第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理

sup A sup B 1

sup A sup B 1
固有
x 0 y 0 sup A sup B sup A sup B 1 sup A sup B 1 sup A sup B
由区间套定理， ④ 往证 sup E Ⅰ x
E , 必有 x b n
*
n1
I n , 即有 lim a n lim b n
n n


x lim b n ( 是上界 )
n
Ⅱ 0 , N N , 使 a N
在 [ a N , b N ]中必有 E 中点 x N , 使得
( lim a n )
n
xN aN
sup E
aN
●
xN
bN
确界原理 注１：
单调有界原理
设 证明： a n 单调增，有上界，
则 a n 有上确界 sup a n a 且 an a
结论得证
实数的连续性进一步解释
确界存在定理,通常称为实数系的连续性定 理. 实数的连续性指实数域中每一个点都与 坐标轴上点唯一对应. 假设实数的全体不能 布满整个数轴, 而有空隙. 则空隙左边的数 集合没有上确界, 而右边的数集没有下确界 ,与上确界下确界存在定理矛盾.
1. 设
例1
Q
是所有有理数集合, 定义集合
证明：
x A , y B， x su p A , y su p B， 有 xy su p A su p B
因 此 sup AB sup A sup B
0, 1, x 0 A , x 0 sup A 0, 1, y 0 B , y 0 sup B
0, a N , 使 a N a
n N时
an a N a an a an a
lim a n a sup a n
n
注２如果E没有上界或者下界，记 sup E , inf E
思考问题１
假 设 集 合 E 有 上 界 ， 并 存 在 一 个 子 列 x n E， 满 足 lim x n ， 则 为 集 合 E 有 上 确 界 ；
sup X sup Y sup( X Y )
⑶
往证 sup x n sup y n
n N , x n y n sup y n ,
*
sup y n 是 x n 上界 .
sup x n sup y n ,
(sup x n 是 x n 最小上界 )
称 为 E 的下确界，记为
满足

0 , y E ，使 y
最大下界
inf E
Supremum (上确界)，Infimum (下确界)
例1.
inf N
*
1
inf( 0 ,1 ) 0 , sup( 0 ,1 ) 1 ① 确界可以 E
1 , n
三、确界原理 定理1 非空有上界的数集必有上确界. 非空有下界的数集必有下确界. 证明： 设 E 非空有上界： ①
设 r 是 E 的一个上界
x E , 将 [ x , r ]记为 [ a 1 , b 1 ]
E
（x ） r
②
将 [ a 1 , b 1 ]二等分 :
右边区间有 E 中点，取为 [ a 2 , b 2 ]； [ a 2 , b 2 ]. 右边区间没有 E 中点，取左区间为
证明：⑴ inf( X Y ) inf X inf Y
x X , x inf X x y inf X inf Y y Y , y inf Y
0,
' ' x X , x inf X ' ' y Y , y inf Y '
n
思考问题２
假 设 集 合 E 有 下 界 ， 并 存 在 一 个 子 列 x n E， 满 足 lim x n ， 则 为 集 合 E 有 下 确 界 .
n
例题１ 设集合A，B是数轴上位于原点右方的非空有界数集，记
AB =
{ xy
x 挝A, y
B }，则 sup A B sup A sup B
sup( X Y ) sup X sup Y inf( a X ) a inf X
sup( a X ) a sup X
② inf( X Y ) inf X sup Y sup( X Y ) ③
sup x n sup y n 对数列 x n , y n , x n y n 则 inf x n inf y n
3, x Q , E2
,
E1
x 0 x

x
3 x , x Q ， 3， 因 此 有 理 数

集 合 E 1的 上 界 为
3， E 2 集 合 的 下 确 界 为
集合确界定理不存在.
2
2
'
x y inf X inf Y
inf( X Y ) inf X inf Y
⑵ 显然有
Hale Waihona Puke Baidu
inf X sup X , inf Y sup Y
inf X sup Y inf( X Y ) inf X inf Y sup X inf Y
§6
实数的连续性:
上确界下确界存在定理
一、定义：
定义： 设Ｅ是非空有上界集合， 满足 若 Ⅰ Ⅱ
x E ，有 x
是上界

0 , 存在 x E ，使 x
最小 上界
——小一点不再是上界
称 为 E 的上确界，记为
sup E
同样： 设Ｅ是非空有下界集合，若 Ⅰ x E , x Ⅱ
③ 重复进行，得区间套：
[ a 1 , b1 ] [ a 2 , b 2 ] [ a n , b n ] r x 且 lim ( b n a n ) lim 2 n 1 n n
此区间套特点：
每个 [ a n , b n ]中必含有 E 中点， b n 右边无 E 中点 .
也可以 E inf x n 0 , sup x n 1
②
上确界与最大元的关系：
E 中有最大元 E 中无最大元 — 即为上确界 — — max sup — 可以有上确界
二、确界的一些基本性质 X Y x y： x X , y Y ① inf( X Y ) inf X inf Y