矩阵函数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1.1 矩阵函数的定义
定义1.1 设幂级数z
a k
k k ∑+∞
=0的r,且当∣z ∣ 于f(z),即 f(z)= z a k k k ∑+∞ =0 ,∣z ∣ n n ⨯满足p(A) A a k k k ∑+∞ =0 是绝对收敛的，其和称为矩阵函数，记为f(A),即f(A)= A a k k k ∑+∞ =0 最常用的函数的幂级数展开有： ∑∞+== !k k z k z e (+∞=r ) z sin =z k k k k 1 20 )! 12() 1(+∞ +=∑ -+（+∞=r ） z cos =z k k k k 20 ! 21-∑∞ +=）（）（ （+∞=r ） ∑-+∞ =-= 1 )1(k k z z (r=1) ㏑(1+z)= z k k k k 1 0) 1() 1(+∞ +=∑ -+(r=1) 根据定义1.1，它们所对应的矩阵函数为： ∑∞ +==0 !k k A k A e (c n n A ⨯∈∀) sin =A k k k k 1 20 )! 12() 1(+∞ +=∑ -+(c n n A ⨯∈∀) A cos =A k k k k 20 ! 21-∑∞ +=）（）（(c n n A ⨯∈∀) ∑-+∞ =-= 1 )1(k k A A (p(A)<1) ㏑(I+A)= A k k k k 1 ) 1() 1(+∞ +=∑ -+( p(A)<1)(其中e A 称为矩阵指数函数，sinA 称为矩阵 正弦函数，cosA 称为矩阵余弦函数) 定理1.1 假设∈ A c n n ⨯，则有： （1） )sin(A -=-A sin ,A A cos )cos(=- （2） A i A e iA sin cos +=,A cos = 2 1(e e iA iA -+),A sin = i 21 (e e iA iA --). 证明：（1）因为A sin =A k k k k 1 20 )! 12() 1(+∞ +=∑ -+，所以)sin(A -=）（A k k k k -) 1(1 20)! 12(+∞ +=∑ -+= A k k k k 1 20 )! 12(-) 1(+∞ +=∑ -+=A sin -,又因为A c o s = A k k k k 20 ! 21-∑∞ +=）（） （，所以 ）（A -cos =）（）（）（A k k k k -1-20 !2∑∞ +==A k k k k 20 ! 21-∑∞ +=）（）（=A cos ，因此证得。 （3） 因为 A k i e k k k iA ∑ ∞ +== 0! ，将k 分为偶数2k 和奇数2k+1,则有 A k i e k k k iA ∑ ∞ +== ! = + ∑∞ +=A i k k k k 20 ) 2(! 2）（A i k k k k 1 20 1 2! 12+∞ +=+∑+）（= + ∑-∞ +=A k k k k 20 ! 2) 1(）（A k k k k i 1 20!1 2) 1(+∞ +=∑-+）（=+A cos A i sin ，因此证得A i A e iA sin cos +=--①。同理 可证得A i A e iA sin cos -=---②，把①+②得A cos =）（e e iA iA -+ 2 1，把①-② 得A sin =）（e e iA iA --2 1 ，从而证得此定理。 （注）因为矩阵的乘法不满足交换律，因此矩阵函数不一定满足一般函数的所有 性质。下面我们通过例1.1来说明这点。 例1 ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛--=11 11A ,⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛--=1111B ,试求 e e e e A B B A B A ,,+ 解： 当k>=2 时 ， 有 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000 B A k k ，所以 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-=+=++=+ = = ∑ ∑ ∑ ∞ +==∞ +=0112 0!! ! 01 2 I A I A k k k k k k k k k A A A A e , ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛=+=10 11 I B e B , 因此⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛--=0111 ,1132e e e e A B B A 所以e e e e A B B A ≠ ; ,11 21 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛--=+B A 下用数学归纳法证明e e e B A B A = +是否成立。当k=0，则 e e e B A B A I = =+；假设当k=n 时，e e e B A B A = +成立；则当k=n+1时，因为 （由假设） ）！ （） （)! 1(! ! 1n ! ,)! 1()!1(! )! 1(! )! 1(!! ))! 1(! )()! 1(!() ()(e 1 1 n 0 1 1 1 1 00 1 01 ++ = ++ = +++ ++ ++ = ++ ++ =+∑∑ +∑ +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ +==+=+++=+=+===+=+n k k k n n k n k n k k n k n k B A B A B A B A B A B A A B B A B B A A e e n n k k n k k n k k B A n n n k k n n k k n n k k n k k n k n k n k n k B A