高三复习数列知识点和经典精彩试题地解题方法归纳非常全.docx

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数列知识点和常用的解题方法归纳
一、 等差数列的定义与性质
定 ：a n 1 a n d ( d 常 数)， a n
a 1 n 1 d
等差中 ： x ， A ， y 成等差数列
2A x y
a 1 a n n
n n
1
前 n 和 S n
2
na 1
d
2
性 ： a n 是等差数列
（1）若 m n p q ，则 a m a n a p a q ；
（ 2）数列 a 2 n 1 ， a 2 n ， ka n b 仍 等差数列；
S n ， S 2 n S n ， S 3n
S 2 n ⋯⋯仍 等差数列；
（ 3）若三个数成等差数列，可设为 a d ，a ，a
d ；
（ 4）若 a n ， b n 是等差数列 S n ， T n 前 n 和，
a m
S
2 m 1
；
b m
T
2m 1
（ 5） a n 等差数列
S n
an 2 bn （ a ， b 常数，是关于
n 的常数
0 的二次函数）
S n 的最 可求二次函数
S n
an 2 bn 的最 ；或者求出
a n 中的正、 分界
项，即：
当 a 1
0， d a n 0
0，解不等式
可得 S n 达到最大 的 n 。

a n 10
当 a 1
0， d 0，由
a n 0 a n 1
可得 S n 达到最小 的 n 。

如：等差数列 a n ，S n
18，a n
a n 1
a
n 2
3，S 3 1，则 n
（由 a n
a
n 1
a
n 2
3 3a n 1 3，∴ a n 1
1
a 1 a 3
· 3 3a 2
1，∴ a 2
1
又 S 3
3
2
1 1 n
a 1 a n n
a 2
a n 1 · n 3
18
n 27）
∴ S n
2
2
2
二、等比数列的定义与性质
定 ： a n 1
q （ q 常数， q
0）， a n
a 1 q n 1
a n
等比中项： x 、G 、 y 成等比数列
G 2 xy ，或 G
xy
na 1 (q
1)
前n 项和： S n a 1 1
q n
1)
（要注意 ! ）
1
(q
q
性 ： a n
是等比数列
（1）若 m n p q ，则 a m · a n
a p ·a q
（ 2） S n ， S 2n
S n ， S 3 n S 2 n ⋯⋯仍 等比数列
三、求数列通项公式的常用方法
1、公式法
2、 由 S n 求 a n ； （ n 1 ， a 1
S 1 ， n 2 ， a n
S n S n 1）
3、求差（商）法
如： a n
足 1
a 1
1 a 2
⋯⋯
1
a n
2n 5
1
2
2 2
2
n
解： n
1 ， 1
a 1 2 1 5，∴ a 1
14
2
n 2 ，
1 1
a 2 ⋯⋯
1 a
n 1
2n 1 5
2 a 1
2 2
n 1
2
2
1
2 得：
1
n a n
2 ， ∴ a n
2
n 1
， ∴ a n
14 ( n 1)
2 n 1
(n
2)
2
［练习］
数列 a n 足 S n
S n 1
5
a n 1 ， a 1
4，求 a n
3
（注意到 a n 1
S n 1 S n 代入得：
S n 1
4
S n
又 S 1 4，∴ S n 是等比数列， S n
4 n
n 2 ， a S S ⋯⋯3· 4n 1
4、叠乘法
例如：数列 a n中， a13，a n1n
，求 a n
a n n1
解：a
2 ·
a
3 ⋯⋯
a
n
1
·
2
⋯⋯
n 1
，∴
a
n1 a1a2
a
n 123n a1n
又 a13，∴ a n 3 n
5、等差型递推公式
由 a n a n1 f (n)， a1a0，求 a n，用迭加法
n 2， a2a1 f (2)
a3a2 f (3)
两相加，得：
⋯⋯⋯⋯
a n a n1 f (n)
a n a1 f (2) f (3)⋯⋯ f ( n)
∴ a n a0 f ( 2) f (3) ⋯⋯ f (n)
［练习］
数列 a n， a11， a n3n 1a n 1 n 2 ，求 a n
（ a n13n 1 ）
2
6、等比型递推公式
a n ca n 1d c、 d常数， c0， c1， d0
可化等比数列，a n x c a n 1x
a n ca n 1c 1 x
令 (c1)x d，∴ x
d c1
∴ a n
d是首 a
1
d， c公比的等比数列1
c c 1
∴ a n d a1
c d· c n 1
c11
∴ a n a1d c n1d
c1 c 1
［练习］
数列 a n
足 a 1 9， 3a n 1
a n 4，求 a n
4
n 1
（a n
8 1）
3
7、倒数法
例如： a 1
1，a n 1
2a n
，求 a n
1
a n 2 1 1
a n
， 由已知得：
2 a n
2
a n 12a n ∴
1
1 1 ，
1
等差数列，
1
，公差 1
a
n 1
a n
2
a n
a 1 1
2
1 1 n 1 · 1 1
n 1
， ∴ a n
n
2
a n
2
2
1
三、 求数列前 n 项和的常用方法
1、公式法：等差、等比前
n 项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

n
1 如： a n
是公差 d 的等差数列，求
k 1 a k a
k
1
解： 由
1
1
1 1
1
d 0
a k a k d
d a k a
k 1
a k ·a k 1
n
1 n 1
1
1
∴
k 1
d a k
a
k 1
k 1
a k a k 1
1 1
1
1
1 ⋯⋯
1 1
d a 1 a 2
a 2
a 3
a n
a
n 1
1 1 1
d a 1
a n 1
［练习］
求和： 1
1
1
⋯⋯
1
1 2 1 2 3
1
2 3
⋯⋯ n
（ a n
⋯⋯
⋯⋯， S n
2
1
）
n
1
3、错位相减法：
若 a n 等差数列，
b n 等比数列，求数列
a n
b n （差比数列）前
n
和，可由 S qS 求 S ，其中 q b 的公比。

如： S n
1
2x 3x 2 4x 3 ⋯⋯ nx n 1
1
x · S n x 2x 2
3x 3 4x 4
⋯⋯
n 1 x n 1 nx n
2
1
2
： 1
x S n
1 x x 2
⋯⋯ x n 1
nx n
x
1时， S n
1 x n
nx n
1 2
1 x
x
x
1 ， S n
1 2
3
n n 1
⋯⋯
n
2
4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S n a 1 a 2 ⋯⋯
a
n 1
a
n
相加
S n a n a n 1
⋯⋯
a 2 a 1
2S n
a 1
a n
a 2
a n 1
⋯ ⋯ a 1 a n ⋯ ⋯
［练习］
已知 f (x)
x 2
， f (1)
f (2)
f
1 f ( 3) 1
f (4) 1
2
2
f
f
1 x
3
4
1 2
x 2
x 2
（ 由f ( x)
f
1
x
1
1
x
1 x
2
1
2
1 x
2
1 x
2
1
x
∴原式
f (1)
f (2) f
1 f (3) f
1
f (4) f
1
2
3
4
1 1 1
1 3 1
）
2
2
例 1 设 { a n } 是等差数列，若
a 2=3 ， a 7 =13 ，则数列 { a n } 前 8 项的和为（
）
A ． 128
B ． 80
C ．64
D ． 56 （福建卷第 3 题）
略解：∵ a 2 +a 7 = a 1 +a 8 = 16，∴ { a n } 前 8 项的和为 64，故应选 C ． 例 2 已知等比数列 { a n } 满足 a 1 a 2
3， a 2 a 3 6 ，则 a 7
（
）
A ． 64
B ． 81
C ． 128
D ． 243 （全国Ⅰ卷第 7 题）
答案： A ．
例 3 已知等差数列
a n 中， a 2 6 ， a 5 15 ，若
b n a 2n ，则数列 b n 的前 5 项和等
于（
）
A ． 30
B ． 45
C ． 90
D ．186
（北京卷第 7 题）
略解：∵ a 5 -a 2 =3d=9，∴ d=3 ，b 1 = a 2 6 ， b 5 =a 10 =30 ， b 的前 5 项和等于
90，
n
故答案是 C ．
例 4 记等差数列的前 n 项和为 S n ，若 S 2
4, S 4 20 ，则该数列的公差 d
（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 6
D ． 7 （错误！未找到引用源。

第 4 题）
略解：∵ S 4 S 2 S 2 4d 12, d 3 ,故选 B.
例 5 在数列 { a n } 中， a n
4n 5 ， a 1 a 2
a n
an 2 bn ， n N * ,其中 a, b 为
常数，则 ab
2
．（安徽卷第 15 题）
答案：－ 1．
例 6 在数列 { a n } 中， a 1
2 ， a n 1
a
n
ln(1
1
) ，则 a n
（
）
n
A ．
2 ln n
B ． 2 (n 1)ln n
C ． 2
nln n
D
． 1 n
ln n （江西卷第 5 题）
答案： A ．
例 7 设数列
a n 中， a 1 2, a n 1 a n n 1，则通项 a n
___________．（四川卷第
16 题）
此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住
a n
1
a
n
n 1中 a n 1 , a n 系
数相同是找到方法的突破口．
略解：∵
a 1 2, a n 1 a n n 1 ∴ a n a n 1 n 1 1 ， a n 1
a
n 2
n 2 1 ，
a n 2
a
n 3
n 3 1， ， a 3 a 2 2 1， a 2
a 1
1 1 ， a 1 2
1 1．将以上各式相
加，得 a n
n
1 n 2
n
3 2 1
n 1 n
1 n 1
n n 1
n 2 1，故
2
应填 n(n
1) +1． 2
1
例 8 若 ( x +
) n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中 x 4 项的系数为
2x
( )
A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 9 ( 重庆卷第 10 题 )
答案： B ．
使用选择题、 填空题形式考查的文科数列试题，
充分考虑到文、 理科考生在能力上的差
异，侧重于基础知识和基本方法的考查，
命题设计时以教材中学习的等差数列、 等比数列的
公式应用为主， 如，例 4 以前的例题． 例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一
种特殊函数的理解；例
6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能
力；例 8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第 1 题，浙江卷第 4
， 西卷第
4 ，天津卷第 4 ，上海卷第 14 ，全国Ⅱ卷第
19 等，都是关于数列的
客 ，可供大家作 ．
例 9 已知｛ a n ｝是正数 成的数列，
a 1=1，且点（
a n , a n 1 ）（ n N* ）在函数 y=x 2+1
的 象上 . (Ⅰ )求数列｛ a n ｝的通 公式； (Ⅱ )若数列｛ b n ｝ 足 b 1=1 ，b n +1=b n + 2a n ，求 ：
b n · b n+2＜ b 2n+1. （福建卷第
20 ）
略解：（Ⅰ）由已知，得
a n+1-a n =1，又 a 1 =1,所以数列｛ a n ｝是以 1 首 ，公差
1 的
等差数列．故 a n =1+( n-1) × 1=n.
n
，b n 1）+b 1 n-1 n-2
n
，
n+1
n
n n-1 n-1 n-2 )+ 2
=2 +2 +⋯ (Ⅱ )由（Ⅰ）知，a =n 从而 b
-b =2
=( b -b )+( b -b ⋯ +（b -b
2
2
1
．
+2+1=2 n -1．∵ . b n ?b n+2-b n 1 =(2 n -1)(2
n+2
-1)-(2
n+ 1
-1) 2= -2 n
＜ 0, ∴ b n · b n+2＜ b n
于第（Ⅱ）小 ，我 也可以作如下的 明：
2
n
n+1
2 1 =2 n+1
n
n
n+1
＝ n
n+1
）
∵ b 2=1,b n ·b n +2- b n 1 =( b n+1-2 )(b n+1+2 )- b n ·b n+1-2
·b n +1-2 ·2 2（ b n+1-2
=2n （ b n +2n -2n+1） =2n （ b n -2n ） =⋯=2n （ b 1-2） =-2 n <0，∴ b n -b n+2<b 2
n+1.
例 10 在数列 a n
中， a 1 1， a n 1
2a n 2n ．（Ⅰ） b n
a n ． 明：数列
b n
2n 1
是等差数列；（Ⅱ）求数列
a 的前 n 和 S n ．（全国Ⅰ卷第
19 ）
n
略解：（Ⅰ） b n
1
b n =
a
n 1 a n 1 =
a
n 1
2a n
=
2n
=1， b n
等差数列， b 1
1，
n
2 n
2n
2 n
2
b n n ， a n
n2n 1 ．
（ Ⅱ
）
S n
1 20
2 21
( n 1) 2n 2 n 2n 1
，
2S n 1 21 2 22
( n 1) 2n 1 n 2n
．两
式
相
减
，
得
S n
n 2n 1 20 21
2n 1
n 2n 2n 1 = (n 1)2n 1．
于例 10 第（Ⅰ）小 ，基本的思路不外乎推出后 减前 差相等，
即差是一个常数． 可
以用迭代法， 但不可由 b 2-b 1=1，b 3 -b 2 =1 等有限个的 得到
b n 等差数列的 ，
犯“以偏盖全”的 ．第（Ⅱ）小 的“等比差数列” ，在高考数列考 中出 的 率很
高，求和中运用的“ 相减”的方法，在教材中求等比数列前 n 和 出，是“等比差数列” 求和 最重要的方法．一般地，数学学 中最 重要的内容常常并不在 本身，而在于 得 一 的路径 予人 的有益启示．
例 9、例 10 是高考数学 卷中数列 的一种常 的重要 型， 似的 目 有浙江卷第 18 ，江 卷第
19 ， 宁卷第 20 等，其共同特征就是以等差数列或等比数列 依托构造新的数列．
主要考 等差数列、
等比数列等基本知 ，考 化与化 思想，
考 推理与运算能力．考 到文、理科考生在能力上的差异，
与理科 卷 重于理性思 ，
命
以一般数列 主， 以抽象思 和 思 主的特点不同； 文科 卷 重于基 知 和基本方法的考 ，以考 具
体思 、演 思 主．
例 11 等差数列 {
a n } 的各项均为正数，
a 1 3，前 n 项和为
， 为等比数列
, b 1
1，
S n { b n }
且 b 2 S 2 64, b 3S 3
1 1 1
960 ． (Ⅰ )求 a n 与 b n ； (Ⅱ ) 求和：
S 2
．（江西卷第 19
S 1
S n
题）
略解： (Ⅰ )设 { a n } 的公差为 d ， { b n } 的公比为 q ，依题意有
S 2b 2
(6 d )q 64, S 3b 3
(9 3d ) q
2
960.
d 2, 或
d
6 ,
解之，得
5 ( 舍去，为什么？ ) 故 a n 3 2( n 1) 2n 1,b n 8n 1 ． q
8;
q
40 .
3
（
Ⅱ
）
S n
3
5
n
( ，
∴
n
n 1 1
1
1 1
1
1
1 1 1 1
1
1
S 1 S 2
S n
1 3
2 4
3 5
n( n 2)
(1
3 2
4 3 5
2
1 1 ) 1
(1 1 n 1 1 ) 3
2n 3 2) ．
n
n 2
2 2
1
n 2
4
2(n 1)(n
“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．
使用解答题形式考查数列的试题，
其内容还往往是一般数列的内容， 其方法是研究数列
通项及前 n 项和的一般方法， 并且往往不单一考查数列， 而是与其他内容相综合，
以体现出
对解决综合问题的考查力度． 数列综合题对能力有较高的要求，
有一定的难度， 对合理区分
较高能力的考生起到重要的作用．
例 12 设数列
a n 的前 n 项和为 S n
2a n 2n
（， Ⅰ）求 a 1 , a 4 ；（Ⅱ）证明：
a
n 1
2a n
是等比数列；（Ⅲ）求
a n
的通项公式．（四川卷第 21 题）
略 解 ：（ Ⅰ ） ∵ a 1 S 1, 2a 1 S 1 2 ， 所 以 a 1 2, S 1 2 ． 由 2a n
S n 2n 知 ，
2a n 1 S n 1
2n 1
a n 1 S n 2n 1
得
，
a n 1 S n
2n 1
①
∴
a 2 S 1
22 2 22
6, S 2 8
，
a 3
S 2 23
8 23 16, S 3 24
，
a 4
S 3
24 40 ．
（Ⅱ）由题设和①式知，
a n
1
2a n
S n 2n 1
S n
2n
2n 1
2n
2n ， ∴
a n 1 2a n 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
（Ⅲ）
a n a n 2a n 1 2 a n 1 2a n 2
2n 2 a 2 2a 1 2n 1 a 1
n 1 2n 1
此题重点考查数列的递推公式， 利用递推公式求数列的特定项，
通项公式等． 推移脚标，
两式相减是解决含有 S n 的递推公式的重要手段，使其转化为不含
S n 的递推公式，从而有针
对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时， 还应
注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．
例 13 数列 a n 满足 a 1
0, a 2
2, a n 2 (1 cos 2
n
)a n 4sin 2 n , n 1,2,3, ,
2 2
（ I ） 求
a 3 , a 4 ， 并 求 数 列
a n
的 通 项 公 式 ；（ II ） 设
S k a 1 a 3
a k2
，
1
T k a 2 a 4
a 2k ， W k
2S k ( k N ) ，求使 W k 1的所有 k 的值，并说明理由．（湖
2 T k
南卷第 20 题）
略解：（ I ）
a 3 (1 cos 2 )a 1 4sin 2 a 1 4
4,
a 4 (1 cos 2 ) a 2 4sin 2
2a 2 4,
2 2 一般地 , 当 n = 2k
1(k
N ) 时，
a
2k
1
[1
cos 2 (2k 1)
] a 2 k 1
4sin 2 (2 k
1)
a
2 k 1
4, 即 a 2 k 1
a
2k 1
4.
2
2
所 以 数 列 a 2 k 1 是 首 项 为 0 、 公 差 为 4 的 等 差 数 列 ， 因 此 a 2k 1
4( k 1). 当
n = 2k(k
N )时， a
2 (1 cos 2
2k
)a
4sin 2 2k
2a 2k , 所以数列
a
是首项
2k
2
2k
2
2k
为 2 、 公 比 为 2
的 等 比 数 列 ， 因 此 a 2k 2k . 故 数 列
a
的 通 项 公 式 为
n
a n
2 (n
1 )n,
k2
k1 ( N
) ,
n
22 ,n
2k (k N ) .
（II ）由（ I ）知，
S k a 1 a 3
a
2 k 1
=
0 4 4( k 1) 2k (k 1), T k
a 2
a 4
a
2k
2 k
k 1
2S k
k (k 1)
2 2
2 2 2, W k
2 T k
2k 1
.
于是， W 1
0, W 2 1, W 3
3
, W 4
3
, W 5
5
, W 6 15 .
2
2
4 16
下 面 证 明 :
当 k 6
时 ，
W k
1.
事 实 上 ,
当 k 6 时 ，
W
k 1
W k
(k 1)k k (k 1)
k (3 k)
0, 即 W k 1 W k . 又 W 6
1, 所以当 k 6 时，
2k
2k 1
2k
W k 1. 故满足 W k 1的所有 k 的值为 3,4,5.
数列知识点回顾
第一部分：数列的基本概念 1．理解数列定义的四个要点
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序” ，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项 a n 与项数 n 是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 (或它的有限子集 )的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．
2．数列的通项公式
一个数列 { a n } 的第 n 项 a n 与项数 n 之间的函数关系，如果用一个公式
a n = f (n) 来表示，就把这个公式叫做数列 { a n } 的通项公式。

若给出数列 { a n } 的 通项公式，则这个数列是已知的。

若数列 { a n } 的前 n 项和记为 S n ，则 S n 与 a n
的关系是： a n =
S 1 , n 1 S n S n 1 . n。

2
第二部分： 等差数列
1．等差数列定义的几个特点：
⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差
(同一常数 )，即 d = a n －
a n 1 (n ≥2)或 d = a n 1 －a n (n N )．
⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意
n N ，a n － a n 1 = d (n ≥2)或
d = a n 1 － a n 都成立．一般采用的形式为：
① 当 n ≥2 时，有 a n －a n 1 = d (d 为常数 )．
②当 n N
时，有 a n
1
－a n = d (d 为常数 )．
③当 n ≥2 时，有 a n 1 －a n = a n － a n 1 成立．
若判断数列 { a n } 不是等差数列，只需有 a 3 －a 2 ≠ a 2 －a 1 即可．
2．等差中项
若 a 、A 、b 成等差数列，即 A=
a
b
，则 A 是 a 与 b 的等差中项；若 A=
a
b ，
2 2
a 、A 、
b 成等差数列，故 A=
a b
是 a 、A 、b 成等差数列，的充要条件。

由
2
于 a n =
a n 1
a n 1
，所以，等差数列的每一 都是它前一 与后一 的等差中 。

2
3．等差数列的基本性
⑴公差 d 的等差数列，各 同加一数所得数列仍是等差数列，
其公差仍
d ．
⑵公差 d 的等差数列，各 同乘以常数 k 所得数列仍是等差数列， 其公差
kd ．
⑶若 { a n } 、{ b n } 等差数列， { a n ±b n } 与{ka n ＋b}(k 、b 非零常数 )
也是等差数列．
⑷ 任何 m 、n
N ，在等差数列 { a n } 中有： a n = a m + (n － m)d ，特 地，
当 m = 1 ，便得等差数列的通 公式，此式 等差数列的通 公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果 l ，k ，p ，⋯， m ，n ，r ，⋯皆 自然数，且
l + k + p + ⋯
= m + n + r + ⋯ （两 的自然数个数相等） ，那么当 {a n } 等差数列 ， 有：a l +
a k + a p + ⋯ = a m + a n + a p + ⋯ ．
⑹公差 d 的等差数列，从中取出等距离的 ， 构成一个新数列， 此数列仍是等差数列，其公差 kd( k 取出 数之差 )．
⑺如果 { a n } 是等差数列，公差 d ，那么， a n ， a n 1 ，⋯， a 2 、a 1 也是等
差数列，其公差 － d ；在等差数列 { a n } 中，a m l －a l = a m k － a k = md ．(其中
m 、 k 、 l N )
⑻在等差数列中，从第一 起，每一 (有 数列末 除外 )都是它前后两 的等差中 ．
⑼当公差 d ＞0 ，等差数列中的数随 数的增大而增大； 当 d ＜ 0 ，等差数列中的数随 数的减少而减小； d ＝0 ，等差数列中的数等于一个常数．
⑽ a l ，a m ，a n 等差数列中的三 ，且
a l 与 a m ，a m 与 a n 的 距差之比
l m = （
≠－ 1）， a m =
a l a n
．
m
n 1
4．等差数列前 n 和公式 S n =
n(a 1
a n )
与 S n = na 1 ＋
n(n
1)
d 的比
2
2
前 n 和公式
公式适用范 相同点
n( a1a n )用于已知等差数列的首和末都是等差数
列的前 n
S n =
2和公式
S n = na1＋n(n 1)
d用于已知等差数列的首和公差2
5．等差数列前 n 和公式 S n的基本性
⑴数列 { a n } 等差数列的充要条件是：数列{ a n } 的前 n 和 S n可以写成
S n = an2 + bn 的形式 (其中 a、b 常数 )．
⑵在等差数列 { a n }中，当数2n (n N*)，偶－S 奇，S奇=a n；
S= nd
S偶a n1
当数 (2n－ 1) (n N)， S偶－ S 奇 = a n，S奇n
．S偶
=
n 1
⑶若数列 { a n } 等差数列， S n， S 2n－S n，S 3n－S 2 n，⋯仍然成等差数列，公差 n 2 d ．
⑷若两个等差数列 { a n } 、 { b n } 的前 n 和分是 S n、 T n (n 奇数 )，
S n
a n1 =2．
T n b n1
2
⑸在等差数列 { a n } 中， S n = a，S m = b (n＞m)， S m n = n m
(a－b)．n m
⑹等差数列 {a n } 中，S n
是 n 的一次函数，且点（n，
S n
）均在直 y =
d
n n
x +
2
(a1－d )上．2
⑺ 等差数列 {a n } 的前 n 和 S n．①若 a1＞0，公差 d＜ 0，当 a n≥ 0
且 a n1≤0 ， S n最大；②若 a1＜0，公差 d＞ 0，当 a n≤0 且 a n1≥0 ，S n最小．
第三部分：等比数列
1．正确理解等比数列的含
⑴q 是指从第 2 起每一 与前一 的比， 序不要 ，即 q =
a n
1
(n N )
a n
或 q =
a n
≥ ．
a n
(n 2)
1
⑵由定 可知，等比数列的任意一 都不 0，因而公比 q 也不 0．
⑶要 明一个数列是等比数列， 必 任意 n
N
，
a
n 1
；或 a n
= q (n a n
= q
a n 1
≥ 2)都成立．
2．等比中 与等差中 的主要区
如果 G 是 a 与 b 的等比中 ，那么
G
b ，即 G
2
，
G =
± ab ．所以，
a =
= ab
G
只要两个同号 的数才有等比中 ， 而且等比中 有两个， 它 互 相反数； 如果
．．
A 是 a 与 b 的等差中 ，那么等差中 A 唯一地表示 A=
a
b
，其中， a 与
b
2
没有同号 的限制．在 里，等差中 与等比中 既有数量上的差异，
又有限制条
．．
件的不同．
3．等比数列的基本性
⑴公比 q 的等比数列，从中取出等距离的 ， 构成一个新数列， 此数列仍 是等比数列，其公比
q m ( m 等距离的 数之差 )．
⑵ 任何 m 、n
N ，在等比数列
{ a n } 中有：
· n m
，特 地，当
a n = a m q
m = 1 ，便得等比数列的通 公式， 此式 等比数列的通 公式更具有普遍性．⑶一般地，
如果 t ， k ， p ，⋯， m ， n ， r ，⋯皆 自然数，且 t + k ， p ，⋯，
m + ⋯ = m + n + r + ⋯ (两 的自然数个数相等 )，那么当 {a n } 等比数列 ，
有： a t ．a k ．a p ．⋯ = a m ．a n ． a p ．⋯ ．．
⑷若 { a n } 是公比 q 的等比数列， {| a n |} 、{a 2n } 、{ka n } 、{
1
} 也是等 a n
1
比数列，其公比分 | q |}、{q 2 } 、{q} 、{
} ．
⑸如果 { a n } 是等比数列，公比 q ，那么， a 1 ， a 3 ，a 5 ，⋯， a 2 n 1 ，⋯是
以 q 2 公比的等比数列．
⑹如果 { a
n }
是等比数列，那么 任意在 n N ，都有
·
2
·2 ＞0．
a n a
n 2 = a n q
数列的公比的 ．
⑻当 q ＞1 且 a 1 ＞0 或 0＜q ＜1 且 a 1 ＜0 ，等比数列 增数列； 当 a 1 ＞ 0 且 0＜q ＜1 或 a 1 ＜0 且 q ＞1 ，等比数列 减数列； 当 q = 1 ，等比数列
常数列；当 q ＜0 ，等比数列 数列．
4．等比数列前 n 和公式 S n 的基本性
⑴如果数列 {a n } 是公比 q 的等比数列，那么，它的前
n 和公式是
na 1 , 当 q 1 时 ,
S n
=
a 1 (1 q n )
, 当 q 1时 .
1 q
也就是 ，公比 数 ，分段的界限是在弄清公比 q 是可能等于 ≠ 1 行 ．
q 的等比数列的前 n 和公式是 q 的分段函数的一系列函 q
= 1 ．因此，使用等比数列的前 n 和公式，必 要
1 是必不等于 1，如果 q 可能等于 1， 需分 q = 1 和 q
⑵当已知 a 1 ，q ，n ，用公式 S n =
a 1
(1
q n )
；当已知 a 1 ，q ，a n ，用
1 q
公式 S n =
a 1
a n
q
．
1 q
⑶若 S n 是以 q 公比的等比数列， 有 S n m = S m ＋qS n ．⑵
⑷若数列 { a n } 等比数列，
S n ， S 2n －S n ，S 3n －S 2 n ，⋯仍然成等比数
列．
⑸若 数 3n 的等比数列 (q ≠－ 1)前 n 和与前 n 分 S 1 与 T 1 ，次 n 和与次 n 分 S 2 与 T 2 ，最后 n 和与 n 分 S 3 与 T 3 ， S 1 ， S 2 ，S 3 成等比数列， T 1 ，T 2 ，T 3 亦成等比数列．
二、 点突破
1．并不是所有的数列都有通 公式，一个数列有通 公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几 ， 个数列的通 公式更不是唯一的．
2．等差 (比)数列的定 中有两个要点：一是“从第 2 起”，二是“每一 与它前一 的差 (比 )等于同一个常数” ． 里的“从第 2 起”是 了使每一 与它前面一 都确 存在，而“同一个常数” 是保 至少含有 3 ．所以，一 个数列是等差 (比)数列的必要非充分条件是 个数列至少含有 3 ．
3．数列的表示方法 注意的两个 ：⑴
{ a n } 与 a n 是不同的，前者表示
数列 a1，a 2，⋯，a n，⋯，而后者表示个数列的第n ；⑵数列 a1，a 2，⋯，
a n，⋯，与集合 { a 1，a 2，⋯， a n，⋯， } 不同，差有两点：数列是一列有序
排布的数，而集合是一个有确定范的整体；数列的有明确的序性，而集合的元素没有序性．
4．注意元的技巧，等比数列的奇数个与偶数个有区，即：
⑴ 奇数个的等比数列，若已知其 S，通常⋯， aq 2， aq 1，
a，aq， aq2，⋯；
⑵偶数个同号的等比数列，若已知其 S，通常⋯，aq 3， aq 1，
．．
aq， aq3，⋯．
5．一个数列等比数列的必要条件是数列各均不 0，因此，在研究等比数列，要注意 a n≠0，因当 a n = 0 ，有 a2n = a n 1·a n 1成立，但{a n }
不是等比数列，即“ b 2 = a ·c”是 a、b、 c 成等比数列的必要非充分条件；比等差数
列 {a n } ，“2b = a + c”是 a、b、 c 成等差数列的充要条件，一点同学
要分清．
6．由等比数列定知，等比数列各均不0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“ 0”．等比数列的前 n 和公式含着分思想，需分分 q = 1 和q≠1 行分，在具体运用公式，常常因考不周而出．
数列基础知识定时练习题
（满分为100 分 +附加题 20 分，共 120 分；定时练习时间120 分钟）
一、选择题（本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．下列四个数中，哪一个是数列{ n( n1) }中的一项（）
（A ） 380（ B） 39（ C） 35（D ）23
2．在等差数列{ a n}中，公差d 1 ， a4a17 8 ，则 a2a4 a6a
20的值为（）
（ A ） 40（ B ）45（ C） 50（ D） 55 3．一套共 7 册的书计划每 2 年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（）
4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的
2 倍，又它的首项为
1，且
中间两项的和为 24，则此等比数列的项数为（ ）
（ A ） 12
（ B ）10
（ C ） 8
（ D ） 6 2
2
的等比中项，又是
1
与
1 的等差中项，则
a b
的值是（
）
5．已知 1 是 a 与 b a b 2
2
a b
（ A ）1 或
1
（ B ）1 或
1 （C ） 1 或
1
（D ）1 或
1
2
2
3
3
6．首项为－ 24 的等差数列，从第
10 项开始为正，则公差 d 的取值范围是（
）
（A ） d
8
（ B ） d 3
（ C ） 8
≤ d 3
（D ）
8
d ≤ 3
3
3 3
7． 如果 -1 ， a,b,c ,-9 成等比数列，那么（
）
（ A ） b =3, ac =9 (B) b =-3, ac =9 (C) b =3, ac =-9 (D) b =-3, ac =-9
8． 在等差数列｛ a n ｝中，已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13 ，则 a 4 +a 5 +a 6 等于（
）
A.40
B.42
C.43
D.45
9．已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为
30，则其公差为 （
）
A.5
B.4
C. 3
D. 2
10． 若互不相等的实数 a,b, c 成等差数列， c, a,b 成等比数列，且 a 3b c 10 ，则 a
（
）
A ． 4 B
． 2 C ．－ 2
D
．－ 4
11． 在等比数列｛ a n ｝中 ， a 1＝ 1， a 10＝ 3，则 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 = （
）
A. 81
B.
27 5 27
C.
3
D. 243
12． 在等比数列
a n 中 , a 1 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列
a n 1 也是等比数列 ,则 S n 等于（ ）
(A) 2n
1
2
(B) 3n
(C)
2n
(D) 3n
1
【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

13．设
a n 是公差为正数的等差数列， 若 a
a
a
3 15 ，a a a
80 ，则 a a
a
1
2
1 2 3
1
2131
（ ）
A ． 120
B ．
105
C
． 90
D
．
75
14． 设 S n 是等差数列
a n 的前 n 项和，若 S 7 35 ，则 a 4
（ ）
A ． 8
B ． 7
C
． 6
D
． 5
15．S n是等差数列｛a n｝的前n和，若S31S6
＝（）＝
3
，
S6
S
12
（）3
（）
1
（）
1
（）
1
A
10B3 C 8D9二、填空（本大共 5 小，每小 3 分，共15 分 .把答案填在中横上）
1．在数列{ a n}中，a n1，且 S n 9
， n．
n n1
2．等比数列{ a n}的前三x，2x 2 ， 3x 3 ， a4
3．若数列 a n足： a11, a n 12a n .n1， 2， 3⋯ . a1 a2a n. 4．S n等差数列a n的前 n 和，S4＝ 14， S10－S7＝ 30， S9＝. 5．在数列{ a n}中，若a11， a n 1a n2(n1) ，数列的通a n。

三、解答（本大共 4 小，每小10 分，共40 分）
1．已知a n等比数列，a32, a2a420
的通式。

，求 a n
3
2．等比数列a n的前n和S n，S41,S817, 求通项公式 a n?
2
3．已知正数列{a n}，其前n和S n足10S n=a n+5a n+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{a n} 的通a n .
4．数列
a n的前n和 S n , a11,a n 12S n 1 n1
（Ⅰ）求a n的通公式；
（Ⅱ）等差数列b n
的各正，其前 n 和T n
，且
T315
，又
a1 b , a2b ,3a 3 b
1 2
成等比数列，求T n
本小主要考察等差数列、等比数列的基知，以及推理能力与运算能力。

分12分。

1. A
2.B
3.D
4.C
5.D
6.D
7.B
解：由等比数列的性质可得
ac ＝（－ 1）×（－ 9）＝ 9，b × b ＝ 9 且 b 与奇数项的符号相同，
故 b ＝－ 3，选 B 8.B
解：在等差数列 a n 中，已知 a 1 2,a 2 a 3 13,∴ d=3，a 5=14 ， a 4 a 5 a 6 =3a 5=42，选 B.
9.C
5a 1 20d 15 10. D
解：
25d
d 3 ，故选 C.
5a 1 30
解：由互不相等的实数 a,b,c 成等差数列可设 a ＝ b －d ， c ＝b ＋ d ，由 a 3b c 10 可得 b
＝2，所以 a ＝ 2－ d ，c ＝ 2＋ d ，又 c, a, b 成等比数列可得 d ＝ 6，所以 a ＝－ 4，选 D
11.A
解：因为数列｛ a n ｝是等比数列，且
a 1＝ 1， a 10＝ 3，所以 a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9 ＝
（a 2a 9）（a 3a 8）（ a 4a 7）（ a 5a 6）＝（ a 1a 10） 4＝ 34＝ 81，故选 A 12.C
【解析】因数列
a n 为等比，则 a n 2q n 1 ，因数列 a n 1 也是等比数列，
(a n 1 1)
2
(a n 1)(a n 2
1) a n 12 2a n 1
a n
a
n 2
a n
a
n 2
a n
a n 2
2a
n 1
a n (1 q
2
2q) 0
q 1
即 a n 2 ，所以 S n 2n ，故 答案 C 。

13. B
【解析】
a n
是公差 正数的等差数列，若
a 1
a 2 a 3 15 ， a 1a 2a 3 80 ， a 2 5 ，
aa
(5 d)(5 d)
16，∴ d=3 ， a
a
10d
35， a 11
a
12
a
13
105
， B.
1
3
12
2
14. D
【 解 析 】 S n 是 等 差 数 列 a n 的 前 n 和 ， 若 S 7 7a 4 35, ∴ a 4 5 ，D.
15.A
解析 :由等差数列的求和公式可得
S 3 3a 1 3d 1 ,可得 a 1 2d 且 d 0
S 6 6a 1 15d
3
S 6 6a 1 15d 27d
3
,故 A
所以
12a 1 66 d
90d
S
12
10
二、填空
1. 99
2.
27
2
3.
解：数列 a n 足： a 1 1,a n 1 2a n , n 1 ， 2， 3⋯， 数列 公比
2 的等比数列，
∴ a 1
a 2
a n
2n 1 2n 1 .
2 1
解： 等差数列
的首 1，公差 d ，由 意得
4(4
1) 14,
a n 4a 1
d 4.
a
2
[10a 1 10(10 1) d] [7a 1
7(7 1) d] 30， 立解得 a 1=2,d=1 ，所以 S 9＝ 9
2 9(9 1) 1 54
2 2
2
5.解：由 a n 1 a n
2(n 1)可得数列 { a n } 公差
2 的等差数列，又 a 1
1，所以 a n 2n － 1
三、解答
a 3 2
1.解 : 等比数列 {a n } 的公比 q,q ≠ 0, 2a= q = q , a 4=a 3q=2q
所以
2
20
1
, q 2= 3,
q + 2q= 3 , 解得 q 1=3
1 1 ) n － 1 18 3－
n .
当 q 1=
, a 1=18.所以 a n =18 ×(
= n －
1 =
2 ×3
3 3 3
2 2
n －
3
当 q=3 , a 1= 9 , 所以 a n =9 ×3n － 1=2 ×3 .
2.解：
{ a }
的公比 q ，由
S
1,S 17知 q 1
，所以得 a 1 (q 4 1) 1⋯①
n
4
8
q 1
a 1 (q 8 1)
q 8 1
17 解得
4
q 1
17 ⋯⋯②由①、②式得整理得
1
q 16
q 4
所以 q ＝ 2 或 q ＝－ 2
将 q ＝ 2 代入①式得 a 1
1
，所以 a
2n 1
15
15 将 q ＝－ 2 代入①式得 1 ( 1)n 2n 1
a 1
，所以 a n
5
5
3.解析：解
2
+5a n +6 ， ①
2
+5a 1+6，解之得 a 1=2 或 a 1=3．
: ∵ 10S n =a n ∴ 10a 1=a 1
又 10S n － 1=a n － 12+5a n － 1+6( n ≥ 2)，②
由①－②得 10a n =(a n 2 －a n － 12)+6( a n － a n － 1)，即 (a n +a n －1 )(a n － a n －1 －5)=0
∵ a n +a n － 1>0 ， ∴ a n － a n － 1=5 (n ≥ 2)．
当 a 1=3 ， a 3=13， a 15=73． a 1， a 3， a 15 不成等比数列∴
a 1≠ 3;
当 a 1=2 ， a 3=12， a 15=72 ， 有 a 3 2
=a 1a 15 ， ∴ a 1=2， ∴ a n =5n －3． 附加
解 :
引入字母 , 化 数列模型 .
第 n 次去健身房的人数
a n ，去 室的人数
b n ， a n b n
150 .
a n
9
a n 1
2
b n 1
9
a n 1
2
(150 a n 1 )
7
a n 1 30即a n
7
a n 1 30
.
10
10
10
10
10
10
a n
100
7
(a n 1 100)
，于是
a n 100 (a 1 100)( 7 )n 1
10
10
即
a n 100 ( 7
)
n 1
(a 1 100) . 10
lim a n
100 .故随着 的推移，去健身房的人数 定在
100 人左右 .
n
4. 解 ：（ Ⅰ ） 由 a n 1 2S n 1 可 得 a n 2S n 1
1n2， 两 式 相 减 得
a n 1 a n 2a n , a n 1 3a n n 2
又 a 2
2S 1 1 3 ∴ a 2
3a 1
故 a n 是首 1，公比 3 得等比数列
∴ a n
3n 1
实用文档（Ⅱ）设b n的公差为 d
由 T315 得，可得 b1b2b315，可得 b2 5
故可设
b15d ,b35d
又 a11,a23, a39
由题意可得5d15 d 95
2 3
解得 d12, d210
∵等差数列b
d0
n 的各项为正，∴
∴d 2
∴
T n3n n n 1 2 n22n
2
文案大全。