三角函数求值域专题 (2)

求三角函数值域及最值的常用方法：

对三角函数的考查，历来都是高考的重点，也是基础。考试大纲中对三角函数的要求是重基础，从近几年的高考试卷来看，三角函数的最值问题在高考中经常出现，本文总结归纳了三角函数求最值的几种类型，掌握这几种类型后，几乎所有三角函数的最值问题都可迎刃而解。

类型1、利用辅助角公式：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a ，化为一个角的三

角函数形式。

例1：求函数)24

74

(cos sin 4sin 3cos 35)(22π

π

≤

<-+=x x x x x x f 的最值，并求取得最值时x 的值。

解：由降幂公式和倍角公式，得

x x

x x f 2sin 22

2cos 1322cos 135)(--++= 332sin 23cos 32+-=x x 33)6

2cos(4++

=π

x

∵

2474ππ

≤

ππ≤

+

7π

=x ，()f x 无最大值。

例2：已知函数2

π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+

⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；

（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42

x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，上恒成立，求实数m 的取值范围．

解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤

⎛⎫=-+=+

⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

∵ π12sin 23x ⎛

⎫=+- ⎪⎝

⎭．

又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π

2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛

⎫

+- ⎪⎝⎭≤≤，

max min ()3()2f x f x ==，∴．

（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42

x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，，

max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，

14m <<∴，即m 的取值范围是(1

4)，． 练习：函数x x y cos 3sin +

=在区间[0,]2

π

上的最小值为 ．

类型2、化为c x b x a y ++=sin sin 2

二次函数类型

例3：求函数y ＝2cos 2

x ＋5sinx －4的值域． 解:原函数可化为

当sinx ＝1时，y max ＝1； 当sinx ＝－1时，y min ＝－9，

∴原函数的值域是[－9，1]．

练习：函数)(2cos 2

1

cos )(R x x x x f ∈-

=的最大值等于 ． 3、d

x c b

x a y ++=

sin sin 型：反解x sin ，利用正弦的有界性（或分离常数法）

例4:求函数x x y sin 21

sin --=

的值域。

解：由x

x y sin 21

sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，

则有21

sin 1y x y +=+，

由21

|sin ||

|11

y x y +=≤+ 22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203

y ⇒-≤≤，

则此函数的值域是2

[,0]

3y ∈-

例5:求函数1

cos 21

cos 2-+=x x y 的值域.

法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.3

1

≤y

∴此函数的值域是[)

+∞⋃⎥⎦

⎤ ⎝

⎛∞-,33

1,

法二：原函数变形为()()

∴≤-+∴≤-+=

,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31

≤y

∴此函数的值域是[)

+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛

∞-,33

1,

练习：求函数cos 3

cos 3x y x -=+的值域 。

4、型如d

x c b

x a x f ++=cos sin )(型

此类型最值问题可考虑如下几种解法：

①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例6：求函数sin cos 2

x

y x =

-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率

便是函数sin cos 2

x

y x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两

切线得斜率分别为3-

、3

。结合图形可知，此函数的值

域是[。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，

∴sin()x φ+=

由

|sin()|1x φ+=

≤22(2)1y y ⇒≤+

，解得：y ≤≤

[ 例7：求函数2cos (0)sin x

y x x

π-=

<<的最小值．

解法一：原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<

)2x ϕ+=，

即sin()x ϕ+=

1≤

，解得y ≥

或y ≤，所以y

解法二：2cos (0)sin x

y x x

π-=

<<表示的是点(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，

其中点B 在左半圆2

2

1(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时