专插本高等数学例题和习题ch5常微分方程
常微分方程(专升本)
平顶山学院补考课程：常微分方程(专升本)总时长：120分钟1. (填空题) 以为通解的线性微分方程为___.(本题4.0分)答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无2. (填空题) 微分方程是___阶微分方程.(本题4.0分)答案: (1) 2 ;得分点:未设置解析: 无3. (填空题) 设某4阶常系数齐次线性微分方程的特征根为,（二重）,则该方程的通解为___.(本题4.0分)答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无4. (填空题) 方程有只与相关的积分因子的充要条件是___.(本题4.0分)答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无5. (填空题) 伯努利微分方程可通过变量代换___化为线性微分方程.(本题4.0分)答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无6. (填空题) 一个不可延展解的存在区间一定是___区间.(本题4.0分)答案: (1) 开;得分点:未设置解析: 无7. (填空题) 齐次线性方程组的解向量在定义区间上线性相关的___条件是它们的朗斯基行列式.(本题4.0分)答案: (1) 充要;得分点:未设置解析: 无8. (填空题) 若线性微分方程组的解在区间上线性无关,则在上它们的朗斯基行列式___.(本题4.0分)答案: (1) 0;得分点:未设置解析: 无9. (填空题) 方程满足的第次近似解_______(本题4.0分)答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无10. (填空题) 若,则=___.(本题4.0分)答案: (1);得分点:未设置解析: 无11. (单选题) 微分方程通过点的第二次近似解为( ).(本题4.0分)A.B.C.D.答案: B解析: 无12. (单选题) 阶线性齐次微分方程的所有解( ).(本题4.0分)A. 构成一个线性空间B. 构成一个维线性空间C. 构成一个维线性空间D. 不能构成一个线性空间答案: B解析: 无13. (单选题) 关于三阶常微分方程的通解,下列说法正确的是( ).(本题4.0分)A. 一定含有三个独立的任意常数B. 通解包含所有解C. 一个方程只有一种形式的通解D. 以上说法都不对答案: A解析: 无14. (单选题) 通解为的微分方程是( ).(本题4.0分)A.B.C.D.答案: C解析: 无15. (单选题) 方程的任一饱和解的最大存在区间必是一个( ).(本题4.0分)A. 闭区间B. 开区间C. 有限区间D. 以上说法都不对答案: B解析: 无16. (问答题) 求解方程.(本题10.0分)答案: 依题:因为:仅与x有关,..….3分所以原方程有积分因子……………………………….….….…..6分用x乘以原方程的两端得全微分方程将左端重新组合得:即:…………………………………..8分故原方程的通积分为…………………….…....10分得分点:未设置解析: 无17. (问答题) 求方程组的通解求方程组的通解(本题10.0分)答案:得分点:未设置解析: 无18. (问答题) 已知为线性方程的相应齐次线性方程的基本解组,求方程的通解.(本题20.0分)。
高等数学微分方程试题及答案.docx
第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（ 1）方程形式：dyP x Q y Q y0通解dyP x dx C dx Q y（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0通解M 1xdx N 2ydy C M 2 x 0, N 1 y 0M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式dyf y（ 1）齐次方程xdx令yu ，则dyu xduf ufdu dx c ln | x | c x dx dx u u x二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程dyP x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx2．一阶线性非齐次方程精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性dx非齐次方程求解。
dy1可化为dxP y x Q y y x以为自变量，．方程：P y x dydx Q y为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。
三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n ynff x dx C1 x n 1xn次令 y p ，则 y p ，原方程y f x, yf x, p ——一阶方程，设其解为pg x, C1p，即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。
令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dpdx dy dx dy y f把 y， y 的表达式代入原方程，得dp1f y, p—一阶方程，y, y dy pdy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C1, 即dyg y, C1，则原方程的通解为dx令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C3．伯努利方程dyQ x y0,1P x ydxdyx C2。
专升本高等数学一(常微分方程)模拟试卷2
专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷2(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.下列方程是一阶微分方程的是 ( )（分数：2.00）A.2y '' +x 2 y ' +y=0B.(7x一6y)dx+(x+y)dy=0 √C.(y ' ) 2 +xy (4)一y 2 =0D.(y '' ) 2 +5(y ' ) 2一y 5 +x 7 =0解析：解析：A、D项是二阶微分方程，C项是四阶微分方程，只有B项是一阶的，故选B．2.下列哪组函数是线性相关的 ( )（分数：2.00）A.e 2x，e －2xB.e 2＋x，e x－2√C.e x2，e －x2解析：解析：=e 4，是常数，故B项的函数是线性相关的；而A、C、D 项函数都是线性无关的，故选B．3.y ' ( )（分数：2.00）A.arctany—arctanx=CB.arctany+arctanx=CC.arcsiny—arcsinx=C √D.arcsiny+arcsinx=Carcsiny=arcsinx+C，C为任意常数，故选C．4.设函数y(x)满足微分方程cos 2 x．y ' +y=tanx，且当y=0，则当x=0时，y= ( )（分数：2.00）C.一1 √D.1解析：解析：方程两边同时除以cos 2 x，得y ' +sec 2 x．y=tanxsec 2 x．此为一阶线性非齐次方程，由其通解公式可得y=e －∫P(x)dx[∫Q(x)e ∫P(x)dx dx+C]=e －∫sec2xdx[∫tanxsec 2xe sec2xdx dx+C] =e －tanx[∫tanxsec 2 xe tanx dx+C]=e －tanx [tanxe tanx一∫sec 2 xe tanx dx+C] =e －tanx [tanxe tanx一e tanzx +C]=tanx一1+Ce －tanx，又当时，y=0，则C=0，即y=tanx一1．所以x=0时，y=0—1=一1，故选C．5.微分方程y ''一2y ' =x的特解应设为 ( )（分数：2.00）A.AxB.Ax+BC.Ax 2 +Bx √D.Ax 2 +Bx+C解析：解析：因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r 2一2r=0，得特征根为r 1 =0，r 2 =2．于是特解应设为y * =(Ax＋B)x=Ax 2 +Bx．6.设方程y ''一2y '一3y=f(x)有特解y*，则它的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=C 1 e －x +C 2 e 3x +y* √B.y=C 1 e －x +C 2 e 3xC.y=C 1 xe －x +C 2 e 3x +y*D.y=C 1 e x +C 2 e －3x +y*解析：解析：考虑对应的齐次方程y ''一2y '一3y=0的通解．特征方程为r 2一2r一3=0，所以r 1 =一1，r 2 =3，所以y ''一2y '一3y=0的通解为=C 1 e －x＋C 2 e 3x，所以原方程的通解为y=C 1e －x＋C 2 e 3x +y*，其中C 1，C 2为任意常数．7.已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点处的切线平行于直线2x—y+5=0，而y(x)满足微分方程y ''一6y ' +9y=e 3x，则此曲线方程为y= ( )（分数：2.00）A.sin2x2 e 3x +sin2xx(x+4)e 3x√D.(x 2 cosx+sin2x)e 3x解析：解析：原方程对应的二阶齐次微分方程的特征方程r 2一6r+9=(r－3) 2=0，所以其特征根为r 1=r3x，λ=3是方程的二重特征根，原方程特解形式为y *=Ax 2 =3，二阶齐次方程对应通解为y=(C 1 +C 2 x)e2 e 3x，(y * ) ' =(3Ax 2 +2Ax)e 3x，(y * ) '' =(9Ax 2 +12Ax＋2A)e 3x．代入到方程中可得A= ．则原方程通解为y=(C 1 +C 2 x)e 3x + x 2 e 3x．由题意可得y ' (0)=2，y(0)=0，代入可得C 1 =0，C 2 =2，故所求曲线方程为y=( x 2 +2x)e 3x x(x+4)e 3x．8.微分方程y ' = 的通解为（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：设=μ，y=xμ，y '=μ＋=tanμ．所以，ln｜sinμ｜=ln｜x｜+ln｜C｜，sinμ=Cx，原方程的通解为=Cx(C为任意常数)．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.微分方程的解中含有独立的任意常数的个数若与微分方程的 1相同，则该解叫作微分方程的通解．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：阶数）解析：解析：由微分方程通解定义可知，通解中任意常数的个数与微分方程中的未知数的最高阶导数的阶数即方程的阶数一致．10.微分方程3e x tanydx+(1一e x )sec 2 ydy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：tany=C(e x一1) 3）解析：解析：两边同乘以，方程分离变量为积分得ln｜tany｜=3ln｜e x一1｜+1n｜C｜．所以方程有通解为 tany=C(e x一1) 3，其中C为任意常数．11.微分方程(1+x)ydx+(1一y)xdy=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=ln｜xy｜+x+C）解析：解析：分离变量，(1+x)ydx+(1一｜x｜+C=y—ln｜y｜，即通解为y=x+ln｜xy｜＋C，C为任意常数．12.方程y ''一2y ' +5y=e x sin2x的特解可设为y*= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：xe x (Asin2x+Bcos2x)）解析：解析：由特征方程为r 2—2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为e x sin2x，因此其特解应设为y*=xe x (Asin2x+Bcos2x)．13.满足y '' =x，且经过点(0，1)，在该点与直线相切的积分曲线为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：对等式积分得y ' = x 2 +C 1，再积分得y= x 3 +C 1 x+C，且直线过点(0，1)，则C=1，又直线在该点与y= +1相切，所以y ' (0)= ，故所求积分曲线为＋1．三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.求方程y ' =e 3x－2y满足初始条件y｜x=0 =0的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原题可改写为，即e 2y dy=e 3x dx，两边积分得 e 2y= e 3x+C，代入初始条件y｜x=0 =0，得＋C，所以．)解析：15.求微分方程(1+y 2 )arctanydx+(1+x 2 )arctanxdy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程分离变量得，，即ln｜arctany｜=一ln｜arctanx｜+ln｜C｜，则方程的通解为arctany．arctanx=C，其中C为任意常数．)解析：16.求方程(1+x 2 )ydy＋(1+y 4 )dx=0，满足y｜x=0 =1的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程分离变量得，丙边积分有arctany 2 =一arctanx+C，将初始条件y｜x=0 =1代入得C= ，则方程的特解为arctany 2．)解析：17.求微分方程(x 2 +3)y ' +2xy—e 2x =0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：将原方程改写成y ' + ，则．其中C为任意常数．)解析：18.设f(x)+2∫ 0x f(t)dt=x 2，求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由f(x)+2∫ 0x f(t)dt=x 2，两边对x求导得 f ' (x)+2f(x)=2x，这是一个一阶线性常微分方程，由通解公式得 f(x)=e －∫2dx(∫2xe ∫2dx dx+C)=e －2x(∫2xe 2x dx+C) =x一+Ce －2x．又由题意可得f(0)=0，则 e －2x．)解析：19.已知连续函数f(x)满足f(x)=∫ 03x＋e 2x ,求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：等式两端对x求导得f ' (x)一3f(x)=2e 2x，利用通解公式得 y=e ∫3dx[∫2e 2x e －∫3dx dx+C]=e 3x[∫2e －x dx+C] =e 3x (一2e －x +C)=Ce 3x一2e 2x，又f(0)=0+1=1，所以C一2=1，C=3，故f(x)=3e 3x一2e 2x．)解析：20.求一个不恒等于零的可导函数f(x)，使它满足f 2(x)=∫ 0x（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：据题意，f 2(x)=∫ 0x f(t)．两边同时对x求导，可得 2f(x)．f '(x)=f(x)．，即f ' (x)= ，解微分方程两端积分得又因f(0)=0，可得C=ln3，所以所求函数ln3．)解析：21.假设： (1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤e x一1； (2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e x一1分别相交于点P 1和P 2； (3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所封闭图形的面积S恒等于线段P 1 P 2的长度，求函数y=f(x)的表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题设可得示意图如图6—1所示．由图可知∫ 0x f(t)dt=e x一1一f(x)，两端求导，得 f(x)=e x一f ' (x)，即 f ' (x)+f(x)=e x．由一阶线性微分方程求解公式，得 f(x)=e －∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C] =e －x (∫e x ．e x dx+C)=Ce －x+e x． 由f(0)=0，得C=． 因此，所求函数为f(x)= (e x一e －x)．)解析：22.求9y ''＋6y '+y=0的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：对应的特征方程为9r 2+6r ＋1=0，解得r= ，为二重根，故原方程的通解为(C 1 +C 2 x)． 其中C 1 ，C 2 为任意常数．)解析：23.求微分方程y ''一2y '一3y=3x+1的一个特解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：这是二阶线性常系数非齐次线性微分方程，其中f(x)=3x+1， 方程的特征方程为r2一2r 一3=0． 其特征根为r 1 =一1，r 2 =3． 由于λ=0不是特征根，所以设特解为y *=Ax+B ． 把y *=Ax+B 代入所给方程，得 一3Ax 一2A 一3B=3x+1， 比较系数，得A=一1，B=． 于是求得所给方程的一个特解为 y *=一x ＋．)解析：24.求y ''－4y '+5y=e 2x(sinx+cosx)的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为，r 2—4r+5=0，解得r=2±i，所以对应的齐次方程的解为=(C 1 sinx+C 2 cosx)e 2x，λ±ωi=2±i，是特征方程的根，故设原方程的特解为y=xe 2x(Asinx+Bcosx)，则 Y '=e 2x(Asinx+Bcosx)+xe 2x[(2A —B)sinx+(A+2B)cosx]， Y ''=e 2x[(4A 一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe 2x[(3A 一4B)sinx+(4A+3B)cosx]， 代入原方程得 e 2x[(4A 一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe 2x[(3A 一4B)sinx+(4A+3B)cosx]一4e 2x(Asinx+Bcosx)一4xe 2x[(2A —B)sinx+(A+2B)cosx]+5xe 2x(Asinx+Bcosx)=e 2x(sinx+cosx)， 解得 ，故原方程的通解为 y=(C1sinx+C 2 cosx)e 2x(sinx 一cosx)． 其中C 1 ，C 2 为任意常数．)解析：25.已知函数f(x)满足方程f ''(x)+f '(x)一2f(x)=0，且f '(x)+f(x)=2e x，求表达式f(x)． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：解微分方程f ''(x)+f '(x)一2f(x)=0， 特征方程r 2+r 一2=0，解得r 1 =一2，r 2 =1， 所以微分方程的通解为f(x)=C 1 e －2x +C 2 e x ，其中C 1 ，C 2 为任意常数． 则f '(x)=一2C 1 e －2x+C 2 e x，又f '(x)+f(x)=2e x， 所以一C 1 e －2x+2C 2 e x=2e x，得C 1 =0，C 2 =1，所以f(x)=e x．) 解析：26.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程化为为齐次方程，令=μ，dy=μdx+xdμ，代入上式再分离变量cosμdμ=dx．两边积分得sinμ=一ln｜x｜+C，将μ=代入得通解为=一ln｜x｜+C，C为任意常数．)解析：27.的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令y '=p，y ''= －p=0，分离变量得，两边积分得ln｜p｜=ln｜y｜+ln｜C 1｜即p=C 1 y，即y ' =C 1 y，再分离变量得dy=C 1 dx，两边积分得ln｜y｜=C 1 x+C，即通解y=C 2 e C1x，其中C 1，C 2为任意常数．)解析：。
河北专接本数学(常微分方程)模拟试卷3(题后含答案及解析)
河北专接本数学（常微分方程）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列各式是一阶微分方程的有( )．A．y2+4y一2=0B．y”+2y’+3y=0C．y’+ex=(y’+ex)’D．(7x一6y)dx+(2x+y)dy=0正确答案：D 涉及知识点：常微分方程2．微分方程x2y”+xy’+2y=0的阶是( )．A．4B．3C．2D．1正确答案：C 涉及知识点：常微分方程3．以下函数可以作为某个二阶方程的通解的是( )．A．C1x2+C2x+CB．x2+y2=CC．y=ln(C1x)+ln(C2sinx)D．y=C1sin2x+C2cos2x正确答案：D 涉及知识点：常微分方程4．下列函数中是微分方程y’+=x的解的为( )．A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：常微分方程5．已知r1=0，r2=一4是某二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的两个根，则该方程是( )．A．y”+4y’=0B．y”—4y’=0C．y”+4y=0D．y”—4y=0正确答案：A 涉及知识点：常微分方程6．微分方程xdy=ylnydx的一个解是( )．A．y=lnxB．ln2y=zC．y=sinxD．y=ex正确答案：D 涉及知识点：常微分方程填空题7．微分方程sinxcosydx=cosxsinydy满足初始条件的特解为__________．正确答案：涉及知识点：常微分方程8．微分方程+3y=e2x的通解为__________．正确答案：涉及知识点：常微分方程9．微分方程(x—2)y’=y+2(x—2)3在初始条件y｜x=1=0下的特解为__________．正确答案：y=(x一2)3一(x一2) 涉及知识点：常微分方程10．已知曲线过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率为x2，则曲线的方程为__________．正确答案：涉及知识点：常微分方程11．微分方程+y=e—x的通解为．正确答案：y=e—x(x+C) 涉及知识点：常微分方程12．微分方程xdy—ydx=y2eydy的通解为__________．正确答案：x=一yey+Cy 涉及知识点：常微分方程13．已知二阶常系数齐次微分方程的通解为y=C1ex+C2e—x，则原方程为__________．正确答案：y”一y=0 涉及知识点：常微分方程14．以y=e2x，y=xe2x为特解的二阶常系数齐次微分方程为__________．正确答案：y”—4y’+4y=0 涉及知识点：常微分方程15．已知微分方程y”+y=x的一个解为y1=x，微分方程y”+y=ex的一个解为y2=ex，则微分方程y”+y=x+ex的通解为__________．正确答案：y=C1cosx+C2sinx+ex+x 涉及知识点：常微分方程综合题16．求微分方程的通解3xx+5x一5y’=0正确答案：涉及知识点：常微分方程17．求微分方程的通解y—xy’=a(yx+y’)正确答案：涉及知识点：常微分方程18．求微分方程的通解y’—=(x+1)x正确答案：x(x+1)2+c(x+1)2 涉及知识点：常微分方程19．求微分方程的通解tanx=1+y正确答案：y=Csinx一1 涉及知识点：常微分方程20．求微分方程的通解=10x+y正确答案：10x+10—y=C 涉及知识点：常微分方程21．求微分方程的通解ylnxdx+xlnydy=0正确答案：ln2x+ln2y=C 涉及知识点：常微分方程22．求微分方程的通解xdy+dx=eydx正确答案：e—y=1一Cx 涉及知识点：常微分方程23．求微分方程的通解x(y2一1)dx+y(x2一1)dy=0正确答案：(y2一1)(x2一1)=C 涉及知识点：常微分方程24．求已给微分方程满足初始条件的特解正确答案：2(x3—y3)+3(x2一y2)+5=0 涉及知识点：常微分方程25．求已给微分方程满足初始条件的特解y’一ytanxsecx，y｜x=0=0正确答案：y=xsecx 涉及知识点：常微分方程26．求已给微分方程满足初始条件的特解y’=e2x—y，y｜x=0=0正确答案：ey=(1+e2x) 涉及知识点：常微分方程27．求已给微分方程满足初始条件的特解y’+ycosx=e—sinx，y｜x=0=0正确答案：y=xe—sinx 涉及知识点：常微分方程28．求微分方程的通解或特解(y2一6x)+2y=0正确答案：涉及知识点：常微分方程29．求微分方程的通解或特解+3y=2正确答案：涉及知识点：常微分方程30．求微分方程的通解或特解+y=e—x正确答案：y=(x+C)e—x 涉及知识点：常微分方程31．求微分方程的通解或特解一3xy=xy2正确答案：涉及知识点：常微分方程32．求微分方程的通解或特解(x2+1)+2xy=4x2正确答案：涉及知识点：常微分方程33．求微分方程的通解或特解+2y=4x正确答案：y=2x—1+Ce—2x 涉及知识点：常微分方程34．求微分方程的通解或特解y’+2xy=4x正确答案：涉及知识点：常微分方程35．求微分方程的通解或特解y’一=2x2正确答案：y=x2+Cx 涉及知识点：常微分方程36．求微分方程的通解或特解+y—e2=0，y｜x=a=6正确答案：涉及知识点：常微分方程。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
专升本高等数学一(常微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．微分方程(y’)2=x的阶数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶，故此微分方程的阶数为1．知识模块：常微分方程2．微分方程y2dx一(1一x)dy=0是( )A．一阶线性齐次方程B．一阶线性非齐次方程C．可分离变量方程D．二阶线性齐次方程正确答案：C解析：将该微分方程整理可得dx，所以该微分方程是可分离变量方程．知识模块：常微分方程3．已知函数y=+x+C是微分方程y’’=x一1的解，则下列正确的是( )A．y是该微分方程的通解B．y是微分方程满足条件y｜x=0=1的特解C．y是微分方程的特解D．以上都不是正确答案：D解析：方程为二阶微分方程，则通解中应含有两个任意常数，因此y=x3一x2+x+C显然不是方程的通解，又y’=一x+1，y’’=x－1，故可知y=x2+x+C为y’’=x－1的解，因含有未知数，故不是特解，因此选D．知识模块：常微分方程4．方程xy’=2y的特解为( )A．y=2xB．y=x2C．y=2x3D．y=2x4正确答案：B解析：分离变量可得，两边积分得ln｜y｜=lnx2＋C1，即y=Cx2，所以方程的特解中x的最高次数也应该为2，故选B．知识模块：常微分方程5．微分方程y’+的通解是( )A．arctanx+CB．(arctanx+C)C．arctanx+CD．+arctanx+C正确答案：B解析：所求方程为一阶线性微分方程，由通解公式可得其中C为任意常数，故选B．知识模块：常微分方程6．方程y’’一y’=ex+1的一个特解具有形式( )A．Aex+BB．Axex+BC．Aex+BxD．Axex+Bx正确答案：D解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2一r=r(r一1)=0，所以r1=0，r2=1，又有f(x)=ex＋1，λ1=0，λ2=1是该二阶非齐次微分方程的一重特征根，所以特解形式为y*=Axex+Bx．故选D．知识模块：常微分方程7．某二阶常微分方程的下列解中为特解的是( )A．y=CsinxB．y=C1sin3x+C2cos3xC．y=sin3x+cos3xD．y=(C1+C2)cosx正确答案：C解析：由特解定义可知，特解中不含有任意常数，故排除A、B、D项，选C．知识模块：常微分方程8．下列方程中，可用代换p=y’，p’=y’’降为关于p的一阶微分方程的是( )A．+xy’一x=0B．＋yy’一y2=0C．＋x2y’一y2x=0D．＋x=0正确答案：A解析：可降阶方程中的y’’=f(x，y’)型可用代换p=y’，p’=y’’，观察四个选项，只有A项是y’’=f(x，y’)型，故选A．知识模块：常微分方程填空题9．方程(xy2+x)dx+(y－x2y)dy=0满足y｜x=0=1的特解为_______．正确答案：=2解析：分离变量得，两边积分得ln｜x2一1｜=．所以x2一1=C(y2+1)，又y｜x=0=1，故=2．知识模块：常微分方程10．已知微分方程y’+ay=ex的一个特解为y=xex，则a=_______．正确答案：一1解析：把y=xex，y’=ex+xex代入微分方程y’+ay=ex=(1+a)xex+ex，利用对应系数相等解得a=一1．知识模块：常微分方程11．微分方程y’’一4y’+3y=excosx+xe3x对应齐次微分方程的通解为=_______，它的特解形式为y*=________．正确答案：C1ex+C2e3x，ex(Acosx+Bsinx)+x(ax+b)e3x解析：事实上，原方程对应的齐次微分方程的特征方程为r2一4r+3=0，r1=1，r2=3，故齐次微分方程的通解为=C1ex+C2e3x．非齐次方程特解形式的假设，可分为两个方程进行：y’’一4y’+3y=excosx，①y’’一4y’+3y=xe3x．②λ=1±i不是特征方程的特征根，故①的特解形式是y1*=ex(Acosx+Bsinx)；λ=3是特征方程的一重特征根，故②的特解形式应是y2*=x(ax+b)e3x，则y1*+y2*=y*即是原方程的特解形式．知识模块：常微分方程12．非齐次微分方程y’’+9y=cosx，它的一个特解应设为________．正确答案：y=Acosx+Bsinx解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2+9=0，所以r1，2=±3i，f(x)=cosx，则±i不是该二阶齐次微分方程的特征根，所以特解形式为y=Acosx+Bsinx．知识模块：常微分方程13．设二阶常系数线性齐次微分方程y’’＋ay’+by=0的通解为y=C1ex+C2e2x，那么非齐次微分方程y’’+ay’+by=1满足的条件y(0)=2，y’(0)=一1的解为________．正确答案：y=4ex一解析：二阶线性常系数齐次方程对应的特征方程为r2+ar+b=0，又由通解可得特征根r1=1，r2=2，即(r一1)(r一2)=0，r2一3r＋2=0，故a=一3，b=2．所以非齐次微分方程为y’’一3y’＋2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，因此，设特解y*=A，则(y*)’=0，(y*)’’=0，代入可得，所以y’’一3y’＋2y=1的通解为y=C1ex＋C2e2x+，再由y(0)=2，y’(0)=一1，可得C1=4，C2=，故满足初始条件的特解为y=4ex一．知识模块：常微分方程解答题14．求微分方程dy=sin(x+y+100)dx的通解．正确答案：方程可写成y’=sin(x+y+100)，令μ=x+y+100，则，于是原方程化为=1+sinμ，就得到了可分离变量方程．分离变量，得=dx，恒等变形，有=dx，即(sec2μ—tanμsecμ)dμ=dx．两边积分，得tanμ—secμ=x+C，将μ=x+y+100回代，得方程通解为tan(x+y+100)一sec(x+y+100)=x+C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程15．求微分方程xy’一=0的通解．正确答案：方程分离变量得，两边积分有+C1，则方程的通解为2ln｜y｜+y2一ln2x=C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程16．求方程xsecydx+(1+x2)dy=0，满足初始条件y｜x=0=的特解．正确答案：方程分离变量得dy，即dx=一cosydy，两边积分有dx=－∫cosydy，即n(1+x2)=一siny+C，由初始条件y｜x=0=得C=1，则方程的特解为siny＋=1．涉及知识点：常微分方程17．求微分方程secx．y’+tanx．y=ecosx的通解．正确答案：将原方程改写成y’+ysinx=cosxecosx，则y=e－∫sinxdx(∫cosxecosxe∫sinxdxdx+C)=ecosx(∫cosxdx＋C)=ecosx(sinx+C)．其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程18．(1)求微分方程xy’+ay=1+x2满足y｜x=1=1的解y(x，a)，其中a为常数．(2)证明(x，a)是方程xy’=1+x2的解．正确答案：(1)原方程可改写成y’+，微分方程的通解为(2)设y0=+lnx，则xy0’=x(x＋)=1+x2，故结论成立．涉及知识点：常微分方程19．求微分方程y’+3x2y=xe－x3的通解．正确答案：由通解公式得y=e－∫3x2dx(∫xe－x3e3x2dxdx+C)=e－x3(∫xdx+C)=x2e－x3+Ce－x3．C为任意常数．涉及知识点：常微分方程20．求微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解．正确答案：方程xy’+2y=xlnx两边同时除以x，得y’＋y=lnx，是一阶线性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=lnx，利用通解公式得涉及知识点：常微分方程21．求解方程∫0x(x—s)y(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds．正确答案：∫0x(x—s)y(s)ds=x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds，两边对x求导，得∫0xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=一1，再次对x求导，得y’一y=sinx 为一阶线性非齐次微分方程．其中P(x)=一1，Q(x)=sinx，故解为y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)eP(x)dxdx+C]=ex[∫sinxe－xdx+C]=Cex一(sinx+cosx)，又由y(0)=一1，得C=，故原方程解为y(x)=(ex+sinx+cosx)．涉及知识点：常微分方程22．已知某曲线经过点(1，1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程．正确答案：根据题意可知，f(1)=1．由导数几何意义可知，曲线y=f(x)上任意一点(x0，y0)处的切线方程为：y—y0=f’(x0)(x—x0)．令x=0，y=一f’(x0)x0+y0，其中，y0=f(x0)，∴x0=一x0f’(x0)+f(x0)，即x0f’(x0)一f(x0)=一x0，求曲线方程相当于求=一1满足y(1)=1的特解．由通解公式得又∵y(1)=1，∴C=1，故所求曲线方程为y=一xln｜x｜+x．涉及知识点：常微分方程23．求y’’一2y’+y=x3的特解．正确答案：对应的齐次方程的特征方程为r2一2r＋1=0，解得r=1，为二重根，故λ=0不是特征方程的根．由f(x)=x3，设特解为y=Ax3+Bx2＋Cx+D，则y’=3Ax2+2Bx＋C，y’’=6Ax＋2B，代入原方程得6Ax＋2B一2(3Ax2＋2Bx+C)＋Ax3+Bx2+Cx＋D=Ax3+(B一6A)x2＋(6A+C一4B)x＋2B+D－2C=x3，则A=1，B=6，C=18，D=24，故特解为y=x3+6x2+18x+24．涉及知识点：常微分方程24．求y’’一5y’一14y=9e7x的特解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一5r一14=0，解得r=一2，7，λ=7是特征方程的一重根，故设原方程的特解为y=Axe7x，则y’=A(7x+1)e7x，y’’=A(49x+14)e7x，代入原方程得A(49x+14)e7x一5A(7x+1)e7x 一14Axe7x=9e7x，则A=1，故特解为y=xe7x．涉及知识点：常微分方程25．求y’’一4y’+4y=xe2x的通解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一4r+4=0，解得r=2(二重根)，所以对应的齐次方程的解为=(C1x+C2)e2x，λ=2是特征方程的二重根，故设原方程的特解为y*=x2e2x(Ax+B)，则(y*)’=2xe2x(Ax+B)+x2e2x(2Ax+2B+A)，(y*)’’=e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)，代入原方程得e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)一8xe2x(Ax+B)一4x2e2x(2Ax+2B+A)+4x2e2x(Ax+B)=xe2x，解得A=，B=0，故原方程的通解为y=(C1x+C2)e2x+x3e2x．其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程26．已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．正确答案：据题意的，y’=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f(x)=y’+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex，则下面求微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex 的通解，特征方程为r2+3r+2=0，求得r1=一1，r2=一2，所以y’’+3y’+2y=0的通解为y=C1e－x+C2e－2x，因λ=1不是特征方程的根，所以设y*=(Ax+B)ex 为原方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的一个特解，则把(y*)’=(Ax+A+B)ex，(y*)’’=(Ax+2A+B)ex代入原方程，并比较系数得A=，B=，所以微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解为y=C1e－x+C2e－2x+ex．其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程27．求y’’=y’+x的通解．正确答案：令y’=p，y’’=p’，原方程化为p’=p+x，解此一阶线性非齐次方程得p=e∫dx[∫xe－∫dxdx+C1]=ex(∫xe－xdx+C1)=C1ex－x－1即y’=C1ex一x一1，两边积分得通解为y=C1ex一一x+C2，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t)=[t2f(t)一f(1)]，求：28．y=f(x)所满足的微分方程；正确答案：据题意，V(t)=π∫1t[f(x)]2dx=[t2f(t)一f(1)]，即3∫1t[f(x)]2dx=t2f(t)一f(1)，上式两边同时对t求导得，3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，即y=f(x)所满足的微分方程为x2y’+2xy一3y2=0；涉及知识点：常微分方程29．该微分方程满足条件y｜x=2=的解．正确答案：将微分方程x2y’+2xy一3y2=0，化为，即为齐次方程．令μ=＋μ，代入方程并化简得=3μ2一3μ．变量分离得，两端积分并代入μ=得通解为y—x=Cx3y，再把y｜x=2=代入可得C=－1，故该微分方程满足条件y｜x=2=的解为y—x=一x3y．涉及知识点：常微分方程。
高等数学题库常微分方程
高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。
3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。
4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。
7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。
8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。
二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。
《常微分方程》第五章练习题
x
y
C1
e3t 2e3t
C2
et 2et
3、满足初值条件的解为
~
(t )
et e t
4、方程组的通解为
x y
C1e2t
4 5
C2e7t
1 1
。
4
5、所求基解矩阵为 (2 e
3t
3)e
3t
e 3t (2 3)r
3t ．
6、 (t )
e3t [E
t(A
3E)]
A1 (t)
A2 (t)
，t
(a,b) .
部分参考答案 一、填空题
1、 (t) (t)C
2、(t) exp[(t t0 )A]
t t0
exp[(t s)A] f (s)ds
3、必要
t t0
1 (s) f
(s)ds
三、计算题
1、
A
4 3
3
4
2、原方程组的通解为
x ' Ax ce mt 有一解形如(t) pemt ，其中 c ， p 是常数向量．
3
4、证明：如果 φ(t) 是方程组 x Ax 满足初始条件 φ(t0 ) η 的解，那么
φ(t) [exp A(t t0 )]η 。
5、证明：如果 Φ(t),Ψ (t) 在区间 a t b 上是 n 阶线性方程组
1、向量
X1
(t)
2et 0
，
X
2
(t)
t 2et et
的伏朗斯基行列式
W (t) =（
）．
A 、0 ； B 、 tet ； C 、2 e t ； D 、2 e2t ．
2、有关矩阵指数 exp A 的性质，以下说法正确的是（ ）
专转本高数数学常微分方程模拟试题练习(含答案)
专转本数学常微分方程模拟试题练习一、 选择题1．微分方程0)()(2222=++-dy y x dx y x 是A ．可分离变量微分方程；B ．齐次方程；C ．一阶线性方程；D ．贝努利方程．2．一阶线性微分方程)()(x q y x p dxdy =+的积分因子为 A ．⎰=-dx x p e )(μ； B ．⎰=dx x p e )(μ； C ．⎰=-dx x q e )(μ； D ．⎰=dx x p q e )(μ．3．微分方程012=+'+''y y 的通解是A ．x e x c c y -+=)(21；B ．x x ec e c y -+=21； C ．x e c c y x 21221-+=-； D ．x x c x c y 21sin cos 21-+=． 4．微分方程2-=-''x e y y 的一个特解可设为A ．b ae x +；B ．bx axe x +；C ．bx ae x +；D ．b axe x +。
5．微分方程x x y y y cos 912=+'+''的一个特解可设为A ．x b x a x b x a sin )(cos )(2211+++；B ．x x a x x a sin cos 21+；C ．x x a cos 1；D ．x b ax cos )(+．6．设常数a 、b 同号，则微分方程0)(=-'-+''aby y a b y 的通解为A ．bx ax e c ec y -+=21； B ．bx ax e c e c y 21+=-； C ．bx ax e c e c y 21+=； D ．bx ax e c e c y --+=21．7．已知1=x 时，1=y ，且函数)(x f y =满足方程0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ，则当221+=x 时，有=y A ．1； B ．21； C ．22； D ．221+． 8．函数)(x y y =在任意点x 处当自变量有增量x ∆时，函数的增量为)(32x o x e x y y ∆∆∆+=，若3ln )1(-=y ，则)20(3y =A ．2ln ；B ．2ln -；C ．20ln ；D ．20ln -．9．微分方程x y y ='-''4的通解为A ．1682421x x e c c y x +-+=；B ．1682421x x e c c y x -++=； C ．168)(2421x x e x c c y x --+=； D ．1682421x x e c c y x --+=． 10．微分方程x xe y y y 32=-'+''有一特解为A ．x e x x y )32(2-=；B ．x e x x y )32(2+=；C ．x e x x y )2(2-=；D ．x e x y )312(-=． 二、填空题1．微分方程y y y y y -'+''''=''2)(是 阶微分方程．2．以x c x y )(+=为通解的微分方程为 ．3．由参数方程⎩⎨⎧=-=)()()2(t tf y t f t x 所确定的函数)(x y y =的导数为3212-+=t t dx dy ，则满足1)3ln (=-f 的函数为 ．4．微分方程0cos tan 2=+-'x y x y y 的通解为 ．5．微分方程xe x y y y 3)1(96-=+'-''的特解形式可设为 ．6．微分方程x y y 2sin 44-=+''的特解形式可设为 ．7．x y =1、x e x y +=2、x e x y ++=13为常系数线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的解，则此方程的通解为 ．8．微分方程034=+'-''y y y 的通解为 ．9．微分方程x e y y y 522510-=+'+''的通解为 ．10．微分方程x y y cos 2=+''的通解为 ．三、解答题1．求)0()1(2+∞<<=-+'x e y x y x x满足0)(lim 0=+→x y x 的解． 2．求经过点)0,21(且满足方程11arcsin 2=-+'x y x y 的曲线方程．3．求微分方程y xx y '+=''3213满足10==x y 、4|0='=x y 的特解． 4．求微分方程x x y y cos +=+''的通解．5．在过原点和（2，3）点的单调光滑曲线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x 轴及曲线围成的面积是另一条平行线与y 轴及曲线所围成面积的两倍，求此曲线方程．6．求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线1=x 、2=x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而得的旋转体的体积最小．7．求曲线 使曲线的法线上自曲线的点至法线与y 轴的交点上一段距离为常数a ．8．求满足方程⎰-+=-xx x f dt t x f 01)()(2可导函数)(x f ．9．)(x ϕ在),(+∞-∞上有定义，对一切实数x 、y ，都有)()()(x e y e y x y x ϕϕϕ+=+，若)(x ϕ在0=x 点可导，且1)0(='ϕ，（1）证明)(x ϕ在任一点都可导；（2）求)(x ϕ．一、1．B ； 2．A ； 3．C ； 4．D ； 5．A ； 6．A ； 7．B ； 8．B ； 9．D ； 10．A ． 二、1．四阶； 2．x y xy =-'1； 3．x e x f 28)(=； 4．x c x y cos )(1+=； 5．x e b ax x 32)(+； 6．)2sin 2cos (*x B x A x y +=； 7．x e c c y x ++=21；8．x x e c e c y 321+=； 9．x x e x e x c c y 52521)(--++= ；10．x x x c x c y sin sin cos 21++=。
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
专升本高等数学(一)-常微分方程(一)
专升本高等数学(一)-常微分方程(一)(总分：91.98，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00)1.下列方程为一阶线性微分方程的是______∙ A. (y')2+2y=x∙ B. y'+2y2=x∙ C. y'+y=x∙ D. y"+y'=x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查微分方程的有关概念．一阶线性微分方程要求方程中所含有关未知函数的导数的最高阶数为一阶的，且未知函数及其一阶导数均为一次幂．(答案为C)2.微分方程的通解是______ A. B. C. D. 其中C为任意常数)（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 利用直接积分法可求得给定线性微分方程的通解 [*]．(答案为D)．3.微分方程y"=y的通解是______∙ A. y=C1+C2e x∙ B. y=e x+e-x∙ C. y=C1e x+C2e-x∙ D. y=Ce x+Ce-x(其中C，C1，C2为任意常数)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知微分方程y"=y为二阶线性微分方程，其通解中应含两个独立的任意常数C1，C2．选项B、D中的函数不含有任意常数或者只含有一个任意常数，所以选项B、D是错误的，应筛去．选项A中，y=C1+C2e x中含有两个任意常数，通过求导可得y'=C2e x，y"=C2e x，代入微分方程y"=y，等式关系不成立，因此y=C1+C2e x不是微分方程y"=y的通解．选项C中，y=C1e x+C2e-x中含有两个任意常数，通过求导得y'=C1e x-C2e-x，y"=C1e x+C2e-x，代入微分方程y"=y，等式关系成立，因此y=C1e x+C2e-x是微分方程y"=y的通解．(答案为C)4.y|x=1=1的特解是______∙ A. y=e x∙ B. y=e-x∙ C. y=e x-1∙ D. y=e1-x（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 本小题主要考查可分离变量方程的解法，分离变量[*]，两边积分，得lny=-x+C1，即原方程的通解为y=Ce-x(其中[*])．将初始条件y|x=1代入通解，得C=e，所求特解为y=e·e-x=e1-x．(答案为D)5.微分方程y"=y'的通解为______∙ A. y=C1+C2e2x∙ B. y=C1+C2e x∙ C. y=C1+C2x∙ D. y=C1x+C2x2（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 已知方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其相应的齐次方程的特征方程为r2-r=0，特征根r1=0，r2=1，故原方程的通解为y=C1+C2e x．(答案为B)6.下列方程为一阶线性微分方程的是______∙ A.y'+xy3=x∙ B.xy'+y=x3∙ C.y·y'+xy=sinx∙ D.y"+5y'-6y=xe-x（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：7.微分方程y'=的通解是______ A． B． C． D其中C为任意常数) （分数：2.00）A.B. √C.D.解析：8.微分方程y'+xy=0的通解是______ A． B． C． D．其中C为任意常数) （分数：2.00）A. √B.C.D.解析：9.微分方程ylnxdx=xlnydy满足初始条件y|x=1=1的特解是______∙ A.ln2x+ln2y=0∙ B.ln2x+ln2y=1∙ C.ln2x-ln2y=0∙ D.ln2x-ln2y=1（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：10.微分方程y"+4y'-5y=0的通解是______∙ A.y=C1e x+C2e5x∙ B.y=C1e-x+C2e5x∙ C.y=C1e x+C2e-5x∙ D.y=C1e-x+C2e-5x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：11.对于微分方程y"+4y'+4y=e-2x，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是______∙ A.y*=Ae-2x∙ B.y*=(Ax+B)e-2x∙ C.y*=Axe-2x∙ D.y*=Ax2e-2x（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：12.已知二阶线性常系数齐次微分方程的通解是y=C1e-2x+C2e3x，则此方程为______∙ A.y"-y'+6y=0∙ B.y"-y'-6y=0∙ C.y"+y'-6y=0∙ D.y"+y'+6y=0（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：13.已知二阶线性常系数齐次微分方程的两个特解是y1=1与y2=e2x，则此方程为______∙ A.y"-2y'=0∙ B.y"+2y'=0∙ C.y"-3y'+2y=0∙ D.y"+3y'+2y=0（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：11，分数：22.00)14.微分方程xy'=1的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：ln|x|+C）解析：[解析] 本小题主要考查可分离变量方程的解法． [*] y=ln|x|+C．15.微分方程y'=x的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 本题主要考查求解可分离变量微分方程． [*]，即dy=xdx，则[*]16.y|x=2=4的特解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2+y2=20）解析：[解析] 本题主要考查求解可分离变量方程微分方程，分离变量ydy=-xdx，两边积分[*]，即方程的通解为x2+y2=C(其中C=2C1)．将初始条件y|x=2=4代入通解，得C=20，所求的特解为x2+y2=20．17.微分方程y'-y=1的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=Ce x-1）解析：[解析] 本题给定方程是可分离变量的微分方程，也是一阶线性微分方程．解法Ⅰ [*]，ln(y+1)=x+C1，y+1=Ce x(其中[*])，即通解为y=Ce x-1．解法Ⅱ p(x)=-1，q(x)=1．y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx dx+C]-e∫dx[∫e∫dx dx+C]=e x[∫e-x dx+C]=e x[-e-x+C]=Ce x-1．18.微分方程xyy'=1-x2的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2+y2=2lnx+C）解析：19. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：e-y=e-x+C）解析：20.微分方程y'-3y=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=Ce3x）解析：21.设y1(x)，y2(x)是二阶线性常系数微分方程y"+py'+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1y1(x)+C2y2(x)）解析：22.微分方程y"-3y'+2y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1e x+C2e2x）解析：23.微分方程y"-6y'+9y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=(C1+C2x)e3x）解析：24.微分方程y"+2y'+5y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：3，分数：44.00)设曲线y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率为，（分数：4.00）(1).求函数y=f(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]， [*]．由[*]知C=0，故[*]．)解析：(2).求由曲线y=f(x)，y=0，x=1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：设函数y=f(x)（分数：35.98）(1).求函数y=f(x)的表达式（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程可化为[*]，则[*]．将初始条件y|x=1=0代入得C=-1，故[*]．)解析：(2).讨论函数y=f(x)在(0，+∞)内的单调性（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因[*]，故[*]在(0，+∞)内单调增加．)解析：(3).求连续函数f(x)，使其满足．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(对关系式两边求导，得f'(x)+2f(x)=2x.这是标准形式的一阶线性微分方程，其中p(x)=2，q(x)=2x．其通解为y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e-∫p(x)dx dx+C]=e-∫2dx[∫2x·e2dx dx+C]=e-2x·[∫2x·e2x dx+C]=e-2x·[xe2x-∫e2x dx+C]=e-2x[*]，由关系式[*]，令x=0，得f(0)=0代入通解，得[*]，所以所求函数为[*]．)解析：(4).设y=e x是微分方程xy'+g(x)y=x的一个解，求此微分方程满足初始条件y|x=ln2=0的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将解y=e x代入给定的微分方程，有xe x+g(x)e x=x，解得g(x)=x(e-x-1)．代入原方程，得y'+(e-x-1)y=1．这是一个一阶线性微分方程的标准形式，其中p(x)=e-x-1，q(x)=1，则其通解[*]．将初始条件y|x=ln2=0代入通解，得[*]，所以所求的特解为[*])解析：(5).求解下列微分方程．求微分方程y-y'=1+xy'的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y-1=C(x+1))解析：(6).求解下列微分方程．满足初始条件y|x=0=0的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(7).求解下列微分方程． 2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(8).求解下列微分方程．求微分方程cosx·y'-sinx·y=cos2x满足初始条件y|x=π=1的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(9).设f(x)f(x)．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程．[*]，xf(x)=f'(x)+2x，整理为一阶线性微分方程的标准形式y'-xy=-2x，其中p(x)=-x，q(x)=-2x，y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx dx+C]=e∫xdx[∫-2xe-∫xdx dx+C][*]把x=0代入[*]，得f(0)=0．把初始条件f(0)=0代入方程的通解[*]，得C=-2，所求的函数为[*]．)解析：(10).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"+y'-2y=e-x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(11).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"+6y'+5y=e-x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(12).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"-2y'+y=e x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(13).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"-2y'-3y=x+1的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(14).设f(x)为连续函数，求f(x)．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程．[*]对于上式左右两边再对x求导，有f"(x)=6x+f(x)，即f"(x)-f(x)=6x，此为二阶常系数非齐次线性微分方程．为了求解需先确定初始条件：取x=0代入f(x)=x3+1+[*]，得f(0)=03+1+[*]，即得f(0)=1．取x=0代入关系式f'(x)=3x2+[*]，得[*]，即得f'(0)=0．原题转化为求解二阶常系数非齐次线性微分方程f"(x)-f(x)=6x在初始条件f(0)=1，且f'(0)=0下的特解．其对应的齐次方程为f"(x)-f(x)=0．特征方程为r2-1=0，特征根为r=±1，齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e x．自由项f(x)=6x，其中P m(x)=6x，m=1，α=0不是特征根，设非齐次线性方程的特解y*=Ax+B，y*'=A，y*"=0代入微分方程f"(x)-f(x)=6x，得A=-6，B=0，得非齐次线性方程的特解为y*=-6x．所以微分方程f"(x)-f(x)=6x的通解为f(x)=C1e-x+C2e x-6x，将初始条件f(0)=1，且f'(0)=0代入得[*]．所以[*]．)解析：已知可导函数y=f(x)满足关系式y"+y'=0，且其图形在点(0，0)处的切线与直线x-y=1平行．（分数：4.00）(1).求f(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由题意可知本题实际上是求二阶常系数齐次线性微分方程y"+y'=0在一定初始条件下的特解．二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是r2+r=0，特征根为r1=0，r2=-1，齐次方程的通解为y=C1+C2e-x．y'=-C2e-x，y'(0)=-C2．由题意有y(0)=C1+C2=0，已知直线x-y=1的斜率k=1．由平行条件可知y'(0)=-C2=1，解得C1=1，C2=-1，所求函数y=f(x)=1-e-x．)解析：(2).求曲线y=f(x)，与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积S.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：。
专升本高等数学(一)-空间解析几何无穷级数常微分方程_真题-无答案
专升本高等数学(一)-空间解析几何、无穷级数、常微分方程(总分88,考试时间90分钟)一、填空题1. 设平面过π点(1，0，-1)且与平面4x-y+2z-8=0平行，则平面π的方程为______．2. 过两点(1，-1，-1)，(0，2，-1)的直线的方程是______．3. 空间平面π：x+2y-z+3=0与空间直线l：的位置关系是______．4. 直线l过点(0，2，-1)且与平面4x-y+2z-8=0垂直，则直线l的方程为______．5. 点(1，0，-1)到平面x+2y-2z-2=0的距离是______．二、解答题设曲线y=x2+1上一点(x0，y0)处的切线l平行于直线y=2x+1，求1. 切点(x0，y0)；2. 切线l的方程．3. 求过点M0(1，-1，2)且与直线l1，l2都垂直的直线，其中试确定下列各组直线与平面间的关系：4.5.6.7.8. 求所给球面x2+y2+z2+2y-4z-4=0的球心与半径．指出下列方程在空间直角坐标系中所表示曲面的名称．9. x2+y2+z2-2z=0；10. ；11. x2-y2+z2=0；12. y2+z2=1；13. x+2y2+2z2=1；14. x2-y2+z2=1．15. 求出曲线l绕Oz轴旋转一周所得到的曲面方程，其中l：16. 判断下列级数的收敛性，如果收敛，试求出级数的和.．17. 判断下列级数的收敛性，如果收敛，试求出级数的和.．18. 判断下列级数的收敛性.．19. 判断下列级数的收敛性.20. 判断下列级数的收敛性.．21. 判断下列级数的收敛性.．22. 判断下列级数的收敛性.．23. 判断下列级数的收敛性.．24. 判断下列级数的收敛性.．25. 判断下列级数的收敛性.．判断下列级数的收敛性：26. ；27. ；28. ．判断下列级数的收敛性，如果级数收敛，请说明是绝对收敛还是条件收敛．29. ；30. ；31. ；32. ；33. ；34. .35. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.．36. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.．37. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.38. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.39. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.40. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.41. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.将下列函数展开成x的幂级数．42. f(x)=ln(1-x)43.44.45. f(x)=ax46. f(x)=(1+x)ln(1+x)．将下列函数展开成x-x0的幂级数．47. f(x)=ln(x-1)，x0=248. f(x)=ex，x0=1；49.50.51. 将函数展开为麦克劳林级数．52. 求微分方程xdx+ydy=0的通解．53. 求微分方程y'=xey的通解．54. 求微分方程的通解．55. 求微分方程的通解．56. 求微分方程xy'+y=ex的通解．57. 求解微分方程xy'-y=x2-2．58. 求微分方(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0，满足初始条件y|x=0=1的特解．59. 求微分方程x3y'+(2-3x2)y=x3满足初始条件y|x=1=0的特解．60. 求微分方程的通解．61. 设连续函数f(x)满足积分方程，求f(x)．已知二阶常系数齐次线性微分方程有如下两个特解，求该微分方程：62. e-x，ex；63. 1，e-3x；64. e2x，(3+2x)e2x．求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：65. y"+y'-2y=0；66. y"-5y'=0；67. 4y"-4y'+y=0；68. y"+4y=0；69. y"+2y'+2y=0．求下列微分方程满足相应初始条件的特解：70. y"-3y'-4y=0，y|x=0=0，y'|x=0=-5；71. 4y"+4y'+y=0，y|x=0=2，y'|x=0=10；72. y"-4y'+13y=0，y|x=0=3，y'|x=0=0．求解下列二阶常系数非齐次线性微分方程：73. 2y"+y'-y=9e2x；74. y"+y'-2y=e-x；75. y"+3y'=3x；76. y"-y'-2y=xe-x；77. 4y"-4y'+y=3xe2x．。
《常微分方程》练习题库参考答案
《常微分⽅程》练习题库参考答案江苏师范⼤学数学教育专业《常微分⽅程》练习测试题库参考答案⼀、判断说明题1、在线性齐次⽅程通解公式中C 是任意常数⽽在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。
将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性⾮齐次⽅程求解问题，这⼀⽅法成功了，称为常数变易法。
2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx xx p(x))在p(x)连续的区间有意义，⽽exp(-dx xx p(x))＞0。
如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯⼀。
3、（1）它是常微分⽅程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为⼀元函数，所建⽴的等式是已知关系式。
（2）它是常微分⽅程，理由同上。
（3）它不是常微分⽅程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建⽴的等式不是已知关系式。
4、微分⽅程求解时，都与⼀定的积分运算相联系。
因此，把求解⼀个微分⽅程的过程称为⼀个微分⽅程。
微分⽅程的解⼜称为（⼀个）积分。
5、把微分⽅程的通解⽤初等函数或通过它们的积分来表达的⽅法。
注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能⽤初等函数表⽰出来，我们也认为求解了这个微分⽅程，因为这个式⼦⾥没有未知函数的导数或微分。
6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中⼀个因式仅含有x,另⼀因式仅含y ，⽽⽅程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量⽅程的主要特征，就像f(x,y)⼀样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。
7、⼆元函数f(x,y)满⾜f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。
m=0则称它为0次齐次函数。
8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次⽅程。
如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次⽅程。
常微分方程练习题及答案
常微分方程练习题及答案常微分方程练习试卷一、填空题。
1、方程23210d xx dt +=就是阶 (线性、非线性)微分方程、 2、方程()x dyf xy y dx=经变换_______,可以化为变量分离方程、3、微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个、 4、设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= 、5、朗斯基行列式()0W t ≡就是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件、6、方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为、7、已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = 、8、方程组20'05??=x x 的基解矩阵为 .9、可用变换将伯努利方程化为线性方程、10 、就是满足方程251y y y y ''''''+++= 与初始条件的唯一解、11、方程的待定特解可取的形式:12、三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根就是二、计算题1、求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点与点(1,0)的连线相互垂直、2.求解方程13dy x y dx x y +-=-+、3、求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。
4.用比较系数法解方程、、5.求方程sin y y x'=+的通解、6.验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=就是恰当方程,并求出它的通解、7.设3124A -??=??-?? , ??-=11η ,试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ,求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解、8、求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解、9、求的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ?12(0),η?ηη??==并求expAt10、若三、证明题1、若(),()t t Φψ就是()X A t X '=的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵C ,使得()()t t C ψ=Φ、2、设),()(0βα?≤≤x x x 就是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=?x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ?在],[βα上一致收敛所得的解,而)(x ψ就是这积分方程在],[βα上的连续解,试用逐步逼近法证明:在],[βα上)()(x x ?ψ≡、3、设都就是区间上的连续函数, 且就是二阶线性方程的一个基本解组、试证明:(i) 与都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 与没有共同的零点;(iii) 与没有共同的零点、4、试证:如果)(t ?就是AX dtdX=满足初始条件η?=)(0t 的解,那么η?)(ex p )(0t t A t -=、答案一、填空题。
江苏省专转本高等数学第五章常微分方程核心知识点例题讲解(含答案)
第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点● 可分离变量的ODE● 一阶线性非齐次常微分方程及推广● 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e x y =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得：1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dx y x dy y x )1()1(122+=+-解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112 xdx p p dp p =--+⇒221)1( x dx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212，将xy p =代入即可。
常微分方程习题答案（第五章定性与稳定性理论简介）
常微分方程习题答案第五章定性与稳定性理论简介教材习题同步解答习题5.21. 对于方程组41114221,,xx x x x x ⎧=-⎨=⎩ 试说明 441212(,)V x x x x =+是正定的，而dVdt是常负的。
证：易知(0,0)0V =，当22120x x +≠时，12(,)0V x x > 正定。
34344444121122211212124()4()440dV V V x x x x x x x x x x x x dt x x ∂∂=+=-+-=-+=∂∂ ，故dV dt是常负。
(0,0)0V =。
2. 讨论方程组312132124,3,xx x x x x ⎧=--⎨=-⎩ 零解的稳定性。
证：取 221212(,)V x x x x =+， 易知(0,0)0V =，当22120x x +≠时， 12(,)0V x x >即正定。
334411221212121212222(4)2(3)22()0dV x x x x x x x x x x x x x x dt=+=--+-=---< ，故方程的零解是渐进稳定的。
3. 讨论自治系统2111222212,,x Ax x x x Ax x x ⎧=-⎨=-⎩ 零解的稳定性。
证：证：取 221212(,)V x x x x =+， 易知(0,0)0V =，当22120x x +≠时，12(,)0V x x >即正定。
222211221112221212222()2()2()dV x x x x x Ax x x x Ax x x A x x dt=+=-+-=+ ，故方程的0A >，则零解是不稳定的；若0A <，则零解是渐进稳定的。
习题5.3通过求解，确定下列各方程的奇点类型，画出相图，并确定奇点的稳定性：（1）2,3;dx x dt dy y dt ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）3,3;dx x dt dy x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（3）,;dx y dt dy x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（4）23,3;dxx y dtdy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解：（1）方程的奇点为(0,0)O ，方程所对应的系数矩阵为2003A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，系数矩阵所对应的特征方程为20003λλ--=-- 或2560λλ++= ，特征根为 1220,30,λλ=-<=-<奇点(0,0)O 为稳定结点。
高等数学微分方程试题及答案
第九章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P e x C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1yz 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdzαα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
三、可降阶的高阶微分方程四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
江苏专转本高等数学 常微分方程 例题加习题
- 142 -第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点● 可分离变量的ODE● 一阶线性非齐次常微分方程及推广● 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e xy =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得： 1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，- 143 -得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dxy x dy y x )1()1(122+=+- 解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112- 144 -x dx p p dp p =--+⇒221)1( xdx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212， 将x y p =代入即可。
专转本第七讲-常微分方程【精选】
解法一 使用常数变易法求解．
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 ex , 22
这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方
程的通解为 x
y Ce 2 , x
设所给线性非齐次方程的解为 y C( x)e 2 ,
将 y 及 y 代入该方程，得
x
C( x)e 2
1 ex,
2
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于是，有
dy (sin x cos x)dx, 1 y2
两边积分，得
arcsin y (cos x sin x) C,
这就是所求方程的通解．
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例2
求方程
y y 的通解. x
解 分离变量，得
两边积分，得
dy 1 dx, yx
1 ln | y | ln x C1,
化简得
| y | eC1 1 , x
2
2
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化简，得 y2 1 C( x 1)2 ,
即 y2 C( x 1)2 1
为所求之通解. 将初始条件 y(0) = 2 代入，得 C = 3. 故所求特解为
y2 3( x 1)2 1.
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例 4 求 方 程 dy ky( y a) 的 通 解(其 中k 与
dx a 均 是 正 的 常 数).
所以，方程的通解公式为
y
Ce
P(
x )dx
.
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例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
P( x)dx sin xdx cos x,
由通解公式即可得到方程的通解为 y Cecosx .
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第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点●可分离变量的ODE ●一阶线性非齐次常微分方程及推广 ●二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程 ● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e xy =⎰⎰=dx e dy e x y 通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得：1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dx y x dy y x )1()1(122+=+-解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112 xdx p p dp p =--+⇒221)1( x dx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212， 将x y p =代入即可。
例5.6．dx y x dy x )(222+=解：2)(1xy dx dy +=， 令,y p y px y p xp x''=⇒==+ 21dp p x p dx⇒+=+p p dx dp x -+=⇒21 ∴ x dx p p dp =+-211()d p dx x -⇒=⎰12ln p x C ⎛⎫- ⎪=+ln x C =+，将x y p =代入即可。
二、一阶线性齐次方程（ODE ）1．基本型()()y p x y q x '+=公式公式：()()(())p x dx p x dx y q x e C e -⎰⎰=+⎰注：应用此公式要注意：不定积分不带C ；基本型又称标准型。
例5.7．32xy y x '-= 解：22y y x x '-=，其中22(),()p x q x x x=-=。
2()2ln p x dx dx x x -==-⎰⎰()21p x dx e x⎰=，()2p x dx e x -⎰= 2()2()p x dx x q x e dx dx x x ⎰==⎰⎰由公式得，()()232(())()p x dx p x dx y q x e C e x C x x Cx -⎰⎰=+=+=+⎰。
例5.8．1)(,sin '==+πy x y xy 解：xx q x p x x y x y sin ,1,sin 1'===+ ()ln p x dx x =⎰，⎰⎰-==⎰x xdx x x e x q dx x p cos sin )()(ln cos (cos )x C x y x C e x--=-+= 将1,==y x π代入得11C π+=，1C π=-， x xy cos 1--=∴π。
2．Bernoulli 方程()()n y p x y q x y '+=方法：令 1n yz -= ，方程可简化为 (1)()(1)()dz n P x z n Q x dx+-=- 例5.9．2xy y dxdy x =+ 解：令 z y =1 ，z y 1=则，得dxdz z dx dy 21-= 22111zx z dx dz z x =+-⇒ x z dxdz x =+-⇒ 1,1,11-==-=-⇒q xp z x dx dz x dx x dx x p ln 1)(-=-=⎰⎰，x dx xdx e x q dx x p ln 11)()(=--=⎰⎰⎰ x c x ec x z x )(ln )(ln ln +=+= 故，)(ln 1c x x y += 例5.10．42323y y x y x'+= 解：令411333413,,dy dz y y z y z dx z dx---==⇒=⇒=，代入即得： 242343213123x z xdx dz z x z x dx dz z -=-⇒=+- 即x dx x p x q x p ln 32)(,,322⎰-=⇒-=-= c x dx x dx x x dx e x q dx x p +-=-=-=⎰⎰⎰⎰-3734322)(73)(723327/3331()37()7z x C x y x x C =-+⇒=-+ 三、二阶常系数线性ODE1．齐次方程0y py qy '''++=，其中,p q 为常数。
求解步骤：1）特征方程 02=++q p λλ，求根21,λλ。
2）21,λλ 互异实根，x x e c ec y 2121λλ+=， 21λλ=，x x xe c e c y 2121λλ+=； )0(2,1≠±=ββαλi ，12(cos sin )x y e c x c x αββ=+。
其中21,c c 为任意实数。
例5.11．043=-'-''y y y解：,0432=--λλ得λ=4，-1， x x e c e c y -+=241（其中21,c c 为任意实数）例5.12．440y y y '''-+=解：212440,2λλλλ-+===，2212x x y c e c xe =+例5.13．40y y ''+= 解：)1(2,042-=±==+i i λλ，12cos 2sin 2y c x c x =+。
例5.14．0y y y '''-+=解：210λλ-+=，λ=，1212(sin )x y e C x C x =+。
2．非齐次方程()()()()()cos sin x m n y py qy e P x x P x x αββ'''++=+其中()m P x ，()n P x 表示,m n 次多项式。
解结构：y =齐次方程通解y +特解y *。
特解y *形式设定如下：（1）识别,,,m n αβ；（2）计算i μαβ=+，k μ=和特征根12,λλ相等个数，()max ,l m n =。
（3）特解可设为()()()()()()ˆcos sin k x l ly x x e Q x x Q x x αββ*=+， 其中()(),l l Q x Q x )为l 次多项式。
注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成。
例5.15．22x y y y e '''+-=解：（１）20y y y '''+-=， ()()2210,2110λλλλ+-=-+=，121,12λλ==-， 齐次通解1212x x y C eC e -=+ （２）()()()22cos 00sin 0x x e e x x =⋅+⋅⋅，1,0,0m n αβ====，1i μαβ=+=()0,max ,0k l m n ===，又设()()()0cos 0sin 0x x y x e A x B x Ae *=⋅⋅+⋅=，代入原方程得221x x x x Ae Ae Ae e A +-=⇒=，x y e *=。
1212x x x y C e C e e -=++例5.16．2x y y y xe '''-+=解：（１）21220,210,1y y y λλλλ'''-+=-+===，12x x y C e C xe =+（２）()()()cos 00sin 0x x xe e x x x =⋅+⋅⋅，1,0,1,0m n αβ====，1i μαβ=+=，()2,max ,1k l m n ===可设()()()()2cos 0sin 0x y x e Ax B x Cx D x *=+⋅++⋅⎡⎤⎣⎦()()232x x x e Ax B Ax Bx e =+=+计算得： ()()3232x y Ax A B x Bx e '*=+++ ()()()326642x y Ax A B x A B x B e ''*=+++++代入原方程得162,06Ax B x A B +=⇒==，316x y x e *=， 1216x x x y C e C xe xe =++。
例5.17．4sin 2xy y x e ''+=+解：（１）240,40,2y y i λλ''+=+==±， 12cos 2sin 2y C x C x =+（２）4sin 2y y x ''+=的特解1y *()()0sin 20cos21sin 2x x e x x ⋅=⋅+⋅，0,2,0m n αβ====，2i i μαβ=+=，()max ,0l m n ==，1k =。
又设()()01cos2sin 2cos2sin 2x y xe A x B x x A x B x ⋅*=+=+()12sin 22cos2cos2sin 2y A x B x x A x B x '*=-+++()14sin 24cos24cos24sin 2y A x B x x A x B x ''*=-++--代入原方程得1144sin 24cos 2sin 2y y A x B x x ''*+*=-+= 解得1,04A B =-=1,cos 24x y x *=-； （3）4x y y e ''+=的特解2y *可设2x y De *=，代入得5x x De e =，D ＝15，215x y e *=。