高等数学课件体积优秀课件

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13
例 E x a m p l e5(P 3 4 8 )一 平 面 经 过 半 径 为 R 的 圆
柱 体 的 底 圆 中 心 ， 并 与 底 面 交 成 角 ， 计 算 这 平
面 截 圆 柱 体 所 得 立 体 的 体 积 .
解solution 取坐标系如图
底圆方程为
x2y2R2
R
o
y
x
x3 y3 a3(a 0)绕x轴旋转构成旋转体的积.
2
2
2
解 y3 a3 x3, y
y2
2 a3
2
x3
3
x[a,a]
a
o
ax
42 24
a 23 a 3x 33 a 3x 3x 2
旋 转 体 的 体 积
a
V2
(a23a4 3x3 23a3 2x4 3x2)dx 32
a3 .
105
0
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类似地，如果旋转体是由连续曲线
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1
一、旋转体的体积
Volume of rotating body
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
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圆台
2
一 般 地 ， 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 yf(x)、
直 线 xa、 xb及 x轴 所 围 成 的 曲 边 梯 形 绕
2
Vy 2 x2dy2 a2co6st3asin 2tcotsdt
0
0
2
2
6a3 co7st(1co2st)dt6a3 (co7st co9st)dt
0
0
6a 3 (6 4 2 8 6 4 2 )32 a 3
7 5 39 7 5 3 105
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例Example3(P347) 求 摆 线xa(tsitn)，
ya(1cot)s的 一 拱 与y0所 围 成 的 图 形
分 别 绕 x轴 、 y轴 旋 转 所 构 成 旋 转 体 的 体 积 .
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
Vx
2 ay2(x)dx
0
y(x)
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst a 2a 0
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) dst 0
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4
以 d 为 底 x 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄 片 的
体 积 为
y
dVhr x2dx o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V
0hhr x2dx
r 2 h2
x3 h
3
0
hr 3
2
.
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5
例 Example 2 ( 习题 6-3 ，3) 求星形线
2
2
2
52a3.
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y
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2a C B xx2(y)
xx1(y)
可看作平面图OABC与OBCo
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy 02ax22(y)dy 02ax12(y)dy
a2(tsit)n 2asitn dt 2
a2(tsit)n 2asitn dt 0
section being known
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A(x)表 示 过 点 o a x且垂直于 x 轴
bx
的 截 面 面 积 ， A ( x ) 为 x 的 已 知 连 续 函 数
dV A (x)d,x 立体体积 VabA(x)dx.
x (y)、直线y c、y d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [(y)]2dy c
d
x(y)
c
o
x
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在例2中星形线
x3 2y3 2a3 2用参 数 x y a as c 方 io 3 3n tt表 s程示
其所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积
a
旋转体的体积为 Vab[f(x)]2dx
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3
例1(P345) 连接坐标原点O及点P(h,r)
的直线、直线xh及x轴围成一个直角三
角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为 r 、
高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
y r x
o
h
r
h
x
取积分变量为x，x[0,h]
在 [ 0 ,h ] 上 任 取 小 区 间 [ x ,x d ] ， x
R
垂 直 于 x 轴 的 截 面 为 直 角 三 角 形 x
截面面积 A(x)1(R2x2)tan ,
2
立体体积 V1R(R2x2)tan dx 2R3tan.
2R
3
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例 6(P349)求 以 半 径 为 R的 圆 为 底 、 平 行 且 等 于
底 圆 直 径 的 线 段 为 顶 、 高 为 h的 正 劈 锥 体 的 体 积 .
利用这个公式，可知上例中
2a
V y2
x| f(x)|dx
0
2
2 0a ( t sti ) a n ( 1 ct) o d [ a ( t s sti )n ]
2 a 32 (t sit)n 1 ( cto )2 d st63a3. 0
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例 Example 4 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围 成的图形绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解 取积分变量为y, y[0,4]
体积元素为
P
dy Q
M
dV [P2 M Q2M ]dy 3 [ ( 3 4 y ) 2 ( 3 4 y ) 2 ] dy
1 24yd,y
4
V1 20 4ydy6 4.
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二、平行截面面积为已知的立体的体积
Volume of solid with the area of parallel
a3 2 (tsit)n 2sitn d 6t3a3. 0
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补充:( 与习题6-3，9类似 ）
如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 yf(x )、 直 线 xa、 xb及 x轴 所 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 y轴 旋 转 一 周 而 成 的 立 体 ， 体 积 为
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Vy2ax| f(x)|dx
x轴 旋 转 一 周 而 成 的 立 体 ， 体 积 为 多 少 ？
取积分变量为 x， y
yf(x)
x[a,b]
在[a,b]上任取小区 o
x x dx
x
间[x,xdx]，
取 以 d为 底 x 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄
片 的 体 积 为 体 积 元 素 ， dV [f(x)2 ]dx