双曲线的标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线的一支． 当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对
应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应 的一支． (2)0＜2a＜|F1F2|.当 2a＝|F1F2|时，则动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的 两条射线 ；当 2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在；当 2a
π 答案 {θ|2kπ－2＜θ＜2kπ，k∈Z}
探究 3 种形式：
(1)由于坐标系的建法不同，双曲线的标准方程有两
x2 y2 当焦点在 x 轴上时，其标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)； a b y2 x2 当焦点在 y 轴上时，其标准方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)． (2)若曲线方程 Ax2＋By2＝1 表示双曲线，只需 A、B 异号， 即 A· B＜0 即可！
解析
如图，由双曲线定义
|PF2|－|PF1|＝8， |QF2|－|QF1|＝8，
∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16， 即|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16.
答案 C
x2 y2 例 2 已知 M 是双曲线 － ＝1 上的一点，F1，F2 是双曲 40 9 线的两个焦点，∠F1MF2＝90° ，求△F1MF2 的面积．
探究 1
定义是解题的根本方法，好好利用有时能起到意想
不到的效果！
思考题 1
x2 y2 已知 F1、F2 是双曲线 － ＝1 的两个焦点， 16 9
PQ 是过点 F1 的弦，且 PQ 的倾斜角为 α，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ| 的值是( A．8 C．16 ) B．12 D．随 α 角的大小而变化
＝0 时，动点的轨迹是线段 F1F2 的 中垂线．
要点 2
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
1.双曲线的标准方程
(0, ± 4 k ) .
练习4.双曲线 的焦距是6， 练习 双曲线 2 x 2 y 2 = k 的焦距是 ，则k= ±6
.
y2 x + 练习5. 表示双曲线， 练习 若方程 | k | 2 5 k = 1 表示双曲线，
2
求实数k的取值范围 求实数 的取值范围. -2<k<2或k>5 的取值范围 或
F1,F2 ---焦点 |F1F2| ---焦距（设为2c） 焦点 ---焦距 设为2c 焦距（ 2c） 设常数||MF 设常数||MF1| - |MF2|| = 2a 注意：对于双曲线定义须抓住三点： 注意：对于双曲线定义须抓住三点： 1、平面内的动点到两定点的 、平面内的动点到两定点的 距离之差的绝对值是一个常数； 差的绝对值是一个常数 距离之差的绝对值是一个常数； 小于|F 2、这个常数要小于|F1F2|； 、这个常数要小于 F 3、这个常数要是非零常数。 、这个常数要是非零常数。 非零常数
x2 y 2 (1) + = 1和x 2 15 y 2 = 15 25 9
焦点(±4,0), a = 5, b = 3
x2 y 2 y2 x2 ( 2) + = 1和 =1 4 3 3 4
焦点(±4,0), a = 15 , b = 1
焦点(±1,0), a = 2, b = 3
焦点(0,± 7 ), a = 3 , b = 2
2.椭圆方程中"+ ", 双曲线中" "；
3.判断焦点位置方法不同。
例1、已知双曲线的焦点为 1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 、已知双曲线的焦点为F ， 一点P到 、 的距离的差的绝对值等于8， 一点 到F1、F2的距离的差的绝对值等于 ，求双曲线 的标准方程. 的标准方程
双曲线标准方程的推导过程
双曲线标准方程的推导过程双曲线是一种二次曲线，与椭圆和抛物线类似，具有一些特殊的性质和形态。
双曲线的标准方程是一个关于x和y的方程，其推导过程较为复杂，需要从基本定义开始逐步推导。
首先介绍一下双曲线的定义：设点F_1(-c,0)和F_2(c,0)是平面上固定的两个点，点P(x,y)是平面上动态的点。
双曲线是满足PF_1 - PF_2 = 2a (a>0)的动点P所构成的图形。
根据定义推导双曲线的标准方程：1.根据两点之间的距离公式，可以得到PF_1和PF_2的距离公式:PF_1² = (x + c)² + y²PF_2² = (x - c)² + y²2.根据定义中的等式PF_1 - PF_2 = 2a，可以得到：(x + c)² + y² - (x - c)² - y² = 4a²化简后可得：4cx = 4a²化简后可得：x = a²/c3.将x = a²/c代入PF_1² = (x + c)² + y²中，得到：(a²/c + c)² + y² = PF_1²化简后可得：(a² + c²) / c² + y² = PF_1² / c²4.根据双曲线的性质PF_1² - PF_2² = 4a²，可以得到：PF_1² - PF_2² = 4a²(a² + c²) / c² - [(a² - c²) / c² + y²] = 4a² / c²化简后可得：2c² / c² - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：2 - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 2 = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 4a² / c² = 2通过上述推导过程，我们得到了双曲线的标准方程：y² / c² - x² / a² = 1其中，c是双曲线的焦点到中心的距离，a是双曲线的半轴长度。
双曲线的标准方程
一 .复习
与两定点距离的和为常数的点的轨迹是 椭圆
y
M |F1F2|=2c
F1
F2
x
|MF1|+|MF2|=2a 2a>2c
思考: 与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么呢?
二.新课讲授（定义） 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小 于|F1 F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
P M | MF1 MF2 2a .
F1(-c,0), F2(c,0) ,|F2| =2c,
当 2a | F1 F2 | 时 ，
动点 M 的轨迹是两条射线.
当 2a | F1F2 | 时，
动点 M 没有轨迹 .
二.新课讲授（双曲线的标准方程） 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小 于|F1 F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 如图建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F1,F2, 且点O与线段F1,F2的中点重合. 设M(x,y),是双曲线上任意一点,|F1 F2| =2c,
化简得： (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ).
由双曲线定义知
2c 2a,即c a, 因此c 2 a 2 0
令c 2 a 2 b 2 (b 0), 得 b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 ,
2 2
x y 2 1(a 0, b 0).这就是双曲线的标准方程. 2 a b
三.课堂小节 1.定义： 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常 数(小于|F1 F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 2.标准方程 或
x y 2 1(a 0, b 0). 2 a b y2 x2 2 1(a 0, b 0). 2 a b
双曲线的标准方程
双曲线定义、标准方程一. 教学内容：双曲线定义、标准方程（一）双曲线的定义1. （1）图示：取一拉链，在拉开两边上各选一点，分别固定在F1、F2上，|F1F2|＝2c，即|PF1|－|PF2|＝2a，得到的图形，我们称为双曲线一支（加绝对值两支）3. 定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。
（1）焦点：F1、F2，焦距：|F1F2|（2）定义重点：①绝对值②小于|F1F2|若去掉①则为一支；去掉②，2a＝2c射线，2a＞2c无曲线，2a＝0是F1F2的中垂线。
（二）双曲线的标准方程（1）推导：①建系；②写出集合；③坐标化；④化简图象特征：［注意］1. 位于标准位置，才能有标准方程；3. 判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定（不比大小），若x2的函数为正，则焦点在x轴上，反之则在y轴上。
4. 记住a、b、c的关系：一般地：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数线叫做双曲线的准线，这个常数e叫做离心率。
理解：①第二定义的隐含条件：定点在直线外，否则轨迹是除去交点的两条相交直线。
③双曲线的离心率的定义是：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
（几何意义）2. 焦半径及焦半径公式定义：双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。
（4）等轴双曲线：渐近线：（定义：若曲线上的点到某一直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线）【典型例题】例1. 一炮弹在某处爆炸，在F1（－5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0）么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。
解：6000（米），因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。
因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上。
设爆炸点P的坐标为（x，y），则小结：远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关（用数学文化反映实际问题）；借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关（用数学知识解决第二关提出的问题）。
2.3.1 双曲线的标准方程
2
由上述过程可知，双曲线上的点的坐标（x,y） 都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的 点（x,y）都在已知的双曲线上. 这样就得到焦点为F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线 的方程. 类似地可以得到焦点为F1（0，-c）,F2（0，c） 的双曲线的方程
y x 1 (a 0, b 0) . a b
例3 已知A，B两地相距800m，一炮弹在某处爆炸， 在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处迟 2s. 设声速为 340 m/s， （1）爆炸点在什么曲线上？ （2）求这条曲线的方程.
解:（1）设M为爆炸点，由题意得
MA-MB=340×2=680 .
因为爆炸点离A点比离B点距离更远，所以爆炸点
在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上.
因此，所求双曲线的方程为
x2 y2 1 (x 0) . 115 600 44 400
提升总结：待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤
根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上， 还是两种都有可能
2 2 2 2 x y y x 根据焦点位置，设其方程为 1 或 1 a 2 b2 a 2 b2
F(0，±c) 在 y 轴上
c2=a2+b2
注：哪一项的系数为正，焦点就在相应的哪条坐标轴 上！
思考1：若已知一个曲线的轨迹是双曲线，如何求 其标准方程呢？ 提示：设出其双曲线的标准方程，求出参数a,b的 值即可. 思考2：在设双曲线的标准方程时，首先应注意什 么问题？ 提示：应注意双曲线焦点的位置，是在x轴上还是 在y轴上.
2 2
b2 =c2-a2 =52-42 =9.
x y 1. 因而所求双曲线的标准方程为 16 9
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
10.双曲线的标准方程
双曲线的标准方程一．学习目标二．知识梳理1.定义：平面内与两定点1F 、2F 的距离的差的绝对值是常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点1F 、2F 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距． 注：若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<； 因此得a MF MF 221±=-.2.标准方程：焦点在x 轴上:()0,12222>>=-b a by a x 焦点在y 轴上:()0,12222>>=-b a bx a y , 可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上.3.标准方程中的c b a ,,三个量满足222b a c +=4.方程()0122<=+mn ny mx 表示的曲线为双曲线,它包含焦点在x 轴 上或在y 轴上两种情形。
若将方程变形为11122=+ny m x ,则当0>m ，0<n 时,方程为11122=--n y m x ，它表示焦点在x 轴上的双曲线,此时nb m a 1,1-==；当0,0><n m 时,方程为11122=--m x n y ,它表示焦点在y 轴上的双曲线,此时mb n a 1,1-==。
因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法.三．例题分析题型1 双曲线的定义及应用例1.双曲线11442522=-y x 上一点P 到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是 （ ） A.P 到左焦点的距离为8 B.P 到左焦点的距离为15C.P 到左焦点的距离不确定D.这样的P 点不存在【变式】双曲线116922=-y x 上一点P 到左焦点1F 的距离101=PF ,求P 点到右焦点2F 的距离2PF .题型2.求双曲线方程例2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:（1）4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3104,1A ；（2）经过点()24,3-、⎪⎭⎫ ⎝⎛5,49； （3）与双曲线141622=-y x 有相同的焦点，且经过点)2,23(.题型3.判断曲线类型例3.（1）已知方程12322=-+-ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线,求k 的取值范围； （2）研究方程12322=-+-ky k x 表示何种曲线.题型4.焦点三角形例 4.双曲线14491622=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线上,且6421=⋅PF PF ,求21PF F∆的面积.例5.（1）双曲线()0,012222>>=-b a by a x ,过焦点1F 的直线与该双曲线的同一支交于A 、B 两点,且m AB =，另一焦点为2F ,则2ABF ∆的周长为 （ ）A. a 4B.m a -4C.m a 24+D.m a 24-（2）设1F 与2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足︒=∠9021PF F ,则21PF F ∆的面积是 （ ） A.1 B.25 C.2 D.5题型5 双曲线的轨迹例6. 在△ABC 中，()6,0B -，()6,0C ，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹.例7.已知圆()13:221=++y x C 和圆()93:222=++y x C ，动圆M 同时与圆1C ,及圆2C 相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.题型6 双曲线的最值问题例8.(1).P 为双曲线11522=-y x 右支上一点，N M ,分别是圆()44:221=++y x C 和圆()14:222=+-y x C 上的点，则||||PN PM -的最大值为______. (2).设1F 与2F 是双曲线14522=-y x 的两个焦点,点)1,3(P 为双曲线内一点，点A 在双曲线的右支上，则||||2AF AP +的最小值为______.四．练习题1．设P 是双曲线2211620x y -=上一点，1F ，2F 分别是双曲线左、右两个焦点，若19PF =，则2PF 等于（ ）A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对2．已知双曲线2222:1x y C a b -=(,0)a b >满足b a =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 3．方程22112x y m m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．322m << B ．312m << C ．12m << D ．1m <或2m > 4．若椭圆2212516x y +=和双曲线22-145x y =的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为（ ）A ．212B ．84C ．3D ．21 5．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为（ ）A ．2-B ．8116-C ．1D ．06．已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．D ．。
双曲线的标准方程
.
o
. F
2
x
线段F1F2的垂直平分线 。
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2
2 y x 6. 若方程 | k | 2 5 k 1 表示双曲线，求实数k的
取值范围. -2<k<2或k>5
7. 双曲线16x 2 9 y 2 144 的焦点为F1，F2，点 P在双曲线 （1）若|PF1|=8，则|PF2|=_____ （2）若∠F1PF2=600，求△F1PF2周长。
2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式
F1
O
F2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即
4.化简
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c)
M
.
. F
2
x
三、这个常数要是非零常数。
1.||MF1| - |MF2|| = 2a(2a<2c)
双曲线 双曲线的右支 双曲线的左支
y
M
2.|MF1| - |MF2|= 2a(2a<2c) 3.|MF2| - |MF1|= 2a(2a<2c)
4.||MF1| - |MF2|| = 2a(2a=2c)
2.3.1双曲线的标准方程
2
轴的距离是（ C ）
4 （A） 3 （C）2 3 3 5 （B） 3
（ D） 3Leabharlann 2.3.1双曲线的标准方程
中国人民大学附属中学
我们已经知道，平面内与两个定点F1， F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的 轨迹是椭圆，
那么平面内与两个定点F1，F2的距离的 差等于非零常数的点的轨迹是怎样的曲线 呢？
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零) 的点的轨迹叫做双曲线， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦 点的距离叫做双曲线的焦距。 以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段
2．在方程mx2－my2=n中，若mn<0，则
方程表示的曲线是（ D ） （A）焦点在x轴上的椭圆 （B）焦点在x轴上的双曲线 （C）焦点在y轴上的椭圆
（D）焦点在y轴上的双曲线
3．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2+y2 =k2－1表示的曲线是（ C ）
（A）焦点在x轴上的椭圆
（B）焦点在y轴上的椭圆
由余弦定理得
| PF1 | | PF2 | | F1F2 | cos F1PF2 2 | PF1 | | PF2 |
2 2 2
100 100 0 2 32
所以∠F1PF2=90°.
课堂练习
1．已知F1(－8，3)、F2(2，3)为定点，动 点P满足|PF1|－|PF2|=2a，当a=3和a=5时， P点的轨迹为（ ） D （A）双曲线和一条直线 （B）双曲线的一支和一条直线 （C）双曲线和一条射线 （D）双曲线的一支和一条射线
2 2 2 2
a
2c ( x c) y ( x c) y x a
双曲线的标准方程
y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y
F1
o
F2 x
位置特征：焦点在x轴上 焦点坐标 F1 ( c, 0)
F2 (c, 0)
2 2 2 c a b （ a, b, c 0) 数量特征：
焦点在y轴上
F1 (0, c) F2 (0, c )
uxd07vzu
开了，还多亏了你呢！你又懂事，又能干！唉，这青丫头有你一半就好了。”耿英说：“娘娘，你说啥呀？我哪里有小青姐聪明啊，我 只是一个稀了马哈的粗心丫头呢！”乔氏摇摇头说：“不，她只不过是有一些个看似很机灵的小聪明而已，而你却拥有顾大局，识大体 的大聪明、大智慧啊。不能相比的喽！”耿英却说：“娘娘，您这样说小青姐可不对，她只是被自己心里边的那个‘疯狂的喜欢’给昏 头了呢！小青姐真得很聪明，也很明白事理，说心里话，我很欣赏她呢！”乔氏轻轻地叹了一口气说：“唉，刚才啊，我听到这丫头哭 诉她命苦。我看哪，正如英丫头刚才说的，她的命并不苦，苦的是我啊！她有这个既憨厚又倔强的东伢子爱怜着呢，可我呢？”乔氏再 也忍不住自己的眼泪了。她掏出手绢不断地擦拭着涌流出来的泪水，心酸地说：“丫头她爹去了，我这后半生啊，只能是”耿老爹父子 四人的心里也都酸酸的。耿老爹轻轻地说：“兄弟媳妇你也别太难过了。事已至此，难过没有用啊。你有青丫头呢，还有这诚恳实在的 东伢子。这以后啊，他们多生几个娃娃，你以后的日子不会孤单的！”耿正说：“娘娘，您的年纪还不大呢，幺爹他肯定希望您能过得 很好的。以后啊，你可以留意着找一个”乔氏摇摇头，幽忧地说：“不，不可能的了！”耿英也说：“我哥说得对着哩，幺爹他肯定希 望您过得好！您也别过分伤心了，老话说了，‘凡事都有个定数’哩，谁又能改变了什么！您以后的日子还长着呢，因此啊，一定要想 开一些，日子才能过得踏实。人常说啊，老天爷是有眼的，您是天底下最好的人啦！所以啊，肯定会有一个最适合您的好人来陪伴您 的！”懂事的耿直怕乔氏继续伤心哭泣，就拱着身子依偎到了她的怀里，像大人一样说：“娘娘，姐姐说得对，您是天底下最好的人， 就像我娘一样好！我们在家时，我娘经常对我们说：‘人一定要多使好心，多做好事’。娘还说：‘好人终究会得到好报’。放心，您 一定会得到好报的！”乔氏终于破涕为笑了。她紧紧地楼住耿直，在他的额头上亲了一下，笑着对耿老爹说：“耿大哥啊，你就把这个 小儿子给我吧，我可正缺这么一个好伢子呢！”耿老爹也笑了，说：“兄弟媳妇啊，刚才小直子不是说了嘛，我们那里是管姆妈叫‘娘’ 的。他现在不就叫你‘娘娘’吗？还多了一个‘娘’呢！”那天下午，对于倔强钟情的东伢子来说，尽管饱吃了小青的一顿拳头，但这 顿拳头他吃得太舒服，也太高兴了！因为，这个他喜欢至骨头里的丫头，在打得实在太累了的时候，终于接受了他的爱。而无辜的耿正 虽然挨了非常冤枉的一计重拳，但好在东伢子只是打在了他的肩膀上。乔氏将白酒点着了，抓着花苗给他搓擦了几次以后，没几天也就 彻底好了，并没有
双曲线标准方程
双曲线标准方程双曲线是解析几何中常见的一种曲线，它具有许多特殊的性质和规律。
在数学中，我们经常会遇到双曲线，并需要对其进行研究和分析。
为了更好地理解双曲线，我们需要了解其标准方程及相关知识。
首先，让我们来了解一下双曲线的定义。
双曲线是平面上的一种曲线，其定义方式可以有多种，其中一种常见的定义是，平面上的一点到两个给定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
这个定义可以帮助我们直观地理解双曲线的形状和特点。
接下来，我们来看一下双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程通常可以表示为：$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$。
或者。
$\frac{y^2}{b^2} \frac{x^2}{a^2} = 1$。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点到原点的距离。
这两种形式的标准方程分别对应着双曲线的横轴和纵轴方向的开口方向。
在这里，我们可以看到双曲线的标准方程与椭圆和抛物线的标准方程有一定的相似之处，但又有着明显的区别。
通过对比这些曲线的标准方程，我们可以更好地理解它们的形状和特点。
双曲线的标准方程中的参数a和b对于确定双曲线的形状起着关键作用。
当a和b分别为正数时，双曲线的形状会有所不同，我们可以通过调整这些参数来观察双曲线的变化规律，从而更深入地理解双曲线的性质。
除了标准的双曲线方程外，我们还可以遇到其他形式的双曲线方程，例如双曲线的一般方程。
在实际问题中，我们可能会遇到各种各样的双曲线方程，因此掌握双曲线的标准方程及其相关知识对于我们解决问题至关重要。
双曲线作为解析几何中的重要内容，其在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
通过对双曲线标准方程的学习和掌握，我们可以更好地理解双曲线的性质和规律，为我们的学习和工作提供更多的帮助。
总之，双曲线标准方程是我们学习和研究双曲线的重要基础，通过对双曲线标准方程的深入理解，我们可以更好地应用双曲线的相关知识，解决实际问题，推动数学和其他领域的发展。
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程双曲线是代数曲线中的一种，它具有许多重要的性质和特点，在数学和物理学中有着广泛的应用。
双曲线的标准方程是描述双曲线的一种数学表达式，通过标准方程我们可以更清晰地了解双曲线的形状和特点。
本文将对双曲线及其标准方程进行详细的介绍和解析，希望能够帮助读者更深入地理解这一数学概念。
首先，让我们来了解一下什么是双曲线。
双曲线是平面上的一种曲线，它的形状类似于两条平行的直线。
双曲线分为两种类型，分别是椭圆双曲线和双曲双曲线。
椭圆双曲线的标准方程为x^2/a^2 y^2/b^2 = 1，而双曲双曲线的标准方程为x^2/a^2y^2/b^2 = -1。
其中，a和b分别代表双曲线在x轴和y轴上的截距，通过这两个参数我们可以确定双曲线的大小和形状。
接下来，我们来看一下双曲线的标准方程。
对于椭圆双曲线来说，当a^2 > b^2时，双曲线开口朝x轴，而当a^2 < b^2时，双曲线开口朝y轴。
而对于双曲双曲线来说，无论a和b的取值如何，双曲线始终开口朝x轴和y轴。
通过这些性质，我们可以更加直观地理解双曲线的形状和特点。
双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，双曲线常常出现在代数曲线的研究中，它们具有独特的性质和方程形式，对于研究者来说具有很高的研究价值。
在物理学中，双曲线则常常出现在光学和电磁学的研究中，它们可以描述电磁波的传播和折射规律，对于解决实际问题具有重要的意义。
总结一下，双曲线是一种重要的代数曲线，它具有独特的形状和特点。
通过标准方程，我们可以更清晰地了解双曲线的形状和特点。
双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用，对于研究者和工程师来说具有重要的意义。
希望本文能够帮助读者更深入地理解双曲线及其标准方程，为他们的学习和研究提供帮助。
双曲线的标准方程
以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平
分线为x轴建立直角坐标系
发现仅x,y互换了位置，
2
所以化简后的方程为 2
2
− 2
= 1 > 0， > 0
小结
焦点所在坐标轴
y轴
x轴
图形
标准方程
焦点坐标
a，b，c的关系
如何判断焦点位
置
x2 y2
－ ＝1 （ > 0, > 0）
救灾时都有重要的意义，从例3看出，利用两个不同的
观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能确定爆炸
点位置.要有几个观测点才能确定爆炸点的位置呢？
y
O
x
x
课堂总结
通过本堂课的学习，你有哪些收获？
谢谢！
点间的距离叫做双曲线的
焦距
．
数学语言： 1 2 = 2
1 − 2 = 2
（0 < 2 < 2 ）
探究新知
几何条
件
如何求双曲线
思考.方程化简
的方程？
的难点是什么？
建系
以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的
垂直平分线为y轴建立直角坐标系
设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(, )
2
平方去
2
2
2
2
2
2
2
4a 2
2
2
( x c) 2 +y 2
2
2
4a 2
化简得 x y c ( x y c 2cx) ( x y c 2cx) 2a
2
2
双曲线其标准方程
焦点与顶点关系
双曲线的焦点到顶点的距离等于c，其中a为横轴长度，b 为纵轴长度，c² = a² + b²。
双曲线的切线性质
切线斜率
对于双曲线上的任意一点P，其切线的斜率k满足k = -e²/((1+e²)(1-e²))。其中e为离心率。
双曲线及其标准方程
• 双曲线的定义 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
目录
01
双曲线的定义
平面上的双曲线
平面上的双曲线由两条开口不 相同的抛物线组成，它们关于x 轴或y轴对称。
双曲线的两个顶点位于x轴或y 轴上，顶点之间的距离称为焦 距。
双曲线的实轴和虚轴分别与x轴 和y轴重合。
双曲线的渐近线
• 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是直线，与 双曲线无限接近但不相交。渐近线的斜率等于离 心率。
双曲线的对称性
• 对称性：双曲线具有对称性，它关于原点对称，也关于两 个渐近线对称。
03
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
第一季度
第二季度
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第四季度
总结词
当双曲线的焦点位于x 轴上时，其标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$是常数， 分别表示双曲线的实半 轴和虚半轴的长度。
空间中的双曲面
空间中的双曲面是一种三维几何 图形，由两个开口的旋转抛物面 组成，它们关于x轴、y轴或z轴
对称。
双曲面的两个顶点位于x轴、y轴 或z轴上，顶点之间的距离称为
焦距。
双曲面的实轴和虚轴分别与x轴、 y轴或z轴重合。
双曲线的标准方程
y x 原方程化为： 解：原方程化为： − =1 k −1 1 + k
2 2 2
∵
k>1
∴
k2—1> 0
1+k> 0
∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。 方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。 故 选（B） ）
x y Ex 2. 3 < m < 5是方程 + 2 =1 m−5 m −m−6 表示双曲线的(_________) A A.充分非必要条件 C .充要条件 B .必要非充分条件 D.不充分也不必要条件
定义 图象
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
㈠ 复 习 提 x 椭 圆 的 性 质 ： 问 y F1 y F2 F1
· ·
F(
oF2 x
方程
· ·
o
x2 a2
y2 + 2 =1 b
c,0)
y2 x2 + 2 =1 2 a b
F(0, c)
a.b.c
a2=b2+c2
定义 图象
||MF1|—|MF2||=2a (︱F1F2︱＞2a ) y y F2 双 曲 线 的 性 x 质 F1
·
o
F2
·
x
o F1
方程
x2 a2
F
-
y2 b2
=1
y2 x2 - 2 =1 2 a b
F 0 C
C 0 c2=a2+b2
a.b.c
复习1、已知双曲线的焦点为 1(-5,0), F2(5,0)双曲 已知双曲线的焦点为F 复习 已知双曲线的焦点为 双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6， 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于 ，则 3 4 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ 5
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知识小结
x2 y 2 方程形式： 2 2 1(a 0, b 0) a b
y
y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y F2
o
F1 o F2 x F1
x
位置特征：焦点在x轴上 F ( c, 0) 焦点坐标 1
F2 (c, 0)
2 c 2 a 2 b（a, b, c 0) 数量特征：
2
2
x y (2) 1 4 4
a b 2, c 2 2 F1 (0, 2 2 ), F2 (0, 2 2 )
2
2
(3)16 x 9 y 144
2 2
x2 y2 1 9 16
a 3, b 4, c 5 F1 (5, 0), F2 (5, 0)
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程. 解: 根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
b c a 64
2 2 2
所以双曲线的标准方程为：
当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时
x2 y 2 1 36 64
y x 1 36 64
2
2
拓展延伸
已知
求k的取值范围。
x y 1 表示双曲线， 1 k 1 k
2
2
解：由双曲线标准方程可得ห้องสมุดไป่ตู้ （1+k)(1-k)<0 所以k>1或者k<-1
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
解： 焦点在x轴上.
x y 可设所求双曲线方程为 2 2 1 a b
2 2
由题意得
a=3,b=4
2 2
x y 所求双曲线方程为 1 9 16
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： a 2 5, 经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
P
x
2
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
如果x2的系数是正时，那么焦点在x轴上
如果y2的系数是正时，那么焦点在y轴上
反馈检测
练习：请判断下列方程哪些表示双曲线？ 2 2 2 2 x y x y (1) 1 (2) 1 3 2 4 4
(3)16 x 9 y 144
2 2 2 2
( x c ) y ( x c ) y 2a
2 2 2 2
( x c)
2
2
y
2
2a
2
( x c) y
2
2
2
cx a a ( x c) y
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
b x a y a b
2 2 2 2
2
2
定义 图象
| PF1 PF2 | 2a 0 2a 2c
P
方程
x y 2 1 2 a b
F1 (c,0) F2 (c,0)
2 2 2
2
2
y x 2 1 2 a b
F1 (0,c) F2 (0, c)
2
2
焦点 a.b.c 的关系
c a b ，（a不一定大于b)
师生互动
二、双曲线的标准方程
如何求这条优美曲线的方程呢？ y
P
建系 以F1,F2所在的直线为X轴，
线段F1F2的中垂线为 y轴 建立直角坐标系,则F1(C,0),F2(C,0)
(c,0)
(-c,0) F1
o
2C
F2
设点
P(x，y)
PF1 PF2 2a
列条件
化简 ( x c) y ( x c) y 2a
2 2
(4) 4 x 3 y 1
2 2
x2 y2 1 9 16
x y (5) 2 2 1(m 0) m m 1
2
2
请求出下列双曲线的 a、b、c和它们的焦点坐 标。
x y (1) 1 3 2
a 3, b 2, c 5 F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b ∵ 2a = 6, 2c=10 ∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52 - 32 =16
x2 y2 1 所以所求双曲线的标准方程为： 9 16
小结：求标准方程要做到先定型，后定量。
2
2
巩固练习
例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
x y 2 1 (a>b>0) 2 a b y2 x2 2 1 (a>b>0) 2 a b
2
2
探究新知
思考：
平面内M与两定点F1、F2的距离的差 等于非零常数2a的点的轨迹是什么 图形？
一、双曲线的定义
y
x
平面内与两定点 F1、F2的距离的差 的 绝对值是常数 2a(0<2a<| F1F2|) 的点的轨迹叫做 双曲线．这两个 定点F1、F2叫做双 曲线的焦点，两 个焦点之间的距 离叫做焦距2c．
焦点在y轴上
F1 (0, c ) F2 (0, c )
MF1 MF2 2a F1 F2 2c
作 业
P54页
习题2、3、4
《新课标人教A版高二数学选修1-1》
M
F1
F2
王延卫 高二五班
复习引入
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数 2a(2a大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
1、椭圆的定义是什么？请用数学式子表达。
PF1 PF2 2a(2a F1 F2 )
2、椭圆的标准方程是怎样的？
焦点在x轴上 焦点在y轴上
解： 焦点在y轴上.
可设所求双曲线方程为
a 2 5 由题意得：25 4 解得 b 2 16 2 2 1 a b
所求双曲线方程为 y2 x2 1 20 16
y2 x2 2 1 2 a b
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解： a 6, c 10
(c a ) x a y a ( c a ) 2 2 2 b c a ( c a)
2 2
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
焦点在y轴上时
F1（0，-c),F2(0,c)
P
a,b意义不变，
此时双曲线的标准方程是：
y x 2 1(a 0, b 0) 2 a b