研究生数理统计之方差分析

2 ( X X ) , , ( X X ) kj k 之和，每个有 n-1 1 SSe 是 1 j 2 j 1 j 1 n n
个自由度，故 SSE 应有 k(n-1)个自由度。 所以 SST SSA SSe 相应的一个自由度分解： kn-1 = (k-1 ) + k(n-1)。 在统计上，把一个平方和除以其自由度，称为“平 均平方和” ， “均方离差” 或简称 “均方” ， 用 MS 记。 例如，因素 A 的平均平方和为： MSA SS A (k 1) 误差平均平方和为： MSe SSe (k (n 1))
由此分解式可写为： SST SSA SSe 。 这就是方差分析的含义：把一个“总方差”SST 分 解为由种种原因 （因素 A， 随机误差等） 形成的 “部 分方差” 。
SST 有 kn-1 个自由度；
SS A 是由 k 个数 X 1 , X 2 , , X k 算出的样本方差，
有 k-1 个自由度；
S * S 2 C ，C 为一常数
2
C 的值依水平数 k， 每水平试验次数及指定的检 验水平 而定。 可以证明：
F nS
*2
n k S ( X i X )2 k 1 i 1
2
k n 1 ( X ij X i ) 2 k (n 1) i 1 j 1
在给定的检验水平 时， 原假设 H 0 : 1 2 k 的拒绝域为：
k 4 。我们就据此推断
3 4 1 2 。 如 越大越好， 则应挑选水平 3。
（2） 一般地，我们还关心特定的两水平之差。 例如： i
l ，我们用 X i X l 作为 i l 的估计。
而其区间估计则使用 t 分布，具体形式为： （置信系数为
A1
A2
A3
A4
试问：这四个学生成绩是否存在差异（ 0.025 ） 。
现在再回到单因素方差分析的一般模型。 如果检验的结果，原假设 H 0 : 1 则认为该因素各水平效应一样。
2 k 通过了，
如果 H 0
: 1 2 k 被拒绝了， 则认为 1 , 2 ,, k 有
怎样去检验这个假设呢？
1.1 方差分析与 F 检验 （各水平试验的次数相同时） 单因素问题的一般模型：有一个因素 A，它有 k 个 水平： 1,2,, k 。在水平取 i 时进行 n 次实验，得 到数据 X i1 , X i 2 ,, X in 。
2 X N ( , ) ij 假定每个 有正态分布 i
0.05 水平下显著时，在其
F 上加一个“*” ；若 0.01水平下显
著时，则加两个 “*” ；
例 1.2：设用 3 台机器 A，B，C 制造同一种产品，对每台机 器观察 5 天的日产量，记录如下（单位：件） A： B： C： 41 48 41 57 49 65 57 54 72 64 45 51 56 48 48
1 ）
Xi Xl 2 2 MS E t (k (n 1)) i l X i X l MS E t (k (n 1)) 2 2 n n
1.3 各水平试验次数不一定相同的情况 一切与前面相同，只是在 A 的各水平下的试验次数不一定都等 于同一个 n。这样，就得到如下的模型： 水平 1： X 11 , X 12 ,, X 1 j ,, X 1n1 水平 2： X 21 , X 22 ,, X 2 j ,, X 2 n2 。 。 。。 。 。。 。 。。 。 。。 。 。。 。 。 水平 k： X k1 , X k 2 ,, X kj ,, X knk 要检验假设
§1 单因素方差分析 1.1 模型 单因素问题是指在问题中只考虑一个 对指标有影响的因素 A（应当说明的是， 对指标有影响的因素仅此一个）. 把别的因素都适当固定下来，而只让 因素 A 在试验中有变化，以观察和分析 它对指标的影响。这样就构成了一个单 因素问题。
例 1.1：一工厂用三种不同的工艺生产某类型电 池。 从各种工艺生产的电池中分别抽取样本并测 得样本的寿命（使用时间）如下： （单位：小时）
得到 2 的估计为
k n 1 2 S ( X X ) ij i 〈组内方差的算术平均〉 ， k (n 1) i 1 j 1 2
1 n X X ij 其中 i n 。 j 1
接下来分析各水平不同的影响。 水平 i 的平均 i 的估计为 X i 。
X 1 , X 2 , , X k 之间的差异越大，则 1 , 2 , , k
之间的差异就越大，从而各水平之间的差异也 越大。 因 此 ， 算 出 X 1 , X 2 ,, X k 的 样 本 方 差 ：
S
*2
1 k (X i X )2 〈组间方差〉 ， k 1 i 1
反映各水平差异的影响
1 k 1 k n X X i X ij 其中 k i 1 kn i 1 j 1
SST
kn-1
在实际计算时，采用以下的步骤：
2 （1） 对每个 i，算出 Ti X i1 X in 及 Ti i 1,2,, k ，从
2 2 T T T , H T T 1 k 而算出 1 k ；
（2） 算出每个 X ij 的平方 X ij ，然后算出它们的和：
要检验假设
H 0 : 1 2 k H 1 : 1 , 2 ,, k 不全相同。
先分析随机误差的影响有多大。 看水平 1 下的那 n 个数据 X 11 , X 12 ,, X 1n ，
2 N ( , ) 中抽出的，它们 这全是从同一个总体 1
之间的差异只反映了随机误差的影响，故计算 出其样本方差为：
1 1 n 2 2 X S1 ( X 1 j X 1 ) 〈组内方差〉 ，其中 1 n n 1 j 1
X
j 1
n
1j
它可以作为随机误差大小的衡量。事实上，它就是方差 2 的估计。
对每个水平都这样做，就一共得到 2 的 k 个估
2 2 2 S , S , ,wk.baidu.comS 计 1 2 k ，将它们平均，
全部 kn 个数据 X ij 的算术平均。
* 2 把 S 与 S 比较，即计算比值 S S 。 若此比值大，则说明水平差异的影响大于随机 2
*2
2
误差的影响，这时就只能拒绝 H 0 ； 反之，若比值不大，则说明水平差异的影响未 能大于随机误差的影响，因而不能拒绝 H 0 。
由此，原假设 H 0 : 1 2 k 的拒绝域为
2 G ( X X ) ( X X ) X ij 2 11 2 1n 2 k1 2 kn i 1 j 1 k n
2
（3） 计算
SSA 1 1 1 1 H T 2 , SSe G H , SST G T 2 n nk n nk
在方差分析的实践中，习惯上是当某一因素（如此处的 A）在
j 1,2, , n 。
2
~ N ( 1 , ) 即： 水平 1： X 11 , X 12 ,, X 1 j ,, X 1n ~ N ( 2 , 2 ) 水平 2：X 21 , X 22 ,, X 2 j ,, X 2 n 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 ~ N (i , 2 ) 水平 i： X i1 , X i 2 ,, X ij ,, X in 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 ~ N ( k , 2 ) 水平 k：X k1 , X k 2 ,, X kj ,, X kn
以上全部讨论可以总结为下表，即单因素方差分析表。 单因素方差分析表（各水平试验次数相同） 方差来源 （组间） 因素 A （组内） 随机误差 总和 平方和 自由度 k-1 均方
MSA SS A (k 1)
F值
MS A MS e
SS A
SSe
k(n-1)
MS e SSe (k (n 1))
则 i 是工艺 i 生产的电池的平均寿命， 方差 2 反映了随机误差的大小。
注意这里 与 i 无关，即假定了随机误差的大小与工艺无关。
2
因此在这个提法中就牵涉到两项假定： 正态性和等方差性
常用的方差分析都是在这两项基本假定下得出的。
所要弄清楚的问题是三种工艺是否有优劣之分，把 “无优劣之分”作为原假设， 即 H 0 : 1 2 3 H 1 : 1 , 2 , 3 不全相同。
第五章 方差分析、正交试验设计
一种工业产品的产量或质量往往受到许多因素的 影响。例如，电池的寿命与生产工艺、原材料、工人 操作技术和工厂管理水平等等有关。任何一个因素的 改变都可能对电池的寿命产生一定的影响。为了提高 经济效益， 需要分析各种因素对电池寿命的影响如何， 那些因素是重要的、那些因素是次要的，从而找出一 种最佳的生产条件 （即各因素最佳的配置） ， 以达到最 好的经济效益。
工艺 1 工艺 2 工艺 3 40 46 38 42 44 26 34 30 28 32 39 40 43 48 50
我们感兴趣的指标是电池的寿命，而把“工艺” 作为对它可能影响的“因素” 。这个因素有 3 个 水平：工艺 1 是水平 1，等等。
如果假定第 i 种工艺下生产的电池寿命服从正态分
2 N ( , ) i 1,2,3 ， 布 i
~
~
N ( 1 , 2 ) ；
N ( 2 , 2 ) ；
~
N ( k , 2 )
H 0 : 1 2 k H 1 : 1 , 2 ,, k 不全相同。
注意： ( X
i 1 j 1 k ni ij
X ) ni ( X i X ) ( X ij X i ) 2 。
F F (k 1, k (n 1))
注意到如下的代数式分解：
2 ( X X ) n ( X X ) ( X X ) ij i ij i 2 2 i 1 j 1 i 1 i 1 j 1 k n k k n
分析：1. ( X ij X ) 2 :全部
试问： 在日产量上， 各台机器之间是否有显著差异 （ 0.05 ） 。 例 1.3：从某校初中二年级的四个平行班各随机抽取一个学 生先后参加五次年级数学竞赛，其结果如下：
试验号 水平
1 81 83 76 70
2 80 89 92 99
3 88 85 83 82
4 85 91 90 80
5 95 88 95 78
i 1 j 1
k
n
kn 个数据{ X ij }的样本方差（没
k
有除以自由度 kn-1） ， 它反映了全部数据的差异程度(原因： 随机 误差和水平之间的差异 ) 。 2 ． n( X
i 1 i
X ) 2 : 水平差异的影响，
( X
i 1 j 1
k
n
ij
X i ) 2 :随机误差的影响。
: 1 2 3 ， 即 1 , 2 并无区别。
差别。这里面情况很复杂。 例如当 k 3 ， 可以有 H 0 当 H0
: 1 2 k 被否定时：
X 1 , X 2 ,, X k
按大小排队，
（1） 把 k 个样本平均值
例如 X 3 X 4 X 1 X 2
( X
i 1 j 1
k
k
n
ij
X ) 2 :“总离差平方和”或“总平方和” ，记为 SST ；
n( X
i 1
k n
i
X ) 2 :“因素 A 平方和”或“组间离差平方和” ，记
为 SS A ；
( X
i 1 j 1
ij
X i ) 2 “误差平方和” : 或 “组内离差平方和” ， 记为 SSe 。