江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学试卷
江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期中数学试卷及解析
江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题已知命题：对0，有1x e ≥，则p ⌝为（ ） A.对0x ∀≥，有1x e < B.对0x ∀<，有1x e < C.00x ∃≥，使得0e 1x <D.00x ∃<，使得0e 1x <2.不等式20ax x c -+>的解集为{21}xx -<<∣，函数2y ax x c =-+的图象大致为（ ） A. B.C. D.3.已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A.24B.39C.104D.524.已知抛物线()220y px p =>，过抛物线的焦点作x 轴的垂线，与抛物线交于A 、B 两点，点M 的坐标为()2,0-，且ABM 为直角三角形，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为（ ） A.28y x =B.28y x =-C.24y x =-D.24y x =5.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.)02a ba b +>>> B.()2220a b ab a b +>>>C.)20aba b a b<>>+D.)02a b a b +<>> 6.在平面直角坐标系xOy 中，若点P(0)到双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2B.47.设0a >，0b >，且21a b +=，则12aa a b++（ ） A.有最小值为4 B.有最小值为1 C.有最小值为143D.无最小值8.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2321,[0,1)()1,[1,2)2x x x x f x x -⎧-++∈⎪⎪=⎨⎛⎫∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为()*n a n N ∈则数列{}n a 的前n 项和n S 的值为（ ）A.1552n⎛⎫- ⎪⎝⎭B.51522n⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11552n +⎛⎫- ⎪⎝⎭D.151522n +⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）二、填空题9.已知数列n 中，11=，1n n a a n +=+，则6a =______．10.已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．11.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线22(0)y px p =>，如图，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，经过抛物线的焦点F 反射后射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为6，则此抛物线的方程为_______.12.点A ，B 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足2MA MB=，若MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心率为______.三、解答题13.已知集合(){}22|4300A x x ax a a =-+<>，集合B ={a 方程221382x y a a+=--表示圆锥曲线C }（1）若圆锥曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数a 的取值范围；（2）若圆锥曲线C 表示双曲线，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 14.若正实数x ，y 满足2x y a xy ++=. （1）若0a =，求x y +的最小值； （2）若6,a =求xy 的最小值15.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ， （1）在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由； （2）设数列{}n b 满足11()n nn na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．16.已知双曲线C过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*231n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()111nn n n a b a a +=--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，不等式141n k T n >-+都成立，求实数k 的取值范围. 18.已知点F 是抛物线21:4C y x =和椭圆22222:1x y C a b+=的公共焦点，M 是1C 与2C 的交点，)31MF =.（1）求椭圆2C 的方程；（2）直线l 与抛物线1C 相切于点()00,P x y ，与椭圆2C 交于A ，B ，点P 关于x 轴的对称点为Q .求ABQ S △的最大值及相应的0x .四、新添加的题型19.已知曲线E 的方程为()22,ax by ab a b R +=∈，则下列选项正确的是（ ） A.当1ab =时，E 一定是椭圆 B.当1ab =-时，E 是双曲线C.当0a b =>时，E 是圆D.当0ab =且220a b +≠时，E 是直线20.(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1b成立的有（ ） A.b ＞0＞a B.0＞a ＞b C.a ＞0＞bD.a ＞b ＞021.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A.100a = B.当9n =或10时，n S 取最大值 C.911a a <D.613S S =22.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则（ ） A.C 的准线方程为y ＝1 B.线段PQ 长度的最小值为4 C.M 的坐标可能为(3，2)D.OP OQ ＝－3参考答案1.C【解析】1.利用全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定. 根据全称命题p ：对0x ∀≥，有1x e ≥的否定为特称命题， 即：p ⌝为00x ∃≥，使得0e 1x <. 故选：C 2.A【解析】2.依题意使用韦达定理可得,a c ，然后220x x --+=的两根，简单判断可得结果. 由题知，2-和1是20ax x c -+=的两根， 由根与系数的关系知121a-+=，21c a -⨯=，求得：1a =-，2c =，所以22y x x =--+，开口向下，令0y =，即220x x --+=，解得两个根分别为-2，1. 故选：A ． 3.D【解析】3.根据等差数列的性质计算求解．由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=．故选：D ． 4.B【解析】4.设点A 位于第一象限，求得直线AB 的方程，可得出点A 的坐标，由抛物线的对称性可得出AM BM =，进而可得出直线AM 的斜率为1，利用斜率公式求得p 的值，由此可得出以直线AB 为准线的抛物线的标准方程.设点A 位于第一象限，直线AB 的方程为2p x =，联立222y px px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得2p x y p ⎧=⎪⎨⎪=±⎩， 所以，点,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭. ABM 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出AM BM=，则直线AM 的斜率为1，即122AM p k p==+，解得4p =.因此，以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为28y x =-. 故选：B. 5.D【解析】5.计算出CF 和OF ，由OF CF <可得出合适的选项. 由图形可知，22AC BC a b OF ++==，()022a b a bOC AC OA a a b +-=-=-=>>，由勾股定理可得CF ===， 在Rt OCF 中，由OF CF <可得)02a b a b +<>>.故选：D. 6.A【解析】6.根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，然后 点到直线的距离解得a 的值，代入离心率公式求得结果.双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线为30x ay -=6=，解得a =2c e a ===. 故选：A. 7.B【解析】7.0a >，0b >，且21a b +=，可得12b a =-．代入12aa a b++，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．0a >，0b >，且21a b +=，120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)()2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a---+=+=+-=+-+-=++-+----12111a a a-+=-，当且仅当1a =，3b =-∴12aa a b++有最小值1． 故选：B ． 8.D【解析】8.根据函数的定义，得出{}n a 是等比数列，公比为12，求出1a 后可求得和n S ． [1,0)x ∈时，2215()1()24f x x x x =-++=--+，最大值为54，[1,2)x ∈时，321()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知3[1,]2x ∈时，()f x 递增，3[,2)2x ∈时，()f x 递减，因此最大值为3()12f =， 综上，[0,2)x ∈，max 5()4f x =，即154a =，又()2(2)f x f x =+，即1()(2)2f x f x =-， 当[22,2)x n n ∈-时，2[24,22)x n n -∈--，∴112n n a a -=， ∴{}n a 是等比数列，公比为12q =，∴15114251512212nn nS +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-⨯ ⎪⎝⎭-．故选：D ． 9.16【解析】9.直接由递推式逐一计算得出6a ．由题意2112a a =+=，2324a a =+=，4337a a =+=，54411a a =+=，65516a a =+=．故答案为：16． 10.()1,3-【解析】10.试题分析：由题意得()211420132a a ∆=--⨯⨯<⇒-<<11.26y x =【解析】11.联立直线与抛物线方程，消去x 得到关于y 的方程，利用韦达定理得到1212,y y y y +的值，然后表示两平行光线距离，并求出其最小值为2p ，而由题意可知最小值为6，从而得到26p =，抛物线方程得解.设1122(,),(,)P x y Q x y ，设两平行光距离为d ， 由题意可知，12d y y =-， 因为(,0)2p F ，而直线PQ 过点F ，则设直线PQ 方程为：2px my =+，m R ∈因为22{2y pxp x my ==+，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理可得21212,2y y pm y y p +==-，则1222d y y p =-==，所以26p =，故抛物线方程为26y x =.【解析】12.求得点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=解得a ，b ，即可得出椭圆的离心率.设(),0A a -,(),0B a ，(),M x y因为动点M 满足2MA MB=,=化简得22251639a a x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 因为MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，所以141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得 2a b ==，所以椭圆的离心率为2e ==.故答案为：2. 13.（1）1143a <<；（2）01a <≤或4a ≥.【解析】13.（1）根据椭圆的标准方程，求出a 的范围；（2）再确定集合A ，由双曲线的标准方程得集合B ，然后根据充分必要条件的定义集合包含关系，从而得出a 的不等关系，求得结论．（1）由方程221382x y a a+=--表示的曲线是表示焦点在x 轴上的椭圆∴(3)(82)0a a ->->， ∴1143a << 解不等式22430(0)x ax a a -+<>可得3(0)a x a a <<>方程221382x y a a+=--表示的曲线是双曲线∴(3)(82)0a a --<， ∴4a >或3a <因为A 是B 的充分不必要条件所以(,3)a a 是(,3)(4,)-∞⋃+∞的真子集 所以033a <≤或4a ≥ 解得01a <≤或4a ≥所以a 的取值范围是01a <≤或4a ≥．14.（1）3+；（2）18.【解析】14.（1）利用“1”的代换凑出积为定值后由基本不等式得最小值； （2）利用基本不等式得出关于xy 不等式，解得可得． （1）0a =，则2x y xy +=，则121x y+=，∴122()33y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+⎪⎝⎭当且仅当y =时取等号，∴x y +的最小值为3+（2）6a =，26x y xy ++=，∴266x y xy ++=≥，∴18xy ≥，xy 的最小值为18.此时3,6x y ==．15.（1）答案不唯一，理由见解析；（2）T n ＝(n －1)2n ＋1【解析】15.（1）选①，利用前n 项和与项的关系求得a 1，得出数列通项公式，然后可证明数列具有性质这P ，选②，同样可利用前n 项和与项的关系求得a 1，得出数列通项公式，然后可证明数列不具有性质这P ，选③，利用等比数列的通项公式求得a 1，得出数列通项公式，然后可证明数列具有性质这P ，（2）不管选①还是③（不可能选②）都得a n ＝12n -，利用错位相减法求T n ． （1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝12n -．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝112222m n m n --+-⋅=，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项， 因此数列{a n }满足条件P ． 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×12n -． 此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4，因此a n ＝4×12n -＝12n +． 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝112222m n m n ++++⋅=，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，因此数列{a n }满足条件P ．（2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以1n na a +＝2，因此b n ＝n ×12n -．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×21n -， 则2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×21n -＋n ×2n ， 两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋21n -－n ×2n ＝1212n--－n ×2n ＝(1－n )2n －1， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1．16.（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=.【解析】16.（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±，∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠， 设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=， 解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．17.（1）3nn a =；（2）1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】17.（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得出n a 的递推关系，结合1a 得{}n a 等比数列，从而得通项公式；（2）用裂项相消法求得和n T ，不等式可变形为()11231n n k -+>-，令()11()231n n f n ++=-，再用作差法得出()f n 的单调性，得最大项，从而得k 的取值范围． （1）因为数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()231n n S a n N *=-∈，所以当2n ≥时，()11231n n S a --=-， 两式相减得：1233n n n a a a -=-，即13(2)nn a a n，又1n =时，()11231S a =-，解得：130a =≠，所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3nn a =（2）由（1）知：()()()()113113131nn n n n n n a b a a ++==----111123131n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，所以，12n n T b b b =+++1223111111112313131313131n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112231n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 对任意的n *∈N ，不等式141n kT n >-+都成立，即11111223141n k n +⎛⎫->- ⎪-+⎝⎭， 化简得：()11231n n k -+>-，令()11()231n n f n ++=-，因为()()()()1211221(21)31(1)()023*********n n n n n n n n f n f n +++++++--⋅-+-=-=<---⋅-， 故()f n 单调递减， 所以max 1[()](1)8f n f==，故18k >，所以，实数k 的取值范围是1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．18.（1）2212x y +=；（2），0x =【解析】18.（1）根据题意可得1c =，然后根据()()222222a MF MF MF MF --=--，)31MF =，计算可得,a b ，最后可得结果.（2）假设直线l 的方程为()00x n y y x =-+，根据l 与抛物线相切，可得02y n =，然后l 与椭圆联立，计算AB ，然后计算点Q 到l 的距离，计算ABQ S △，利用函数性质可得结果. （1）由题意知：()1,0F ，1c =.()()222222a MF MF MF MF --=--，)31MF =-.得：a =1b =.所以2C 的方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为()00x n y y x =-+，则由()0024x n y y x y x ⎧=-+⎨=⎩，得2004440y ny ny x -+-= ()22100016816420n ny x n y ∆=-+=-=得：02y n =所以直线l 的方程为()0002y x y y x =-+. 由()00022212y x y y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222000084480y y x y y x +-+-= ()()()22222200000016484832481280x y y x x x ∆=-+-=+->得002x ≤<AB==.又()00,Q x y-，所以点Q到l的距离为h=.12ABQS AB h==.令02t x=+，则2x t=-，ABQS==≤△此时t=，即x=19.BCD【解析】19.根据曲线方程，结合各选项一一判断即可；解：对于A，若1a=，1b=，此时22ax by ab+=变为221x y+=，不表示椭圆，故A错误；对于B，若1ab=-，则()22,ax by ab a b R+=∈可化为221yaxa-=，表示双曲线，故B 正确.对于C，若0a b=>，方程变为22x y a+=，表示圆，故C正确.对于D，若0a=，0b≠，此时22ax by ab+=变为0y=，表示直线；同理，若0b=，0a≠，22ax by ab+=也表示直线，故D正确.故选：BCD.20.ABD【解析】20.运用不等式的性质以及正数大于负数判断.因为1a＜1b等价于11b aa b ab--=<，当a＞b，ab＞0时，1a＜1b成立，故B、D正确.又正数大于负数，A 正确，C 错误， 故选：ABD. 21.AD【解析】21.由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD 22.BCD【解析】22.根据条件可得出2p =，易得A 、B 的正误，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，算出12121212,,,x x x x y y y y ++即可得出C 、D 的正误. 焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0，所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ， 当m =1时，可得M (3，2)，则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确； 故选：BCD。
江苏省姜堰第二中学2020-2021学年高二年级第一学期学情调研一数学试题
江苏省姜堰第二中学2020~2021学年度高二年级第一学期学情调研一高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 下列说法中正确的是 ( )A. 用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面B. 若存在有序实数对(x ,y )使得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则O ,P ,A ,B 四点共面C. 若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面D. 向量a ,b ,c 共面就是它们所在的直线共面 2.若α是第二象限角，且，则( )A. B. C. D.3. 若直线l 的方向向量)2,1,(-=x m ，平面α的法向量)4,2,2(--=n，且直线⊥l 平面α，则实数的x 值是( ).A 1.B 5.C 1-.D 5-4. 两个焦点坐标分别为(3, 0)和(-3, 0),且经过点(5, 0)的椭圆的标准方程为 ( ) A .x 29+y 225=1B .x 225+y 29=1C .x 29+y 216=1D .x 225+y 216=15.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ．已知sinB +sinA(sinC −cosC)=0，a =2，c =√2，则C =( )A. π12B. π6C. π4D. π36．椭圆的两个焦点分别为F 1(﹣8，0)，F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为( )A ．22136100x y += B ．221400336x y +=C ．22110036x y +=D ．2212012x y += 7．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )A ．外离B.相交C ．外切D ．内切8. 已知椭圆x 2+my 2=1的焦点在x 轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则实数m 的值为 ( )A .14B .12C . 2D . 4二、多项选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9. 已知椭圆C 的中心为坐标原点,焦点F 1, F 2在y 轴上,短轴长等于2,离心率为√63,过焦点F 1作y 轴的垂线,交椭圆C 于点P , Q ,则下列说法中正确的是 ( ) A . 椭圆C 的标准方程为y 23+x 2=1 B .PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23C .PQ =2√33D . △PF 2Q 的周长为4√310.如图，在正方体1111D C B A ABCD-中，下列各式中运算的结果为1AC 的有( ).A CD BC AB ++ .B 11111C D C B AA ++.C 111C B C C AB +- .D 111C B DC AA ++11. 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2, -1, -4), AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4, 2, 0), AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1, 2, -1),那么下列结论中正确的有 ( ) A .AP ⊥ABB .AP ⊥ADC .AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量 D .AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12.已知圆C 与x 轴相切于点T(1,0),与y 轴正半轴交于两点A,B(B 在A 的上方)且AB=2,过点A 任作一条直线与圆O:x 2+y 2=1相交于M 、N 两点,下列三个结论中正确的有( )A B C 2 D2=-MAMBNB NA三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填写在答题．．卡相应位置．．．．．上． 13. 在四面体ABCD 中,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b , AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a , AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c , BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a , b , c 表示)14. 已知F 1, F 2是椭圆x 224+y 249=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且PF 1∶PF 2=4∶3,则三角形PF 1F 2的周长为_____,三角形PF 1F 2的面积为 .(第一空2分，第二空3分）15.在空间直角坐标系xyz O -中，),1,1(t A -，)0,,2(t B ，)2,,1(-t C ，若BC AB ⊥，则实数t 的为________. 16已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若23AB =，则CD =______.四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知两圆x2＋y2－2x－6y+1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？18．（本题满分12分）已知椭圆C的方程为x29−k +y2k-1=1.(1) 求实数k的取值范围; (2) 若椭圆C的离心率为√67,求实数k的值.19．（本小题满分12分）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，是等腰三角形，．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？20．(本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S-中，底面ABCD 是矩形，⊥SA 平面ABCD ，2==SA AD ，1=AB ，点E 是棱SD 的中点.(1)求异面直线CE 与BS 所成角的余弦值； (2)求二面角D BC E --的大小.21.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos 3sin 12B B =+.（1）求sin B 的值；（2）若(415)sin (sin sin )B b A C +=⋅+，且ABC ∆的周长为41561++，求ABC ∆的面积.22．（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝t ，M 是线段EF 的中点．（1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）若t ＝1，求二面角A —DF —B 的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF ⊥BE ，求t 的最大值．江苏省姜堰第二中学2020~2021学年度高二年级第一学期学情调研一答案1-8BCCDBCBB 9-12ACD BCD ABC D13-a +23b +13c15211617 解：因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)m ，(1)m ，得m ＝25＋.(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5m －＝5，解得m ＝25－18(1) ∵方程x 29-k +y 2k -1=1表示椭圆,∴{9-k >0,k -1>0,9-k ≠k -1,解得k ∈(1, 5)∪(5, 9). (2) ① 当9-k >k -1时,依题意可知a =√9-k , b =√k -1, ∴ c =√10-2k . ∵c a=√67, ∴10-2k 9-k =67, ∴k =2. ② 当9-k <k -1时,依题意可知b =√9-k , a =√k -1, ∴c =√2k -10. ∵c a=√67, ∴2k -10k -1=67, ∴k =8. ∴ k 的值为2或8.19试题解析：（1）（公里），中，由，得（公里）于是，由知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．（2）在中，由，得（公里），在中，，由，得（公里），-由（分钟）知，汽车能先到达处．20【解】（1）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,2,0(D ，)2,0,0(S ，)0,2,1(C ，)1,1,0(E ，∴)1,1,1(--=CE ，)2,0,1(-=BS ，∴⋅CE 3210)1)(1(=⨯++--=BS ，31)1()1(||222=+-+-=CE ，520)1(||222=++-=BS ，∴0515,cos >=>=<BS CE ， 故异面直线CE 与BS 所成角的余弦值为515； （2）∵⊥SA 平面ABCD ，∴)2,0,0(=AS 是平面ABCD 的一个法向量，设平面EBC 的一个法向量为),,(z y x n =， )0,2,0(=BC ，)1,1,1(---=CE ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CE n BC n ,即⎩⎨⎧=+--=002z y x y ，令1=x ，得)1,0,1(=n ，22222,cos =⨯=>=<AS n， ∵[]π,0,>∈<AS n，∴4,π>=<AS n ，∵二面角D BC E --为锐角，∴二面角D BC E --的大小4π. 21解:（1）∵22(12sin)3sin 122B B-=+，∴1sin 24B =或sin 12B =-.…………2分在ABC ∆中，∵022B π<<，∴1sin,cos 2sin cos 2424228B B B B B ==== …………5分 （2）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin sin A B Ca b c==知，∵(4(sin sin )B b A C =⋅+，∴(4()b b a c +=+，得4a c +=+. …………7分由ABC ∆的周长为4，从而b =。
江苏省泰州市姜堰区2021 2021学年高二数学上学期期中试卷 理(含
江苏省泰州市姜堰区2021 2021学年高二数学上学期期中试卷理（含江苏省泰州市姜堰区2021-2021学年高二数学上学期期中试卷理（含2022-2022学年，江苏省泰州市姜堰区高二（一）期中数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）1.假设命题p:？十、∈ R、那么X2>1？P是____2．若圆m的方程为x2+y2=4，则圆m的参数方程为__________．3.已知从抛物线y=4x上的点m到焦点的距离为3，则从点m到y轴的距离为____4．已知（2，0）是双曲线x25.设P:x<3，Q:1<x<3，则P为Q_________________________6．已知双曲线过点__________．7.在极坐标系中，点（2，8．若焦点在x轴上过点9．若椭圆10.如果P（m，n）是椭圆2=1（b>0），然后b=_____且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是)直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为____的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为__________．等轴双曲线的偏心率和偏心率互为倒数，则M=_____（θ为参数）上的点，则m+n的取值范围是__________．11.已知椭圆的右焦点为F。
短轴的一个端点为m，直线为l:3x4y=0，若点m到直线l的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是__________．12.已知椭圆的左右焦点分别为f1，f2，c上一点p满足然后△ pf1f2的内切圆面积为__________．13.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，椭圆，a1，a2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆=__________．a1的半径为2，过点a2作圆a1的切线，切点为p，在x轴的上方交椭圆于点q．则14.已知f（x）=m（X3M）（x+m+3），G（x）=24。
如果同时满足条件：①? 十、∈ R、f（x）＜0或G（x）＜0；②? 十、∈ (∞, 4），f（x）g（x）＜0，则M的取值范围为____二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知a∈r，命题p：“?x∈，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．16.（14点）已知直线L穿过点（4，0），倾角为极点，圆m以圆心，完毕2二x（一）求L和m的极坐标方程；（二）判断L和m之间的位置关系17．（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的参数方程（φ参数），直线L的参数方程（t为参数）．（i）求C和l的方程；（ⅱ）求过c的右焦点，且平行l的直线方程．18.（16点）设椭圆e的方程为+=1（a>b>0），点O是坐标原点，点a的坐标是（a，0），点b的坐标为（0，b），点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，直线om的斜率为（ⅰ）求e的离心率e；（二）设C点的坐标为（0，b），n点为AC线的中点，n点的对称点相对于AB线的坐标为，从而求出E的方程19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为f（c，0），离心率为，m点椭圆上且位于第一象限，直线fm被圆x2+y2=（ⅰ）求直线fm的斜率；（ⅱ）求椭圆的方程；切割线段的长度为C，|fm |=（ⅲ）设动点p在椭圆上，若直线fp的斜率大于围．，找到直线op的斜率的值范围（o为原点）20．（16分）已知直线l为函数y=x+b的图象，曲线c为二次函数y=（x1）+2的图象，直线l与曲线c交于不同两点a，b（ⅰ）当b=7时，求弦ab的长；（ⅱ）求线段ab中点的轨迹方程；二（ⅲ）试利用抛物线的定义证明：曲线c为抛物线．2022-2022学年，江苏省泰州市姜堰区高二（一）期中数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）1.假设命题p:？十、∈ R、那么X2>1？P是谁？十、∈ R、X2≤ 1.命题的否定【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接用特殊命题的否定写出结果【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：设命题p：?x∈r，x＞1，则?p 为：?x∈r，x≤1二2所以答案是：？十、∈r、x≤1.【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.如果圆m的方程为x2+y2=4，则圆m的参数方程为圆[试验场地]的参数方程【专题】对应思想；坐标系和参数方程．【分析】根据平方关系可求得出圆m的参数方程．【解答】解：由cosα+sinα=1得，圆m：x+y=4的参数方程可为故答案为：．2二2二2．，【点评】本测试使用平方关系来寻找圆的参数方程，属于基本问题3．已知抛物线y=4x上一点m到焦点的距离为3，则点m到y轴的距离为2．【考点】抛物线的简单性质．【主题】二次曲线的定义、性质和方程【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，二。
江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期中模拟检测数学试题 含答案
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设 p：实数 x 满足 x2﹣4ax﹣5a2＜0，a＞0，q：实数 x 满足 x2﹣5x+6＜0．
（1）若 a＝1，A=x | x p ，B=x | x q ，求 A B ;
（2）若 p 是 q 成立的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
A．
B．﹣
C．
D．﹣
7.在正项等比数列{an}中，a1＝1，前三项的和为 7，若存在 m，n∈N*使得
的最小值为（ A．
） B．
C． 3 2
D． 5 4
，则 1 + 4 mn
1
1 001 S2n 11 8.已知数列{an}的首项 a1＝1，前 n 项的和为 Sn，且满足 2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则满足1 000＜ Sn ＜10
A． a3 ＝13
B．数列{ an + 3 }是等比数列
C． an ＝4n﹣3
D．
11.设等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项和为 Sn，前 n 项积为 Tn，并且满足条件 a1＞1，
a9a10
＞1，
a9 a10
−1 −1
＜0，则下列结论正确的是（
）
A．0＜q＜1 C．Sn 的最大值为 S10 12. 下列结论不正确的是（ ）
的是（ ） A．当点 P 不在 x 轴上时，△PF1F2 的周长是 6 B．当点 P 不在 x 轴上时，△PF1F2 面积的最大值为 C．存在点 P，使 PF1⊥PF2 D．PF1 的取值范围是[1，3] 10. 数列{an}是首项为 1 的正项数列，an+1＝2an+3,Sn 是数列{an}的前 n 项和，则下列结论正确的是 （）
2020-2021学年江苏省泰州中学高二上学期期初检测数学试题 (Word版)
O
8
2
a
方且在双曲线上，则
OPFP
的最小值为(
)
7
3
A．323
【答案】A
B．233
C．
4
D．4
【解析】
1
x
试题分析：将y
2化为
，则抛物线与双曲线的公共焦点为，则
，即双曲线
8
y
2
x1
的
标
准
方
程
为
2
，
设
，
则
3
4
4
3
7
2
2
21
y(y)
OPFP(x,y)(x,y)x
y(y)y
在
4
2
2
2
单调递
3
3
4
3
增，则当y
13．在
2
【答案】
，
3
D．7
【答案】B
2．过点(2,4)作圆(－1)＋(－1)＝1的切线，则切线方程为(
)
P
x
2
y
2
A．3x＋4y－4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
B．4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
【答案】C
3．设
为双曲线
的两个焦点，点在双曲线上且满足
P
，则
的面积是（）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
由正弦定理：
sinBsinC
sin(BC)2sinB
得到sinBcosCsinCcosB2sinB，即
在ABC中，ABC
sin(A)2sinB
，即sinA2sinB
江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题Word版含解析
江苏省泰州中学2020-2021学年上学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.不等式10xx -≥的解集为（ ）A. []0,1B. (]0,1C. (][),01,-∞⋃+∞D. ()[),01,-∞+∞ 【答案】B【解析】【分析】直接将分式不等式转化将为一元二次不等式，求解即可． 【详解】不等式10xx -≥等价于()100x x x⎧-≥⎨≠⎩，解得01x <≤， 所以不等式10xx -≥的解集为(]0,1，故选：B.【点睛】本题主要考查分式不等式的求法，考查转化思想与计算能力，属于基础题.2.在等差数列{}n a 中，372a a +=，则9S 等于()A. 2B. 18C. 4D. 9【答案】D【解析】【分析】利用等差数列性质得到51a =，959S a =，计算得到答案.【详解】等差数列{}n a 中，375522,1a a a a +===1995()9992a a S a +⨯===故选D【点睛】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.3.若双曲线E ：22149x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线上的一点，且12,PF =则2PF =（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】B【解析】【分析】 求得双曲线的2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，代入已知条件解方程即可得到所求值．【详解】解：双曲线E ：22149x y -=可得2a =， 由双曲线的定义可得1224PF PF a -==， 由12=PF ，可得2|2|||4PF -=， 解得26PF =（−2舍去）．故选B ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．4.已知等差数列{}n a 的公差为2，且3a 是1a 与7a 的等比中项，则n a 等于( )A. 22n +B. 24n +C. 21nD. 23n -【答案】A【解析】【分析】直接利用等差数列公式和等比中项公式2317a a a =得到答案.【详解】3a 是1a 与7a 的等比中项，故2317a a a =即2111(2)(6)a d a a d +=+ 解得：14a = 1(1)22n a a n d n =+-=+故选A【点睛】本题考查了等差数列和等比中项，属于常考题型.5.已知椭圆()22:10y C x n n +=>n 的值为（ ） A.14或4 B. 14 C. 12或2 D. 12【答案】A【解析】【分析】对椭圆C 的焦点位置进行分类讨论，利用离心率公式可求出实数n 的值.【详解】当椭圆C 的焦点在x 轴上时，则01n <<，则21a =，2b n =，则2221c a b n =-=-， 此时，椭圆C的离心率为2c e a ===，解得14n =； 当椭圆C 的焦点在y 轴上时，则1n >，则2a n =，21b =，则2221c a b n =-=-，此时，椭圆C 的离心率为2c e a ===，解得4n =. 因此，14n =或4. 故选A. 【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求参数，解题时要对椭圆的焦点位置进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.6.若函数()()2125f x a x x =-++的图像恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是( )． A. 65a > B. 65a < C. 65a ≥ D. 615a a =>或 【答案】A【解析】【分析】二次项系数含参数，要讨论二次项系数是否为零，然后再利用二次函数的图像的位置对开口方向、判别式24b ac ∆=-限制即可求解．【详解】当10a -=时：则25y x =+，此直线图像不是恒在x 轴上方，即1a ≠ ；当10a -≠时：若图像恒在x 轴上方，则10420(1)0a a ->⎧⎨∆=--<⎩ 解不等式组可得65a > 故选A【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，注意当二次项含有参数数时，需对二次项系数讨论．7.已知数列{}n a 中，11a =，()111n n a a n n +-=+，则10a 等于( ) A. 1910 B. 910 C. 179 D. 2111【答案】A【解析】【分析】变形为()111111n n a a n n n n +-==-++，利用累加法和裂项求和计算得到答案. 【详解】()111111n n a a n n n n +-==-++ 10109982111111119......1191089210a a a a a a a a =-+-++-+=-+-++-+= 故选A【点睛】本题考查了累加法和裂项求和，意在考查学生对于数列方法的灵活应用.8.设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 是等比数列； ②{}1n n a a +是等比数列；③{}1n n a a ++是等比数列； ④{}lg n a 是等差数列． 其中正确命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】设11n n a a q -=，得到22(1)1n n a a q q -=⋅，22(1)11n n n a a a q q -+=⋅，1lg lg (1)lg n a a n q =+-，再利用举反例的方式排除③【详解】设11n n a a q -=，则：2122(1)11n n n a a q a q q --==⋅，故{}2n a 是首项为2a ，公比为2q 的等比数列，①正确122122(1)11111n n n n n n a a a q a q a q a q q ---+=⋅==⋅，故{}1n n a a +是首项为21a q ，公比为2q 的等比数列，②正确取1(1)n n a -=-，则10n n a a ++=，不是等比数列，③错误.11111lg lg lg lg lg (1)lg n n n a a q a q a n q --==+=+-，故{}lg n a 是首项为1lg a ，公差为lg q 的等差数列，④正确故选C【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的判断，找出反例可以快速的排除选项，简化运算，是解题的关键.9.已知正实数,x y 满足+=2x y xy ,则2x y +的最小值为( )．B. 3C. 3+D. 【答案】A【解析】【分析】 由题设条件得111()12y x +=，2(2)111()2y x xy x y =+++，利用基本不等式求出最值． 【详解】由已知+=2x y xy ，111()12y x∴+=，所以11112121()(21)(3)3)222222)(x y x y x y x y x y x y x y +=+=+++=++≥=+当且仅当2x yy x =时等号成立，又+=2x y xy ，所以x y ==时取最小值． 故选A【点睛】本题考查据题设条件构造可以利用基本不等式的形式，利用基本不等式求最值．10.已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（ ）A. B. C. 6 D. 【答案】D【解析】【分析】设出直线(2)y k x =-，与22:2C x y -=联立，根据韦达定理，可求出k 的值，再根据弦长公式||AB =AB 的长． 【详解】解：双曲线22:122x y C -=，则24c =，所以右焦点(2,0)F ， 根据题意易得过F 的直线斜率存在，设为(2)y k x =-，(,),(,)A A B B A x y B x y联立22(2)2y k x x y =-⎧⎨-=⎩， 化简得()222214420k x k x k -+--=，所以2222442,11A B A B k k x x x x k k ---+==--， 因为,A B 中点横坐标为4，所以22481A B k x x k-+==-， 解得22k =，所以2242101A B k x x k --==-， 则()()2228410244A B A B A B x x x x x x -=+-=-⨯=，则||AB ===． 故选D ．【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．11.将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每-行均构成公比为2的等比数列， 1a23,a a4567,,,a a a a89101112131415,,,,,,,a a a a a a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅记数阵中的第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，T 为数列{}n b 的前n 项和，若253n T n n =+，则1025a等于( )A. 176B. 196C. 216D. 236【答案】C【解析】【分析】先确定1025a 为第11行第2个数，由253n T n n =+可得102n b n =-，最后根据从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列即可得出结论．【详解】∵其中每一行项数是上一行项数的2倍，第一行有一个数，前10行共计()10112102312-=-个数，即1025a 为第11行第2个数，又∵第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，253n T n n =+， ∴当2n ≥时，()()221535131102n n n b T T n n n n n -=-=+----=-，∴第11行第1个数为108，∴10251082216a =⨯=，故选：C.【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，本题解题的关键是1025a 为第11行第2个数，属于中档题． 12.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，直线l 与椭圆交于,A B 两点，当O 到直线AB 的距离为1时，则OAB 面积的最大值为( )A. B. 2 C. 1 D. 5 【答案】C【解析】【分析】当AB x ⊥轴时，易求三角形面积，当AB 与x 轴不垂直时，设直线方程为y kx m =+，由坐标原点O 到直线的距离为1可得221m k =+，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由弦长公式求得AB ，结合二次函数的性质求其最大值，则AOB 面积的最大值可求．【详解】当AB x ⊥轴时，AB =，112OAB S ==； 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，，得221m k =+， 联立22 14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=， ∴122841km x x k +=-+，()21224141m x x k -=+， ∴()()()()()22222221222216164114141m k m AB k x x k k k ⎡⎤-⎢⎥=+-=+-⎢⎥++⎣⎦()()()()()()2222222222216141382324333411414k k m k k k k k ++-+--==+=++++()22223331414k k ⎛⎫ ⎪=+- ⎪++⎝⎭， 令2114n k =+， 则()22211333233333AB n n n ⎡⎤⎛⎫=+-+=+--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当且仅当211143n k ==+，即2k =±时，2AB 最大，此时max 2AB =， 此时AOB 面积的最大值为：12112⨯⨯=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了函数最值的求法，属于难题．二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，6350S S -=,则7a 的值为______．【答案】16【解析】【分析】利用3633S S q S -=及6350S S -=可计算3q ，从而可计算7a 的值.【详解】因3633S S q S -=，故3334q S S =，因为30S ≠，故34q =，故67116a a q ==，故填16.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．14.在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线222210,0)x y a b a b-=>>（的右焦点作垂直于x 轴的直线l ，l 与双曲线的渐近线交于A B 、两点，且三角形ABO 为等腰直角三角形，若双曲线的顶点到它的渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】22144x y -= 【解析】【分析】设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，可得a b =，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得a ，进而可得到所求双曲线的方程． 【详解】解：设双曲线22221x y a b-=的右焦点为(c,0)，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=， 由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=， 则221b a-=-，即a b =， 则双曲线的渐近线方程为y x =±，设双曲线的方程为222x y a -=，=2a =， 所以双曲线的方程为22144x y -=． 故答案为22144x y -=． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.若正实数,a b 满足关系式24a b +=的最大值为__________．【答案】4.【解析】【分析】设()1,1m =，( 2n a =+，运用||||||m m n n ⋅≤⋅即可得到最大值.【详解】设()1,1m =，(2n a =+， 则||||||m m n n ⋅≤⋅，4≤==，当且仅当=，又24a b +=，即有32a =，1b =，取得最大值4， 故答案为：4.【点睛】本题主要考查运用向量的数量积的性质，求最值的方法，考查运算能力，属于中档题和易错题． 16.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212x y +=上有三点,,A B C ，满足2OP AO =，52BP BC =，则直线,OA OB 的斜率之积为__________．【答案】12-. 【解析】【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，推导出P 点坐标，根据52BP BC =将3x ，3y 用12,x x 和12,y y 表示，代入椭圆方程，结合点,A B 满足椭圆方程可得121202x x y y +=，代入斜率计算公式即可得结果． 【详解】如图所示：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，∵2OP AO =，∴()1122P x y --，， ∵52BP BC =，∴()()121232325,222x x y y x x y y ----=--，， ∴()()12321232522522x x x x y y y y ⎧--=-⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，∴3213213455 3455x x x y y y⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入椭圆， 得2221213425534551x x y y -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭+-=，即22221212********* 1252252252x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③ ∵A ，B 在椭圆上，∴221112x y +=，222212x y +=④∴121202x xy y +=，∵直线OA ，OB 的斜率之积为121212121212122y y y y y y x x x x y y ===--⋅，故答案为：12-． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D的渐近线方程为y =，且经过点(2,3)，直线:2l y x =-交双曲线于,A B 两点，连结,OA OB . （1）求双曲线方程； （2）求OA OB ⋅的值.【答案】（1）2213y x -=（2）1OA OB ⋅=【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程； （2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可． 【详解】解：（1）由双曲线D的渐近线方程为y =，设双曲线的方程为：223y x k -=，将点(2,3)代入双曲线方程得1k =，所以双曲线的方程为：2213y x -=（2）联立22213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=设()()1122,,,A x y B x y ， 则121272,2x x x x +=-=-， ()()()121212127922244422y y x x x x x x =--=-++=-++=∴121279122OA OB x x y y ⋅=+=-+=．【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以(0,0)m y x m n n =±>>为渐进线的双曲线系方程可设为2222y x m nλ-=，λ为参数且不为0．18.已知函数()()()2341f x x a x a R =-++∈.（1）若对任意的(0,)x ∈+∞，总有()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()121f x a <-+. 【答案】（1）23a <-；（2）当43a =时，不等式解集为∅；当43a <时，不等式解集为()3,4a ；当43a >时，不等式解集为()4,3a . 【解析】 【分析】（1）利用分离参数思想将原不等式等价转化为134a x x+<+在()0,∞+内恒成立，求出右端的最小值即可得出a 的取值范围；（2）分为43a =，43a <和43a >三种情形，解出一元二次不等式即可.【详解】（1）对任意的()0,x ∈+∞，()()23410f x x a x =-++>恒成立即134a x x+<+恒成立 因为当0x >时，12x x+≥(当且仅当时1x =取等号) 所以342a +<即23a <-（2）不等式()121f x a <-+即()()340x a x --< ①当34a =即43a =时，不等式无解； ②34a <即43a <时，34a x <<； ③ 当34a >即43a >时，43x a <<.综上:当43a =时，不等式解集为∅；当43a <时，不等式解集为()3,4a ；当43a >时，不等式解集为()4,3a .【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在给定区间内恒成立问题，含有参数的一元二次不等式的解法，属于中档题.19.设数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足121, 2b b ==，()11n n n n a b b n b ++=+（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=；（2）()2121nn S n =-⋅+.【解析】 【分析】（1）121, 2b b ==且()11n n n n a b b n b ++=+，1n =时，解得1a ，利用等差数列的通项公式可得n a ，利用等比数列的通项公式可得n b ；（2）()1212n n n a b n -⋅=+⋅，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【详解】（1）∵121, 2b b ==且()11n n n n a b b n b ++=+， ∴1n =时，114a +=，解得13a =， ∴()32121na n n =+-=+，∴()()1221n n n b n b ++=+，即12n n b b +=， ∴数列{}n b 是等比数列，公比为2． ∴12n nb -=．（2）由（1）得()1212n n n a b n -⋅=+⋅，∴()0121325272212n n S n -=⋅+⋅+⋅+++⋅，① ()1233252722122n n n S =⋅+⋅+⋅+++⋅，②两式相减可得()12132********n n n S n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅，即()1221nn S n --⋅-=，所以()2121nn S n =-⋅+.【点睛】本题主要考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．20.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =.（1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和.【答案】（1）2e =（2）2 【解析】 【分析】（1）由2122PF F F =，建立关于,a c 的关系式，变形即可求出离心率；（2）先根据点P 的坐标求出椭圆方程，设出直线l 与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算PM PN k k +，整理可得结果．【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴222c a =∴212e =又(0,1)e ∈，∴e =. （2）∵(2,1)P ，∴22ac=又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-=则22121222422,1212k k x x x x k k -+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x kx x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k-+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PN x x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．21.某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备，该设备的第1年的维护费支出为20万元，从第2年到第6年，每年的维修费增加4万元，从第7年开始，每年维修费为上一年的125%． （1）求第n 年该设备的维修费n a 的表达式； （2）设12nn a a a A n+++=，若40n A <万元，则该设备继续使用，否则须在第n 年对设备更新，求在第几年必须对该设备进行更新？【答案】(1) 6416,16540,74n n n n a n -+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2) 第9年 【解析】 【分析】（1）将数列分为两部分，分别利用等差数列和等比数列公式得到答案.（2）当16n ≤≤时，2183040n A n =+≤<恒成立，当7n ≥时，65200204n n A n-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=，判断{}n A 是递增数列，计算840A <,940A >得到答案.【详解】（1）当16n ≤≤时，数列{}n a 是首项为20，公差为4的等差数列，()2041416n a n n =+-=+；当7n ≥时，数列{}n a 是首项为6a ，公比为54的等比数列，又640a = 所以65404n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.因此第n 年该设备的维修费n a 的表达式因此为6416,16540,74n n n n a n -+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由等差及等比的求和公式得： 当16n ≤≤时，()22021218n S n n n n n =+-=+，此时2183040nn S A n n==+≤<恒成立，即该设备继续使用； 当7n ≥时，6667855()18020012002044n n n n S S a a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯-=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，此时65200204n n A n-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=因为()()61550420401n n n n A A n n -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-=>+，即1n n A A +> 所以{}n A 是递增数列，又86054016A =<,929654072A => 故在第9年必须对该设备进行更新.【点睛】本题考查了数列的应用，意在考查学生利用数列知识解决问题的能力和应用能力.22.已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍. （1）求椭圆C 的方程； （2）证明:直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组22223c a c =⎧⎨=+⎩，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y ，由椭圆的性质可得出34AM BM k k ⋅=-，故而可得94BN BM k k ⋅=-，当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，解出1m =，当直线斜率存在时，设:MN y kx t =+，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出22230k kt t ++=，得出k 与t 的关系，代入直线方程即可得定点.【详解】（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩，所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y += （2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y 则21112111224AM BMy y y k k x x x ⋅=⋅=+-- 因点()11,M x y 在椭圆上，所以221122113334=444AMBMx y kk x x -⋅==--- 因为3BN AM k k =，所以94BN BM k k ⋅=-当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，不妨设M 在x 轴上方，,,M m N m ⎛⎛ ⎝⎝ 因为94BN BMk k ⋅=-，所以1m =（ii ）当MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，2234120y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩即()2223484120k x kx t +++-=，所以21212228412,3434kt t x x x x k k --+==++ 因为()()()1112111212922244BN BM kx t kx t y yk k x x x x x x ++⋅=⋅==----++ 所以22230k kt t ++=，即t k =-或2t k =-当t k =-时，y kx k =-，恒过定点()1,0，当斜率不存在亦符合:当2t k =-，2y kx k =-，过点()2,0与点B 重合，舍去. 所以直线恒过定点()1,0【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学
江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共7小题.1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2=2y 的焦点为F ，准线为ι，则点F 到直线ι的距离为 A. 12B. 1C. 2D. 42. 已知向量a ⃗=（-2，3，-1），b ⃗⃗=（4，m ，n ），且a ⃗//b⃗⃗，其中m ，n ∈R ，则m+n= A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 3. 若sin θ=2cos （π-θ），则tan （θ+π4）的值为 A. 3B. 13C. -3D. −134. 在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29+y 2m =1与双曲线T ：x 2−y 2m =1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A. y=±14xB. y=±12x C. y=±4x D. y=±2x5. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y -4=0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为 A. x 2+y 2+6y -16=0 B. x 2+y 2-6y -16=0 C. x 2+y 2+8y -9=0 D. x 2+y 2-8y -9=06. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60º角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√3 7. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB=∠A 1AC=60º，∠BAC=90º，A 1A=3，AB=AC=2，则线段AO 的长度为A. √292B. √29 C. √232D. √23二、多项选择题：本大题共4小题. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.8. 已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是A. 若α⊥β，m⊥α，则m//βB. 若α//β，m⊥α，则m⊥βC. 若m//α，m⊥β，则α⊥βD. 若m//α，m//β，则α//β9. 在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，点A在椭圆上. 若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，直线ι1，ι2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到ι1，ι2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”. 下列说法正确的是A. 距离坐标为（0，0）的点有1个B. 距离坐标为（0，1）的点有2个C. 距离坐标为（1，2）的点有4个D. 距离坐标为（x，x）的点在一条直线上11. 20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石. 人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体. 已知一个立方八面体的棱长为1，则A. 它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B. 它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C. 它的体积为5√23D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线ι1：x+ay=0和直线ι2：2x -（a -3）y -4=0，a ∈R. 若ι1与ι2平行，则ι1与ι2之间的距离为________.13. 在空间直角坐标系中，若三点A （1，-1，a ），B （2，a ，0），C （1，a ，-2）满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数a 的值为________.14. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，BC=√2，则四面体PABC 的外接球的表面积为________.15. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同. 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标为________.四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在①sin （A -B ）=sinB+sinC ；②2acosC=2b+c ；③△ABC 的面积S=√34（a 2-b 2-c 2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，D 是边BC 上的一点，∠BAD=π2，且b=4，c=2，求线段AD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：（x -2）2+y 2=1，动圆M 与直线ι：x=-1相切且与圆F 外切. （1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A （-2，0），曲线C 上一点P 满足PA=√2PF ，求∠PAF 的大小. 18. 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 为AC 中点. （1）求证：B 1A//平面C 1BD ；（2）若AA 1=AB=3，BC=4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B -B 1C 1D 的体积.19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，点A ，B 是直线x -y+m=0（m ∈R ）与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上.（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x -y -√3=0上存在点P 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，求实数m 的取值范围. 20. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥AB ，PA=AD=4，BC//AD ，AB ⊥AD ，AB=BC=2，PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗（0≤λ＜1）. （1）若λ=12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值； （2）设二面角B -AE -C 的大小为θ，若|cos θ|=2√3417，求λ的值.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点与上顶点的距离为2√3，且经过点（2，√2）.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线ι与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点. 若椭圆上存在点N 满足ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求证：△PQN 的面积S 为定值.参考答案一、单项选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 8．BC 9．ABC 10．ABC 11．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12． 2 13．－92 14．4π 15．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分15分） 解：选①．由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab＝2b ＋c ，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝csin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分17．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22， ……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分18．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ． 因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．B 1（第19题）A 1C 1BDAC OE又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC 平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分19．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6， 所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12． ………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m 2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2． …9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 20．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2， 所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2．设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2， 所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分 （2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1， 所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)． 设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧ l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1， 所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分（或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量）因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417， 得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0， 解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13． ……………12分 y z P A B C D E x21．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ①因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b 2＝1，② …………2分 由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分 （2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823， 此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分 当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0， 由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)， 将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1， 化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式． ……………9分 记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649． …………12分。
江苏省姜堰二中高二数学上学期期中试题文
（考试时间：120 分钟满分： 160 分）一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共70 分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．．．1．设复数 2z (2 i) （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为▲．2．在某频率分布直方图中，从左往右有10 个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9 个小矩形的面积和的 15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为▲．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300 名学生．为认识学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60 名学生进行检查，则应从丁专业抽取的学生人数为▲．4．某地区连续 5 天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4 ，-1 ，0，2，则该组数据的方差为▲．135．已知物体运动的方程为S t t2，则t =2 时的瞬时速度为▲．6．袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球， 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不相同的概率为________.7．某圆锥的侧面张开图是面积为 3 且圆心角为23的扇形，此圆锥的体积为▲．8．在4,4 上随机地取一个数m ，则事件“直线x 2y m 0与 2 2 2 2 0x y x 有公共点”发生的概率为▲．9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2y2 1x 的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近4线的距离为▲．10．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1 的各条棱长均为2，D为棱B1C1 上任意一点，则三棱锥D－A1BC 的体积是▲．11．已知F 是抛物线 C ： 2 8y x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是F N 的中点，则FN 的长度为▲．- 1 -1212．若函数f (x) ax (a 1) x ln x2在x=1 处获取极小值，则实数 a 的取值范围是▲．13．圆O : x2 y2 1，直线l :ax y 3，若直线上存在点P ，过点P 作圆O的两条切线，切点是A, B ，使得0APB 60 ，则实数 a 的取值范围是▲．2 y 2x14．已知F1、F2 分别是椭圆 18 4的左、右焦点，点P 是椭圆上的任意一点，则|| P F | |1| PF1 PF|2||的取值范围是▲．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（本小题满分14 分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中．求证：（1）A1 C⊥BD；（2）平面AB1D1∥平面BC1D．16．（本小题满分14 分）- 2 -3 x2 a a R 已知函数( )( ).f x x（1）当a=1 时，求曲线y f (x) 在点（1, f (1) ）处的切线方程；（2）若函数 f ( x) 只有一个零点，求 a 的取值范围.17．（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆 2 2C : x y 4x 0 及点A( 1,0) ，B(1,2) ．（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 订交于M ，N 两点，MN AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上可否存在点P ，使得 2 2 12PA PB ？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明原由．- 3 -18．（本小题满分16 分）已知函数xf x e ，g x x m ，m R .（1）若曲线y f x 与直线y g x 相切且相切于点P x0 ,y0 ，求切点P 坐标及实数m 的值；（2）记h x f x g x ，求h x 在0，1 上的最大值；19．（本小题满分16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2 2x y2 2 1( a b 0) 的离心率为a b32，且过点3，．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A，B 分别为椭圆C 的左极点和下极点，12且PA 交y 轴于点 E ，PB 交x 轴于点F ．（1）求a ，b 的值；（2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点 E 的坐标；（3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．- 4 -20．（本小题满分 16 分）22xy设椭圆 C ：1(0)a b22a b的离心率 3e，直线 yx 2 与以原点为圆心、2椭圆 C 的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线1x与椭圆 C 交于不相同的两点 M ，N ，以线段 MN 为直径作圆 D ，若圆 D与 y2轴订交于不相同的两点 A ，B ，求△ABD 的面积；（3）如图， A 1，A 2，B 1，B 2 是椭圆 C 的极点， P 是椭圆 C 上除极点外的任意点，直线B 2P交 x 轴于点 F ，直线 A 1B 2 交 A 2P 于点 E ，设 A 2P 的斜率为 k ，EF 的斜率为 m ，求证： 2m ﹣k 为定 值．- 5 -高二数学期中考试参照答案1． 3 4i 【解析】由于 2z (2 i) 3 4i ，所以z的共轭复数为 3 4i ．2．150【解析】设第一个小矩形面积为x，由6x 1，得 1x ，从而样本容量为25 6 150 ．63．解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为3:3:8:6 ，所以100 名学生中丁专业抽取人数为60 6 1820 人.4．165．6．5 6 .7．2 2 3 38．49．45 【解析】一条渐近线y 2x 与右准线x 5 的交点为( 5 , 2 5 )5 5 5，其到另一条渐近线y x的距离为 425．10．11．如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以 1 1MP OF ，MF MT 3 ，2所以FN 2 MF 6 ．12．a>113．5a 或2a5214．15．（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，则有 D B⊥AC，D B⊥AA1，且AA1∩AC=A，∴DB⊥面AA1C1C，∵A1C 面AA1C1C，∴A1C⊥BD；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分- 6 -（2）∵∴四边形ABC1D1 是平行四边形，∴AD 1∥BC1，又∵DB∥B1D1，AD1 面AD1B1，B1D1 面AD1B1，BD 面DBC1，BC1 面DBC1，且AD1 ∩D1B1= D1．∴平面AB1D1∥平面BC1D．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分- 7 -17．（1）圆C 的标准方程为 2 2(x 2) y 4 ，所以圆心 C (2,0) ，半径为2．由于l∥AB ，A( 1,0) ，B(1,2) ，所以直线l 的斜率为2 01 ( 1)1 ，设直线l 的方程为x y m 0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分则圆心 C 到直线l 的距离为2 0 m 2 md ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分2 2由于 2 2MN AB 2 2 2 2 ，而MN2 2 ( ) 2CM d ，所以22(2 m)4 22，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分解得m 0 或m 4，故直线l 的方程为x y 0 或x y 4 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（2）假设圆 C 上存在点P ，设P( x, y) ，则 2 2( x 2) y 4，2 2 ( 1)2 ( 0)2 ( 1)2 ( 2)2 12 PAPB x y x y ，即 2 2 2 3 0x y y ，即2 ( 1)2 4x y ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分0由于 2 2|22| (2 0) (0 1) 2 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2所以圆 2 2(x 2) y 4 与圆2 2x (y 1) 4 订交，所以点P 的个数为2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 4 分18．解：（1）由xf x e ，知xe 0 =1，解得x0 0 ，又可求得点P 为0，1 ，⋯⋯⋯3 分所以代入g x x m ，得m 1. ⋯⋯⋯⋯⋯6 分（2）由于x x x xh x x m e ，所以h x e x m e x (m 1) e , x [0,1] .①当m 1 0，即m 1时，h x 0，此时h x 在0，1 上单调递加，所以h x max h 1 1 m e；⋯⋯⋯⋯⋯8 分②当0 m 1 1即1 m 2时，当x 0，m 1 时，h x 0，h x 单调递减，当x m 1, 1时，h x 0，h x 单调递加，h 0 m，h1 1 m e.- 8 -e(i) 当m 1 m e，即 2me 1时，h x h m；⋯⋯⋯10分max 0e(ii) 当m 1 m e，即1m 时，e 1 h x h m e⋯⋯12分max 1 1③当m 1 1，即m2时，h x 0，此时h x 在0，1 上单调递减，所以h xmin h 0 m. ⋯⋯⋯⋯⋯14分e综上，当时，me 1 h x m e；max 1e当时，me 1 h x m. ⋯⋯⋯⋯⋯16分max19．( 本小题满分16 分)解：（1）依题意， 1 3 12 2a 4b ，ca32，其中 2 2 2( 0)c a b c ，解得 2 4 2 1a ，b ．由于a b 0 ，所以 a 2 ，b 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯4 分（2）由（1）知，椭圆 C 的右焦点为 F 3 ，0 ，椭圆C的方程为2x y ，①2 14x y ．② 所以A 2，0 ，B 0， 1 ．从而直线BF 的方程为：13由①②得，P 8 3 ，1 ．从而直线AP的方程为：7 4 3 ( 2)y x ．7 7 2令x 0，得y 7 4 3 ，所以点 E 的坐标为0，7 4 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯9 分（3）设P x ，y （x0 0，y0 0 ），且0 02x42y0 1 ，即2 2x0 4y0 4．则直线AP 的方程为：yy (x 2)x 22y，令x 0，得0yx 2．⋯⋯⋯⋯⋯11 分直线BP 的方程为：y 1y 1 xx，令y 0 ，得xxy0 1．⋯⋯⋯⋯⋯13分x 2y1 2 1 所以四边形ABFE 的面积S 0 02 y 1 x 20 0x 2y 2 x 2y 2 10 0 0 02 y 1 x 20 02 2x 4y 2 2x y 2x 4y 4 10 0 0 0 0 02 x y x 2 y 20 0 0 0 2x y 2x 4y 40 0 0 0x y x 2y 20 0 0 02 ．⋯⋯⋯⋯⋯16 分- 9 -20．【考点】椭圆的简单性质．【解析】（1）由于直线 y=x+与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切，可得=b ，解得 b ．又离心率 e= = ，b 2=a 2﹣c 2，联立解得即可得出．（2）把 x= 代入椭圆方程可得： ，可得⊙D 的方程为：．令 x=0，解得 y ，可得 |AB| ，利用 S △A B D =即可得出．（3）由（ 1）知： A 1（﹣2，0），A 2（2，0），B 2（0，1），可得直线 A 1B 2A D 的方程，设直线 A 2P 的方程为 y=k （x ﹣2），k ≠0，且 k ≠，联立解得 E ．设 P （x 1，y 1），与椭圆222方程联立可得（ 4k +1）x ﹣16k x+16k2﹣4=0．解得 P ．设 F （x 2，0），则由 P ，B 2，F三点共线得，．可得 F ．即可证明 2 m ﹣k 为定值．【解答】（1）解：∵直线 y=x+与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切，∴=b ，化为 b=1．∵离心率 e= = ，b2=a 2﹣c 2=1，联立解得 a=2，c= ．∴椭圆 C 的方程为 =1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（2）解：把 x= 代入椭圆方程可得： ，解得 y=± ．∴⊙D 的方程为： ．令 x=0，解得 y=± ，∴|AB|= ，∴S△ABD= = = ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分（3）证明：由（ 1）知： A 1（﹣ 2，0），A 2（2，0），B 2（0，1），- 10 -江苏省姜堰二中高二数学上学期期中试题文江苏省姜堰二中高二数学上学期期中试题文∴直线A1B2 的方程为，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分由题意，直线A2P的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且k≠，由，解得．设P（x1，y1），则由，得（4k 2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．∴2x 1= ，∴x1= ，y1=k（x1﹣2）= ．∴．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分设F（x2，0），则由P，B2，F 三点共线得，．即= ，∴x2= ，∴F．∴EF 的斜率m= = ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分∴2 m﹣k= ﹣k= 为定值．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分- 11 -31 / 31。
江苏省姜堰第二中学2020-2021学年第二学期期初检测高二数学试卷
江苏省姜堰第二中学2020~2021学年度第二学期期初检测 高二数学一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 不等式220x x +-≤的解集为（ ） A. []2,1-B. []1,2-C. (][),12,-∞-⋃+∞D. (][),21,-∞-+∞2．设R a ∈，则“a >是“22a >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3. 在等比数列{}n a 中，已知52414,2a a a a -=-=，则公比q =（ ） A. 12±B. 2±C.12D. 24.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n 2＝4S n ﹣2a n +3，则S n ＝（ ） A ．2n 2+nB ．n 2﹣2nC ．n 2D ．n 2+2n5.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为（）A.2x －y ＋1＝0B.x -2y+1=0C.2x+y -1=0D.x+2y -1=06. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（ ）A.10B.3C.2D.37．嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆是我国首次实现的地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（lg 20.3≈，lg3.80.6≈）（ ）A ．40B ．41C ．42D ．438．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅=，3BF FC =且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB C D ．2二、多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 下列命题正确（ ）A. 若22ac bc >，则a >bB. 2,2n n N n ∀∈≥C. ()10,,sin 4x x x x∃∈+∞+≤ D. ()22,,20a x x a ∀∈+∞++> 10．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ） A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列11. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值12．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，P 为直线2x =-上任意一点，过P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，斜率分别为1k ，2k ，则（ ）A ．1212k k =-B ．122k k -=C ．AB 过定点()2,0D ．AF BF 的最小值为8三、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13、设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________．14. 函数()(1)xf x x e =+导数是________．15.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为()1,0F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则p =___________，94AF BF-的最小值为____________． 16．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______.四、解答题（共6小题，共70分） 17. 已知集合411A x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.)1<a （（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.19. 已知抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l ：22y x =-，直线l 与E 的交点为A ，B ，同时8AF BF +=，直线//m l .直线m 与E 的交点为C ，D ，与y 轴交于点P ．（1）求抛物线E 的方程； （2）若4CP DP =，求CD 的长.的20.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ， （1）在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；（2）设数列{}n b 满足11()n n n na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21. 在四棱锥P =ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD .∠BAD =90°（1）设平面PBC ∩平面P AD =l ，求证：l ∥平面ABCD ；（2）若P A ⊥平面ABCD ，AD=2P A ，P A=AB .在线段PB 上是否存在点E ，使得AE 与平面PBD? 22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为4，椭圆C 的右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的方程（2）若P 在椭圆C 上且在第一象限，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA 、PB 分别交y 轴、x 轴于点M 、N . ①求证：AN BM ⋅为定值； ②求OMN 面积的最小值江苏省姜堰第二中学2020~2021学年度第二学期期初检测 高二数学一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 不等式220x x +-≤的解集为（ ） A. []2,1-B. []1,2-C. (][),12,-∞-⋃+∞D. (][),21,-∞-+∞【答案】C2．设R a ∈，则“a >是“22a >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A3. 在等比数列{}n a 中，已知52414,2a a a a -=-=，则公比q =（ ） A. 12±B. 2±C.12D. 2【答案】D4.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n 2＝4S n ﹣2a n +3，则S n ＝（ ） A ．2n 2+n B ．n 2﹣2nC ．n 2D ．n 2+2n【答案】D5.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为（）A.2x －y ＋1＝0B.x -2y+1=0C.2x+y -1=0D.x+2y -1=0【答案】A6. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（ ）A.B.C.2D.【答案】A7．嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆是我国首次实现的地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（lg 20.3≈，lg3.80.6≈）（ ）A ．40B ．41C ．42D ．43【答案】C8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅=，3BF FC =且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2C D ．2【答案】B二、多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 下列命题正确（ ）A. 若22ac bc >，则a >bB. 2,2n n N n ∀∈≥C. ()10,,sin 4x x x x∃∈+∞+≤ D. ()22,,20a x x a ∀∈+∞++> 【答案】AD10．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ） A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC11. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=- ∴x λ=，1y λ=-，1z =， ∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠∴AC 与AF 不垂直，A 错误.E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离A 到11BDDB 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确. 故选：BD.12．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，P 为直线2x =-上任意一点，过P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，斜率分别为1k ，2k ，则（ ） A ．1212k k =-B ．122k k -=C ．AB 过定点()2,0D ．AF BF 的最小值为8【答案】AC三、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13、设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________．【答案】322+ 14. 函数()(1)x f x x e =+导数是________．【答案】（x+2）x e15.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为()1,0F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则p =___________，94AF BF-的最小值为____________． 【答案】 (1). 2 (2). -616．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______. 【答案】13四、解答题（共6小题，共70分） 17. 已知集合411A x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.)1<a （（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++， 所以()()130x x +-<，所以13x，故()13A ,=-；（2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<， 由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.当2a a ->-，即1a <时，{}2B x a x a =-<<-，则1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-；18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得20202021n T >的最小正整数n ． 【解析】（1）111a S ==， 当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，1a 符合上式，所以21n a n =-．（2）()()21121212121n b n n n n ==--+-+，∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++，令120201212021n ->+，解得1010n >，所以最小正整数n 为1011.19. 已知抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l ：22y x =-，直线l 与E 的交点为A ，B ，同时8AF BF +=，直线//m l .直线m 与E 的交点为C ，D ，与y 轴交于点P ．（1）求抛物线E 的方程； （2）若4CP DP =，求CD 的长.【解析】（1）联立方程组2222y px y x ⎧=⎨=-⎩，整理得：()22420x p x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得1242px x ++=， 由抛物线的定义可得12482pAF BF x x p p ++=++=+=，解得4p =， 所以抛物线E 的方程为28y x =； （2）设直线m ：2y x t =+， 联立方程组228y x t y x=+⎧⎨=⎩，整理得()224480x t x t +-+=， 由()22Δ48160t t =-->，解得1t <， 设()33,C x y ，()44,D x y ， 因为4CP DP =，可得344x x =，即344x x =， 又因为342x x t +=-，2344t x x =，所以()()()22222343344224334342421222444x x t t x x x x t x x x x x x t +--++==-=-=-=+， 解得89t =或8t ，所以CD ==当89t =时，CD == 当8t时，CD ==20.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ， （1）在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；（2）设数列{}n b 满足11()n n n na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）答案不唯一，理由见解析；（2）T n ＝(n －1)2n ＋1 【解析】（1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝12n -． 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝112222m n m n --+-⋅=，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项，因此数列{a n }满足条件P ． 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×12n -． 此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4，因此a n ＝4×12n -＝12n +． 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝112222m n m n ++++⋅=，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，因此数列{a n }满足条件P ．（2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以1n na a +＝2，因此b n ＝n ×12n -．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×21n -，则2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×21n -＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋21n -－n ×2n ＝1212n--－n ×2n ＝(1－n )2n －1，所以T n ＝(n －1)2n ＋1．21. 在四棱锥P =ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD .∠BAD =90°（1）设平面PBC ∩平面P AD =l ，求证：l ∥平面ABCD ；（2）若P A ⊥平面ABCD ，AD=2P A ，P A=AB .在线段PB 上是否存在点E ，使得AE 与平面PBD? 【解析】（1）因为//BC AD ，AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD .又因为BC ⊂平面PBC ,平面PBC 平面PAD l =，所以//BC l .又因为l ⊄平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ， 所以//l 平面ABCD .（2）因为90BAD ∠=︒，所以AB AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AD ⊥，PA AB ⊥. 所以PA 、AB 、AD 两两垂直，所以以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设1==PA AB ，则2AD =.所以()1,0,0B 、()0,2,0D 、()0,0,1P ，得()1,0,1PB =-，()1,2,0BD =-. 设(),,m x y z =为平面PBD 的法向量，则m PB ⊥且m BD ⊥，所以0m PB ⋅=且0m BD ⋅=， 即0x z -=且20x y -+=，得2x z y ==，取()2,1,2m =. 假设在线段PB 上存在点E ，使得AE 与平面PBD， 可设()01PE PB λλ=≤≤，则(),0,PE λλ=-， 所以(),0,1AE AP PE λλ=+=-， 设AE 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,AE m AE m AE mθ⋅==，=，所以2209λλ-+=，所以13λ=或23λ=，满足条件.所以在线段PB 上存在点E ，使得AE 与平面PBD. 22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为4，椭圆C 的右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的方程（2）若P 在椭圆C 上且在第一象限，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA 、PB 分别交y 轴、x 轴于点M 、N . ①求证：AN BM ⋅为定值； ②求OMN 面积的最小值【解析】（1）因为椭圆C 的长轴长为4，所以24a =，即2a =.又因为椭圆C 上的右焦点到右准线的距离为3，所以23a c c-=，即43c c -=，整理可得2340c c +-=，0c >，解得1c =，所以b ===所以椭圆C 的方程为22143x y+=； （2）①设点()00,P x y ，则直线()002:2y PA y x x =--，直线0:PB y x =+， 所以0020,2y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，N ⎛⎫⎪⎪⎭，所以2AN =-=，000002222y y BM x x --+==--，所以20002y AN BM -+⋅==的22=因为点()00,P x y 在椭圆C 上，所以22003412x y +=，所以AN BM ⋅==；③)()11222OMN S OM ON BM AN =⋅=⋅+△BM =+≥=当且仅当BM =，即AN =BM =. 所以OMN面积的最小值为。
泰州中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷(含解析)
1江苏省泰州中学2021-2022学年度第一学期高二年级期中质量检测数学试题一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
130y -+=的倾斜角是 ( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．150︒2．抛物线上一点到其焦点的距离为3．则抛物线的方程为 A ．B ．C ．D ．3．已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．4．圆221:260O x y x y +-+=和圆222:60O x y x +-=的公共弦AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A ．2330x y -+=B ．2350x y --=C ．3290x y --=D ．3270x y -+=5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用周长为72的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线的右焦点为，若以为坐标原点）为直径的圆被双曲线的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为2:2C y px =0(1,)y C ()24y x =28y x =212y x =216y x =221(0)y x m m +=≠(3,0)F ()y =±y =2y x =±12y x =±ABCD ττABCD τ22221(0)x y a b a b +=>>()2218116x y +=2211681x y +=22110064x y +=22164100x y +=2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>F (OF O C C C ()2ABC ．D ．27．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为A ．2B C ． D 8．在直角坐标系xOy 中，已知直线:cos sin 1l x y θθ⋅+⋅=，当θ变化时，动直线始终没有经过点P ．定点Q 的坐标(2,0)-，则||PQ 的取值范围为 ( ) A ．[0，2] B ．(0,2)C ．[1，3]D ．(1,3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学试题及答案
旗开得胜 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，________，D 是边 BC 上的一点，∠BAD=π2，且 b=4， c=2，求线段 AD 的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 F：（x-2）2+y2=1，动圆 M 与直线ι：x=-1 相切且与圆 F 外切. （1）记圆心 M 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程； （2）已知 A（-2，0），曲线 C 上一点 P 满足 PA=√2PF，求∠PAF 的大小. 19. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 为 AC 中点. （1）求证：B1A 平面 C1BD； （2）若 AA1=AB=3，BC=4，且 AB⊥BC，求三棱锥 B-B1C1D 的体积.
旗开得胜
江苏省姜堰第二中学 2020-2021 学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填
涂在答题卡相应位置上.
1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 x2=2y 的焦点为 F，准线为ι，则点 F 到直线ι的距离为
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旗开得胜 14. 在空间直角坐标系中，若三点 A（1，-1，a），B（2，a，0），C（1，a，-2）满足( ⃗ − 2 ⃗) ⊥ ⃗， 则实数 a 的值为________. 15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体 的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑” 四面体 PABC，其中 PA⊥平面 ABC，PA=AC=1，BC=√2，则四面体 PABC 的外接球的表面积为________.
2021-2022学年江苏省泰州市姜堰中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年江苏省泰州市姜堰中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式是（ ）A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n +1C ．a n ＝3nD ．a n ＝2n ﹣12．圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）A ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1B ．（x +1）2+（y +1）2＝1C ．（x +1）2+（y +1）2＝2D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝23．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为（ ）A ．15B ．16C ．49D ．644．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点，A （3，2）和B （a ，﹣1），且直线l 与l 1平行，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．6D ．0或65．若抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点与椭圆y 29+x 28=1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．y ＝﹣1B ．y ＝1C ．y ＝﹣2D ．y ＝26．若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，则该双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y =±12xB ．y ＝±2xC ．y =±14xD ．y ＝±4x7．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”意思是：“一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．”现将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，那么此数列的项数为（ ）A ．133B ．134C ．135D ．1368．如图，椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为e ，F 是Γ的右焦点，点P 是Γ上第一象限内任意一点．且sin ∠POF ＜cos ∠POF ，OQ →=λOP →（λ＞0），FQ →⋅OP →=0，若λ＞e ，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(0，√62] B ．[√63，1) C ．[√22，1) D ．(0，√22)二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）A ．k 1＜k 3＜k 2B ．k 3＜k 2＜k 1C ．α1＜α3＜α2D ．α3＜α2＜α110．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1+3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是（ ）A ．a 4＝0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|＜|a 5|11．已知直线l ：（m ﹣1）x +（2m ﹣1）y ﹣4m +4＝0和圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9，下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点（4，0）B ．圆C 被x 轴截得的弦长为2√2C ．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为4D ．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为412．已知曲线C ：√(x +1)2+y 2•√(x −1)2+y 2=3，以下判断正确的是（ ）A ．曲线C 与y 轴交点为（0，±2）B ．曲线C 关于y 轴对称 C ．曲线C 上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]D ．曲线C 上点到原点的距离最小值为√2三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在等差数列{a n }中，a 3＝9，a 4+a 6＝10，则数列{a n }的公差为 ．14．若点P （1，1）为圆x 2+y 2﹣6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 ．15．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线．若焦点在x 轴上的双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1，a ＞0，b ＞0的一条渐近线为2x −√3y ＝0，其共轭双曲线为C 2：y 2b 2−x 2a 2=1，a ＞0，b ＞0，且C 2过点P （2，3），则C 2方程为 ．16．2021年4月29日11时22分，天和号核心舱成功发射，标志着中国天宫空间站正式开建，如图（1）所示．返回舱是宇航员从太空返回地球的座舱，如图（2）所示，返回舱内空间越大宇航员越舒适．若返回舱的轴截面曲线是由半椭圆y 28+x 24=1(y ＞0)和半圆弧x 2+（y ﹣2）2＝8（y ≤0）组成的“曲圆”，如图（3）所示，过半椭圆上焦点F 作两条关于y 轴对称的直线交上半椭圆于C ，D ，交下半圆弧于E ，G ，则梯形CDEG 面积的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）两点，请从下面①②中任意选一个推出另一个．①当直线l 与x 轴垂直时，|CD |＝8；②y 1y 2＝﹣16．18．（12分）记数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣7，a2＝﹣6，a n+1＝ka n+1（n∈N+，k∈R）．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求通项公式a n；（2）记T n＝|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|，求T20．19．（12分）S n是数列{a n}的前n项和，且a n−S n=12n−12n2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2a n−5a n，求数列{b n}中最小的项．20．（12分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B．（1）试判断直线l与⊙M的位置关系；（2）当|PM|•|AB|最小时，求直线AB的方程．21．（12分）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为e =12，左顶点A 到左焦点F 的距离为1，椭圆M 上一点B 位于第一象限，点B 与点C 关于原点对称，直线CF 与椭圆M 的另一交点为D ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设直线AD 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2.求证：k 1k 2为定值．22．（12分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的实轴长为2，A、B分别是双曲线的左、右顶点，D（x0，y0）为双曲线C上一点，连接DA，DB．当x0＝c时，有k BD＝3k AD成立．（1）求双曲线C的方程；（2）若线段BD的中点为M，过M且与BD垂直的直线与AD交于N点，且MN＝1，求点D的坐标．2021-2022学年江苏省泰州市姜堰中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式是（ ）A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n +1C ．a n ＝3nD ．a n ＝2n ﹣1解：∵3＝2+1，5＝4+1，9＝8+1，17＝16+1，33＝32+1，∴数列的通项公式可以是a n ＝2n +1，故选：B ．2．圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）A ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1B ．（x +1）2+（y +1）2＝1C ．（x +1）2+（y +1）2＝2D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2解：由题意知圆半径r =√2，∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2．故选：D ．3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为（ ）A ．15B ．16C ．49D ．64解：a 8＝S 8﹣S 7＝64﹣49＝15，故选：A ．4．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点，A （3，2）和B （a ，﹣1），且直线l 与l 1平行，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．6D ．0或6 解：∵直线l 的倾斜角为3π4，∴直线l 的斜率为﹣1，∵直线l 与l 1平行，∴直线l 1的斜率为﹣1，∴2+13−a =−1，解得：a ＝6，故选：C ．5．若抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点与椭圆y 29+x 28=1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．y ＝﹣1B ．y ＝1C ．y ＝﹣2D ．y ＝2 解：∵椭圆y 29+x 28=1的上焦点坐标为（0，1），∴抛物线的准线方程为y ＝﹣1．故选：A ．6．若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，则该双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y =±12xB ．y ＝±2xC ．y =±14xD ．y ＝±4x 解：由题意可得e =c a =√5，即c =√5a ，则b =√c 2−a 2=2a ，由渐近线方程y ＝±b a x ， 可得y ＝±2x ．故选：B ．7．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”意思是：“一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．”现将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，那么此数列的项数为（ ）A ．133B ．134C ．135D ．136解：被3除余2且被5除余1的数构成首项为11，公差为15的等差数列，则a n ＝11+15（n ﹣1）＝15n ﹣4，由15n ﹣4≤2020，可得n ≤202415，即n ≤1341415， 所以此数列的项数为134．故选：B ．8．如图，椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为e ，F 是Γ的右焦点，点P 是Γ上第一象限内任意一点．且sin ∠POF ＜cos ∠POF ，OQ →=λOP →（λ＞0），FQ →⋅OP →=0，若λ＞e ，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(0，√6]B ．[√6，1)C ．[√2，1)D ．(0，√2)解：因为点P 是Γ上第一象限内任意一点，故∠POF 为锐角，所以tan ∠POF ＜1， 设直线OP 的斜率为k ，则0＜k ＜1． 由{y =kx x 2a2+y 2b 2=1x ＞0y ＞0可得{x =ab√b +a 2k y =√b +a 2k ，故P(√b 2+a 2k 2√b 2+a 2k2)，所以Q(√b +a 2k √b +a 2k ，因为FQ →⋅OP →=0，故k QF =−1k ，所以√b 2+a 2k 2λab√222−c=−1k，解得λ=c a ×√b 2+a 2k2b(k 2+1)，因为λ＞e 对任意的0＜k ＜1恒成立， 故ca×√b 2+a 2k 2b(k 2+1)＞e ，整理得到a 2﹣2b 2＞b 2k 2对任意的0＜k ＜1恒成立，故a 2﹣b 2≥2b 2即2a 2≤3c 2即√63≤e ＜1． 故选：B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）A ．k 1＜k 3＜k 2B ．k 3＜k 2＜k 1C ．α1＜α3＜α2D ．α3＜α2＜α1解：如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α1，α2，α3， 则 k 2＞k 3＞0，k 1＜0，故π2＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，∴α3＜α2＜α1，故选：AD ．10．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1+3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是（ ） A ．a 4＝0 B ．S n 的最大值为S 3 C ．S 1＝S 6D．|a 3|＜|a 5|解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1+3（a 1+4d ）＝7a 1+21d ，解得a 1＝﹣3d ， 所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝（n ﹣4）d ，所以a 4＝0，故A 正确； 因为S 6﹣S 1＝5a 4＝0，所以S 1＝S 6，故C 正确；由于d 的正负不清楚，故S 3可能为最大值或最小值，故B 不正确； 因为a 3+a 5＝2a 4＝0，所以a 3＝﹣a 5，即|a 3|＝|a 5|，故D 错误． 故选：AC ．11．已知直线l ：（m ﹣1）x +（2m ﹣1）y ﹣4m +4＝0和圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9，下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点（4，0）B ．圆C 被x 轴截得的弦长为2√2C ．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为4D ．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为4解：由（m ﹣1）x +（2m ﹣1）y ﹣4m +4＝0，得m （x +2y ﹣4）﹣x ﹣y +4＝0， 联立{x +2y −4=0−x −y +4=0，得{x =4y =0，无论m 为何值，直线l 恒过定点（4，0），故A 正确； 在（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9中，令y ＝0，得x =2±2√2， 所以圆C 被x 轴截得的弦长为4√2，故B 错误；当直线l 过圆心C （2，1）时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为6， 此时直线方程为y =−12x +2，故C 错误； 设P （4，0），易知P 在圆内，当直线l ⊥PC 时，直线l 被圆截得的弦长最小，且最小值为2√9−PC 2=2√9−5=4，故D 正确． 故选：AD ．12．已知曲线C ：√(x +1)2+y 2•√(x −1)2+y 2=3，以下判断正确的是（ ） A ．曲线C 与y 轴交点为（0，±2） B ．曲线C 关于y 轴对称C ．曲线C 上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]D ．曲线C 上点到原点的距离最小值为√2解：令x ＝0，可得：√1+y 2•√1+y 2=3，解得y 2＝2，即y ＝±√2， 所以与y 轴的交点坐标为：（0，±√2），所以A 不正确；因为√(−x +1)2+y 2•√(−x −1)2+y 2=√(x +1)2+y 2•√(x −1)2+y 2=3，所以曲线关于y 轴对称，所以B 正确；因为y 2≥0，所以3=√(x +1)2+y 2•√(x −1)2+y 2≥√(x +1)2•√(x −1)2=|x 2﹣1| 即﹣3≤x 2﹣1≤3，解得：x ∈[﹣2，2]，所以C 正确；设t =√x 2+y 2，则y 2＝t 2﹣x 2，所以3=√(x +1)2+y 2•√(x −1)2+y 2=√(x +1)2+t 2−x 2•√(x −1)2+t 2−x 2=√1+t 2−2x •√1+t 2+2x ， 所以可得（1+t 2）2﹣4x 2＝9，所以（1+t 2）2﹣9＝4x 2≥0，解得：t ≥√2或t ≤−√2（舍），所以D 正确； 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在等差数列{a n }中，a 3＝9，a 4+a 6＝10，则数列{a n }的公差为 ﹣2 ． 解：根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ， 若a 3＝9，a 4+a 6＝10，则（9+d ）+（9+3d ）＝10， 解可得：d ＝﹣2， 故答案为：﹣2．14．若点P （1，1）为圆x 2+y 2﹣6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 y ＝2x ﹣1 ． 解：圆C ：x 2+y 2﹣6x ＝0 即 （x ﹣3）2+y 2＝9，表示以C （3，0）为圆心，半径等于3的圆． ∵点P （1，1）为圆x 2+y 2﹣6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线与CP 垂直． 由于CP 的斜率为0−13−1=−12，故弦MN 所在直线的斜率等于2，故弦MN 所在直线方程为 y ﹣1＝2（x ﹣1），即 y ＝2x ﹣1， 故答案为 y ＝2x ﹣1．15．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线．若焦点在x 轴上的双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1，a ＞0，b ＞0的一条渐近线为2x −√3y ＝0，其共轭双曲线为C 2：y 2b 2−x 2a 2=1，a ＞0，b ＞0，且C 2过点P （2，3），则C 2方程为y 2113−x 2114=1 ．解：焦点在x 轴上的双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1，a ＞0，b ＞0的一条渐近线为2x −√3y ＝0， 可得ba =√3，共轭双曲线为C 2：y 2b 2−x 2a 2=1，即3y 24a 2−x 2a 2=1，C 2过点P （2，3），可得274a 2−4a2=1，解得a 2=114， 所以C 2方程为 3y 211−4x 211=1．故答案为：y 2113−x 2114=1．16．2021年4月29日11时22分，天和号核心舱成功发射，标志着中国天宫空间站正式开建，如图（1）所示．返回舱是宇航员从太空返回地球的座舱，如图（2）所示，返回舱内空间越大宇航员越舒适．若返回舱的轴截面曲线是由半椭圆y 28+x 24=1(y ＞0)和半圆弧x 2+（y ﹣2）2＝8（y ≤0）组成的“曲圆”，如图（3）所示，过半椭圆上焦点F 作两条关于y 轴对称的直线交上半椭圆于C ，D ，交下半圆弧于E ，G ，则梯形CDEG 面积的最大值为649．解：由半椭圆y 28+x 24=1(y ＞0)可得A （﹣2，0），B （2，0），F （0，2），半圆弧x 2+（y ﹣2）2＝8（y ≤0）的圆心的坐标F （0，2），半径r ＝2√2， 设直线CE 的方程为y ＝kx +2， C （x 1，y 1），E （x 2，y 2）， 所以x 1＞0，﹣2≤x 2＜0， 所以k ＝k EF ≥k AF ＝1，所以梯形CDEF 的面积S =12（2x 1﹣2x 2）•（y 1﹣y 2）＝k （x 1﹣x 2）2， 因为|CE |=√1+k 2|x 1﹣x 2|， 所以|CE |2＝（1+k 2）•（x 1﹣x 2）2， 所以梯形面积S =k 1+k2•|CE |2=1k+1k•|CE |2， 由焦半径公式可得|CF |＝2√2−√22y 1， |CE |＝|CF |+|EF |＝2√2+|CF |＝4√2−√22y 1所以当k ＝1时，y 1有最小值，此时|CE |有最大值，又因为1k+k ≥2√1k⋅k =2，当且仅当k ＝1时等号成立，所以当k ＝1时，S =11k+k |CE|2取得最大值， 当k ＝1时，联立方程{y =x +2y 28+x 24=1，整理得3x 2+4x ﹣4＝0， x 1=23（负值舍去）， 所以y 1=83， 所以|CE|max =4√2−√22×83=8√23， 所以S max =12×(8√23)2=649， 故答案为：649．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）两点，请从下面①②中任意选一个推出另一个． ①当直线l 与x 轴垂直时，|CD |＝8； ②y 1y 2＝﹣16． 证明：若①推②：当直线l 与x 轴垂直时，|CD |＝8， 则2p ＝8，解得p ＝4，当直线l 的斜率为0时，与抛物线交于一点，不符合题意； 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my +2， 联立方程组{x =my +2y 2=8x ，可得y 2﹣8my ﹣16＝0，所以y 1y 2＝﹣16． 若②推①：由题意，设直线l 的方程为x =my +p2， 联立方程组{x =my +p2y 2=2px，可得y 2﹣2mpy ﹣p 2＝0，所以y 1y 2=−p 2=−16， 解得p ＝4，所以2p＝8，则当直线l与x轴垂直时，|CD|＝8．18．（12分）记数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣7，a2＝﹣6，a n+1＝ka n+1（n∈N+，k∈R）．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求通项公式a n；（2）记T n＝|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|，求T20．解：（1）∵a1＝﹣7，a2＝﹣6，a n+1＝ka n+1，∴﹣6＝k•（﹣7）+1，解得k＝1，故a n+1＝a n+1，即a n+1﹣a n＝1，故数列{a n}是以﹣7为首项，1为公差的等差数列，故a n＝n﹣8；（2）∵a n＝n﹣8，∴当n≤7时，a n＜0，当n≥8时，a n≥0，故T20＝|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a20|＝﹣（a1+a2+……+a7）+（a8+a9+……+a20）＝（a1+a2+……+a7+a8+a9+……+a20）﹣2（a1+a2+……+a7）＝﹣7×20+20×192×1−2×（﹣7×7+7×62×1）＝106．19．（12分）S n是数列{a n}的前n项和，且a n−S n=12n−12n2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2a n−5a n，求数列{b n}中最小的项．解：（Ⅰ）因为S n是数列{a n}的前n项和，且a n−S n=12n−12n2．①∴a n﹣1﹣S n﹣1=12（n﹣1）−12（n﹣1）2，②；（n≥2）①﹣②整理得：a n﹣1＝n﹣1；∴a n＝n；（Ⅱ）∵b n=2a n−5a n=2n﹣5n；∴b1＝﹣3，b2＝﹣6，b3＝﹣7，b4＝﹣4，b5＝7，当n≥5时，b n＞0，故数列{b n}中最小的项为：b3＝﹣7．20．（12分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B．（1）试判断直线l 与⊙M 的位置关系； （2）当|PM |•|AB |最小时，求直线AB 的方程．解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，则圆心M （1，1），半径r ＝2． （1）圆心M 到直线l 的距离d =|2+1+2|√1+4=√5＞2，所以直线l 与⊙M 相离；（2）因为四边形P AMB 面积S =12|PM |•|AB |＝2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |＝2√|PM|2−4， ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）．则以PM 为直径的圆的方程为x ²+（y −12）²=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．21．（12分）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为e =12，左顶点A 到左焦点F 的距离为1，椭圆M 上一点B 位于第一象限，点B 与点C 关于原点对称，直线CF 与椭圆M 的另一交点为D ． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）设直线AD 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2.求证：k 1k 2为定值．（1）解：由题意，{c a =12a −c =1a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =√3c =1．∴椭圆M 的标准方程为x 24+y 23=1；（2）证明：设CD ：x ＝ky ﹣1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则x 1＝ky 1﹣1，x 2＝ky 2﹣1，联立{x =ky −1x 24+y 23=1，得（3k 2+4）y 2﹣6ky ﹣9＝0．∴y 1+y 2=6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4，可得ky 1y 2=−32(y 1+y 2)，∴k 1k 2=y 2x 2+2y 1x 1−2=ky 1y 2−3y 2ky 1y 2+y 1=−32(y 1+y 2)−3y 2−32(y 1+y 2)+y 1=3．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的实轴长为2，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，D （x 0，y 0）为双曲线C 上一点，连接DA ，DB ．当x 0＝c 时，有k BD ＝3k AD 成立． （1）求双曲线C 的方程；（2）若线段BD 的中点为M ，过M 且与BD 垂直的直线与AD 交于N 点，且MN ＝1，求点D 的坐标． 解：（1）由条件得，2a ＝2，即a ＝1 因为x 0＝c 时，k BD ＝3k AD ， 所以3（c ﹣a ）＝c +a ，所以c ＝2a ＝2，b 2＝c 2﹣a 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2−y 23=1．（2）|BD |=√(x 0−1)2+y 02=√4x 02−2x 0−2， |AD |=√(x 0+1)2+y 02=√4x 02+2x 0−2， 在△ADB 中，由余弦定理得cos ∠ADB =AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD =02√00， 所以sin ∠ADB =√3(x 2−1)√00，tan ∠ADB =√32•√x 02−1，x 0＞0，由MN =12•BD •tan ∠ADB ， 所以1=12•√4x 02−2x 0−2•√32•√x 02−1，x 0＞0， 代入解得x 0=−52，y 0＝±32√7，所以D （−52，32√7）或（−52，−32√7）．。
姜堰市最新～最新学年度第一学期高二期中试题
姜堰市2020┄2021学年度第一学期期中试题高二化学试题2008．11 （满分：120分考试时间：100分钟）第I卷（选择题共48分）可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 S—32 Cl—35.5一、选择题：（本题包括8小题，每小题3分，共24分。
每小题只有一个选项符合题．．．．意。
）1．不具有放射性的同位素称之为稳定同位素，稳定同位素分析法在近20年来的植物生理学、生态学和环境科学研究中获得广泛应用。
如在陆地生态系统研究中，2H、13C、15N、18O、34S等常用作环境分析指示物。
下列有关说法正确的是A．34S原子核内中子数为18B．2H＋结合OH—的能力比1H＋更强C．13C和15N原子核内的质子数相差2D．2H216O和1H218O的相对分子质量不同2．韩国首尔大学的科学家将水置于一个足够强的电场中，在20℃时，水分子瞬间凝固形成“暖冰”。
下列关于“暖冰”的说法正确的是A．水凝固形成20℃时的“暖冰”所发生的变化是化学变化B．暖冰中水分子的各原子均满足8电子稳定结构C．在电场作用下，水分子间更易形成氢键，因而可以制得“暖冰”D．暖冰在熔化时会放出热量3．下列有关化学用语表达错误的是A．次氯酸的电子式：H Cl O B．CS2分子的结构式：S ＝C＝SC．S2—的结构示意图：D．CH4的分子比例模型图：4．下列说法正确的是A．乙醇、乙醚和乙酸都可以与钠反应生成氢气B．苯、裂化汽油均能萃取溴水中的溴C．苯、乙醇和乙酸都能发生取代反应D．液化石油气和天然气的主要成分都是甲烷5．下列排列顺序正确的是①热稳定性：H2O＞HF＞H2S②原子半径：Na＞Mg＞O③酸性：H3PO4＞H2SO4＞HClO4④结合质子能力：OH—＞NH3>CH3COO—A．①③B．②④C．①④D．②③6．下列叙述中正确的是A．NH3、CO、CO2都是极性分子B．CH4、CCl4都是含有极性键的非极性分子C．第一电离能由小到大的顺序：Li、Be、BD．沸点由高到低的顺序：、、7．下列分子中既不存在s-p σ键，也不存在p-p π键的是A．HCl B．HF C．HCN D．SCl28．在①丙烯②氯乙烯③苯④甲苯⑤H3O+ ⑥CO32—中，所有原子均在同一平面的是A．①②⑤B．①③④C．②③⑥D．②④⑤选项符合二、选择题：（本题包括6小题，每小题4分，共24分。
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江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为ι，则点F到直线ι的距离为A. B. 1 C. 2 D. 42. 已知向量=（-2，3，-1），=（4，m，n），且//，其中m，n∈R，则m+n=A. 4B. -4C. 2D. -23. 若sinθ=2cos（π-θ），则tan（θ）的值为A. 3B.C. -3D.4. 在平面直角坐标系xOy中，若椭圆C：与双曲线T：1有相同的焦点，则双曲线T的渐近线方程为A. y=±xB. y=±xC. y=±4xD. y=±2x5. 在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过A，B，且圆心在y 轴上，则圆C的方程为A. x2+y2+6y-16=0B. x2+y2-6y-16=0C. x2+y2+8y-9=0D. x2+y2-8y-9=06. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60º角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 2B. 2C. 4D. 47. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=60º，∠BAC=90º，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为A. B. C. D.8. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上. 若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9. 已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是A. 若α⊥β，m⊥α，则m//βB.若α//β，m⊥α，则m⊥βC.若m//α，m⊥β，则α⊥βD.若m//α，m//β，则α//β10. 在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上. 若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，直线ι1，ι2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到ι1，ι2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”. 下列说法正确的是A.距离坐标为（0，0）的点有1个B. 距离坐标为（0，1）的点有2个C. 距离坐标为（1，2）的点有4个D. 距离坐标为（x，x）的点在一条直线上12. 20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石. 人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体. 已知一个立方八面体的棱长为1，则A.它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B. 它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C. 它的体积为D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线ι1：x+ay=0和直线ι2：2x-（a-3）y-4=0，a∈R.若ι1与ι2平行，则ι1与ι2之间的距离为________.14. 在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B（2，a，0），C（1，a，-2）满足，则实数a的值为________.15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA⊥平面ABC，PA=AC=1，BC=，则四面体PABC的外接球的表面积为________.16. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同. 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________.四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在①sin（A-B）=sinB+sinC；②2acosC=2b+c；③△ABC的面积S=（a2-b2-c2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，D是边BC上的一点，∠BAD=，且b=4，c=2，求线段AD的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆F：（x-2）2+y2=1，动圆M与直线ι：x=-1相切且与圆F外切. （1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）已知A（-2，0），曲线C上一点P满足PA=PF，求∠PAF的大小.19. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC中点.（1）求证：B1A//平面C1BD；（2）若AA1=AB=3，BC=4，且AB⊥BC，求三棱锥B-B1C1D的体积.20. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，点A，B是直线x-y+m=0（m∈R）与圆O的两个公共点，点C在圆O上.（1）若△ABC为正三角形，求直线AB的方程；（2）若直线x-y-=0上存在点P满足=0，求实数m的取值范围.21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA=AD=4，BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=2，（0≤λ＜1）.（1）若λ=，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；（2）设二面角B-AE-C的大小为θ，若|cosθ|=，求λ的值.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点与上顶点的距离为2，且经过点（2，）.（1）求椭圆C的方程；（2）直线ι与椭圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点. 若椭圆上存在点N满足，求证：△PQN的面积S为定值.2020－2021学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．B 2．B 3．D4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．由条件①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )， 即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3．……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理b sin B ＝csin C 得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32．……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3．……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab ＝2b ＋c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3．……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理b sin B ＝csin C 得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32．……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3．……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ，……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0， 所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3．……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理b sin B ＝csin C 得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32．……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3．……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ， 故曲线C 的方程为y 2＝8x ．……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]，……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)，……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ，……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22，……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积．…7分B 1（第19题）A 1C 1BDACOE过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ． 因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积．………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6， 所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12．………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0．………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )．因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2．…9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分 因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分 因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2， 所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2．设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2， 所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分 设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分 （2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1， 所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)． 设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧ l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1， 所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分（或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量）因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417， 得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13．……………12分 22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12．①因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b 2＝1，②…………2分 由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分 （2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823， 此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分 当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0， 由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4．（*）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)， 将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1， 化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式．……………9分 记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649．…………12分。