自动控制原理课后习题答案第二章

第 二 章

2-3试证明图2-5(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。

分析 首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找出两者之间系数的对应关系。对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统，关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列出系统的方程，最后联立求微分方程。 证明：(a)根据复阻抗概念可得：

22212121122122112121122121221

11()1()1

11

o

i

R u C s R R C C s R C R C R C s R u R R C C s R C R C R C C s

R C s R C s

+

++++==

+++++

+

+

即

220012121122121212112222()()i i o i

d u du d u du

R R C C R C R C R C u R R C C R C R C u dt dt dt dt

++++=+++取A 、B 两点进行受力分析，可得：

o 112(

)()()i o i o dx dx dx dx f K x x f dt dt dt dt -+-=- o 22()dx dx

f K x dt dt -= 整理可得：

2212111221121212211222()()o o i i o i

d x dx d x dx f f f K f K f K K K x f f f K f K K K x dt dt dt dt ++++=+++

经比较可以看出，电网络（a ）和机械系统（b ）两者参数的相似关系为

11122212

11,,,K f R K f R C C :

:::

2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。

(1) ;)()(2t t x t x =+&

(２)）。t t x t x t x ()()(2)(δ=++&

&&

2-7 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-6所示，试求闭环传递函数U ｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。

图2-6 控制系统模拟电路

解：由图可得

11111()1i o

o o

R U U C s U R R R C s

=

-

-+

2

20o U R U R =

21021

U U R C s =

联立上式消去中间变量U1和U2,可得：

12

3

23

112212()()o i o o U s R R U s R R C C s R C s R R -=-++

2-8 某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。已知电位器最大工作角度o

330m ax =θ，功率放大级放大系数为K 3,要求：

(1) 分别求出电位器传递系数K 0、第一级和第二级放大器的比例系数K 1和K 2； (2) 画出系统结构图；

(3) 简化结构图，求系统传递函数

)(/)(0s s i θθ。

图2-7 位置随动系统原理图

分析：利用机械原理和放大器原理求解放大系数，然后求解电动机的传递函数，从而画出系统结构图，求出系统的传递函数。

解：（1）

000

30180

/11330180m

E

K V rad π

θπ

=

=

=

⨯

3

13

301031010K -⨯==-⨯

3

2320102

1010K -⨯==-⨯

（2）假设电动机时间常数为Tm ，忽略电枢电感的影响，可得直流电动机的传递函数为

()()1m a m K s U s T Ω=

+

式中Km 为电动机的传递系数，单位为1

()/rad s V -g 。 又设测速发电机的斜率为

1

(/)t K V rad s -⋅，则其传递函数为 ()

()t t

U s K s =Ω

由此可画出系统的结构图如下：

（3）简化后可得系统的传递函数为

22301230123()

1

1()

1

o m m t

i m m

s T K K K K s s s K K K K K K K K K K θθ=+++

2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出 响应t

t e e t c --+-=21)(，试求

系统的传递函数和脉冲响应。

分析：利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示，进而求解出系统的传递函数，然后对传递函数进行反变换求出系统的脉冲响应函数。

解：（1）

1

()R s s =

，则系统的传递函数

211142()21(1)(2)s s C s s s s s s s ++=-+=

++++

2()42()()(1)(2)C s s s G s R s s s ++==

++

（2）系统的脉冲响应

()k t =21

1

124212

L [G(s)]L []L [1]()2(1)(2)12t t

s s t e e s s s s δ-----++==-+=-+++++

2-10 试简化图2-9中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。