第二章 平面力系

600
C
B
150
300
D
E A
B
TBC
150150 300
TBD
TBD=G
FAB E G
解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解：
Fx = 0 Fy = 0
- TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0
1、研究OA杆
2、研究AB杆
FA A
F
O
Fo
（A）
A
B
FA
O
F
B
FB
FB
Fo （B）
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊 或特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程 中只有一个未知数。
§2-1 平面汇交力系
一、平面汇交力系合成的几何法
1.两个共点力的合成
2. 任意个共点力的合成
cos(180 ) cos
由余弦定理：
FR F12 F22 2F1F2 cos
F1
s in
s
R
in(180
)
为力多边形
n
结论： FR F1 F2 F3 F4
即： FR Fi
i 1
二、平面汇交力系平衡的几何条件
③列平衡方程
X 0 RAcos SCDcos4500 Y 0 PRA sin SCD sin450 0
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
解得：
tg EABB10..24 13
SCD
sin
450
P cos450
tg
4.24 kN
；
RA
SCD
cos450
cos
3.16 kN
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力N=？
GA
（1）当GB=GA时， α= 300
（2）当α= 00时， GB=GA /3
[例] 图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。
解： 1 、 研 究 对 象 ：整体 或铰链A
SAB A
2、几何法：
60°
P
S AC
S AB
SAC=P/sin600
SAB=P×ctg600
S AC
60°
P
S AB
S AC
FAB = 45 kN
Fy = 0 - TBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0 TBC = 9.65 kN
600
C
B
150
300
D
E A
y
B
TBC
150150 300
TBD
FAB E G
x TBD=G
[例] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解：①研究AB杆 ②画出受力图
SCA
∑X=0 Qcos450+ SCA cos450 －Rcos300 = 0 ∑Y=0
-Qsin450+ SCA sin450 －Rsin300 －SDB = 0
例题
如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。 在 B点作用一水平力 F ,设F = 20kN。 求支座A和D的约束反力。
B F
A
C P
C
x
FA
2m
D
4m
FD
tg = 0.5 cos = 0.89 sin = 0.447
例题.求图示支座A和B的约束反力.
P
l/2 C
l
A
B
l
l
解:画整体的受力图
取O点为研究对象
l l
cos
2
0.95
l
l 2
l
2
A
2 2
FA
Sin = 0.32
F
O C
B
FB
Fx = 0 Fy = 0
F=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅
直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线
DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。
A
F
F
A
24
C
O
BE
6
O
B FB
D
FD D
解：
(a)
(b)
(1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
I
F
FD
J
FB
K
(c)
一、力对点的矩
MO(F) F d
+-
B
说明：① MO (F )是代数量。
F
O
d
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ MO (F )是影响转动的独立因素。
矩心 O d : 力臂
A
当F=0或d=0时，MO (F ) =0。
④单位N•m，kN•m。
⑤ MO (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
二、合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
- TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 0
FAB = 45 kN
TBC = 9.65 kN
y
600
C
B
150
300
D
E A
B
300
TBC
150150 300
TBD
FAB E G
x TBD=G
解二： Fx = 0 - TBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0
cos X Fx
FF
cos Y Fy
FF
二、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
Rx X1 X2 X4 X
即：
Ry Y1 Y2 Y3 Y4 Y
Rx X Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
合力的大小： FR FRx2 FR y2 ( Fx )2 ( Fy )2
P
ND
（5） 代入数据求得：
பைடு நூலகம்
J
SB
K
FB=750 N。
(c)
[例] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求： 在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
F Ptg
NB
P
cos
又由几何关系： tg
r2 (rh)2 0.577
方向： tg FR y
FR x
∴ tg1 FR y tg1
F y
FR x
Fx
作用点： 为该力系的汇交点
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
FRx
F 0 y
FRy
F 0 x
平面汇交力系 的平衡方程
[例] 图示连杆机构，已知Q、R，求图示位置平衡时，Q 与 R
的关系。
解：1、研究对象：
A铰
(planar parallel force system) ③一般力系(平面任意力系)
(planar general force system)
①汇交力系 空间力系 ②平行力系(空间力偶系是其中的特殊情况 )
③一般力系(空间任意力系) 简单力系：指的是汇交力系、力偶系。
第二章 平面力系
§2–1 平面汇交力系 §2–2 平面力对点之矩、平面力偶 §2–3 平面任意力系的简化 §2–4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §2–5 物体系的平衡、静定和超静定问题 §2–6 平面简单桁架的内力计算
SAB A
60°
S AC
P
y x
3、解析法：
Rx=∑X=0 SAC cos600 － SAB = 0
Ry=∑Y=0
SAC sin600 － P = 0
解得： SAC=P/sin600 SAB= SAC cos600 =P×ctg600
例：结构如图所示，已知主动力F，确定铰链O、 B约束力的方向（不计构件自重）
rh
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。
平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos ：
Y=Fy=F·sin=F ·cos
F Fx 2 Fy 2
∑X=0 Q － SBA cos450 = 0
SBA Q/cos450 2 Q
B铰 ∑Y=0 SAB － R cos300 = 0
SAB R cos300
3R 2
∵ SBA=SAB
Q : R 3 : 2 0.612 2
讨论： 取AB为研究对象
y
x
90°45Q° 30R°60°SDB
求：（1）设两轮重量相等，求平衡时的α角；
（2）已知A轮重GA，平衡时，欲使α=00的B轮的重量。
B
A
300
600
解：先取A轮为研究对象，受力分析：
X= 0
GAcos600 - FAB cos(α+300)= 0 (1)
取B轮为研究对象，受力分析：
X/ = 0 - GBcos300 + F/AB sin(α+300)= 0 (2)
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X 0 T2cos T10 ①
Y 0T2 sin Q N D 0
②
由①得
cos
T1 T2
P 2P
1 2
600
由②得NDQ-T2sin Q-2Psin 600Q 3P
例题 用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在 两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重，
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出F、FB 和FD 的闭和力三角形。
（4）由几何关系得： OE EA 24 cm
A
P
tg DE 0.25
24
OE
O
C
O B E 6 arctg0.25 142'
D
P
A
B SB
ND D
(b)
(a)
由力三角形可得：
FB
sin 180
sin
F
I
B铰
A
SCA
SBA
45°
90°Q
B
S AB 30R°60°SDB
结构
SC A
A
S1 C
SAB
SB A
设杆受拉力，则力背离铰链， 受压力，则力指向铰链，
A铰
y
A
SBA
45°
SCA90°Q
x
B铰
y
Bx
SAB 30R°60°SDB
讨论： 取AB为研究对象
y
x
Q
R
SDB
SCA
2、平衡方程 A铰
0.71 FA - 0.32 FB = 0 0.71 FA +0.95 FB – P = 0
联立两式得: FA = 0.35P FB = 0.79P
例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC 支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。
2m
B FA
D
A
4m
C
D FD
解: 1、取平面钢架ABCD为研究对象, 画出受力图。
2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系： y
3、列平衡方程并求解： B
F
Fx = 0 F +FA cos = 0 FA = - 22.36 kN A
负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。
Fy = 0
FA sin +FD = 0 FD =10 kN
FR Fi
平面汇交力系平衡的充要条件是： FR F 0
力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零
F1 F3
Fn
F2
FR Fi
例题 水平梁AB 中点C 作用着力F，其大小等于20kN，方向与 梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
有各分力对同一点的矩的代数和，即：
F2
F1 A
FR
Fi
O
r
Fn
MO (FR ) MO (Fi )
根据
FR F1 F2 ..... Fn
上式左右乘上矢径 r
r FR r (F1 F2 ..... Fn )
由此: MO (FR ) MO (F1) MO (F2 ) ...... MO (Fn )
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求 出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
§2-2 平面力对点之矩 平面力偶
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
B
A
300
600
300
FAB
y 300 NA
A 600 GA
x/ y/
NB 600
F/AB
B
300
300
x
GB
GAcos600 - FAB cos(α+300)= 0 (1)
- GBcos300 + F/AB sin(α+300)= 0 (2)
FAB =F/AB
(3)
由以上三式可得：
tg( 30 0 ) GB tg60 0
A
B
C
30º
a
a
60º 60º
30º
30º
(a)
(b)
解：
(1) 取梁AB 作为研究对象。
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出F、FA 和FB 的闭合力三角形。 (4) 解出： FA =Pcos30=17.3kN，FB =Psin30=10kN
例题 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力
y
力矩的解析表达式
y Fy
O x
MO F M O Fx M O Fy
F
y Fx x Fy
y F cos x F sin
Fx
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 ) ...... MO (Fn )
力系
F1 M1
F2 Mn
Fn F3
Prof, Wang JX
基本概念
力系分为：平面力系(planar force system) 空间力系(space force system)
①汇交力系(planar concurrent force system) 平面力系 ②平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 )