幂函数的图像与性质
幂函数图像及性质总结幂函数九个基本图像幂函数比较大小的方法
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
幂函数图像与性质
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2)
x1
x2
(
x1
x2 )(
x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
(4)
1
y x2
(5)
y x1 (6) y x2
函数 y x的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数 在(,0]上是减函数
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、α为奇数时,幂函数为奇函
数,
-3
α为偶数时,幂函数为偶函
数.
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
幂函数图像(课堂PPT)
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
12
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
13
( 4 y x 3 ( y x 2
- - 6 - 4 2 2 4 6
- 在第一象限1 内， ( 当α>0时，图象随x增大而- 上升。
- 当α<0时，2 图象随x增大而下降
-3
-4
19
不管指数是多少( , 4 y x 3 ( -
图象都经过哪个
y x 2
定点?
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - - y= x0
- - 6 - 4 2 2 4 6
3 y
2
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
( x 0 1 2 - 4
-2
1
- y x 2 0
1 22
3
-4
14
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y
2
( ( 1 ( - 1
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
15
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
m2
舍去m1
22
例5. 利用单调性判断下列各值的大小。
第四单元_第三节_幂函数的图像及其性质
像 及
正向逐渐上升；当 0时，幂函数 y x 的图
性
像沿 x 轴的正向逐渐下降。
质
函数性质：（1） x 1时， y 1。
（2）当 0 时，幂函数 y x 在 (0, ) 上单调增加；
当 0时，幂函数 y x 在 (0, ) 上单调减少。
作业布置 巩固练习
巩固练习
2.53 2.63
1
逐渐下降。
新课探究 启发解疑
图像性质
（1） x 1时， y 1。
（2）当 0时，幂函数 y x 在(0, ) 上单 调增加；当 0时，幂函数 y x 在(0, )上
单调减少。
温馨提示 小结反思
知识点小结
函 图像性质：（1）图像都经过点 (1,1) 。
数 图
（2）当 0 时，幂函数 y x 的图像沿 x 轴的
1 x2
，所以
y
x2的定义域为,0 (0, ) 。
列表如下：
x … 2 1 1 1 1 2 … 22
y…1
1
4
4
1
1
…
4
4
以表中的每一组 x ， y 的值为点的坐标， 描出相应的点，用光 滑的曲线联结这些 点，得到函数 y x2 的图像，如图所示。
新课探究 启发解疑
归纳提升
仿例 1、例 2 在同一坐标系中画出函数 y x3、 y x2 、y x 、
1
3.7 5 3.8 5
比较下列每组中两个数的大小：
（1）2.53和2.63； 答案
（2）3.7
1 5
和3.8
1 5
；
答案
1
1
7.53 7.63
1
1
（3）7.53 和7.63；
幂函数图像及其性质
幂函数图像及其性质幂函数是一种常见的数学函数形式，它的数学表达式为f(x)=ax^b，其中a和b是实数，且a不等于零。
幂函数的图像展示了函数的特性和行为，这对我们进一步了解和应用幂函数有着重要意义。
一、幂函数的图像及其特征通过观察幂函数的图像，我们可以得到以下几个基本特征：1. 幂函数的图像总是通过点(0,0)。
当x等于零时，幂函数的结果总是零。
2. 当b为正数时，幂函数的图像从左上方向右下方斜率逐渐减小，渐近于x轴。
这是因为幂函数中的x不断增大时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
3. 当b为负数时，幂函数的图像从右上方斜率逐渐减小，渐近于x 轴。
这是因为幂函数中的x不断减小时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
4. 当b为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且有一个最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的平方等于0或者正数。
5. 当b为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且没有最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的绝对值在整个定义域内都为正。
二、幂函数图像的变化规律1. 当a大于0时，幂函数的图像在整个定义域内为正。
随着b的增大，幂函数的图像变得平缓，斜率逐渐减小；随着b的减小，幂函数的图像变得陡峭，斜率逐渐增大。
2. 当a小于0时，幂函数的图像在整个定义域内交替在x轴上方和下方。
随着b的增大或减小，幂函数的图像也会随之变化。
3. 当a等于1时，幂函数的图像变成了恒等函数的图像y=x。
即幂函数退化为y=x的特例。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集R，值域取决于a和b 的取值范围。
2. 奇偶性：当b为偶数时，幂函数是偶函数，关于y轴对称；当b 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称。
3. 单调性：当b大于0时，幂函数在整个定义域内是单调递增的；当b小于0时，幂函数在整个定义域内是单调递减的。
4. 渐近线和交叉点：当b大于0时，幂函数的图像会渐近于x轴；当b小于0时，幂函数的图像会与x轴交叉于一个点，并渐近于x 轴。
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数图像及性质总结：对任意实数，有|其中，是一个整系数多项式；分别表示 x 的函数，它们是奇函数。
那么，这些系数和就称作二次函数的解析式。
因此，上述公式也可写成如下形式：，故得到常见的二次函数解析式（这里假设两边取常量）。
对于任何的正整数 n，二次函数都有一种特殊的、唯一确定的表达式，称为该正整数的函数表达式。
在大部分情况下，所谓的“初等函数”即指这类特殊的函数。
当然，并非所有的函数都具备这样的性质。
其中，表示第 k 个正整数的 n 次方，表示与它相乘后的积。
由幂的定义知道：令，则：可得出，它又可以看作是积的三角函数，且：根据定义，当时，有当时，同理。
又因为幂函数的底数只能是整数或正整数，故实际上，只要是整数，我们都能找到某个幂函数的一种对应关系，使之转化为的一种表达式。
从而也证明了积与有一种特殊的联系。
令，则函数变为，积变为，我们将积的对应系数称作被乘积的幂函数。
对于正整数 m，存在 k 个自然数，使得：此外，若能够给出幂函数解析式中的整数部分，就可以把整数表达式中的一般式移项，最终得到幂函数解析式。
换句话说，如果已知整数的幂函数解析式，我们通过计算就可以求出整数的值。
这样做会比较繁琐，但事实上，利用这种思想还是很容易得出整数解的。
另外，运用幂函数也可以计算与实数的乘积。
一个重要的原因是它很简单。
不妨以下面的三角函数为例，说明幂函数解析式与指数函数解析式之间的联系。
因为，，所以它也必须满足；令，得到。
进而得到；再者，，所以。
即它是。
由前面的几点，我们可以归纳出指数函数与幂函数的对应规律。
幂函数有许多性质：在许多场合都会遇到某个函数，但求出它的对应系数却十分困难，需借助一些常见的解析式来判断；还有，很多复杂函数的解析式也往往含有它的对应系数；更甚至，当你尝试去求某个指数函数的对应系数时，发现竟无法列举出可靠的对应系数。
幂函数与指数函数的互逆定理则为这些问题提供了完美的答案：已知：对任意实数，，且对于任意的实数，均有。
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它是指形式为f(x)=ax^k的函数，其中a 为非零实数，k为实数。
幂函数在数学中具有广泛的应用，在图像的研究中，掌握幂函数的图像及其性质是非常重要的。
首先，我们来看幂函数的图像特点。
当k为正数时，幂函数的图像呈现出“增长”或“递减”的趋势。
当k>1时，曲线会明显上升，形成类似于指数函数的图像特征。
而当0<k<1时，曲线则会下降，但下降的速率逐渐减慢。
特别地，当k=1时，幂函数成为一次函数，即f(x)=ax，其图像为一条直线。
此外，当k为负数时，幂函数的图像则出现在第二、第四象限，并且具有对称轴。
接下来，我们来讨论幂函数的性质。
首先，我们来看函数的定义域和值域。
由于幂函数的底数a不能为零，函数的定义域为除以0的集合，即R-{0}。
而幂函数的值域则依赖于指数k的正负情况。
当k为正数时，函数的值域为正实数集(0,+∞)。
当k为负数时，函数的值域为(0, +∞)的实数集。
由于底数a的正负情况也会影响函数的关系，故在具体分析时需要考虑a的取值范围。
其次，我们来讨论幂函数的奇偶性。
当指数k为偶数时，幂函数f(x)=ax^k是一个偶函数，即满足f(x)=f(-x)。
这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=x^k，从而f(x)=ax^k=f(-x)。
相应地，当指数k为奇数时，幂函数f(x)=ax^k是一个奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。
这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=-x^k，从而f(x)=ax^k=-ax^k=-f(-x)。
进一步地，我们来讨论幂函数的增减性和极值点。
当指数k为正数时，幂函数在定义域上是递增的。
当a>1时，函数的增长速度更快；当0<a<1时，函数的增长速度更慢。
而当指数k为负数时，幂函数在定义域上是递减的。
在图像上，幂函数具有一个最小值或最大值，该点称为极值点。
当k为偶数时，函数的极值点出现在定义域的最小值点，当k为奇数时，函数的极值点出现在定义域的最大值点。
幂函数的图像和性质 纪福双【打印】
（1）幂函数的定义: （2）幂函数的图象
纪福双
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．
（3）幂函数的性质： ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图 象关于 y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第 一象限． ②过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1) ． ③单调性：如果 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 [0, ) 上为增函数．如果 0 ，则幂函数的图象在 (0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与 y 轴． ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，
大行不倦呕心沥血传道授业解惑！大思行广打通大脑思维的任督二脉，大行无疆捍卫中国文化最后良心！第 1 页
q p q p
q p
⑤图象特征： 幂函数 y x , x (0, ) ，当 ，若 x 1 ，其图象在直线 y x 上方，当 1时，若 0 x 1 ，其
图象在直线 y x 上方，若 x 1 ，其图象在直线 y x 下方．
q （其 p 中 p, q 互质， p 和 q Z ） ，若 p 为奇数 q 为奇
当 为偶数时， 幂函数为偶函数． 当 数时，则 y x 是奇函数【简称：奇，奇，奇】 ， 图像位于一三象限，关于原点对称。若 p 为奇 数 q 为偶数时， 则 y x 是偶函数， 【简称： 偶， 奇，偶】 ，图像位于一二象限，关于关于 y 轴对 称。 ； 若 p 为偶数 q 为奇数时， 则 y x 是非奇 非偶函数【简称：奇，偶，非】 ，图像只在第一 象限．
幂函数图像与性质
例 1.证明幂 f(x函 ) 数 x在 [0, )上是增 . 函
证 : 任 x 1 明 ,x 2 [ 取 0 , ) 且 , x 1 x 2 , 则
f(x1)f(x2)x1x2
(
x1
x2)( x1 x1 x2
x2)
x1 x2 x1 x2
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8 （(23）) 0.20.-32 与 0.3-20.3
2.5 5 与 2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 <
5.3(02.8)y=x0.3在(0,∞)内是增函
数
∵(30).y2=<x0-.23/5∴在0(.02,0∞.3)内<0是.3减0.3函数
单调性：
在{x x 0}上是奇函数
在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3
y=x1/2
… -2 -1 0 … - -1 0 … 8/ / 0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2 -4 -6 -8
12 18 12 y= x3
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
增函数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)， (0, +∞）上 是减函数
公共点
（1，1）
y x2
(-2,4)
y x3
4
幂函数的概念及其图像
3.3幂函数知识点一、幂函数的定义一般地，形如函数 (α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 是自变量，α为常数．知识点二、幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数x y =，2x y =，3x y =，x y =，1-=x y 的图象分别如下．知识点三、幂函数的性质： （1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限； （3）当0>α时，幂函数的图象过 ．知识点四、幂函数的图象在第一象限的分布规律（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于 对称．一、幂函数的定义例1、幂函数352)1(----=m x m m y 在0(，)∞+上为减函数，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．1- C ．1-或2 D ．251±≠m【举一反三】1、已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值．(1,1)y2、已知12)2()(-++=m m x m m x f ，m 为何值时，)(x f 是：（1）正比例函数； （2）反比例函数； （3）二次函数；（4）幂函数.二、幂函数的图像例2、幂函数αx y =，当α取不同的正数时，在区间0[，]1上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A 1(，)0，B 0(，)1，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数αx y =，βx y =的图象三等分，即有|BM |＝|MN |＝|NA |，那么=αβ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定例3、已知幂函数)(x f 的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2,41) （1）求)(x f ，)(x g 的解析式；（2）当x 为何值时，①)()(x g x f >；②)()(x g x f =；③)()(x g x f <．三、幂函数的性质【考题】比较下列各组数的大小： （1）13(0.95)- 13(0.96)-； （2）138-- 1319⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）30.830.7（4）122 131.8；例5、已知幂函数=)(x f 223m m x --(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是单调减函数，试求满足3(1)ma -+<3(32)ma --的a 的取值范围.【举一反三】已知幂函数y ＝243m m x --(m ∈Z )的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象.【课后巩固】1．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4-2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y3．函数3x y =和31x y =图象关于（ ）对称 A ．原点B ．x 轴C ．y 轴D ．直线x y =4．下列函数中既是偶函数又在0(，)∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-145．函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数6．对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ．)2(21x x f +=2)()(21x f x f +D ． 无法确定7．)()27,3)(14x f x f -，则的图象过点（幂函数的解析式是 ．8．已知幂函数)()(322Z m xx f m m ∈=--y y x 轴都无交点，且关于轴，的图象与轴对称，则f x ()的解析式是 ． 9．已知幂函数12)()(-+=m m xx f (m ∈N *).（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2－a)>f(a －1)的实数a 的取值范围.。
幂函数图像与性质
幂函数的周期性
幂函数性质：周 期性是指函数在 一定周期内重复
出现的性质。
幂函数周期：幂 函数的周期与其 指数有关，当指 数为正整数时， 幂函数具有周期
性。
周期计算：幂函 数的周期可以通 过将指数除以自 变量来计算，得 到的结果即为函
数的周期。
周期性特点：幂 函数的周期性具 有一些特点，例 如当指数为偶数 时，函数图像关 于y轴对称；当 指数为奇数时， 函数图像关于原
感谢观看
汇报人：XX
左到右下降
幂函数应用： 在数学、物理、 工程等领域有
广泛应用
幂函数定义域和值域
值域：y>0
定义域：x属于R
定义：幂函数f(x)=x^a， 其中a为实数
性质：幂函数图像在第一象 限，随着a的增大，函数图
像从右上至左下逐渐上升
02
幂函数图像
幂函数图像特点
幂函数图像在第 一象限内单调递 增
幂函数图像在第 二象限内单调递 减
幂函数图像在y 轴两侧对称
幂函数图像在x 轴上无交点
幂函数图像与x轴关系
当a>0时，幂函数图像与x轴有交 点
当a=0时，幂函数图像与x轴只有 一个交点
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
当a<0时，幂函数图像与x轴无交 点
幂函数图像与x轴交点的个数和位 置与a的取值有关
幂函数图像与y轴关系
当x>0时，幂函数图像位于 第一象限
04
幂函数的应用
幂函数在数学领域的应用
幂函数在微积分中的应用 幂函数在求解方程中的应用 幂函数在概率论中的应用 幂函数在复数分析中的应用
幂函数在物理领域的应用
力学：描述物体的运动规律，如加速度与速度的关系。 光学：解释光的干涉和衍射现象，如杨氏双缝干涉实验。 电磁学：解释电磁波的传播规律，如无线电信号的传输。 量子力学：描述微观粒子的运动状态，如波函数的形式。
幂函数图像及性质
幂函数图像及性质一、什么是幂函数在数学中，幂函数是一种形式为 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是实数。
当 a = 1 时，幂函数就是我们熟悉的一次函数，而当a > 1 时，幂函数的图像呈现出特定的形状。
二、幂函数的图像特点1. 当 a > 1 时•当 a > 1 时，幂函数的图像呈现出向上凹曲的形状。
•随着 x 的增大，函数值快速增加，增长迅猛。
•函数图像在第一象限，并在原点围绕原点对称。
2. 当 a = 1 时•当 a = 1 时，幂函数就是一次函数，函数图像为一条过原点的直线。
3. 当 0 < a < 1 时•当 0 < a < 1 时，函数的增长趋于缓慢，图像在第一象限被压缩，所占的范围变小。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域•对于幂函数 f(x) = x^a，当 a 为奇数时，定义域为实数集，值域也为实数集；当 a 为偶数时，定义域为非负实数集，值域也为非负实数集。
2. 奇偶性•当 a 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称；•当 a 为偶数时，幂函数是偶函数，关于 y 轴对称。
3. 单调性•当 a > 1 时，幂函数是增函数；•当 0 < a < 1 时，幂函数是减函数。
4. 特殊情况•当 a < 0 时，幂函数的图像为反比例函数的图像。
四、实例分析示例 1考虑函数 f(x) = x^2，这是一个以原点为中心向上开口的抛物线图像。
随着 x 的增大，函数值快速增加，形成一个向上凸起的形状。
示例 2当考虑函数 f(x) = x^0.5 时，函数的图像呈现出一个缓慢上升的曲线，范围也变小了，整体呈现出一种被压缩的状态。
五、总结幂函数是数学中非常重要的一类函数，通过本文的讨论，我们了解了幂函数的图像特点和性质。
无论是在理论研究还是实际应用中，对于幂函数的理解都具有重要的意义。
希望本文内容能够帮助读者更深入地理解幂函数及其性质。
幂函数与指数函数的性质
幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的两类函数，它们在数学和科学研究中有着重要的应用。
本文将探讨幂函数和指数函数的性质，包括定义、图像、增减性、奇偶性以及反函数等方面。
1. 幂函数的性质幂函数的一般形式为f(x) = x^n，其中n为正整数，是幂函数的指数。
幂函数的定义域为实数集，由于x^n中的n是正整数，所以幂函数的值域可以是正数、负数或零。
1.1. 幂函数的图像根据幂函数的指数n的奇偶性，幂函数的图像有不同的特点。
当n为偶数时，幂函数的图像相对于y轴对称，关于原点对称；而当n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
1.2. 幂函数的增减性幂函数的增减性与指数n的值相关。
当指数n为正数时，幂函数在定义域上递增；当指数n为负数时，幂函数在定义域上递减。
值得注意的是，当指数n为偶数时，幂函数的绝对值增长速度比n为奇数时慢。
1.3. 幂函数的奇偶性当幂函数的指数n为偶数时，幂函数是偶函数；当指数n为奇数时，幂函数是奇函数。
这意味着幂函数的图像关于y轴对称或者关于原点对称。
1.4. 幂函数的反函数由于幂函数的定义域为实数集，而幂函数的指数并不一定能覆盖所有实数，所以幂函数的反函数并不一定存在。
当幂函数的指数n为倒数时，幂函数的反函数存在。
2. 指数函数的性质指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数，称为底数。
指数函数的定义域为实数集，底数a大于0且不等于1。
2.1. 指数函数的图像指数函数的图像与底数a有关。
当底数a大于1时，指数函数在整个定义域上递增；当底数a介于0和1之间时，指数函数在整个定义域上递减。
指数函数的图像经过点(0, 1)，即当x等于0时，指数函数的值为1。
2.2. 指数函数的增减性指数函数的增减性取决于底数a的值。
当底数a大于1时，指数函数在整个定义域上递增；当底数a介于0和1之间时，指数函数在整个定义域上递减。
2.3. 指数函数的奇偶性指数函数一般情况下不具有奇偶性，即指数函数的图像不关于y轴对称也不关于原点对称。
5、幂函数图像与性质
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0,) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
yx
2
a
2
yx
y x
1 2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V
a
3
3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 边长 a 度
幂函数的图象及性质
1 -1, 2 , 时的情形。
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3,
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
1 2性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
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【知识结构】1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.例2 （1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132b a ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)100.256371.5()86-⨯-+-（三）幂函数 1、幂函数的定义形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例1.下列函数中不是幂函数的是（ ）A ．y x =B ．3y x =C ．2y x =D ．1y x -=例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式 已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______．2.幂函数的图像幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同．α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；3、幂函数的性质y=xy=x 2 y=x 312y x = y=x -1定义域 R RR [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且值域 R [0，+∞）R[0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性增x ∈[0，+∞）时，增；x ∈(,0]-∞时，减增 增x ∈(0,+∞)时，减；x ∈(-∞,0)时，减定点（1，1）例3．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.54.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质：(1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．例4．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．例5.已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．变式：已知幂函数f(x)=x 322--m m （m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F （x ）=a）（）（x xf bx f -的奇偶性.5.规律方法（1）．幂函数y ＝x α(α＝0,1)的图象（2）.幂函数(,,,a q qy x a p q N p p*==∈为最简分式）的图象6.性质：（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上 ；（3）当2,2a =-时，幂函数是 ；当11,1,3,3a =-时，幂函数是 ．例6右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>例7 若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值以及单调区间。
例8 若函数在区间上是递减函数，求实数的取值范围。
xO y a y x =b y x =c y x =【巩固练习】1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32、幂函数的图象都经过点（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（1，0） 3、幂函数25-=x y 的定义域为（ ）A ．(0,+) B ．[0,+) C ．R D ．(-，0)U (0,+)4．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0B ．a <0C ．a =0D ．不能确定5．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( ) A ．m >1 B ．m <1C ．m =lD ．不能确定6．若函数f (x )＝x 3(x ∈R)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是( )A ．单调递减的偶函数B ．单调递减的奇函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数 7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 112则不等式f (|x |)≤2的解集是( ) A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0＜x ≤2} 8．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝19、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝a x 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 A 、a ＜1 B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0二、填空题： 11、若21)1(－＋a ＜21)23(－－a ，则a 的取值范围是____；12.函数23-=xy 的定义域为___________.（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ） 13．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的 x 的值是________． 14．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ， n 的大小关系为________．幂函数的性质与图像测试一、填空题1.若幂函数()y f x =的图像过点222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的解析式为__________.2.已知函数()()22144mm f x m m x --=--是幂函数，则实数m 的值为__________.3.幂函数223nn y x --=()n N ∈的图像与两坐标无交点且关于y 轴对称，则n 的值等于_________.4.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________.5.已知函数()1a xf x x a -=--的图像的对称中心是()3,1-，则函数()f x 的单调递减区间是_________.6.已知幂函数()y x R αα=∈的图像当01x <<时，在直线y x =的上方；当1x >时在直线y x =的下方，则α的取值范围是__________.7.函数y =12y x =的图像向__________平移________个单位. 8.已知()()1133132x x --+<-，则实数x 的取值范围是_________.二、选择题9.如图，M 、N 、P 、Q 分别为幂函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幂函数为①3y x -=；②2y x -=；③23y x -=；④13y x -=，则M 、N 、P 、Q 与四个函数序号的对应顺序只可能是（ ）.（A ）①②③④ (Ｂ)②③④① (Ｃ)②①③④ (Ｄ)③②①④10.下列函数中，是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ）. （Ａ）53y x -= (Ｂ) 53y x = （Ｃ）54y x =(Ｄ)43y x =11.当()1,x ∈+∞时，下列函数的图像全在直线y x =下方且为偶函数的是（ ）. （Ａ）12y x =(Ｂ) 4y x -= （Ｃ）4y x =(Ｄ)1y x -=12.设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){}|M x f x g x ==，则集合M 中元素的个数是（ ）（Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3 （Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 三、解答题13.研究函数23y x的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。