专插本高等数学例题和习题ch5常微分方程

第五章 常微分方程（简记ODE ）

本章主要知识点

●

可分离变量的ODE ●

一阶线性非齐次常微分方程及推广 ●

二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程 ● 一些特殊类方程

一、可分离变量的ODE

1．基本型的解法 基本型：

()()dy G x H y dx

= 基本解法： ()()

dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰

例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e x

y =

⎰⎰=dx e dy e x y 通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得：

1-=e c 得 1-+=e e e x y

例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y

+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，

得：ln ||ln y y x x x C +=-+

例5.3．dx y x dy y x )1()1(122+=+-

解：dx x x y dy y 2211)1(-=++

，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：(

)21arctan ln 12

y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足

0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。 解：由0()(1)()1x

f t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。方程两边对x 求导得

()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =

-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)

f x x =-

-。

2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y

'= 方法：令()y p y p x x y p xp x

''=

⇒=⇒=+ x

dx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。 例5.5．y x y x dx dy +-= 解：x

y

x y

dx dy +-

=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', p

p p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112 x

dx p p dp p =--+⇒

221)1( x dx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 2

12， 将x y p =代入即可。 例5.6．dx y x dy x )(2

22+=

解：

2)(1x

y dx dy +=， 令,y p y px y p xp x

''=⇒==+ 21dp p x p dx

⇒+=+p p dx dp x -+=⇒21 ∴ x dx p p dp =+-21

1()d p dx x -⇒=⎰

12ln p x C ⎛⎫- ⎪=+

ln x C =+，将x y p =代入即可。 二、一阶线性齐次方程（ODE ）

1．基本型()()y p x y q x '+=公式

公式：()()(())p x dx p x dx y q x e C e -⎰⎰=+⎰

注：应用此公式要注意：不定积分不带C ；基本型又称标准型。

例5.7．32xy y x '-= 解：22y y x x '-=，其中22(),()p x q x x x

=-=。 2()2ln p x dx dx x x -==-⎰⎰

()21p x dx e x

⎰=，()2p x dx e x -⎰= 2()2()p x dx x q x e dx dx x x ⎰==⎰⎰

由公式得，()()232(())()p x dx p x dx y q x e C e x C x x Cx -⎰⎰=+=+=+⎰。

例5.8．1)(,sin '==+πy x y xy 解：x

x q x p x x y x y sin ,1,sin 1'===+ ()ln p x dx x =⎰，⎰⎰-==⎰x xdx x x e x q dx x p cos sin )()(

ln cos (cos )x C x y x C e x

--=-+= 将1,==y x π代入得11C π

+=，1C π=-， x x

y cos 1--=∴π。

2．Bernoulli 方程

()()n y p x y q x y '+=

方法：令 1n y

z -= ，方程可简化为 (1)()(1)()dz n P x z n Q x dx

+-=- 例5.9．2xy y dx

dy x =+ 解：令 z y =1 ，z y 1=则，得dx

dz z dx dy 21-= 22111z

x z dx dz z x =+-⇒ x z dx

dz x =+-⇒ 1,1,11-==-=-⇒q x

p z x dx dz x dx x dx x p ln 1)(-=-=⎰⎰，x dx x

dx e x q dx x p ln 11)()(=--=⎰⎰⎰ x c x e

c x z x )(ln )(ln ln +=+= 故，)

(ln 1c x x y += 例5.10．42323y y x y x

'+= 解：令411333413,,dy dz y y z y z dx z dx

---==⇒=

⇒=，代入即得： 242343213123x z x

dx dz z x z x dx dz z -=-⇒=+- 即x dx x p x q x p ln 32)(,,322⎰-=⇒-=-= c x dx x dx x x dx e x q dx x p +-=-=-=⎰⎰⎰⎰-37

3432

2)(73)(