第三章--晶格振动

声学声子与光子作用，则为布里渊散射；
光学声子与光子作用，则为拉曼散射。
1) 光子与长声波声子的相互作用 —— 光子的布里渊散射
长声学波声子的波矢近似地写成 —— 不同角度方向测得散射光子的频率，得到声子频率
声子的波矢 声子振动谱 散射光和入射光的频率位移
— 布里渊散射
2) 光子与光学波声子的相互作用 —— 光子的拉曼散射
1、光子与声子 如果外来粒子是可见光子与声子进行碰撞， 这时，能量和准动量守恒律可写成：
能量 j (q)
准动量 k k hq G
第三章 晶格振动
ω和k表入射到晶体的光子频率和波矢， ω′和k′则为散射后光子的频率和波矢。 声子频率和波矢分别为ωj（q）和q，
第三章 晶格振动
3.4 晶格振动谱的实验测定方法
3.4.1 声子与其他粒子的相互作用
晶格振动频率ω 与波数矢量 q之间的函数 关系ω (q)，称为格波的色散关系，也称为 晶格振动谱。
可以利用其他波与格波的相互作用以实验 的方法直接测定ω (q)。
第三章 晶格振动
一般用： 中子束、 x射线束、 光子束 等
所以，用可见光只能测量布里渊区中心 （即q ~ 0）附近区域的色散关系，而无法 测量整个布里渊区的色散关系。
第三章 晶格振动
可以增加光子的频率，到达X光波段。
此时，光子的波矢是可以测量整个布里渊 区色散关系的。
2 X光非弹性散射
• X光光子具有更高的频率(波矢可以很大)，可以 用来研 究声子的振动谱 •X射线的能量 ~104 eV； •声子能量 ~10 –2 eV •在实验技术上很难精确地直接测量X光在散射 前后的能量差，确定声子的能量是很困难的
而准动量守恒是晶格周期性（晶格平移对 称性）的结果
第三章 晶格振动
一方面，晶格具有一定的平移对称性，故 有与动量守恒类似的关系；
另外一方面，晶格平移对称性比完全的平 移对称性低，因此，变换规则变弱，可以 相差
Gn
第三章 晶格振动
原则上，由测定散射中子的动量和能量的 变化，利用：
p'2 p2 (q)
3、 中子非弹性散射
入射晶体时中子的动量和能量
出射晶体后中子的动量和能量
中子束与格波产生非弹性散射 可以看成是吸收和发射声子的过程， 满足：
能量守恒
p '2 p2 (q)
2Mn 2Mn
: (q) Absorb a Phonon : (q) Emit a Phonon
由于声子频率远小于光子，碰撞后光子的
频率改变很小，可以认为：
我们有k≈k′
第三章 晶格振动
这样据图3.5，声子波矢可由下式得到
q 2k sin
2
图3.5 光散射过程中晶 格动量守恒示意图
第三章 晶格振动
这样根据光子与声子碰撞后的频移，可以 得到声子的频率。
由光子波矢方向的改变，可得声子的波矢
g() S 4 c
如果色散关系 三维情况振动模式密度 二维情况振动模式密度
一维情况振动模式密度
在
的一些点
奇点
—— 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点__布里渊区边界 —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
第三章 晶格振动
p

p'

q

Gn
—— 得到声子的振动谱 (q) ~ q
—— 从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近，测 定中子散射前后能量变化，直接给出声子能量的信息
第三章 晶格振动
3.4.2三轴中子谱仪 测量装置采用三轴中子谱仪。
所谓三轴，是指单色器、样品，分析器三 者都有各自的轴可自由转动以实现测量，
2M n 2M n p' p q Gn
可以确定ω (q)，
—— 中子的能量 ~ 0.02~0.04 eV —— 声子的能量 ~ 10 –2 eV
测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差
—— 确定声子的频率 E 'n En (q)
根据入射中子和散射中子方向的几何关系
—— 确定声子的波矢
“+”和“－”代表吸收和发射声子过程， G为倒格矢
—— 入射光子受到声子散射，在晶格中放出 一个声子或者吸收一个声子
发射声子
吸收声子
第三章 晶格振动
由于光子的波矢k，k′远小于布里渊区尺度， 我们总有G = 0。
在晶体中，光子频率与波矢的关系为 ：
ck
n
c为真空中的光速，n为晶体折射率
第三章 晶格振动
如图3.6所示。
第三章 晶格振动
图3.6 三轴中子谱仪
第三章 晶格振动
从反应堆出来的慢中子流，经准直器射到 单色器上。
单色器是一块单晶，通常为锗、铅或石墨， 按布喇格反射产生单色的，具有固定动量 的中子流。
这束中子通过准直器落到被研究的样品上， 散射后由分析器接收。
第三章 晶格振动
分析器也是一块单晶，利用布喇格反射原 理来决定散射中子的能量和动量。
第三章 晶格振动
X光子的频率比声子高得太多 X光子受到声子散射后，其频移非常小，
这在测量上是相当困难的。
第三章 晶格振动
目前最方便和有效的测量声子谱的方法是 用中子的非弹性散射方法。
慢中子的能量和动量都和声子相差不太远
可以较易测定被声子散射前后中子能量和 动量的变化，
较易获得声子能量（频率）和动量（波矢） 的信息，即能方便地获得声子谱
如何求频谱密度，先看一个例子。
例1：试求一维单原子链的频谱密度
解： 设单原子链长度 L Na
波矢取值 q 2 h
Na
h=1,2,3…..N
每个波矢的宽度
2
Na
第三章 晶格振动
状态密度 Na
2
dq间隔内的状态数
Na dq
2
对应±q, ω取值相同
dω间隔内的状态数目
g(ω)d 2 Na dq 2
动量守恒
p

p'
q

Gn
倒格子矢量
声子的准动量 q
第三章 晶格振动
q 为准动量，并不是声子的真实的动量，
只是其作用类似动量。
等式右端加Gn, 是因为如果k-k’超出了第一布 里渊区，加Gn可以保证q在第一布里渊区里。
第三章 晶格振动
动量守恒是空间均匀性（完全的平移对称 性）的结果
第三章 晶格振动
一维单原子链色散关系
令
0
4
m
2 4 sin2 ( aq)
m
2


0
sin(
aq 2
)
d

0
a 2
cos( aq )dq 2
注意 因而
第三章 晶格振动
aq
2
cos( ) 1
2
02
d a
2
02 2 dq
所以 dq 2 d a 02 2
g() V
ds
(2 )3 q(q)
第三章 晶格振动
故有频谱密度的一般表达式：
g(ω)
dn dω

V (2 π)3
S ω
dSq q ω(q)
由此可知:
知道了色散关系，就可以求出模式密度
与书中(3.56)差一个V；表示这里是总频谱 密度；书中是单位体积内的频谱密度
第三章 晶格振动
在低温下，电子热容才有贡献 这里先主要讨论晶格热容的贡献。 即局限在绝缘体。
第三章 晶格振动
按照经典理论，每一个简谐振动的平均能
量为 kBT
如晶体里有N个原子，则有3N个简谐振动模
E 3NkBT
E
CV
( T
)V

T
(3NkBT ) 3NkB
第三章 晶格振动
即热容是一个与温度和材料无关的常数， 称为杜隆—帕替（Dulong-Petit）定律
g((ω))d

2
Na第三章 dq
2
晶格振动N 2

1 d 02 2
g(ω)

2N

1
02 2
第三章 晶格振动
g(ω)d 2 Na dq 2
g(ω)

2
Na 2
dq d

2
Na 2
1 dω

2
Na 2
1 vg
dq
状态密度或频谱密度，与群速度的倒数成正比
N
i
i 1

N
(ni
i 1

1 2
)i
ni 0,1,2,3....
第三章 晶格振动
因此：
E

N i 1
(ni

1 2
)i

N i 1
1
( i

e kBT 1
1 2
)i
即晶体的平均能量只与温度和简正坐标的
振动模的频率有关，而与模所描述的原子 运动状态无关。
能量守恒 ' (q)
动量守恒
k 'k

q

Gn
可见光或红外光波矢很小要求 声子的波矢必须很小
—— 光子的拉曼散射限于光子与长光学波声子的相互作用 散射光和入射光频率位移
第三章 晶格振动
由于光速c很大，可见光的波矢k就很小，
这样，据式（3.46），能够测量的声子波 矢也很小。
散射光子
—— 入射光子受到声子散射，变成散射光子，与此同时在 晶格中放出，或者吸收一个声子
—— 作用过程满足
能量守恒 动量守恒
' (q)
k 'k

q

Gn
—— 固定入射光的频率和入射方向，测量不同方向的散 射光的频率，可以得到声子的振动谱
第三章 晶格振动
表示在单位体积内，频率在ω 到ω +dω 范围内 的振动模式数目
E 0 (
1

1)g() d 2
ekBT 1
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3.5.2频谱密度
如果知道g(ω )，积分是可以计算的。
定义： g() lim Δn dn 0 Δω dω
dn为频率在ω 到ω +dω 范围内的振动模式 数目
第三章 晶格振动
当N很大时，根据弹性理论，振动模式的 频率分布从0到∞。
对应于无限长的波 0
或任意短的波。 0
E 0 (
1

1)g( )d 2
ekBT 1
第三章 晶格振动
其中g(ω )为频谱密度或振动模的态密度函数 （状态密度）。
已经知道：
第三章 晶格振动
qi

ni
2
N i ai
;
n 0,1,2,3, ; i 1,2,3
由于N很大，可以认为qi是准连续分布 注意：q是局限在第一布里渊区
第三章 晶格振动
第一布里渊区在波矢（倒格子）空间的体 积为倒格子原胞的体积 ：
* (2)3
Ω为正格子原胞的体积。
第三章 晶格振动
N个波矢在q空间的分布密度为：
ρ(n)

N Ω*

NΩ (2 π )3

V (2 π )3
V为晶体的体积
在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
根据
做出一个等频率面
两个等频率面 和 之间的振动模式数目
频率是q的连续函数
之间振动模式数目
g() lim n 0
这样，根据入射中子、散射中子的能量和 动量差，就能获得与之进行作用的声子的 频率和波矢，进而测得声子谱。
3.5 晶格比热
第三章 晶格振动
3.5.0 晶体热容的一般表示
晶体的定容热容为：
E
CV

( T
)V
E 为晶体的平均动能，包括晶格振动能
量和电子热容
第三章 晶格振动
晶体热容 晶格热容 电子热容
—— 也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度
振动模式密度 g() 2N 1 02 2
例2：色散关系 cq2 —— 三维情形
q空间的等频率面是一个球面，球面面积
振动模式密度
V (2 )2 c3/ 2
二维情况，等 频率是一个圆 振动模式密度
一维情况
g() L 2 c
与声子的相互作用来测定声子谱。
第三章 晶格振动
中子、x射线、光子与声子的比较
能量 （eV）
声子 0.01
中子
0.02~ 0.03
X射线 104
光子 (可见光)
0.3~0.5
波长 (Ǻ) 波矢 (cm-1)
2~8000 0~108
2~3 1~2 0~108 0~108
3000~ 7000
0~105
2 光子与晶格的非弹性散射 入射光子的频率和波矢
第三章 晶格振动
如第j支格波的频谱密度为gj(ω )，则有：
N
qj
N
g () d max
min j
原则上，知道了 ω (q)，也就知道了 G(ω )
第三章 晶格振动
可以由晶格振动谱求出格波的频谱密度
g(ω)。
在q空间，ω(q)=Constant，确定了一个等 频面，
故在ω ~ ω+dω之间的振动模式数目就等于 ω(q)及ω(q)+dω(q)两个等频面之间q代表的 点的数目
高温时杜隆—帕替定律与实验符合
但是在低温时CV随温度的下降按照T3而迅 速下降
低温下杜隆—帕替定律与实验不符合。
第三章 晶格振动
3Biblioteka Baidu5.1 比热的量子理论 爱因斯坦发展了普朗克的量子假说，第一 次提出了量子的热容理论。
i

(ni

1 2
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ni 0,1,2,3....
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