第8章矩阵位移法例题
矩阵位移法大作业
①
1
2
ql
②
2
3
③
4
q
1① 2 ② 3 ③
4
y M, x
(a)
(b)
第 3 题图
各 杆 EI 、l 相 同，杆长也相同，具体数值可自己给定。
四．采用程序计算图示结构
i
跨长 l（m）
层高 h（m）
集中力（KN）
1
6
7
30
2
10
4
100
3
8
3
50
其他：
柱刚度：EA=105KN，EI=1.5×104KN.m2 梁刚度：EA=106KN，EI=1.0×104KN.m2 支座沉降 C=0.01m
四．采用程序计算图示结构，并作出弯矩图。 已知各杆 E=3.0×106KN/m2，A1=0.16m2，I1=0.012m4，I2=2I1， A2=2A1，I3=3I1，A3=3A1
第 3 题图
20KN
40KN．m
I1，A1 50KN
40KN
15KN/m I3，A3
25KN
I2，A2 40KN．m
4m
4m
3m
3m
五．编写一段程序，实现“将已知支座位移转化为等效节点荷载”。 六．采用程序计算图示结构，并作出最后内力图。已知各杆 E=3.2×106KN/m2，A=0.16m2，I=0.012m4。
36KN
8KN/m
12KN/m
36KN 54KN.m 3m
3m
q=10KN/m
6KN/m
36KN
3m
3m
六．不修改源程序，计算图示结构。
10KN
35KN
6m
15KN
矩阵位移法例题1
50 3 10 15 57 . 5
3 . 891 50 6 . 228 15 79 . 625 57 . 5
2 . 2387 10 6 m 7 2 . 6993 10 m 4 . 2905 10 6 rad
矩 阵 位 移 法（例题）
结构刚度方程为
F K
即
50 202 . 667 3 8 10 15 10 57 . 794 57 . 5 14 . 425 57 . 794 129 . 422 12 . 948 14 . 425 1 12 . 948 2 127 . 306 3
1 (0,0,0)
5m
y
(2)
(1 )
( 2 )
o
x
5m
(0,0,0) 3
2.5m
矩 阵 位 移 法（例题）
单元（1）
0
168 0 0 8 10 168 0 0
0
0 8 . 064 20 . 16 0 8 . 064 20 . 16
(2)
k
(2)
矩 阵 位 移 法（例题）
结构刚度矩阵
168 34 . 667 8 K 10 57 . 794 14 . 425 202 . 667 8 10 57 . 794 14 . 425 57 . 794 8 . 064 121 . 358 20 . 16 7 . 212 20 . 16 7 . 212 67 . 2 60 . 106 14 . 425
矩阵位移法例题
0
2 1 2
0
0
4 1 3
00 2 00 3
0
0
K③
41
3
0
0
0
00 3 000
5 集成总刚度矩阵
第8章矩阵位移法
4 2 2 2
0 1 8 4 0
K 2 2 4 2 4 1
21
2
4
12
2
0
2 1 4 1 4 1 3 0 2 8
1
2
3
6 形成荷载向量
P 60 190 62.5T
2 结点位移编号矩阵 3 各单元旳定位向量
0 0 0 C 0 0 1
0 0 2 0 0 0
2 3T
U1 0 0 0 0 0 1 U2 0 0 1 0 0 2 U3 0 0 2 0 0 0
-90 250
-250 187.5 -112.5
1
2
3
4
第8章矩阵位移法
4 各单元旳刚度矩阵
单元旳刚度矩阵与解法一相同
2 12i 2 BCx l2 Cy
12i (B l2 )CxC y
2 12i 2
BC Y
2 l
Cx
6i l Cy 6i l Cx
2 12i 2 BCx 2 C y
l 12i (B 2 )CxC y l
12i (B 2 )CxC y
l 2 12i 2 BCy 2 Cx
l
6i l Cy 6i l Cx
(e)
K
6i
4i
l Cy
6i l Cx
2i
2 12i 2 BCx 2 C y
l
12i (B 2 )CxC y
l
6i
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
矩阵位移法练习题
结构力学自测题（第八单元）矩阵位移法姓名 学号一、是 非 题（将 判 断 结 果 填 入 括 弧 ：以 O 表 示 正 确 ，以 X 表 示 错 误 ）1、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵作 坐 标 变 换。
()2、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有K ij = K ji ，这 可 由位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。
() 3、图 示 梁 结 构 刚 度 矩 阵 的 元 素 K EI l 11324=/ 。
()EI llEI 212xy M , θ附：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------l EI l EI l EI l EI lEI l EI l EI l EI l EAl EA l EI lEI l EI l EI l EI l EI l EI l EI lEA l EA 4602606120612000002604606120612000002223232223234、在 任 意 荷 载 作 用 下 ，刚 架 中 任 一 单 元 由 于 杆 端 位移 所 引 起 的 杆 端 力 计 算 公 式 为 ：{}[][]{}FT K eee=δ 。
()二、选 择 题 （ 将 选 中 答 案 的 字 母 填 入 括 弧 内 ）1、已 知 图 示 刚 架 各杆 EI = 常 数，当 只 考 虑 弯 曲 变 形 ，且各 杆 单 元 类 型 相 同 时 ，采 用 先 处 理 法 进 行 结 点 位 移 编 号 ，其 正 确 编 号 是 ：(0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0) (1,2,0) (0,0,0) (0,0,3)(1,0,2)(0,0,0) (0,0,0) (1,0,3) (0,0,0)(0,1,2)(0,0,0) (0,3,4)A.B.C.D.2134 123 4 12 34 1 2 3 4 xyM , θ ( ) 2、平 面 杆 件 结 构 一 般 情 况 下 的 单 元 刚 度 矩 阵 []k 66⨯，就 其 性 质 而 言 ，是 ：()A ．非 对 称 、奇 异 矩 阵 ；B ．对 称 、奇 异 矩 阵 ；C ．对 称 、非 奇 异 矩 阵 ；D ．非 对 称 、非 奇 异 矩 阵 。
结构力学矩阵位移法学习
第8章 矩阵位移法 ♍♦♐ 制作同济大学教材笔记(本章答案陆续上传中)一、知识要点： 1.结构坐标系一般采用右手坐标系，记为xoy 。
此时，结点位移和结点力均取与结构坐标系方向一致为正，其中结点的角位移和结点力矩按右手法则均取逆时针方向为正。
2.局部坐标系主要注意α角的定义，看如下图示即明白。
yxoijexyα3.桁架单元刚度方程000000000000eeexi i yi i xj j yj j EAEA F u l lF v EA EAF u l l F v ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭桁架结构变换矩阵Tcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T αααααααα⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭桁架在结构坐标系下的单元刚度矩阵22222222ee c sc c sc sc s sc s EA k l c sc c sc sc s sc s ⎛⎫-- ⎪-- ⎪=⎪-- ⎪⎪--⎝⎭4.刚架单元刚度方程32322232322212612664621261266264eeeyi i i i yj j j j EIEI EI EI l l l l F v EI EI EI EI M l l l l EI EI EI EI F v l l l l M EI EI EI EI l l l l θθ⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭5.受轴向力作用的一般刚架单元刚度方程32322232322200001261260064620000001261260062640eexi i yi i i i xj j yj j EAEA ll EI EIEI EI F u l l l l F v EI EI EI EI M l l l l EA EA F u l l F v EIEI EI EI M l l l l EI EI EI EI l lllθ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ej j ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭一般刚架单元刚度方程的坐标变换矩阵Tcos sin 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos 0001T αααααααα⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭结构坐标系下的一般刚架单元刚度矩阵e k12412423523545645612412423523545645622ea a a a a a a a a a a a a a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a --⎛-- --=---- ---- --⎝6.为什么已知杆端位移能求得单元的唯一杆端力，而已知杆端力却无法唯一确定杆端位移这是因为支座位移条件不已知，可能相差一个刚体位移，即位移的绝对值不同。
矩阵位移法方法课习题
已知图示结构的单元编码及局部坐标如图， 已知图示结构的单元编码及局部坐标如图，局部坐标单元刚 度矩阵相同如（ ） 按结点号顺序写出结点位移编， 度矩阵相同如（c）式。求：按结点号顺序写出结点位移编， 并求结构刚度矩阵。 并求结构刚度矩阵。
2 i
①
3
1
−10 0 0 0 0 10 0 −2 2 0.5 0 0.5 0 0.5 0.2 0 −0.5 0.1 e 6 k = ×10 L(c) 0 10 0 0 −10 0 0 −2 −0.5 0 2 −0.5 0 −0.5 0.2 0 0.5 0.1
3kN/m
① ②
4m
用矩阵位移法求解图示结构。标示整体坐标系， 用矩阵位移法求解图示结构。标示整体坐标系，单元局 部坐标系；按结点号顺序编写结点位移编码； 部坐标系；按结点号顺序编写结点位移编码；写出单元 定位向量；求结构结点荷载列阵{F}。 定位向量；求结构结点荷载列阵 。
4 4m 20kN/m 1 2 4m 3 6m 10 kN . m
T
试求杆14的轴力。 试求杆 的轴力。 EA = 1kN 的轴力
1kN 1kN 2 4 6 1m 1 3 1m 1m y 5 M, θ x
已知图示结构的结点位移列阵为
{ ∆} = [ 0
0 0 0.841 − 0.5752 − 0.9964 0 0 − 0.7425]
T
试求杆32的杆端力列阵中 端的剪力 试求杆 的杆端力列阵中1端的剪力。 的杆端力列阵中 端的剪力。
l
y
M, θ x
试求图示结构在所示位移编码情况下的结点荷载列阵
P 1(0,0,0) 2 (0,0,1) q 3 (0,2,3) 4 (0,0,0) l 5 (0,0) l
矩阵位移法习题(1)
单元②： 0 0 0 F F ② 0 0 0
e ○
FE ②
2、整体坐标下单元等效结点荷载列向量 FEe
通过坐标转换，将局部坐标下单元等效结点荷载列向量 FEe 转换为整体坐标系下单元等效结点荷载
e e 列向量 FE ，并在整体坐标系下单元等效结点荷载列向量 FE 一侧标注单元定位向量。
F e F F Fe F F k e e
e
e
结构内力
e F e e 方法2： F F Tk e
通过单元定位向量
将结点位移转换为单元 的杆端位移
e
由单元刚度方程 求得整体坐标系下由杆端位移 引起的杆端力列向量
Fe k e e
坐标转换 整体坐标系下杆端位力向量转换为 局部坐标系下杆端力列向量
E=200*10^9; I=32*10^-5; A=1*10^-2; EA l L=[4,5]; For i=1:2 0 F1=E*A/L(i); 0 F2=12*E*I/L(i)^3; e k F3=6*E*I/L(i)^2; EA F4=4*E*I/L(i); l F5=2*E*I/L(i); 0 K1=[F1,0,0,-F1,0,0; 0,F2,F3,0,-F2,F3; 0 0,F3,F4,0,-F3,F5; -F1,0,0,F1,0,0; 0,-F2,-F3,0,F2,-F3; 0,F3,F5,0,-F3,F4]; end
1 2 3 0 4 0 单元定位向量 单元定位向量
4.937 9.456 4 10 33 . 45 126.355 单元②：
1 2 3 4
4.937 9.456 4 10 33 . 45 126.355
结构力学第8章 矩阵位移法
单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系 下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。
与坐标轴的正方向一致者为正;
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作业1：已知单元的内力图，列出单元坐标下 及整体坐标下的杆端力向量。
3.04
1.24
y 0.43
4.38N)
x
作业2：已知单元的杆端力如图，写出单元坐 标及整体坐标表示的单元杆端力向量，并 作出单元的内力图。
2EI
l
x
2EI EI
l 6EIl x x
l2
EuIj 1
6EIl
x
l 2 uj 1
EA
l
x
EI
EuIj 1
l
平l面梁单元ul j 的1 x单元刚度矩阵
l
y
ui=1
6EI
l2
N ElA i y
6EI
l
12 2EI l3
12EI
Qi
0l 3
y
2EI
0 Ml iy
2EI 6EI
l
l2
vi =1 θi=1
等截面直杆的刚度方程
适用于两端都是刚结点的杆， 基本未知量为杆两端的转角和侧移；
刚度方程：
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
QAB
QBA
1 l
(
M
AB
M BA)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
1 2i l2
4i
❖ 写成矩阵的形式：
❖ 杆端弯矩、剪力、杆端 侧移均以绕杆端顺时针 为正。关键掌握每个系
结构力学自测题(第八单元)矩阵位移法
q M
10kN/m 2EI 6m
y
l
y
M, x
l
七、图 a 所示结构，整体坐标见图 b，图中圆括号内数码为
结点定位向量(力和位移均按水平、 竖直、 转动方向顺序排列 )。求等效结点荷载列阵 PE 。(不考虑轴向变形)
于： A． 6 ； C．10 ；
20kN/m M1 1 Y1 2m 2 4m 3 y M, x
e
T K
e
。
(
)
二、选择题（将选中答案的字母填入括弧内） 1、已知图示刚架各杆 EI=常数，当只考虑弯曲变形，且各
杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正 确编号是：
是：
附：
EA l 0 0 EA l 0 0
0 12EI l 6 EI l 0 12EI l 6 EI l
2 3 2 3
0 6 EI
2
EA l 0 0 EA l 0 0
0 12EI l 6 EI l
2 3
l 4 EI l 0 6 EI l 2 EI l
(1,0,2) i 6m ② (0,0,0) 6m (a) y M, x (b) i ① (1,0,3)
1 3 1m 1m
y 5
M, x
十、试用矩阵位移法解图示连续梁，绘弯矩图。EI=已知常
数。
50 kN. m B EI 4m 20 kN C 2m D x M,
六、求图示结构的自由结点荷载列阵 P 。
A. 2(0,1,2) 1(0,0,0) 4(0,0,0) 3(0,1,3) C. 2(1,0,2) 1(0,0,0) 4(0,0,0) 3(1,0,3) 1(0,0,0) D. 2(0,1,2) 4(0,0,0) 1(0,0,0) B. 2(1,2,0) 4(0,0,0) 3(0,0,3) y M, x
结构力学第8章自测
烟台大学
自测题
（3）用单元集成法形成结构总刚度矩阵 ）
返回
自测
各单元的定位向量如下： 各单元的定位向量如下：
λ(1) = (0 1)T
λ( 2) = (1 2)T
λ(3)Байду номын сангаас= (2 3)T
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按单元定位向量将单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵如下： 按单元定位向量将单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵如下：
自测题
一、 判断题
返回
自测
1. 在矩阵位移法中整体分析的实质是结点平衡。( √ ) 在矩阵位移法中整体分析的实质是结点平衡。 2.单元刚度矩阵是单元固有的特性，与坐标选取无关。 单元刚度矩阵是单元固有的特性，与坐标选取无关。 单元刚度矩阵是单元固有的特性 (√ ) 3. 矩阵位移法中，结构等效节点荷载作用下的内力与 矩阵位移法中， 结构在荷载作用下的内力相同。（ × ） 应该是位移相同。 结构在荷载作用下的内力相同。 应该是位移相同。 4. 结构刚度矩阵是对称矩阵，即有kij=kji ，这可由位移 结构刚度矩阵是对称矩阵，即有 互等定理得到证明。 互等定理得到证明。( × ) 应该是反力互等定理。 应该是反力互等定理。 5. 设整体坐标下单元刚度矩阵为 ke，杆端力列阵为 e, 杆端力列阵为F 杆端位移列阵为⊿e，杆件固端力列阵为F0e，则有
P3=_____。 。
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解： P1=-ql2/12 ； P3=0。 0
烟台大学
自测题
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自测
3. 用直接刚度法建立图示连续梁的结构刚度矩阵，并计 用直接刚度法建立图示连续梁的结构刚度矩阵， 算各杆的杆端弯矩。 上海交大2000） 算各杆的杆端弯矩。（20分）（上海交大 分 ）
矩阵位移法的计算步骤及示例
=
EA l
⎡0.72855 ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 1 2.47855⎥⎦ 2
（5）解算结构刚度方程
28
解算结构刚度方程，求出结点位移
EA ⎡0.72855 l ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 2.47855⎥⎦
⎩⎨⎧uv11
⎫ ⎬ ⎭
=
⎨⎧FP ⎩0
⎫ ⎬ ⎭
Δ1
=
⎩⎨⎧uv11
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
12
由各单元刚度矩阵的上方和右侧的单元定位 向量，集成结构刚度矩阵K，此时结构刚度 矩阵K 为4阶方阵。
1
2
3
⎡ 4EI
2 EI
⎢ ⎢ ⎢
l 2
(1)
EI
k (1) l ( 1 )
4EI + 4EI
0 2 EI
K
=
⎢ l(1) ⎢
⎢0
⎢
l(1) l( 2 EI
2
)
k
(2)
4
l EI
(2
+
)
4 EI
l(2)
l(2) l(3)
⎢ ⎢⎣
0
0
2EI k (3)
l(3)
4
0
⎤ ⎥
1
⎥
0 ⎥2 ⎥
2 EI l(3)
⎥ ⎥ ⎥
3
4 EI l(3)
⎥ ⎥⎦
4
13
将各杆所需有关数据计算如下：
第八章知识资料矩阵位移法知识资料视频例题
视频例题:
➢802
1.试求下图所示刚架中各单元在整体坐标系中的刚度矩阵k e。
设各杆的
杆长和截面尺寸相同。
l=5m，截面尺寸bh=0.5m×1m，A=0.5m2，I=1/24m4,E=3×104MPa,EA/l=300×104kN/m,EI/l=25×104kN.m。
➢803
1.试求下图所示梁的结构刚度矩阵。
➢804
1.试用直接刚度法计算下图所示桁架。
设各杆EA=3.0×105kN。
2.求下图结构刚度矩阵。
➢805
1.延续梁结构如下图所示，①单元和2结点的等效结点荷载分离为( )、（）。
2.求下图所示结构的结点荷载列阵P。
3.如下图所示，求结构的结点荷载向量。
4.下图所示为等截面延续梁，i=EI/l，设支座3有沉降Δ。
试决定其各单元荷
载向量。
➢806
1.试用先处理法分析下图所示的组合结构。
已知材料的弹性模量E=
2.0×1011Pa，横梁的长度各为l=1m，横截面惯性矩I=1.5×10-6m4，拉杆截面积A=6.25×10-5m2；支座A 处有顺时针方向转角0.01rad，支座B是转动弹性支座，其转动刚度系数k
=2×
θ
102kN.m/rad;忽略横梁的轴向变形。
矩阵位移法练习题
需要注意的几个问题
（1）初学者易把单元的固端力与传统位移法中载常 数混淆，造成求等效荷载时出错。单元的固端力是在固 定单元的杆端其不能有任何位移时荷载作用下的杆端力 （即固端力）。
例如，对于梁式杆，不论连接该杆的结点是铰结点、 定向结点，均按两端固定梁计算固端力。
（2）在考虑轴向变形的单元刚度矩阵中剔除EA项， 即得忽略轴向变形的单元刚度矩阵。
3
6
2
5
2
4
7
11
3
A. （0 0 1 2 3 4）T C. （0 0 1 3 2 4）T
解：答案为B。
B. （2 3 4 0 0 1）T D. （3 2 4 0 0 1）T
总结
例： 图示结构整体刚度矩阵K中元素k22等于（ ） A. 28EI/3l B. 12EI/l C. 20EI/3l D. 16EI/l
解：在未引入支撑条件时， 其整体刚度矩阵K是____ 阶方阵。
解 ： 答案为21×21。
总结
例：图示结构若只考虑弯曲变形，括号中的数字为结点
位移分量编码，则其整体刚度矩阵中元素k11等于（ ）.
A. 36EI / l 3
B. 72EI / l 3
C. 108EI / l 3
ql2 90i
,
2
ql 2 360 i
(6) 求杆端力并绘制弯矩图如图所示c。
(c) 45.6 16.8 2.4
4.8 M图（kN·m）
总结
四、思考题
1. 单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点各是什么？ 2. 单元定位向量是由什么组成？他的用处是什么？ 3. 刚架中有铰结点时应该怎样处理？
解：答案选A。
EI 2 2EI
第八章矩阵位移法-1
8-1 概述
局部坐标系示例
12
②
8-1 概述
13
5．结点位移整体码
• 按结点编码由小到大的顺序对结点的位移编码 • 不同问题，结点位移个数不同。
等截面连续梁每结点1个转角； 平面桁架每结点2个线位移； 平面刚架每结点3个位移；
8-1 概述
14
结构的离散化示例
8-1 概述
15
结构的离散化示例
后处理
Δi ui vi T
n个结点的位移向量为
Δ Δ1 Δ2 Δn T
或
Δ u1 v1 u2 v2
un vn T
8-1 概述
19
平面刚架FP2 的单元
FP1
平面刚架的结点位移向量：
Δ 1 2 3 4 u1 v1 1 u2
5 6 7 8 9
局部坐标系中:
(e)
(e)
1
(e)
δ
δi
(e)
2
ui
v
i
F1 (e) F xi (e)
(e)
F
F i
(e)
F 2
F
yi
δ j 3 u j
F j F 3 F xj
32
四.坐标系选择
常用的三种坐标系
8-1 概述
坐标系示例
33
②
2
3
②
2
3
8-1 概述
34
y
① x
2②
x
y
v2 2 u3 v3 3
矩阵位移法习题
EA 3 8 3
3 1
1 3 0 3 8 总刚度矩阵： K EA 3 8 0 3 0 1 8 8
位移向量：
v2 T
荷载向量：
P 15kN
20kN T
u2
1 3 3 0 8 8 u2 15kN 3 结构刚度方程： EA 20kN 3 0 1 v2 0 8 8
F
(e)
广西大学土木建筑工程学院
•
作业：已知单元和结点的离散如图，给定荷载作用 下各结点整体坐标下的位移：
u2 141006 / E, v2 37 / E, 2 18356 / E
u3 140988 / E, v3 763/ E, 3 32874 / E
20 20 2 (2) 370
0 4 6 EI 0 l 2 0 4 EI l
K (3)
0 0.04 0.12 0 0.12 105 0.48
EA 0 0 l 12 EI 6 EI 0 l3 l2 4 EI 0 6 EI l l2 0 0 4 0 0.04 0.12 105 0 0.12 0.48
单元①③ a=0° 单元②
EA 4 105 l
EI 0.12 105 l
3. 单元坐标表示的单 元刚度矩阵 先处理法
K
(1)
a=45° EA 2.8285 105 EI 0.0849 105 l l
EA l 0 0
0 12 EI l3 6 EI l2
K (1) K (1) 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 EA 0 3 0
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③ 7.428 48.285 47.995 0 0 0T 105
第8章矩阵位移法
（2）计算单元坐标变换矩阵
1 0 0
0 1 0
0
T①
T③
0
0
1
1
0
0
0
0 1 0
0
0
1
0.7071 0.7071 0
0.7071 0.7071 0
0
T②
0
0
1
0.7071 0.7071 0
0
0.7071 0.7071 0
0
0
0.24 0
105
0.12
0.48
0
12EI
3
l
6EI
2
l
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
6EI
2
l
4EI
l
0
6EI
2
l 2EI
l
EA l
0
0
EA l 0
0
K (3) K (1)
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
12EI
3
l 6EI
2
l
0
6EI
2
l
2EI
2
l
0
6EI
2
l 4EI
l
2.8285
移置方法：
（1）将结构的各结点固定，即相当于取位移法的基本结构 （2）求出各非结点荷载引起的固端内力 （3）将固端内力反向作用到结点上
第8章矩阵位移法
例题5 试用先处理法建立图示连续梁的总刚度方程并求解
80kN
1
i=2 2
3m 3m
30kN/m
i=1 3 10m
160kN
i=1 4 3m 5m
第8章矩阵位移法
0
3E l2
I
0
3EI l2 3EI
l
0 0 0 0 01
第8章矩阵位移法
5 集成总刚度矩阵
K
3 2 41
21
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.
1698
0
105
0.060
0.3396
4.列出整体坐标表示的单元刚度矩阵
单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以
4 0
0 4 0
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
K
(3)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对 称
0.04 0.12
0.48
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法： 直接代入公式：
2 1 2i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxC y
-90 250
-250 187.5 -112.5
1
2
3
4
第8章矩阵位移法
4 各单元的刚度矩阵
单元的刚度矩阵与解法一相同
单元一端铰支一端固定
0
0
K
①
0
0
0
3i 1
EA
l
0
K (e)
EA l
0
0
0
3EI l3
0
3EI l3
3EI l2
EA l
0
EA l
0
0
0
3EI l3
0
3EI l3 3EI l2
0
01 0
0 0
0 0 0.7071 0.7071 0
0 sin a cosa 0 0
0 0 0.7071 0.7071 0
0
0
1
0
00 0
0 1
以上代入公式： K (2) T K (2)T T (2) (2)
得单元（2）整体坐标表示的单元刚度矩阵：
1.4213
K (2)
对
1.4072 1.4213
1 1.74 2 18.49 3 12.43
第8章矩阵位移法 8 求各单元杆端力
F e K eT ee F0e F0e单元上作用的非结点荷载引起的固端内力向量
F
①
8 4
4 8
1.74 18.49
60
60
0 200.96
F
②
4 2
2 4
18.49 12.43
250
250
200.96
第8章矩阵位移法
ki① i 0
k
① ji
0
1
0
ki② i
k
② ji
0
2
6 引入支座条件
ki① j
ki② j
k
① jj
k
② jj
ki③ i
k
③ ji
3
0 1
0
2
ki③ j
k
③ jj
3 4
4
取出自由结点所对应的子块，即第3子块行、第3子块列，构成考虑 约束条件后的总刚度矩阵。
k
① jj
k
解法一
1 结点和单元编号 未知的结点位移向量 1 2 3T
2 结点位移编号矩阵 3 各单元的定位向量
0 0 1 C 0 0 2
0 0 3 0 0 0
U1 0 0 1 0 0 2 U2 0 0 2 0 0 3 U3 0 0 3 0 0 0
60 -60 250
-250 187.5 -112.5
称
0.04243 0.04243
0.3394
1.4213 1.4072 0.04243 1.4213
1.4072 1.4213 0.04243 1.4072 1.4213
0.04243
0.04243
0.1697 0.04243
105
0.04243
0.3394
返回目录
5 集成总刚度矩阵
237.3
F
③
4 2
2 12.43 187.5 237.3
4
0
112.5
87.64
第8章矩阵位移法
解法二
单元看成是一端铰支一端固定单元。
1 结点和单元编号 未知的结点位移向量
2 结点位移编号矩阵 3 各单元的定位向量
0 0 0 C 0 0 1
0 0 2 0 0 0
2 3T
U1 0 0 0 0 0 1 U2 0 0 1 0 0 2 U3 0 0 2 0 0 0
i
EI l
0.12×105
0.0849×105
③ 3→4
0° 1
0
4×105
0.12×105
3.列出单元坐标表示的单元刚度矩阵
将以上参数代入公式：
4 0 0 4 0
0
0.04 0.12
0
0.04
K
(1)
0
0.48 0 0.12 40
对 称
0.04
EA
l
0
K
(e)
0
EA l
0 0.12
第8章矩阵位移法
例题 1
图a所示结构(整体坐标见图b，图中圆括号内数码为结点定位向量 (力和位移均按竖直，转动方向顺序排列)。 求结构刚度矩阵[K]。
第8章矩阵位移法
例题 1
EA
Ni
l
0
Qi
M i
N
j
0 EA
Q
j
M j
l
0
0
0
12EI l3 6EI
l2
0
12EI
l3 6EI
l2
0
6EI l2
4EI l
0
6EI l2 2EI l
EA l
0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3 6EI l2
0
6EI
u
i
l2 2EI
vi
l 0
i
u
j
6EI l2
v
j j
4EI
l
例题 1 (1) 求各单元单刚
第8章矩阵位移法
21
2
4
12
2
0
21 4 1 4 1 3 0 2 8
1
2
3
6 形成荷载向量
P 60 190 62.5T
60 -60 250
-250 187.5 -112.5
1
2
3
4
第8章矩阵位移法 7 解刚度方程求结点位移
P K
60 8
190
62.5
4 0
4 12 2
0 2 8
12 3
0
0
1
第8章矩阵位移法
（3）单元坐标表示的刚度矩阵
4 0 0 4 0
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对 称
0.04 0.12
0.48
K (3) K (1)
2.8285
0
K
(2)
0
对