导学案007函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性
考纲要求
1．判断函数的奇偶性．
2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．
3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．
考情分析
1.函数的奇偶性是高考考查的热点．
2.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．
3.题型以选择题和填空题为主，还可与函数单调性等其他知识点交汇命题.
基础梳理
1．奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．
奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称．2．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是；
②两个偶函数的和、积都是；
③一个奇函数，一个偶函数的积是
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
双基自测
1．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－
x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝( )．
A.－12
B.－14
C.14
D.12
2．(2012·福州一中月考)f (x )＝1
x
－x 的图象关于( )．
A ．y 轴对称
B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
3．(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．
A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数
B ．f (x )－|g (x )|是奇函数
C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数
D ．|f (x )|－g (x )是奇函数
4．(2011·福建)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )．
A ．4和6
B ．3和1
C ．2和4
D ．1和2
5．(教材习题改编)下列函数中，所有奇函数的序号是________．
(1)f (x )＝2x 4
＋3x 2
；(2)f (x )＝x 3
－2x ；
(3)f (x )＝x 2＋1
x
； (4)f (x )＝x 3＋1.
典例分析
考点一、 判断函数的奇偶性 [例1]下列函数：
①f (x )＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x 2；⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x
.其中奇函数的个数是( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 变式1：判断下列函数的奇偶性．
(1)y ＝2x －1＋1－2x ；
(2)f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋2x >0，
0x ＝0，
－x 2－2x <0.
：
利用定义判断函数奇偶性的方法
(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件．
(2)如果函数定义域关于原点对称，可进一步判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝
f (x )是否对定义域内的每一个x 恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)． 注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性. 一些重要类型的奇偶函数
（3）一些重要类型的奇偶函数
f(x)=
(a>0,a ) 为偶函数;
f(x)=
(a>0,a
) 为奇函数; f(x)=
f(x)=
f(x)=x+
f(x)=g(|x|)为偶函数;
考点二、 函数奇偶性的应用
[例2] (2011·安徽高考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，
f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝ ( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
[例3] (2012·烟台调研)设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，
且f (2)＝0，则不等式
f x ＋f －x x
>0的解集为 ( )
A ．(－2,0)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(0,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－2,0)∪(0,2)
变式2：本例的条件不变，若n ≥2且n ∈N*，试比较f (－n )、f (1－n )、f (n －1)与f (n ＋1)．
：
函数奇偶性的应用
(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于
f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．
(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．
常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．
(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 考点三 、函数的奇偶性与周期性
[例4] (2011·大纲版全国卷)设f (x )是周期为2的奇函数，当
0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－52＝ ( )
A ．－1
2
B ．－14
C.1
4
D.12
[例5]已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x
－1， (1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；
(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．
[审题视点] (1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )为周期函数； (2)由f (x )在[0,1]上的解析式及f (x )图象关于x ＝1对称求得f (x )在[1,2]上的解析式；
(3)由周期性求和的值．
变式3.(2012·南昌第一次模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋2f (3)，且f (－1)＝2，则(3)＝________，f (2 011)＝________.
：
判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
考题范例
(2011·沈阳模拟)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间． [解答示范] (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，
f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，(2分) ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.(4分)
(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．
故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(6分)
又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．(8分)
当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则
S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2×2×1＝4.(10分)
(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．(12分)
关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周
期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
一条规律
奇、偶函数的定义域关于原点对称．
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 两个性质
(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.
(2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 三种方法
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 三条结论
(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝
f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．
(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则：y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数． (3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝
1
f x 或f (x ＋a )＝－
1
f x ，那么函数
f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；
(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为
T ＝2|a －b |.
本节检测
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A ．y ＝－x 3
，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈R C ．y ＝x ，x ∈R D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，x ∈R
2．(2011·辽宁高考)若函数f (x )＝
x 2x ＋1x －a 为奇函数，则a ＝( )
A.12
B.2
3 C.3
4
D ．1
3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
4．如果函数g (x )＝⎩⎨
⎧
2x －3，x >0，f x ，x <0是奇函数，则f (x )＝________.
5．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于________．
6. (2011·福建)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )． A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和2
自我反思。