幂函数的图像与性质

【知识结构】

1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂

:0,,1)m n

a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂

: 10,,1)m n m n

a

a m n N n a

-*=

=

>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.

例2 （1）计算：25

.021

21

3

2

5

.032

0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；

（2）化简：533233

23

23

3

23

134)2(248a

a a a a

b a

a

ab b b

a a ⋅⋅⨯

-÷++--

变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:

（1）

;)(6

5

3

121211

3

2

b a b

a b a ⋅⋅⋅⋅-

-（2）.)4()3(6

521

3

32121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a

(3)

100.2563

71.5()86-⨯-+-

（三）幂函数 1、幂函数的定义

形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ）

A ．y x =

B ．3y x =

C ．2y x =

D ．1

y x -=

例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；

变式 已知幂函数2

223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数

y =_______．

2.幂函数的图像

幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同．

α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；

α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

3、幂函数的性质

y=x

y=x 2 y=x 3

12

y x = y=x -1

定义域 R R

R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且

值域 R [0，+∞）

R

[0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性

增

x ∈[0，+∞）时，增；

x ∈(,0]-∞时，减

增 增

x ∈(0,+∞)时，减；

x ∈(-∞,0)时，减

定点

（1，1）

例3．比较大小：

（1）112

2

1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112

5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5

4.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质：

(1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；

当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．

(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．

例4．已知幂函数2

23

m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于

原点对称，求m 的值．

例5.已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求

m 的值，并画出它的图象．

变式：已知幂函数f(x)=x 322

--m m （m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F （x ）=a

）

（）（x xf b

x f -

的奇偶性.

5.规律方法

（1）．幂函数y ＝x α

(α＝0,1)的图象

（2）.幂函数(,,,a q q

y x a p q N p p

*==

∈为最简分式）的图象

6.性质：

（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上 ；

（3）当2,2a =-时，幂函数是 ；当1

1,1,3,3

a =-时，幂函数

是 ．

例6右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）

()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>

()D a d c b >>>

例7 若点

在幂函数

的图象上，点

在幂函数

的图象上，定义

，试求函数

的最大值以及单调区间。

例8 若函数

在区间

上是递减函数，求实数的取值范围。

x

O y a y x =

b y x =

c y x =