解析几何发展史

浅谈解析几何发展简史及其教育启示

作者：罗兵

专业:数学与应用数学

年级：2014级三班

学号：1429140321

摘要：解析几何学的发展历史是一部人类认识世界,改造世界的壮丽史诗.它发源于四大文明古国,历经了由感性上升到理性的曲折.几何学历经千百年沧桑,却依旧生机勃勃,其根本性原因就在于它是启迪人类智慧的最有价值的教科书,其不可替代的教育价值是其生命源泉。

关键词：变量数学，变数，解析几何

开篇话：

当笛卡尔创立了坐标系，当变量引入数学，数学从此走上了一个新的发展期，这就是变量数学的时期。恩格斯对此曾经作过评价:"数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微积分也就立刻成了必要的了，……"

一·背景

解析几何是自然科学和工程技术中一种最基本的数学工具，它的产生和发展，曾在数学发展过程中起过重要的作用。

解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。解析几何产生数学自身的条件：几何学已出现解决问题的乏力状态；代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度.解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。在17世纪初期，虽然许多优秀的数学家了解到这种需要，并已接触了一些解析几何的概念，但其中较先认识到创建解析几何这门新学科的是法国的数学家笛卡儿(R．Descartes，1596～1650)、费马(P．de Fermat，1601～1665)。他们的出发点不同，但却殊途同归。

二·历程

（一）笛卡尔的思想

法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650)和费马（fermat，1601-1665）作出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。1637年，笛卡尔发表哲学著作《更好地指导和寻求真理的方法论》（简称《方法论》），《几何学》作为其附录之一发表.笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却是地道的解析几何．笛卡尔的解析几何有两个基本思想：（１）用有序数对表示点的坐标；（２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线。费马是一位业余数学家，但他的数学成就在17世纪数学史上非常突出，为微积分、概率论和数论的创立和发展都作出了最重要的贡献。早在笛卡尔的《几何学》发表以前，费马已经用解析几何的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充．他通过引进坐标，以一种统一的方式把几何问题翻译为代数的语言——方程，从而通过对方程的研究来揭示图形的几何性质．费马所用的坐标系与现在常用的直角坐标系不同，它是斜坐标，而且也没有y 轴

（二）变数的引入

解析几何的创建，最重要的一点是在数学中引进了变数。变数的引入，成为数学发展的一个转折点，并促进了微积分的发展。由于笛卡儿和费马在解析几何中引进了变数的概念，并把描述运动的函数关系和曲线问题的研究统一起来。从而，关于求速度和路程这类问题，就可以化为求切线和求面积的问题。于是，解决生产实践中提出的有关运动变化的一些问题，就可以应用数学上的这些成果。由于解析几何产生，和在长期积累的大量数学成果的基础上，牛顿( Newton 1642—1707)和莱布尼兹(Leibniz 1646—1716)于17世纪后期建立了微积分。解析几何和微积分的出现，使得实践中很多问题变得容易解决了，它们从本质上改变了当时的数学面貌。解析几何和微积分的出现，实现了常量数学向变量数学的飞跃。因此，微积分的出现是建立和发展变量数学的又一个伟大成就。

（三）解析几何对实际生活的作用

由于生产和科学实践的需要，解析几何有了广泛的应用，因而不断地发展起来，较早把解析几何推向前进的是牛顿，他在1704年，对于二次和三次曲线理论进行了较系统的研究。特别是，得到了“直径”的一般理论。例如，二次曲线的平行弦中点的轨迹是直线，这个结论，对于椭圆、双曲线、抛物线都是正确的。对于这个早已熟知的命题，要用综合几何的方法来论证是非常困难的，但用解析几何的方法却很容易就证明了。这也显示了解析几何的作用。

（四）后续发展

1748年，著名的数学家欧拉(Euler 1707—1783)在他的《分析引论》著作中，论述并发展了解析几何，他不仅对二次曲线进行了详细讨论，而且还研究了高阶曲线。他讨论了坐标的平移和旋转，并且得出在坐标变换下，方程的次数不会改变。同时，欧拉还在他的书中详细讨论了带两个变量的二次方程总可以化成9种标准形式中的一种。也就是对平面曲线作了分类。

在欧拉之后，拉格朗日(Lagrange 1736— 1813)对解析几何的发展作出了重大贡献。他把力、速度、加速度表示为有向线段。有向线段沿坐标的分解系数或有向线段在轴上的射影是一组数。这样，有向线段就可以和数组对应起来，也就是所谓的“算术化”由于数学和物理在电学的影响下，广泛地讨论和使用了有向线段的理论，因此，后来就被称为向量。向量理论现已成为解析几何的主要组成部分。

解析几何从产生到现在，经过漫长的发展道路。现代的解析几何无论是方法还是内容已发生了很大的变化。方法更加多样，内容更加丰富和广泛，特别是具有重要意义的变换、变换群以及不变量的理论已被引入解析几何。因而，仿射几何、射影几何已成为解析几何的一部分。它们在研究几何图形的仿射、射影性质，在研究二次曲线和二次曲面的分类理论，以及建筑、测绘等方面都有广泛的应用。

解析几何的发展，虽然较为完善，但并不是到了尽头。作为普通的解析几何的延续和推广，早已出现了代数几何，现在作为教科书范围的解析几何，只不过是其中极其初浅的一部分罢了。

三·教育启示

（一）几何学的教育价值在于理解命题导致发现

几何学作为世界文明史上的一个科学系统,经历了上千年的千锤百炼.几何学所具有的深刻的逻辑结构、丰富的直观背景和鲜明的认知层次,使直觉和形式化产生了十分特殊的联系,使得几何学成为启发逻辑思维和培养演绎推理能力的最有效的途径.它可以帮助人们在混沌中找到秩序,按逻辑推理求得规律.几何学从简单而清楚的基础出发,运用推理的方法,有顺序地导出一系列重要的推断,这些推断不仅有着广泛的应用领域,

而且使人们在这变幻莫测的世界上体验到数学的确定性.几何证明的含义并不在于检验核实几何命题的真假性,而在于理解命题,启迪思维,交流思想,导致发现.几何学的教育价值也正体现在其内容的直观性、难度的层次性、真假的实验性以及推理过程的可预见性.正因为如此,几何教育有助于发展学生演绎推理和逻辑思维的能力,有助于培养学生的直觉思维能力和养成良好的思维习惯,有助于学生形成数学理解能力、交流能力和探究能力

（二）几何教育的目标是培养人的科学精神

人类文明首先在黄河流域的中国、幼发拉底河与底格里斯河的马伦比、印度河与恒河的印度、尼罗河下游的埃及诞生,几何学也首先是在这些地方产生的,它历尽了千百年沧桑。纵观世界几何学的发展历史,一部几何学正是一部人类认识世界、改造世界的壮丽史诗.无数数学家为追求真理而顽强奋搏,为坚持真理而甘洒热血,为忍受模糊而耗尽年华,为造福人类而探究创新.其执著追求的科学精神价值是不可估量的,几何学教育价值的核心也正在于此.几何学的发展历史不仅表明了它是世界文明史上的一个科学体系,也表明了它是人类最为丰富、最为宝贵、最有价值的精神财富.正因为如此,几何教育有助于学生“品格的塑造”;有助于促使学生学会“有理想的生活”;有助于培养学生献身于科学的精神;有助于培养学生的爱国主义精神;有助于使学生牢固地树立起为祖国和为人民而奋斗的理想,并坚韧不拨地为实现这种理想而奋斗。

参考文献L李文林．《数学史教程》，高等教育出版社．2001．2．梁宗巨．《世界数学通史》，辽宁教育出版社．1996