11电磁感应、动感电动势、自互感

第13章 电磁感应 电磁场
1820年奥斯特的发现第一次揭示了电流能够产生磁，法拉第很快想到磁能否产生电。

经过十年精心实验研究，于1831年第一次发现了电磁感应现象，并总结出了电磁感应定律。

§13-1电磁感应的基本定律
一、电磁感应现象
电磁感应现象：
（1）条形磁铁插入线圈。

（2）通有电流的线圈代替条形磁铁。

（3）两线圈相对位置固定，用开关控制产生磁场线圈中的电流变化。

（4）导线在匀强磁场中运动。

结论：当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中就产生感应电流。

既然闭合回路中有感应电流存在，说明闭合回路中存在电动势。

这种由于磁通量变化而产生的电动势称为感应电动势。

回路不闭合，也会出现感应现象，这时只存在感应电动势，不存在感应电流。

二、法拉第电磁感应定律
电磁感应定律：通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比。

SI 制中 m
d dt εΦ=- 负号代表感应电动势的方向
密绕N 匝 m d d N d t d t εΦψ
=-=- m N ψ=Φ → 磁通链
磁通量的正负有赖于以回路为边界的曲面法向 n
的选取，在闭合回路上任意规
定一个绕行正方向，n
的方向与回路绕行方向符合右手螺旋法则。

电动势存在于回路中，其方向相对于回路绕行方向确定。

图中0m Φ>，如果 m Φ ↑ ， 0m
d dt
Φ>， 0ε< （与绕行方向相反）
图中0m Φ<，如果 m Φ ↑ ，
0m
d dt
Φ<， 0ε> （与绕行方向相同）
磁通计
只有电阻 R 的回路
感应电流 1m
d i R R d t
εΦ==- dt 时间内通过导线中任一截面的感应电量
1m d q i d t d R
==-Φ 1t —2t 时间内通过导线中任一截面的感应电量
2
2
1
11m m t m m t q idt d R R
ΦΦ∆Φ==-
Φ=-⎰⎰ 磁通计（测磁感应强度） 在一段时间内通过导线中任一截面的电量与这段时间内导线所包围面积的磁通量的变化量成正比。

三、楞次定律
1834年楞次提出了一种直接判断感应电流方向的方法，从而根据感应电流的方向可以说明感应电动势的方向。

楞次定律：闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场阻止引起感应电流的磁通量变化（增加或减少）。

步骤：
（1）先判明穿过回路的磁通量沿什么方向，发生什么变化（增加还是减少）； （2）根据楞次定律判定感应电流所激发磁场的方向（与原磁场同向还是反向）； （3）根据右手法则从感应电流产生的磁场方向确定感应电流的方向。

磁通量向下，增加 → 感应电流磁感应强度向上 → 感应电流如图 感应电流取楞次定律所述方向是符合能量守恒和转化定律！
§13-2 动生电动势
感应电动势
一、动生电动势
导体以速度 v 向右运动，导体中电子也以速度 v
向右运动，电子受洛仑兹力
f e v B =-⨯
， 方向向下
在洛仑兹力作用下，自由电子积聚在 b 端，b 端带负电，a 端带正电。

这段导体相当于一个电源，a 端为电源正极，b 端为电源负极！
电源电动势 E d l ε+-
=⎰
非
F
E q = 非非 非静电场强
这里，非静电力是洛仑兹力
B
b
S
f E v B e
==⨯-
非 ()
a b
E d l v B d l
ε+
-
==⨯⎰
⎰ 非 v B ⨯
大小 vB ，方向向上，与 dl 方向相同 0l
v B d l
B l v
ε==⎰ ，方向由 b a → 一般情况 (
)
L
v B d l
ε=⨯⎰
注意：
（1）闭合回路：动生电动势只存在于运动的导体上；
（2）非闭合回路：一段导体在磁场中运动，没有感应电流，但有动生电动势。

也可以用法拉第电磁感应定律考虑： 取回路方向为顺时针方向 m B l x Φ=
m d dx
Bl Blv dt dt
εΦ=-
=-=- 大小为 Blv ，方向为逆时针方向
例13.2：棒长为 L ，绕 O 点转，角速度大小为 ω，匀强磁场，磁感应强度为 B
，求动生电动势
解一：取长 dl 的一小段，离 O 点距离为 l ，线元dl
方向由 O A →，
()
d v B d l B v d l B l d l
εω=⨯=
-=-
201
2
L B l d l B L εωω=-=-⎰
故动生电动势大小为
21
2
B L εω=
方向由 A O →， O 是正极，A 是负极
解二： 作辅助曲线与导体形成闭合回路，dt 时间内棒扫过的面积
B
()211
22
dS L L dt L dt ωω=
= 21
2
dS B
B L dt εω=-= 方向由 A O →
二、交流发电机的基本原理
例13.2：如图所示，面积为S 的线圈共有N 匝，使其在匀强磁场中绕定轴OO '以
角速度ω作匀速转动，求线圈中的感应电动势。

解：设0t =时，线圈平面的法线方向n 与磁感应强度B 的方向平行，则 t 时刻n
与B
的夹角
t θω=
穿过N 匝线圈的磁通链为
c o s N B S
t ωψ= 由电磁感应定律
s i n d N B S t dt
εωωψ
=-=
§13-3 感生电动势
一、感生电动势 涡旋电场
当线圈不动而磁场变化时，线圈中的磁通量也会发生变化，由此产生的感应电动势叫做感生电动势。

实验表明，感生电动势是由变化的磁场本身引起的，与导体的种类和性质无关。

ω
B ↑ ，感生电动势沿环，大小 dB S dt
，方向逆时针
在线圈中有感应电动势存在，说明线圈中的电子必定受到一个非静电力的作用。

该静电力不是洛仑兹力，是一种什么力？
麦克斯韦在分析了一些电磁感应现象后，提出变化的磁场在其周围会激发一种电场 → 涡旋电场。

电动势中的非静电力就是涡旋电场力。

涡旋电场由变化磁场激发，与是否有导体存在无关！
涡旋电场与静电场
涡旋电场 静电场
（1）变化磁场激发 （1）电荷激发
（2）非保守场 0L
E d l ≠⎰
旋 （2）保守场
0L
E d l ≠⎰
（3）电力线是闭合曲线 （3）电力线不闭合
回路中的感生电动势
m
L d E d l dt
εΦ==-⎰ 旋
m S
B d S Φ=⎰
S S d B B dS dS dt t
ε∂=-=-∂⎰⎰
即 L S B E dl dS t ε∂==-∂⎰⎰
旋 法拉第电磁感应定律的积分形式
二、电场的环路定理
一般情况下，空间的总电场
E E E =+
旋
导体环：有电流
木环：无电流
E 旋
E 旋
L S B E dl dS t ∂=-∂⎰⎰
麦克斯韦方程组方程之一
动生电动势和感生电动势是相对的
从磁铁看，动生电动势； 从线圈看，感生电动势
三、涡旋电场的应用（自学）
§13-4 自感与互感
一、自感
当线圈中的电流发生变化时，所激发的磁场通过线圈自身的磁通链会发生变化，使线圈自身产生感应电动势。

这种因线圈中的电流发生变化在线圈自身产生的感应现象称为自感现象，所产生的感应电动势称为自感电动势。

d dt
εψ=-
自自
i ψ∝自
L i ψ=自 自感系数（自感）
自感系数 L 取决于线圈的形状、大小和匝数等，与线圈中的电流无关 d di L
dt
dt
εψ=-
=-自自
B
N
自感的单位是 亨利（H ）
1Wb 1(H)1A =
伯()
亨利安培()
例13.7：已知长直螺线管长 l ，截面积S ，总匝数 N ，内充相对磁导率为 r μ 的磁介质，求自感 L
解：取如图所示矩形回路，绕行方向逆时针，回路长 h 根据有磁介质时的安培环路定理
in l
H dl I =∑⎰
H h n h I = ⇒ H n I = 00r r B H nI μμμμ==
200r r BSnl nInSl n ISl μμμμψ===自
22
2000r r N N L n Sl lS S l l μμμμμμ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
二、互感
两个相邻的线圈，当其中一个线圈的电流变化时，所激发的变化磁场会在另一个线圈中产生感应电动势。

象这样一个线圈中的电流发生变化在另一个线圈中产生感应电动势的现象称为互感现象，所产生的感应电动势称为互感电动势。

一个线圈中的互感电动势不仅与另一个线圈中的电流变化率有关，而且还与两个线圈的形状、大小和相对位置有关。

现在假设两线圈形状、相互位置都保持不变！
(B H
闭合回路
S
11B i ∝
1B
穿过线圈2的磁通链 211i ψ∝ 写成等式 21211M i ψ= 同理 12122M i ψ= 实验表明 2112
M M =M = 互感系数（互感）
21
1
21d di M dt dt εψ=-
=- 12
2
12d di M dt dt
εψ=-=- 互感单位： 1W b 1(H )1A =
伯()
亨利安培()
例13.10：如图（i ）一边长分别为 a 和 b ，由100匝表面绝缘的导线组成，放
在一根很长的直导线旁边并与之共面，直导线与矩形线圈的一边相距为b ，求它们的互感系数。

若将长直导线与矩形线圈按图（ii ）放置，互感系数又为多少？
解：（1）设直导线中的电流为 I ，在 x 位置处激发的磁感应强度
02I
B x
μπ=
穿过细条形面元的磁通量
02m Ia
d Ba dx dx x
μπΦ==
通过矩形线圈的磁通链为
20
0ln 222b b Ia NIa dx N x μμππ
ψ==⎰ a
b
I
x
a
（i ）
（ii ）
b
互感 0l n 22Na
M μπ
=
（2）通过矩形线圈的磁通链为 0ψ= 互感 0M =。