据特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.答案：B解析：解：如图，易知∠AEB=120°，作出菱形AEBM，DFCN，可知MA=ME=MB，ND=NF=NC，且MN⊥平面AEBM，故MN中点O即为外接球球心，易得BM=1，OM=12，求得OB=√52，∴S球=4π×54=5π，故选：B．根据题意作出图形，利用二面角大小为120度，可知三角形AEB的外心即对应菱形的另一顶点M，同样得到三角形DFC的外心N，MN的中点O即为外接球球心，计算就简单了．此题考查了二面角，几何体外接球问题，难度适中．8.答案：A解析：解：∵两点A(1,2)，B(3,6)，∴k AB=6−23−1=42=2．故选：A．直接利用过两点的斜率公式求解．本题考查由直线上的两点坐标求直线的斜率，是基础题．9.答案：C解析：解：在A、B、D条件下，都可能出现a//b，C：α//β，b⊥β，所以b⊥α，又a⊂α，所以必有a⊥b.此时C为a⊥b的一个充分条件．故选：C．根据线线垂直的条件结合充分条件的定义去判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，解答本题，关键是掌握好充分条件的定义，以及空间直线，平面之间的平行和垂直的性质，属于基础题．10.答案：D解析：解：如图，线段AC1的三个视图所在的直线分别为AC，DC1，AD1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(2,0，0)，C(0,2，0)，D 1(0,0，1)，D(0,0，0)，C 1(0,2，1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)，设直线AC 与DC 1所成角为α，AC 与AD 1所成角为β，DC 1与AD 1所成角为γ， 则cosα=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8⋅√5=√105， cosβ=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8⋅√5=√105， cosγ=|DC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√5=15． ∴线段AC 1的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值为√105． 故选：D ．线段AC 1的三个视图所在的直线分别为AC ，DC 1，AD 1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AC 1的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值． 本题考查长方体中线段的三个视图所在的直线所成的最小角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11.答案：D解析：解：在三棱锥C −ABD 中， C 在平面ABD 上的射影为BD 的中点， 左视图的面积等于S △AOC =12(√22)2=14，故选：D ．画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可．本题考查空间几何体的三视图的画法，三棱锥的三视图的画法，有难度，注意左视图的形状，及其数据，是解题的关键．12.答案：B解析：本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率，考查了直线的斜率与直线垂直间的关系，是基础的计算题．由两点求斜率得到直线l 的斜率，求出直线3x +4y −5=0的斜率，由斜率之积等于−1求解a 的值． 解：∵直线3x +4y −5=0的斜率为−34，若直线l与直线3x+4y−5=0垂直，则直线l的斜率存在，由直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，得k l=5−23−a =33−a，再由−34×33−a=−1，解得：a=34．故选：B．13.答案：2解析：解：两条平行线4x+3y+1=0与4x+3y−9=0的距离是√16+9=2，故答案为：2．由条件利用两平行线间的距离公式，计算求得结果．本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，属于基础题．14.答案：(1,0)解析：解：直线mx+y−m=0，即m(x−1)+y=0，令x−1=0，求得x=1，y=0，∴无论m取任意实数，它都过点(1,0)，故答案为：(1,0)．令参数m的系数等于0，求得x、y的值，可得直线经过定点的坐标．本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．15.答案：①③解析：解：∵圆C与x轴相切于点T(1,0)，∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=√2，即圆的半径r=|BC|=√2，∴圆心C(1,√2)，∴E(0,√2)，又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A(0,√2−1)，B(0,√2+1)，∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M(cosα,sinα)，N(cosβ,sinβ)，∴|NA|=√(cosβ−0)2+[sinβ−(√2−1)]2=√2(√2−1)(√2−sinβ)，|NB|=√(cosβ−0)2+[sinβ−(√2+1)2=√2(√2+1)(√2−sinβ),∴|NA||NB|=√2−1，同理可得|MA||MB|=√2−1，∴|NA||NB|=|MA||MB|，①成立，|NA| |NB|−|MA||MB|=2，②不正确．|NA| |NB|+|MA||MB|=2√2，③正确．故答案为：①③．取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；设M(cosα,sinα)，N(cosβ,sinβ)，计算出相应值即可．本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．16.答案：③④.解析：解：把正方体的平面展开图还原，得到将展开图折回，可得原正方体如下图(1)，由此可知，与显然不平行，故①错误；由图(2)及正方体的性质易知，故②错误；由图(3)易知，为正三角形，，所以与成角，故③正确；如图(4)，一方面，另一方面，且，于是可得平面，进而可得，故④正确；综上可知，正确命题的序号是③④.17.答案：(1)；(2)．解析：试题分析：(1)由可得边上的高所在直线斜率，即可得解；(2)求得直线方程为：，点到直线距离为，，故可得．试题解析：(1)∵所以边上的高所在直线斜率∴所在直线方程即：(2)求得直线方程为：点到直线距离为考点：1.直线与直线的位置关系；2.距离公式．18.答案：解：作MG//AB交BC于G，作NH//EF交BE于H．连结GH，则CM：CA=MG：AB，BN：BF=NH：EF，又AM=FN，AC=BF，故C M=BN，∴MG=NH，且MG//NH．∴MNGH为平行四边形，∴MN//GH．GH⊂平面BCE，MN⊄平面BCE，∴MN//平面BCE．解析：作MG//AB交BC于G，作NH//EF交BE于H.连结GH，先运用线段比例关系证明出MG=NH，且MG//NH.推断出MNGH为平行四边形，进而证明出MN//GH，最后利用线面平行的判定定理证明出结论．本题主要考查了线面平行的判定定理的运用．解题的关键是证明出MN//GH．19.答案：证明：(1)、(2)、解析：分析：(1)由∠EDF=∠ADB，∠ADB=∠ACB，∠CDF=∠ABC，AB=AC，能够证明∠EDF=∠CDF．(2)由∠ADC+∠ABC=180°，∠ACF+∠ACB=180°，知∠ADC=∠ACF，故△ADC与△ACF相似，由此能够证明AB2=AD⋅AF．解析：证明：(1)、。
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2019-2020学年第二学期期末质量监测试题高一数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 与60-o 角的终边相同的角是A. 300oB. 240oC. 120oD. 60o 2. 不等式240x y -+>表示的区域在直线240x y -+=的A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方 3. 已知角α的终边经过点(3,4)P --，则cos α的值是A. 45-B. 43C. 35-D. 354. 不等式23100x x -->的解集是A ．{}|25x x -≤≤B ．{}|5,2x x x ≥≤-或C ．{}|25x x -<<D ．{}|5,2x x x ><-或 5. 若3sin ,5αα=-是第四象限角，则cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值是Ａ．45B ．10Ｃ．10Ｄ．176. 若,a b ∈R ，下列命题正确的是A ．若||a b >，则22a b >B ．若||a b >，则22a b >C ．若||a b ≠，则22a b ≠D ．若a b >，则0a b -<7. 要得到函数3sin(2)5y x π=+图象，只需把函数3sin 2y x =图象A ．向左平移5π个单位 B ．向右平移5π个单位 C ．向左平移10π个单位 D ．向右平移10π个单位8. 已知M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，P 为平面ABCD 内任意—点，则PA PB PC PD +++u u u r u u u r u u u r u u u r等于A. 4PM u u u u rB. 3PM u u u u rC. 2PM u u u u rD. PM u u u u r9. 若3cos 25α=，则44sin cos αα+的值是A. 1725 B ．45 Ｃ．65 D ． 332510. 已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是A. 4B. C. 2D.11. 已知点(),n n a 在函数213y x =-的图象上，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为 A ．36 B ．36- C ．6 D ．6- 12. 若钝角ABC ∆的内角,,A B C 成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是A ．1,2（）B ．2+∞（，）C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 把答案填在答题卡上.13. 若向量(4,2),(8,),//x ==a b a b ，则x 的值为 ．14. 若关于x 的方程20x mx m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 ．15. 设实数,x y 满足,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是 ．16.设2()sin cos f x x x x =+，则()f x 的单调递减区间是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)1n n a q S q-=-．18．（本小题满分12分）已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．（1）若a 与b 的夹角120θ=o ，求||+a b 的值； （2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值.19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积． 20．（本小题满分12分）D A已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=(1,2,3,)n =L ． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设2112n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21.(本小题满分12分)某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离.km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得∠75ACB =o ，45BCD ∠=o ，30ADC ∠=o ，45ADB ∠=o （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B应该准备多长的电线？22.(本小题满分12分) 已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b . （1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tan tan tan A B C 的最小值.2019-2020学年第二学期期末质量监测高一数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题二、填空题13. 4 14. (0,4) 15. 3 16. ()7+,1212k k k ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)1n n a q S q-=-．证法1：（错位相减法）因为11n n a a q -=， …………………………………2分 所以1111n n S a a q a q -=+++L …………………………………4分211111n n n qS a q a q a q a q -=++++L …………………………………6分所以11(1)nn q S a a q -=- …………………………………8分当1q ≠时，有1(1)1n n a q S q-=-． …………………………………10分证法2：（叠加法）因为}{n a 是公比为q 的等比数列，所以21a a q =，32a a q =，1,n n a a q +=L …………………………………2分所以112)1(a q a a -=-，223)1(a q a a -=-，…，n n n a q a a )1(1-=-+，…………………………………6分相加得n n S q a a )1(11-=-+. …………………………………8分所以当q ≠1时，111(1)11n n n a a a q S q q+--==--. …………………………………10分证法3：（拆项法）当q ≠1时，11111111a a q qa a q q q-=⋅=----， …………………………………2分211211111a q a q q a a q q q q-=⋅=----，……，11111111n nn n a q a q q a a q q q q---=⋅=----， …………………………………8分以上n 个式子相加得qq a q q a q a S n n n --=---=1)1(11111. …………………………………10分18．（本小题满分12分）已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．（1）若a 与b 的夹角120θ=o ，求||+a b 的值； （2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值. 题根：《数学4》2.4.1例1、例2、例4．（综合变式）解：（1）1|||cos1201212⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭o g a b =|a b ，…………………………………2分 22||()+=+a b a b 222=++g a a b b …………………………………3分 22|2|=++ga |ab b | …………………………………4分 又||1=a ，||2=b ，所以2||+a b 22|2|1243=++=-+=ga |ab b |，…………………………………5分所以||+=a b …………………………………6分（2）因为()()k k +⊥-a b a b ， 所以()()0k k +-=g a b a b ， …………………………………7分即2220k -=a b …………………………………9分 因为||1=a ，||2=b ，所以240k -=， …………………………………11分 即2k =±. …………………………………12分19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积．（根据2013课标卷Ⅱ理数17改编，正弦、余弦定理及三角变换的综合问题） 解：（1）解法1：由cos sin c a B b A =+及正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A =+. …………………………………2分 在ABC ∆中，C A B π=--，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+. …………………………………4分由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分又(0,)A π∈，所以4A π=． …………………………………6分解法2：由cos sin c a B b A =+及余弦定理可得222sin 2a c b c a b A ac+-=⨯+， …………………………………2分即2222sin b c a bc A +-=， …………………………………3分 由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分又(0,)A π∈，所以4A π=． …………………………………6分（2）ABC ∆的面积1sin 24S bc A ==， …………………………………7分 由2a =，及余弦定理得222242cos b c bc B b c =+-=+， …………………………………8分因为b c =，所以2242b =，DA即24b ==+， …………………………………10分故ABC ∆的面积2144S ===． ………………………………12分20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=(1,2,3,)n =L ． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设2112n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．题根：《数学5》2.2习题B 组第4题. （变式题）解：（1）因为，11n n n a S S ++=-， …………………………………1分又12n n n a S n++=， 所以1(2)()n n n n S n S S ++=-， …………………………………2分即12(1)n n nS n S +=+，所以12()1n n S Sn n n *+=⋅∈+N ． …………………………………4分 故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列． …………………………………6分（2）由（1）得2n n S n =，即2nn S n =g ． …………………………………8分所以21211122111=2(1)2(1)1n n n n n n n b S S n n n n n n ++++===-+++g g g ，……………………10分 故数列{}n b 的前n 项和11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． …………………12分 21.(本小题满分12分)某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离.km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得∠75ACB =o ，45BCD ∠=o ，30ADC ∠=o ，45ADB ∠=o （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B应该准备多长的电线？题根：《数学5》1.2例2. （改编题）解：在ACD ∆中，由已知得30CAD ∠=o ，又30ADC ∠=o ,所以AC CD ==． ……………………………………………………2分在BCD ∆中，由已知可得60CBD ∠=o ，由正弦定理得BC ===.…………………………………6分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC BCA=+-⋅∠2(cos75522+=+-⋅=o ， ………………………9分所以，AB =……………………………………………………10分故施工单位应该准备电线长为5km . ………………………………………………12分22.(本小题满分12分)已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b . （1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tan tan tan A B C 的最小值.（据江苏卷第14题改编，三角变换、平面向量、数列及基本不等式的综合问题） 解：（1）依题意有sin 2sin sin A B C =. ……………………………………………2分 在ABC △中，A B C π=--，所以sin sin +=sin cos cos sin A B C B C B C =+（），………………………………3分 所以2sin sin =sin cos cos sin B C B C B C +. …………………………………4分 因为ABC △为锐角三角形，所以cos 0,cos 0B C >>，所以tan tan 2tan tan B C B C +=， ……………………………………………5分 所以tan B ，tan tan B C ，tan C 成等差数列. ……………………………………6分（2）法一：在锐角ABC △中，tan tan tan tan()tan()1tan tan B CA B C B C B Cπ+=--=-+=--，……………………7分即tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++， ……………………………………8分 由（1）知tan tan 2tan tan B C B C +=，于是tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C =+≥ …………10分整理得tan tan tan 8A B C ≥， …………………………………………11分 当且仅当tan 4A =时取等号，故tan tan tan A B C 的最小值为8. …………………………………………12分法二：由法一知tan tan tan 1tan tan B CA B C+=--， ………………………………………7分由（1）知tan tan 2tan tan B C B C +=，于是2tan tan 2(tan tan )tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan B C B C A B C B C B C B C+=-⨯=---， ……8分令tan tan (1)B C x x =>，则222tan tan tan 2(1)4811x A B C x x x ==-++≥--，……………………………11分当且仅当2x =，即tan 4A =时取等号，故tan tan tan A B C 的最小值为8. …………………………………………12分。
2019-2020学年广东省广州市八区联考高一上学期期末数学试题及答案
2019-2020学年广东省广州市八区联考高一上学期期末数学试题及答案一、单选题 1．函数()()32f x log x =+-的定义域为()A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】要使得()f x 有意义，则需满足21020x x ->⎧⎨->⎩，解出x的范围即可． 【详解】 要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<， ()f x ∴的定义域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2．在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ） A ．21()1,()1x f x x g x x -=-=+B ．1,1()1,()1,1x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩C ．()1(),()1()f x x x g x x x =+∈=+∈R Z D ．2(),()f x x g x ==【答案】B【解析】根据题意，逐一分析研究各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系． 【详解】解：A 中的2个函数()1f x x 的定义域为R ，21()1x g x x -=+的定义域为()(),11,-∞--+∞，定义域不同，故不是同一个函数．B 中的2个函数()|1|f x x =+与11()11x x g x x x +-⎧=⎨--<-⎩具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C 中的2个函数()1f x x =+，x ∈R 与()1g x x =+，x ∈Z 的定义域不同，故不是同一个函数．D 中的2个函数()f x x =的定义域为R ，2()g x =的定义域为[)0,+∞，定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数． 综上，A 、C 、D 中的2个函数不是同一个函数，只有B 中的2个函数才是同一个函数，故选B ． 【点睛】本题考查构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系．相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系． 3．函数()326xf x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2D ．()2,3【答案】C【解析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】 因为()132)1(160f -=+---⋅<，()03600f =-<，()132610f =+-=-<，()294670f =+-=>，所以()f x 在()1,2上存在零点． 故选C. 【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 4．已知向量()()3,2,,4a b x ==，且//a b ，则x 的值为() A ．6 B ．－6 C ．83-D ．83【答案】A【解析】两向量平行，內积等于外积． 【详解】2346x x =⨯⇒=，所以选A.【点睛】本题考查两向量平行的坐标运算，属于基础题． 5．函数()()2212f x x a x =-+-+在(),4-∞-上是增函数，则a 的范围是()A ．[)5,+∞B ．[)3,-+∞C ．(],3-∞-D ．(],5-∞-【答案】B【解析】因为函数()f x 开口向下，对称轴1x a =-，若函数()f x 在(),4-∞-上是增函数，则41a -≤-，即可解出答案．【详解】 因为函数()()2212f x xa x =-+-+，开口向下，对称轴1x a =-，若函数()f x 在(),4-∞-上是增函数， 则41a -≤-，解得3a ≥-， 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数的单调性求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，属于基础题． 6．已知向量a ，b 满足||3,||23,3a b a b ==⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°【答案】B【解析】设两个向量的夹角θ，利用向量的数量积公式列出方程，求出夹角的余弦，利用夹角的范围求出夹角． 【详解】解：设两个向量的夹角为θ3a b ⋅=-∴cos 3a b θ=- ∴1cos 23a b a bθ⋅===-⨯[]0,θπ∈120θ∴=︒故选：B ． 【点睛】求两个向量的夹角，一般先利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦，注意向量夹角的范围，求出向量的夹角． 7．设20.34log 4log 30.3a b c -===，，，则a ，b ，c 大小关系是 （ ） A ．a<b<c B ．a<c<b C ．c<b<a D ．b<a<c【答案】A【解析】试题分析：()20.34log 40,log 30,1,0.31a b c a b c -==∈=∴<<【考点】1.指数函数对数函数性质；2.比较大小8．为了得到函数()23y cos x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y cos x =的图象()A ．向左平行移动3π个单位长度B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度 【答案】D【解析】设出平移量a ，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，解方程求出平移量，即可得到答案． 【详解】设将函数2y cos x =的图象向右平移a 个单位后，得到函数23y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象，则()223cos x a cos x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得6a π=，所以，函数2y cos x =的图象向右平行移动6π个单位长度，可得到函数23y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象，故选：D 【点睛】本题考查的知识点是函数()y Acos x ωϕ=+的图象变换，其中设出平移量为a ，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，是解答本题的关键．9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 2【答案】B【解析】先由已知条件求出扇形的半径为1sin1，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是22sin1R =， 故选：B. 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题.10．已知向量()3,4a =-，()4,3b =，则向量b a -在向量a 方向上的投影是()A ．B ．-C ．5D ．5-【答案】D【解析】向量b a -在向量a 方向上的投影，计算()b a a a-⋅即可得出结论． 【详解】向量()3,4a =-，()4,3b =，()1,7b a ∴-=，()()137425b a a -⋅=⨯+⨯-=-；则向量b a -在向量a 方向上的投影是：()2253(4)b a a a-⋅==-+-．故选：D 【点睛】本题考查向量的数量积，投影，主要考查基本公式，属于基础题． 11．已知函数()()(0,0,)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的简图如图所示，则方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[]0,π内所有解的和为()A ．6πB ．3πC ．2πD ．π【答案】B【解析】由函数的图象的最大值求出A ，由过点()0,1求ϕ，由点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭求ω，可得函数的解析式；再利用图象以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】 根据函数()()(0,0,)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的简图，可得2A =，再把点()0,1代入可得21sin ϕ=，求得12sin ϕ=，6πϕ∴=． 再根据五点法作图可得5126ππωπ⋅+=，2ω∴=，故函数()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=+，k Z ∈， 当[]0,x π∈时，函数的对称轴是6x π=，故由图象可得方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[]0,π内所有的解共有2个，且这2个解的和等于263ππ⨯=， 故选：B 【点睛】本题主要考查由函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象求解析式，一般由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，若()4f a =-，则a =（） A ．14- B ．3- C ．14-或3D ．14-或3- 【答案】D【解析】根据题意得到0a <，分01a <-< 和1a -≥ 两种情况得到函数在不同的情况下的解析式，进而得到参数值. 【详解】由题意知，当0x >时，()2f x ≥，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()2f x ≤-， ()4f a =-，0a ∴<，()()4f a f a =--=-，()4f a ∴-=，当01a <-<时，()122log 4a -+=，解得14a =-， 当1a -≥时，14a -+=，解得3a =-， 综上可得，14a =-或3-. 故答案为D. 【点睛】解决分段函数求值问题的策略(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决．(3)求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则．二、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点2,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()4f =___________.【答案】12【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再代入求值即可; 【详解】解：设幂函数()f x x α=，幂函数()y f x =的图象过点22,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴222α=，解得12α=-， 12()f x x-∴=，()121442f -∴==， 故答案为：12．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及函数值的计算，属于基础题.14．在不考虑空气阻力的条件下，火箭最大速度/Vm s 和燃料的质量Mkg 、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是22000log 1M V m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达12Km/s ． 【答案】63.【解析】试题分析：令,则，即，即，所以；即当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度可达12Km/s.【考点】函数模型的应用. 15．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________. 【答案】322【解析】由()()44ππααββ+=+--，再结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】 解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=, 又()()44ππααββ+=+--， 所以tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-=213542122154-=+⨯， 故答案为322.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑()()44ππααββ+=+--，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题. 16．在等腰直角ABC 中，2A π∠=，1AB AC ==，M 是斜边BC 上的点，满足3BC BM =，若点P 满足1AP =，则AP BM ⋅的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】依题意，建立平面直角坐标，求出各点的坐标，可得234AP BM sin πθ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，进而得解． 【详解】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标， 由1AP=可得，点P 在圆221x y +=上，设(),P cos sin θθ，易知()1,0B ，()0,1C ，由3BC BM =可得，21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()11,,,33AP cos sin BM θθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 则1123334AP BM cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=-+=- ⎪⎝⎭， 由正弦函数的有界性可知，22AP BM ⎡⋅∈⎢⎣⎦． 故答案为：22⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查平面向量的运用，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，通过坐标化解决问题是关键，属于基础题．三、解答题 17．已知02πα<<，且513sin α=． ()1求tan α的值；()2求()222222sin sin sin cos sin απααπαα--⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)512；(2)717【解析】()1由513sin α=．02πα<<，利用同角三角函数关系式先求出cos α，由此能求出tan α的值．()2利用同角三角函数关系式和诱导公式化简为222sin cos 2sin 2sin 2sin cos αααααα++，再化简为关于sin ,cos αα的齐次分式求值．【详解】 (1)因为513sin α=．02πα<<，所以1213cos α===， 故512sin tan cos ααα==． (2)()22222221221222sin sin sin sin cos sin cos sin tan sin sin cos sin cos tan cos sin απααααααααπαααααααα-----===+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭51712517112-==+． 【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数关系式和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题型． 18．已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤.(Ⅰ)若3m =，求U C B 和AB ；(Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{05},{35}U A B x x C B x xx ⋃=≤≤=或（Ⅱ）02m ≤≤【解析】（Ⅰ）由3m =时，求得集合{04},{35}A x x B x x =≤≤=≤≤，再根据集合的并集、补集的运算，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得{04},{2}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+，根据B A ⊆，列出不等式组，即可求解。
广州市名校2019-2020学年新高考高一数学下学期期末监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f(x)满足： f(x)=-f(-x)，且当x ∈(-∞，0]时，()()0f x xf x '+<成立，若0.60.622112(2),ln 2(ln 2),(log )(log ),88a fb fc f =⋅=⋅=⋅则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a> b> cB ．c>a>bC ．b>a>cD ．c>b>a2．已知数列{}n a 共有5项，满足123450a a a a a >>>>≥，且对任意i 、()15j i j ≤≤≤，有i j a a -仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：（1）50a =；（2）414a a =；（3）数列{}n a 是等差数列；（4）集合{},15i j A x x a a i j ==+≤≤≤中共有9个元素．则其中真命题的个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π4．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交的两条数轴，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，且12,120e e =︒，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.假设OP 在坐标系xOy 中的坐标为()2,1-，则OP =（ )A 3B 5C 6D 75．设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．在一段时间内，某种商品的价格x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表： 价格x （元） 4 6 8 10 12 销售量y （件）358910若y 与x 呈线性相关关系，且解得回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率0.9b ∧=，则a ∧的值为（ ）A ．0.2B ．-0.7C ．-0.2D ．0.77．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( ) A ．3.5B ．3C ．-0.5D ．-38．如图，在ABC ∆中，若AB a =，AC b =，4BC BD =，用,a b 表示AD 为（ ）A ．1144AD a b =+B ．5144AD a b =+ C ．3144AD a b =+D ．5144AD a b =-9．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A 317B ．210C ．132D ．31010．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中正确的是（ ） A ．11b a> B ．22a b > C ．a b ac bc > D ．33a b >11．数列{}n a 的通项1(1)n a n n =+，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ） A ．-10B ．-9C ．10D ．912．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．56二、填空题：本题共4小题13．圆台两底面半径分别为2 cm 和5 cm ，母线长为310，则它的轴截面的面积是________cm 2. 14．设x cos α=，且3,44⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππα，则arcsin x 的取值范围是______. 15．长时间的低头,对人的身体如颈椎、眼睛等会造成定的损害，为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1000人中采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，已知这100人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里青年人人数为_____16．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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广东省广州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2015高一上·福建期末) 若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）
A . 115°
B . 120°
C . 135°
D . 150°
2. （2分）已知△ABC中，a＝4，b＝4， A＝30°，则角B等于（）
A . 30°
B . 30°或150°
C . 60°
D . 60°或120°
3. （2分） (2019高二上·安徽月考) 如果直线与直线互相垂直，则实数（）
A . 1
B .
C .
D .
4. （2分）四面体中，各个面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（）
A . 90°
C . 45°
D . 30°
5. （2分）如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论：
①；②；③；④.正确命题的个数为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
6. （2分） (2018高二上·宾县期中) 为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）
A . 36
B . 40
C . 48
7. （2分）有一长为的斜坡，它的倾斜角为45°，现打算把倾斜角改成30°，则坡底要伸长（）m（精确到m）.
A . 53
B . 52
C . 51
D . 49
8. （2分） (2016高二上·重庆期中) 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）
A . 点P到平面QEF的距离
B . 三棱锥P﹣QEF的体积
C . 直线PQ与平面PEF所成的角
D . 二面角P﹣EF﹣Q的大小
9. （2分）(2017·泉州模拟) 在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BB1 ， DD1的中点，G为AE的中点且FG=3，则△EFG的面积的最大值为（）
A .
B . 3
C .
D .
10. （2分）(2020·江西模拟) 已知函数，若
，．则的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共6题；共6分)
11. （1分） (2019高一上·辽宁月考) 如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为________，________．
12. （1分）(2018·中山模拟) 中, , 为边上的点,且 , ,则
的面积最大值为________．
13. （1分） (2016高一下·太康开学考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
14. （1分） (2020高一下·启东期末) 已知直线x－y＋1＝0与圆相切，则a的值是
________
15. （1分）直线与平面平行的判定定理为________
16. （1分） (2018高二下·磁县期末) 若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为________．
三、解答题 (共4题；共20分)
17. （5分）(2019高三上·沈阳月考) 在中，角所对的边分别为 ,且
.
（1）求角C；
（2）若的中线CE的长为1，求的面积的最大值.
18. （5分）(2017·鄂尔多斯模拟) 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
19. （5分） (2016高一下·仁化期中) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D 是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1 ．
20. （5分） (2017高一下·盐城期末) 如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B 两点．
（1）若直线l的斜率为，求△OAB的面积；
（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；
（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共4题；共20分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、19-1、19-2、
20-1、
20-2、
20-3、
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