矩阵函数

1.1.1 矩阵函数的定义

定义1.1 设幂级数z

a k

k k ∑+∞

=0的r,且当∣z ∣

于f(z),即 f(z)=

z

a k

k k

∑+∞

=0

,∣z ∣

n

n ⨯满足p(A)

A a k k k

∑+∞

=0

是绝对收敛的，其和称为矩阵函数，记为f(A),即f(A)= A a k

k k

∑+∞

=0

最常用的函数的幂级数展开有：

∑∞+==

!k k

z

k z

e

(+∞=r )

z sin =z k k k

k 1

20

)!

12()

1(+∞

+=∑

-+（+∞=r ）

z cos =z k

k k

k 20

!

21-∑∞

+=）（）（ （+∞=r ） ∑-+∞

=-=

1

)1(k k

z z (r=1)

㏑(1+z)=

z k k k

k 1

0)

1()

1(+∞

+=∑

-+(r=1)

根据定义1.1，它们所对应的矩阵函数为：

∑∞

+==0

!k k

A

k A

e (c n

n A ⨯∈∀)

sin

=A

k k k

k 1

20

)!

12()

1(+∞

+=∑

-+(c

n

n A ⨯∈∀)

A cos

=A k

k k

k 20

!

21-∑∞

+=）（）（(c n

n A ⨯∈∀) ∑-+∞

=-=

1

)1(k k

A A (p(A)<1)

㏑(I+A)=

A

k k k

k 1

)

1()

1(+∞

+=∑

-+( p(A)<1)(其中e A

称为矩阵指数函数，sinA 称为矩阵

正弦函数，cosA 称为矩阵余弦函数)

定理1.1 假设∈

A c

n

n ⨯，则有：

（1） )sin(A -=-A sin ,A A cos )cos(=- （2） A i A e iA

sin cos +=,A cos =

2

1(e

e iA

iA -+),A sin =

i

21 (e

e iA

iA --).

证明：（1）因为A sin =A

k k k

k 1

20

)!

12()

1(+∞

+=∑

-+，所以)sin(A -=）（A k k k

k -)

1(1

20)!

12(+∞

+=∑

-+=

A

k k k

k 1

20

)!

12(-)

1(+∞

+=∑

-+=A sin -,又因为A c o s =

A k

k k

k 20

!

21-∑∞

+=）（）

（，所以

）（A -cos =）（）（）（A k

k k k -1-20

!2∑∞

+==A k

k k

k 20

!

21-∑∞

+=）（）（=A cos ，因此证得。 （3） 因为

A k i e

k

k k

iA

∑

∞

+==

0!

，将k 分为偶数2k 和奇数2k+1,则有

A

k i e

k

k k

iA

∑

∞

+==

!

=

+

∑∞

+=A i

k

k k k 20

)

2(!

2）（A i

k k k k 1

20

1

2!

12+∞

+=+∑+）（=

+

∑-∞

+=A k

k k

k 20

!

2)

1(）（A k k k

k i 1

20!1

2)

1(+∞

+=∑-+）（=+A cos A i sin ，因此证得A i A e iA

sin cos +=--①。同理

可证得A i A e

iA

sin cos -=---②，把①+②得A cos =）（e

e iA

iA

-+

2

1，把①-②

得A sin =）（e e iA

iA

--2

1

，从而证得此定理。

（注）因为矩阵的乘法不满足交换律，因此矩阵函数不一定满足一般函数的所有

性质。下面我们通过例1.1来说明这点。 例1

⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=11

11A ,⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛--=1111B ,试求

e

e

e

e

A

B B

A

B

A ,,+

解：

当k>=2

时

，

有

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000

B A

k k

，所以

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=+=++=+

=

=

∑

∑

∑

∞

+==∞

+=0112

0!!

!

01

2

I A I A k k k k k k k

k

k

A

A

A

A

e

,

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=+=10

11

I B e

B

,

因此⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=0111

,1132e e e

e

A B B

A

所以e e e

e

A

B

B

A

≠

;

,11

21

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--=+B A 下用数学归纳法证明e e e

B

A

B

A =

+是否成立。当k=0，则

e

e e

B

A

B

A I =

=+；假设当k=n 时，e e e

B

A B

A =

+成立；则当k=n+1时，因为

（由假设）

）！

（）

（)!

1(!

!

1n !

,)!

1()!1(!

)!

1(!

)!

1(!!

))!

1(!

)()!

1(!()

()(e

1

1

n 0

1

1

1

1

00

1

01

++

=

++

=

+++

++

++

=

++

++

=+∑∑

+∑

+∑

∑

∑

∑

∑

∑

+==+=+++=+=+===+=+n k k k n n k n k n k k n k n k B A B

A

B A B A B

A

B

A

A

B

B

A

B

B

A

A

e

e n n

k k

n

k k

n

k k

B

A n n n

k k

n n

k k

n n

k k

n

k k

n

k n k

n

k n k

B

A