菱形的性质和判定定理
青岛版数学八年级下册《菱形的性质和判定定理》说课稿2
青岛版数学八年级下册《菱形的性质和判定定理》说课稿2一. 教材分析《菱形的性质和判定定理》是青岛版数学八年级下册的一章内容。
本章主要介绍了菱形的性质和判定定理，包括菱形的定义、性质、判定方法及其应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握菱形的性质和判定定理，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了矩形、三角形等图形的性质和判定定理，具备了一定的几何基础。
但学生对菱形的认识较少，需要通过本章的学习来建立起菱形的性质和判定定理的知识体系。
此外，学生需要通过观察、操作、推理等过程，培养几何思维和解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解菱形的定义，掌握菱形的性质和判定定理，并能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、推理等过程，培养几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学学科的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：菱形的性质和判定定理的掌握。
2.教学难点：菱形性质的推导和应用，以及对菱形判定定理的理解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论和实践活动。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学工具，直观展示菱形的性质和判定过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的菱形图案，引发学生对菱形的兴趣，导入新课。
2.自主探究：学生通过观察、操作几何画板等工具，探索菱形的性质和判定方法。
3.合作交流：学生分组讨论，分享探究成果，互相提问和解答疑问。
4.教师讲解：教师针对学生的探究结果，进行讲解和总结，引导学生理解菱形的性质和判定定理。
5.巩固练习：学生独立完成练习题，运用所学知识解决问题。
6.课堂小结：学生总结本节课所学内容，教师进行点评和补充。
七. 说板书设计板书设计如下：菱形的性质和判定定理1.定义：四边相等的四边形2.对角线互相垂直平分3.相邻边垂直4.所有角相等5.如果一个四边形的四边相等，则它是菱形。
证明是菱形的判定定理
证明是菱形的判定定理一、引言在几何学中，菱形是指具有四个相等边长的四边形。
判定一个四边形是否为菱形，一种常用的方法是通过其性质进行证明。
本文将介绍证明一个四边形为菱形的判定定理，并详细阐述其证明过程。
二、几何性质的重要定理在证明一个四边形为菱形的判定定理之前，我们需要了解几个几何性质的重要定理。
2.1、菱形的性质菱形是具有四个相等边长的四边形，因此具有以下性质： - 对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直。
- 对角线平分角度：菱形的两条对角线会将其内部的角度平分。
- 对角线相等：菱形的两条对角线相等。
2.2、三角形的性质在判定一个四边形是否为菱形时，我们需要用到三角形的定理，其中有两个较为重要的定理： - 等腰三角形的性质：等腰三角形是指具有两个相等边长的三角形，其中包含以下性质： - 底角相等：等腰三角形的两个底角相等。
- 顶角平分底角：等腰三角形的顶角等于底角的平分角度。
•直角三角形的性质：直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形，其中包含以下性质：–勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
三、证明四边形是菱形的判定定理根据菱形的性质，我们可以得出判定四边形为菱形的定理如下：定理：一个四边形是菱形的充分必要条件是其对边相等并且对角线互相垂直。
证明如下：3.1、充分性证明假设一个四边形ABCD，其中对边AD和BC相等，并且对角线AC和BD互相垂直。
我们需要证明该四边形为菱形，即证明其四条边相等。
根据对边相等的性质，我们可以得知AD=BC。
同时，根据对角线互相垂直的性质，我们可以得知∠ACD和∠BDA互相垂直。
根据三角形性质中等腰三角形的性质，我们可以得知∠ACD=∠BCD，同时∠BDA=∠BDC。
因此，∠ACD=∠BDA。
由于四边形内角和为360度，我们可以得知∠ADB=360°-(∠ACD+∠BDA)=360°-(∠ACD+∠BCD)=∠ADC+∠BCD。
菱形的性质是什么有哪些判定定理
菱形的性质是什么有哪些判定定理菱形是一种具有特殊性质的几何图形。
它是由四条相等且对角线相交的直线组成的四边形。
菱形在数学和几何学中具有一些重要的性质和判定定理，下面我们将详细介绍。
首先，菱形的性质之一是它的对角线相等。
菱形的两条对角线是相等的，即两对角线的长度相同。
这意味着如果我们知道菱形的一个对角线的长度，就可以确定另一条对角线的长度。
第二，菱形的对角线互相垂直。
这意味着菱形的对角线之间的夹角是直角。
所以，如果我们找到了一个菱形的两条对角线，我们可以通过检查它们是否互相垂直来确定它是否是一个菱形。
第三，菱形的所有边都是相等的。
这意味着菱形的四条边的长度相等。
如果我们知道一个边的长度，我们就可以确定所有边的长度。
第四，菱形的内角和为360度。
菱形的每个内角都是锐角，而且四个内角的和为360度。
这与其他四边形如矩形或平行四边形不同，它们的内角和为360度。
第五，菱形的一个重要定理是角平分线定理。
这个定理指出，菱形的对角线互相平分了它们所夹的两个角。
这意味着如果我们知道菱形的一条对角线，我们可以通过它来确定菱形的两个内角。
第六，菱形的高与宽相等。
菱形的高是指连接菱形两边中心的线段，即菱形的垂直中线。
菱形的宽是从一个顶点到另一个顶点的线段。
由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的高与宽相等。
第七，菱形的外接圆定理。
这个定理指出，菱形的四个顶点都在一个圆上。
这个圆被称为菱形的外接圆。
由于菱形的对角线相等，所以菱形的外接圆的半径等于对角线的一半。
最后，菱形的判定定理有两个常用的定理。
首先是菱形的判定定理一：如果一个四边形的四个角都是直角，则它是一个菱形。
其次是菱形的判定定理二：如果一个四边形的两对对边相等且相交于直角，则它是一个菱形。
总结起来，菱形的性质包括对角线相等、对角线互相垂直、边相等、内角和为360度、角平分线定理、高与宽相等、外接圆定理等。
菱形的判定定理让我们能够通过已知条件来判断一个四边形是否为菱形。
菱形的性质定理
16.如图，菱形ABCD中，CE⊥AB，交AB的延长线于E， CF⊥AD，交AD的延长线于F，猜测CE于CF的大小关系， 并证明你的猜想.
F D C
A
B
E
证明： ∵ABCD是菱形 ∴∠ABC=∠ADC ∴BC=CD ∴ ∠CBE=180°-∠ABC， ∠CDF=180°-∠ADC ∴∠CBE=∠CDF ∵CE⊥AB，CF⊥AD ∴∠BEC=∠DFC=90 ∴△BCE≌△DCF(AAS) ∴CE=CF
C
菱形的性质 本课 小结 定理:菱形的四条边都相等. ∵四边形ABCD是菱形, D ∴AB=BC=CD=AD.
D
A C A O C
B
B
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且 每条对角线平分一组对角. ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. ∴AC⊥BD,
AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
20．已知：如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点， EF⊥AC交CB的延长线于F，交AC、AB于M、P. 求证：AB与EF互相平分.
A M
E
D
P F
B
C
证明： 连接BD，AF，BE， 在菱形ABCD中，AC⊥BD ∵EF⊥AC， ∴EF∥BD，又ED∥FB， ∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF， ∵E为AD的中点， ∴AE=ED，∴AE=BF， 又AE∥BF， ∴四边形AEBF为平行四边形， 即AB与EF互相平分．
小试牛刀
菱形的性质
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角 线平分一组对角. 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相 交于点O. 求证: (1).AC⊥BD; D (2).AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ADC和∠ABC. O A C 证明:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, B ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. (2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD; ∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
菱形的判定与性质
3、在平面直角坐标系中，画一个边长为5的
菱形ABCD，并写出各点坐标。（两种不同方法）
过关检测：
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角 平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F， 连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。
2、已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中 点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC． 求证：四边形MEND是菱形．
谢
谢！
D
知识快餐
4、如图，平行四边形ABCD的两条对角线
AC、 BD相交于点O，AB=5 ,AO=1,OB=2,
则AC、BD的位置关系是_______,四边形 ABCD是菱形的道理是________
B A
O C
D
范例讲解：
例1、已知：如图，菱形ABCD的周长为16 cm， ∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O， 求AC和BD的长。
1、______________的平行四边 形叫做菱形。 2、菱形是轴对称图形，它的对 称轴是_____________
知识快餐
3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、 A BD相交于点O,则 （1）AB=AD=_______=_______, O 即菱形的____________相等 B （2）图中的等腰三角形有_______, C 直角三角形有__________, △AOD≌______≌_______≌______，由此可以 得出菱形的对角线______,每一条对角线 。
菱形的性质及判定的应用
初二数学组
学习目标
掌握菱形的性质与判定定理；
利用菱形的性质与判定定理 进行有关的计算和证明。
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形。
1.1.2 菱形的性质与判定 课件
A. AE＝AF
B. EF⊥AC
C. ∠B＝60°
D. AC是∠EAF的平分线
课堂练习
3、如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F
．且AD交EF于O，则∠AOF＝ 90 度．
4、如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的
C
D
归纳总结
四边相等的四边形是菱形.
A
D
A
D
AB=BC=CD=AD
B
C
四边形ABCD
B
菱形ABCD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
C
新知讲解
两组对边分别平行或相等
一组对边平行且相等
四边形
两组对角分别相等
对角线相平分
菱形
平行四边形
新知讲解
现在你有哪些证明一个四边形或平行四边形是菱形的判定依据？
1.1.2 菱形的性质与判定
北师版九年级上册
教学目标
1.掌握菱形的判定定理
2.经历菱形判定定理的探究过程
3.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算
新知导入
菱形的定义和性质？
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
边：四条边相等，对边平行.
角：对角相等.
对角线：对角线互相垂直平分.
新知导入
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理 四边相等的四边形是菱形.
做一做
你能用折纸的办法得到一个菱形吗?动手试一试.
菱形的性质及判定定理
3. 能够运用菱形的知识解决简单的具体问题.
高效上好每节课·快乐上好每天学
新知探究
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道如果 平行四边形有一个角是直角时, 成为什么图形 ?
矩形, 由角变化得到
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得 到什么特殊的四边形呢?
高效上好每节课·快乐上好每天学
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边 的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
B
E
D
C
高效上好每节课·快乐上好每天学
由此可进一步推导得出： 对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条 对角线乘积的一半.
D B O A E
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
作业
教材P58，练习第2、3题．
高效上好每节课·快乐上好每天学
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一 个菱形的纸片？ 有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可. 你知道其中的道 理吗？
高效上好每节课·快乐上好每天学
随堂练习
1、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠B=∠ EAF=60°, ∠ BAE=18°, 求∠ CEF的度数.
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
—菱形的性质及判定定理
高效上好每节课·快乐上好每天学
学习目标
1. 经历菱形的概念、性质、判定定理的发现过程，掌握菱形
的性质定理 “菱形的四条边都相等” ，“菱形的对角线互相垂 直, 并且每条对角线平分一组对角” ； 2. 掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”，“对角 线互相垂直的平行四边形是菱形” ；
初二数学下菱形(提高)知识讲解+巩固练习
菱形（提高）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．(1)求证：AM＝DM；(2)若DF＝2，求菱形ABCD的周长．【答案与解析】证明：(1)连接DB，则由菱形性质得BD⊥AC．又因为EF⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因为点E是AB的中点，所以点M是AD的中点．所以AM＝DM．(2)由(1)得DB∥EF．又BE∥DF，所以四边形EFDB是平行四边形．所以BE＝DF＝2．又因为12BE AB，即AB＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD的周长为4×4＝16．【总结升华】菱形四边相等，对角线互相垂直平分. 举一反三：【变式】（春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB 的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、（春•郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm4.（•青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为142cm ，四边形ABCD 面积是112cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm6. 如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A ＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.3B.2C.3D.2二.填空题7. （•江西三模）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为 ．8．如图，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝_____.9．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 中点， 且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为FA B CDHE G①②③④⑤cm.______210．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. （•建湖县一模）如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B ； 2.【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°. 3.【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示： ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC ，∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ， ∴PA=PD ， ∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°； 故选：B ．5.【答案】A ；【解析】菱形的面积等于11＋142＝18，设菱形边长为a ,则218,62a a ==，①②③④四个平行四边形周长的总和为菱形周长的2倍.6.【答案】A ；【解析】菱形的高分别是3和332，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD 面积－△DEF 面积－△BGF 面积＝93152333333244+---=. 二.填空题7.【答案】． ；【解析】∵AECF 为菱形，∴∠FCO=∠ECO ，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE ，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°， ∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt △EBC 中，EC=2EB ，又EC=AE ， AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等. 9.【答案】23【解析】由题意∠A ＝60°，DE 310.【答案】5；53253； 【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和53，面积为125553322⨯⨯=11.【答案】512；【解析】431255AO BO OH AB ⨯⨯===. 12.【答案】()258,0,,08⎛⎫⎪⎝⎭； 【解析】由在菱形ABCD 中，AC ＝12，BD ＝16，E 为AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP ＝OE 时，②当OE ＝PE 时，③当OP ＝EP 时去分析求解即可求得答案．三.解答题 13.【解析】 证明：（1）∵△ACF 是等边三角形， ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF ， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠FAC ， ∴AF ∥BC ， ∵AM ∥FC ，∴四边形AMCF 是平行四边形， ∵AM ∥FC ，∠ACB=∠ACF=60°， ∴∠AMC=60°， 又∵∠ACB=60°，∴△AMC 是等边三角形， ∴AM=MC ，∴四边形AMCF 是菱形；（2）∵△BCE 是等边三角形， ∴BC=EC ，在△ABC 和△MEC 中 ∵，∴△ABC ≌△MEC （SAS ）．14.【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，OB ＝OD ∵∠EDO ＝∠FBO, ∠OED ＝∠OFB ∴△OED ≌△OFB∴DE ＝BF 又∵ED ∥BF∴四边形BEDF 是平行四边形 ∵EF ⊥BD∴平行四边形BEDF 是菱形. 15．【解析】 解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF ∴AE ＝DF ，DE ＝CF ， ∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60° 在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜222S≤<S<11 / 11。
《菱形》 知识清单
《菱形》知识清单一、菱形的定义菱形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，同时还具有自己独特的性质。
在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形。
二、菱形的性质1、边菱形的四条边都相等。
这是菱形区别于一般平行四边形的最显著特征。
2、角菱形的对角相等，邻角互补。
3、对角线菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
4、对称性菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；菱形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
5、面积菱形的面积可以用对角线乘积的一半来计算，即 S ＝ 1/2 × d₁ × d₂（其中 d₁、d₂是菱形的两条对角线）。
三、菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、四条边都相等的四边形是菱形。
四、菱形的相关定理1、菱形的面积等于底乘以高。
假设菱形的底为 a，高为 h，则面积 S ＝ a × h。
2、菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。
五、菱形在实际生活中的应用1、菱形在建筑设计中经常被运用，比如窗户的设计、装饰图案等，其独特的形状和对称性能够增加建筑的美感。
2、在纺织业中，菱形图案常常出现在布料的花纹上，为织物增添了独特的风格。
3、菱形结构在机械制造中也有应用，比如某些零件的设计，利用菱形的稳定性和特殊性质来满足特定的功能需求。
六、菱形与其他图形的关系1、菱形与平行四边形菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形。
2、菱形与矩形矩形的四个角都是直角，而菱形的角不一定是直角；矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等。
但它们都是特殊的平行四边形。
3、菱形与正方形正方形具有菱形和矩形的所有性质，所以正方形是特殊的菱形。
七、如何求解与菱形相关的题目1、证明一个四边形是菱形通常需要根据菱形的判定定理，先证明它是平行四边形，再证明一组邻边相等或者对角线互相垂直等条件。
菱形的性质和判定定理教案
课题菱形的性质和判定定理时间教学目标1.掌握菱形的性质判定，并能用定义判定一个四边形是菱形使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题，提高能力。
2.通过教具的演示培养学生的观察能力并提高学生的学习兴趣。
3.通过把矩形和菱形的定义、性质、判定相互对比，将易混淆的知识点分清楚，并以此培养学生的辨正观点。
重难点重点：菱形的性质定理和判定定理的了解和运用难点：平行四边形，矩形，菱形的性质定理，判定定理的综合应用。
教学方法教学方法观察分析讨论相结合的方法。
（做一个短边可以运动的平行四边形）投影仪、透影胶片角色教师活动学生活动备注教学过程（一）引入新课我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，这时可将事先按课本中做成的一个短边也可以活动的教具进行演示，如，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，引出菱形概念。
（二）讲解新课1.1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.2.菱形的性质菱形的性质教师强调，菱形既然是特殊的平行四边形，因此它就具有平行四边形的一切性质，此外由于它比平行四边形多了“一组邻边相等”的条件，和矩形类似，也比平行四边形增加了一些特殊的性质。
菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角师1：菱形ABCD被对角线分成的四个直角三角形有什么关系？师2：它们的底和高和两条对角线有什么关系？师3：如果设菱形的两条对角线分别为a、b，则菱形的面积是什么？S＝1/2ab1/2ab。
教师指出当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积。
讲解这个定义时，要抓住概念的本质，应突出两条：（1）强调菱形是平行四边形。
（2）一组邻边相等。
教学过程例1已知：如图4－41，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。
求证：四边形AEDF是菱形。
1.1第1课时 菱形的性质
新课标（BS） 九年级上册
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
新 知 梳 理
► 知识点一 菱形的定义
有一组____________ 邻边相等 的平行四边形叫做菱形．
[ 注意 ] 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切 性质．
第1课时 菱形的性质
► 知识点二
Rt△AEB中，∠B＝60°，AB＝4，即可求出AE的长．
第1课时 菱形的性质
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D. ∵点 E，F 分别是边 BC，AD 的中点，∴BE＝DF. 在△ABE 和△CDF 中， ∵AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． (2)∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC 是等边三角形． ∵点 E 是边 BC 的中点，∴AE⊥BC. 在 Rt△AEB 中，∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°. 1 又∵AB＝4，∴BE＝ AB＝2. 2 ∴AE＝ AB2－BE2＝ 42－22＝2 3.
菱形的轴对称性
轴对称 图形，有______ 两 条对称轴． 菱形是________
第1课时 菱形的性质
► 知识点三
菱形的性质定理
相等 ． 定理：菱形的四条边________ 互相垂直 ． 定理：菱形的对角线__________
第1课时 菱形的性质
重难互动探究
探究问题一 利用菱形的性质进行计算
例1 [教材例1变式题] [2013· 广州] 如图1－1－2所示，四边 形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝
[归纳总结] 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，根据 已知得出BO的长是解题关键．
菱形的性质和判定
课题：菱形的性质和判定授课人：袁君梅教学目的：使学生掌握菱形的定义、性质和判定定理，理解菱形与四边形、平行四边形、矩形的区别与联系．教学重点：菱形的性质与判定方法．教学难点：性质和判定定理教学方法：教学过程：一复习提问1.什么叫矩形？二引入新课今天我们学习菱形．菱形也是一种特殊的平行四边形，特殊在边．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形不但具有平行四边形的一切性质，而且还有它特殊的性质．菱形性质定理1：菱形的四条边都相等．菱形性质定理2：菱形对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形ABCD被对角线AC、BD分成四个全等的直角三角形，它们的底和高分别是两条对角线的一半，利用三角形的面积可推导出：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．菱形的判定：根据定义来判定，仍然是最基本、最重要的方法，即先证四边形是平行四边形，再证它有一组邻边相等，除此之外，还有两个判定定理：菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形．菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．分析：判定定理1，只需证四边形是平行四边形时定理成立；判定定理2，因为已知是平行四边形，所以根据垂直平分线性质证出两邻边相等，可得定理成立．例1 已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．例2 已知：□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．例3已知：菱形ABCD的边长为2cm，BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积．三小结：菱形是特殊的平行四边形．菱形常用的判定方法：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形．2.四条边都相等的四边形是菱形．3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形．四作业P160 6、7、8．P161 9、10．。
人教版八年级数学下《菱形》知识全解
《菱形》知识全解课标要求探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．知识结构内容解析1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形首先是一个平行四边形，然后增加一个特殊条件：一组邻边相等．菱形的定义既可作为菱形的性质运用，又可作为菱形的判定运用．2．菱形的性质（1）具有平行四边形的所有性质．（2）特有的两条性质（定理）：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的对称轴．（4）菱形的面积计算：S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半．菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的问题可以转化为等腰三角形或直角三角形来解决．3．菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，可作为菱形的判定方法，它是菱形其他判定方法的基础．（2）定理①：四边都相等的四边形是菱形．运用该定理证明时，可以直接证明一个四边形是菱形．（3）定理②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．运用该定理证明时，要先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线互相垂直．4．运用和菱形的性质与判定解决问题．重点难点本课的重点是菱形的性质定理和判定定理的探索与证明．性质和判定定理本身容易理解，但需要学生借助一定的活动去进行观察、归纳、推导与验证．让学生自己体验探究过程，从中收获感悟．在教师的引导下，对知识本身和思想方法上都有实质性的掌握．这个过程到位了，必将很好地为下一过程——“运用性质和判定定理解决问题”打下坚实的基础，达到运用自如．教学重点的解决方法：在探究实验活动以及旧知类比的基础上进行定理的概括的推导．通过观察实验，巧妙设问，发现规律，归纳结论，解决重点．本课的难点是运用菱形的性质和判定方法进行推理、计算和解决问题．在通过探索和证明得到了菱形的性质及判定定理后，直接利用定理解决问题就势在必行．但从主观上讲，学生对刚学会的知识会有生疏感，不会直接用，甚至不敢用，习惯一步推理，对多步推理不熟；从客观上讲，性质和定理本身的数量不止一项，因而问题的解决需要选择相应的性质和定理，特别是判定方法的选择性很强，而且题目的设置往往灵活多变，还综合之前的知识等．这都给问题解决带来了困难．教学难点的解决方法：问题设置从易到难，从单一到综合逐步递进．通过引导思维，结合图形一步一步体现思路，明确方法来解决难点、疑点．教法导引在数学教学过程中，基于学生思维的起点，为了突出教师为主导、学生为主体的教学原则，我们可以运用自主探究法和直观教学法，让学生在实践中学习、掌握知识，达到灵活运用，并对先后知识融会贯通．针对本节课的特点，可以采用“创设情境——探究实践——观察讨论——总结归纳——知识运用”为主线的教学模式，运用实践、观察、分析、讨论相结合的方法．教学中引导学生经过观察、思考、探索、交流获得知识，形成技能．在教学过程中注意创设思维情境，在合作交流的气氛下进行师生互动，培养学生的自学能力和创新意识，让学生在教师的指导下自始至终处于一种积极思维，主动探究的学习状态．借助教具和课件演示，以增加教学的直观性，更好的理解菱形的性质与判别，解决教学重点与难点．根据本课内容的特点，建议教师在教学过程中注意以下问题：1．菱形的知识，学生在小学时接触过一些，教学要基于学生对菱形的已有认知上．在引入概念时，应让学生充分的理解到菱形是一个特殊的平行四边形，特殊在有一组邻边相等．教师设置情境，学生自己动手探究，体验到菱形可以由平行四边形平移或等角三角形、直角三角形拼接得到．2．菱形在现实中的实例较多，因而在讲解菱形的性质和判定时，教师可多准备一些生活实例，来对菱形的性质和判定进行应用．既增加了学生的参与感，又巩固了所学的知识．3．教学过程中，应特别重视探究活动，这样既增强了学生的动手能力和参与感，又在教学中有切实的实例，使学生对知识的掌握更轻松、具体．例如菱形性质的探索、判定定理的探索都需要通过具体的折纸、画图等实践来进行探究．4．教学过程中注意学生独立思考和合作交流的有机结合．例如在对性质的讲解中，教师可将学生分组，每组学生分别对菱形进行“边、角、对角线”等方面的研究，然后在组内进行整理、归纳．而在性质或判定的应用中，教师根据题目的层次安排，可引导学生独立分析思路，并独立进行具体的证明．5．注重将新知识与旧知识进行联系与类比．新旧知识的联系与类比有利于学生建立新的知识体系，同时也能在一定程度上培养学生的合情推理能力．菱形的判定方法可以通过类比已学过的矩形的判定方法，进行合情猜想，并加以验证，实现知识的正迁移．学法建议在日常生活中，学生经常会遇到各种几何图形也包括菱形，但学生对这一图形的认识是直观的、肤浅的，因此在教学中要以原有直观感和平行四边形、矩形的相关知识为基础，探索菱形的性质及判别方法，并尝试利用它们解题．新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如菱形的概念得到、菱形性质的发现和推导、菱形面积的算法、菱形判定方法的选择和思路的选取等都可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也能得到不断提高．在本节课的教学中，要帮助学生学会运用实践、观察、分析、比较、验证、归纳、概括等手段，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，领会到成功的喜悦．。
矩形、菱形的性质及判定
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明一、知识概述1．矩形的有关概念矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2、矩形的性质定理说明：矩形具有平行四边形的一切性质．定理1：矩形的四个角都是直角．定理2：矩形的对角线相等．推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3、矩形的判定定理定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．4．菱形的有关概念菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.5、菱形的性质定理说明：菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质．定理：菱形的四条边都相等．定理2：菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．6、菱形的判定定理定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理2：四条边都相等的四边形是菱形．二、重难点知识归纳1、特殊的平行四边形知识结构三、典型例题讲解例1．菱形的周长是8 cm ，则菱形的一边长是______.变式1．菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______. 变式2．菱形的对角线的一半的长分别为8 cm 和11 cm ，则菱形的面积是_______.变式3．菱形的面积为24 cm 2，一对角线长为6 cm ，则另一对角线长为______，边长为______.例2. 如图，已知□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，与AC 相交于点O ． 求证：四边形AFCE 是菱形．变式1.如图所示，M ，N 分别是平行四边形ABCD 的对边AD ，BC 的中点，且AD=2AB ，求证四边形PMQN 为矩形．当堂检测1.矩形的两条对角线的夹角之一为60°，矩形的较短边与一条对角线的长的和是12cm ，则较长的边长为 ，较短的边长为 ，对角线的长为 .2.矩形的两条对角线的夹角为60°，较短边的长为12cm ，则对角线的长为________cm3. 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠BAE=30°，BD=15cm ，则AB=________4.如图所示，在矩形ABCD 中，DG ⊥AC ，G 为垂足，∠CDG:∠GDA=1:3,那么∠BDG=_____；若AC=8，DG=_____5.如图，已知在矩形ABCD 中，DF 平分∠ADC ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，∠BDF=15°，则∠DOC=_______，∠COF=_______6.如图，菱形ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAF=75°，则∠CEF=_______度7.如图，矩形ABCD 中，若AE ⊥BD 于E ，且OE ∶OD ＝1∶2，AE ＝3cm ，则DE ＝ cm 。
平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理
平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。
两点之间，线段最短。
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离人，叫做这两条平行线之间的距离。
如果直线a平行直线b ，A是a上的任意一点，AB垂直直线b，b是垂足，线段AB的长就是直线a，b之间的距离。
平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，也就是说当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。
矩形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；矩形的4个角都是直角；矩形的对角线相等。
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是举行。
菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；菱形的4条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形好，平行四边形通常只被分成两个两对全等的三角形。
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。
菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。
正方形正方形的两条对角线，把这个正方形分成4个全等的等腰直角三角形。
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。
菱形的判定及知识点归纳
菱形的判定及知识点归纳
菱形怎么判定，定理是什么，相关知识点考生又知晓吗？尚不了解的小伙伴们看过来，下面由小编为你精心准备了“菱形的判定及知识点归纳”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
菱形的判定
① 四条边都相等的四边形是菱形。
② 对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形。
③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
菱形知识点归纳
1、菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质:⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质;
⑵ 菱形的四条边都相等;
⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷ 菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
3、菱形的判定方法:
⑴ 定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
⑵ 判断方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
⑶ 判断方法2:四条边相等的四边形是菱形。
4、菱形面积的计算:
菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab(a、b 为两条对角线)
归纳:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。
希望上面对菱形知识点的总结学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们一定能很好的参加考试工作。
初中数学知识点总结:平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
菱形的所有判定定理
菱形的所有判定定理菱形是一种几何形状，它有一些特殊的性质和定理。
在本文中，我们将讨论菱形的所有判定定理，并详细解释它们的意义和应用。
一、菱形的定义定理：菱形是一个四边形，它的所有边长相等。
在一个菱形中，对角线相互垂直且平分对方。
二、菱形的角定理：1. 菱形的内角和定理：菱形的内角和为360度。
2. 菱形的对角线交角定理：菱形的对角线交角为90度。
三、菱形的边定理：1. 菱形的边长定理：菱形的四条边长相等。
2. 菱形的边中点连线定理：菱形的边中点连线相互垂直且平分对角线。
四、菱形的对角线定理：1. 菱形的对角线长度定理：菱形的两条对角线长度相等。
2. 菱形的对角线垂直定理：菱形的对角线相互垂直。
五、菱形的面积定理：菱形的面积等于对角线长度的乘积再除以2。
六、菱形的高定理：菱形的高等于任意一边与对角线的乘积再除以对角线的长度。
七、菱形的中线定理：菱形的对角线中线相等且平行于边。
八、菱形的内切圆定理：菱形的内切圆与菱形的四条边相切。
九、菱形的外接圆定理：菱形的外接圆与菱形的四个顶点相切。
十、菱形的外接圆半径定理：菱形的外接圆半径等于对角线的一半。
以上是菱形的所有判定定理。
这些定理不仅可以帮助我们理解菱形的性质，还可以在解决各种几何问题时提供指导。
通过运用这些定理，我们可以计算菱形的边长、对角线长度、面积和高等参数，进一步推导出其他相关的几何性质。
菱形的判定定理是几何学中的重要内容，它们不仅在理论研究中有着广泛的应用，也在实际生活和工程中发挥着重要的作用。
比如，在建筑设计中，我们经常会遇到需要绘制或计算菱形的情况，而这些判定定理可以帮助我们准确地完成这些任务。
总结起来，菱形的判定定理是菱形几何学中的重要内容，它们描述了菱形的各种性质和特点。
通过运用这些定理，我们可以计算菱形的各种参数，解决各种几何问题。
同时，这些定理也在实际生活和工程中发挥着重要作用。
通过学习和理解这些定理，我们可以更好地理解和应用菱形几何学。
第1讲 菱形的性质与判定(解析版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。
答案：cm cm 6,4。
【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。
【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。
菱形判定的5个方法
菱形判定的5个方法菱形是在几何中最为常见的图形之一，广泛应用于数学分析、图形学以及三角学的研究当中。
究竟如何判断一个几何图形是否为菱形？目前，有以下五种方法可以用来检验几何图形是否为菱形：一、面积的方法首先，对待检验的几何图形，可以计算其表面积，若该图形的表面积能够被其四条边长整除，且其结果为4，则该图形即为菱形。
二、垂直直角定理检验几何图形是否为菱形，也可以采用垂直直角定理。
垂直直角定理主要用来检验两个夹角是否分别为90°.果图形内部有四个夹角，其中有两个夹角分别为90°，而其余两个夹角均小于90°，则该图形即为菱形。
三、构成矩形的定理四边形的两条对角线能够组成一个矩形，即，其两条对角线的边长相等。
那么，若一个四边形，其两条对角线的边长相等，则可以断定该图形即为菱形。
四、高等三角函数高等三角函数是指利用三角函数求解复杂的几何问题的方法。
可以将几何图形的每个点的坐标表示成极坐标的形式，并利用三角函数确定其关于某点的斜率，如果每个点的斜率都相等，即可断定该图形为菱形。
五、菱形的性质菱形的性质很容易观察，如果四个角均为直角，一共有四条边，每两条边均为对称，则可以确定该图形即为菱形。
由以上内容可以看出，判断几何图形是否为菱形，有多种方法可以供选择。
不同的方法各有优劣，在使用时，根据实际情况分析，选择最合适的方法，进行判断。
从实际应用来看，利用菱形来分析几何图形等问题，可以使用上述五种方法中的任何一种来判定一个几何图形是否为菱形。
如果使用面积的方法，需要计算几何图形的表面积，然后按照公式计算。
如果检验图形是否符合垂直直角定理，可以使用电子计算器的三角函数功能，以角度的形式求得夹角，来进行判断。
如果是利用构成矩形的定理，可以画出矩形四条边，利用尺子来进行测量，看看边长是否相等，以判断是否构成矩形。
若是使用高等三角函数，可以使用电子计算器求取各点的极坐标，并利用三角函数进行分析。
菱形判定知识点总结
菱形判定知识点总结基本概念：菱形是一个几何形状，它有四条边和四个角，每个内角都是90度。
菱形的特点是它的四条边都相等，相邻的两条边成45度角，对角线相交于90度角。
在菱形中，对角线长度相等，相对的边也相等。
菱形的判定主要包括两个方面，一是判定一个四边形是否为菱形，二是判定一个几何图形是否是菱形。
性质：1. 菱形的对角线相等平分对角；2. 菱形的每个内角都是90度；3. 菱形的相邻边相等；4. 菱形的对角线垂直相交；5. 菱形的对角线相等且互相垂直平分；6. 菱形的性质是四边形的子集，其中包括平行四边形和矩形。
定理：1. 设菱形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；2. 设四边形的对角线相等，则这个四边形是菱形；3. 若一个四边形的对角线相等且互相垂直平分，则这个四边形是菱形；上述三个定理分别是通过菱形的基本性质得到的，通过这些定理我们可以简单判断一个四边形是否是菱形。
菱形判定应用：菱形判定在几何证明和实际问题中都有广泛的应用。
在几何证明中，菱形判定可以帮助我们判断一个已知的四边形的性质，从而展开相应的证明。
通过证明菱形的基本性质和相关定理，我们可以推导出其他定理，如平行四边形和矩形等。
在实际问题中，菱形判定可以帮助我们解决一些几何问题。
例如，当我们遇到一个已知的四边形时，通过菱形判定的方法我们可以判断出它是不是菱形，然后再进一步推导出一些相关的结论。
总结：菱形判定是数学中的一个重要概念，它的基本概念、性质和定理都对我们理解几何形状的特性和展开几何证明起着至关重要的作用。
通过学习菱形判定，我们可以更好地理解几何形状的性质和特点，解决一些与几何相关的问题。
因此，对菱形判定的学习和掌握对我们的数学学习和实际问题解决都有着重要的意义。
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开始寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 条理清晰，因果相应,言必有据 是初学证明者谨记和遵循的原 则.
学习目标
1、掌握菱形的判定定理及证明方法。
2、学会运用菱形的判定解决一些问题； 进一步发展合情推理能力；逐步掌握说 理的基本方法。
3、经历探索菱形判定的过程，发展主 动探索、研究的习惯。
（2）若AC=BD，则□ABCD是 矩 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩 形；
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
D
C
O
A
B
想一想
你能说出这节课的心得和体会 让大家与你分享吗？
判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形；╳
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；√
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 ╳ 的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 ╳ 组对角的四边形是菱形．
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱 形；