第9章统计专题3 频率分布直方图

频率分布直方图
【知识总结】
1．频率分布直方图
(1)纵轴表示频率组距，即小长方形的高＝频率组距
； (2)小长方形的面积＝组距×
频率组距＝频率； (3)各个小方形的面积总和等于1 .
2．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数
； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
3. 频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
【巩固练习】
1、随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如表所示.
(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图和频率分布折线图．
【答案】(1) n1＝7，n2＝2，f1＝0.28，f2＝0.08 (2)见解析
【解析】(1)由所给数据知，落在区间(40,45]内的有7个，落在(45,50]内的有2个，故1n＝
(2)样本频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．
2. 为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是（）
A．35 B．48 C．60 D．75
【答案】C
【解析】设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.0375＋0.0125)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个
故选：C．
3、某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A．50B．55C．60D．
【答案】B
【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.
又因为低于60分的人数是15人，
所以该班的学生人数是15÷0.3=50.
本题选择B选项.
4、某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是()
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
[解析]第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.
[答案]C
5、某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头
50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3
0.35m的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3
47.45m.
【解析】（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为 0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
估计使用节水龙头后，一年可节省水()()3
0.480.3536547.45m
-⨯=． 6、某电视台为宣传本省，随机对本省内1565～岁的人群抽取了n 人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示
（1）分别求出a b x y 、、、的值；
（2）从第234、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第234、、组每组各抽取多少人？
（3）指出直方图中，这组数据的中位数是多少（取整数值）？
【答案】（1）5a =，27b =，0.9x =，0.2y =；（2）2人，3人，1人；（3）42
由频率分布直方图得第一组人数为：1000.011010⨯⨯=，100.55a =⨯=，
第三组人数为：1000.031030⨯⨯=，300.927b =⨯=，
（2）第2、3、4组回答正确人数分别18、27、9，共54人，设第234、、组分别抽取,,x y z 人，
（3）第1、2组频率和为0.10.20.3+=，第4、5组频率和为0.250.150.4+=，第3组
∴中位数为42．
7、某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[
)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数．
【答案】（1）0.0075x =；（2）众数是230，中位数为224．
【解析】（1）由直方图的性质可得
(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=，
∴0.0075x =．
∵(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<，
月平均用电量的中位数在[220,240)内，
设中位数为a ，由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=，可得224a =，
∴月平均用电量的中位数为224
8、为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数(得分取正整数，满分为100分)进行统计，以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图．
频率分布表
请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题： (1)求出a ，b ，c ，d 的值；
(2)老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范围内．
【答案】(1) a ＝15，b ＝0.04，c ＝0.03，d ＝0.004 (2) 70≤x <80 【解析】（1）样本容量为9÷0.18＝50,50×0.08＝4， 所以a ＝50－9－20－4－2＝15，
b ＝2÷50＝0.04，
c ＝15÷50÷10＝0.03，
d ＝0.04÷10＝0.004.
（2）因为样本容量为50，则样本的中位数是第25,26个数据的平均数， 而第25,26个数据均位于70≤x ＜80范围内， 所以小王的测试成绩在70≤x <80范围内．
9、某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．
(1)求图中a 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[)50,90之外的人数. 【答案】（1）0.005a =；（2）73(分)；（3）10.
【解析】（1）由频率分布直方图知(20.020.030.04)101a +++⨯=，解得0.005a =. （2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为
550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分）．
（3）由频率分布直方图知语文成绩在
[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90各分数段的人数依次为：
0.005101005,0.041010040,0.031010030,0.021010020⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为
-+++=.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为100(5204025)10
10．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
【解析】（1）直方图如图，
（2）质量指标值的样本平均数为
质量指标值的样本方差为
22222
s=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.
(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
++=，
0.380.220.080.68
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
11、从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：
()1在图中作出这些数据的频率分布直方图；
()2估计这种产品质量指标值的平均数、中位数(保留2位小数)；
()3根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【答案】（1）直方图见解析；（2）平均数100,中位数99.74；（3）不能.
【解析】()1由已知作出频率分布表为：
由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：
()2质量指标值的样本平均数为：
x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
800.06900.261000.381100.221200.08100
[)
75,95内频率为：0.060.260.32
+=，
95,105内，
∴中位数位于[)
∴中位数为99.74．
()3质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68
++=．
由于该估计值小于0.8，
故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．。