2016江苏省高考数学试卷答题卡
2016年普通高等学校招生统一考试数学卷(江苏卷) Word版 含解析
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ． 【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2A B =- ．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】【解析】c，因此焦距为2c =．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； 【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y 的定义域是 ． 【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ．【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56； 【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数s i n 2y x =的图象与c o s y x =的图象的交点个数是 ． 【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭， 由90BFC∠=︒可得0BF CF ⋅= ，2b BF c⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ==．11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ．【答案】25-；。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,参考版解析)
...因此 BE CE4a b4 5 137 ．2288 8在锐角三角形 ABC 中， sin A 2sin B sin C ，那么 tan A tan B tan C 的最小值是 ．8；xiv.由 sin Asin π A sin B C sin B cosC cos B sin C ， sin A 2sin Bsin C ，可得 sin B cosC cos B sin C 2sin Bsin C 〔 * 〕，由三角形 ABC 为锐角三角形，那么 cosB 0,cos C 0 ，在〔 * 〕式两侧同时除以 cos B cosC 可得 tan B tan C2tan Btan C ，又 tan Atan π Atan BCtan B tan C (#) ，1 tan B tanC那么 tan A tan B tan Ctan B tan C1tan B tanC ，tan B tanC2由 tan B tanC2 tan B tanC2 tan B tanC 可得 tan A tan B tanC1，tan B tan C令 tan B tanC t ，由 A, B, C 为锐角可得 tan A0, tan B0,tanC 0 ，由(#)得 1 tan B tan C 0 ，解得 t 1tan A tan B tan C2t 2 2 ，t11 1t 2t1 1 1 1 21 1 11，由 t 1 那么0 ，因此 tan Atan B tanC最小值为 8，t2tt24 t2t4当且仅当 t 2 时取到等号，此时 tan B tan C 4 ， tan B tan C 2 ，解得 tan B22,tan C22,tan A 4 〔或 tan B,tan C 互换〕，此时 A, B,C 均为锐角．二、解答题： 本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔本小题总分值14 分〕在△ABC 中， AC 6 ， cos B4， Cπ．54⑴求 AB 的长；⑵求 cos Aπ 的值．6⑴ 5 2；⑵7 26 ．201.cos B4， B 为三角形的内角5sin B 3 5AB ACsinC sin BAB623，即： AB 5 2 ；25a) cos A cos C B sin B sin C cos B cosC2cos A10又A为三角形的内角72sin A10cos Aπ3cos A1s in A726．62220〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， D, E 分别为 AB , BC 的中点，点F在侧棱 B1B 上，且 B D A F AC1A B C111，1 1 1 ．求证：⑴直线 DE // 平面 AC FA1B1；11⑵平面 BDE平面AC F．111F 见解析；2.D, E 为中点，DE 为ABC 的中位线DE // AC又ABC A B C 为棱柱，AC //AC1 1 111CEA D BDE // AC1 1，又AC1 1平面 AC11F，且DEAC1 1FDE //平面AC F；1 1a)ABC A1B1C1为直棱柱，AA1平面 A1B1C1AA AC，又AC1A B1 1 11 1 1且AA1 A1 B1 A1， AA1 , A1 B1平面 AA1B1 BAC1平面AAB B，11113又 A 1FB 1D ， DE B 1DD ，且 DE, B 1D平面 B 1 DEA F平面B DE，又A FAC F1111 1平面 B DE平面AC 1 F．11〔本小题总分值14 分〕现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥P A 1 B 1C 1D 1，下局部的形状是正四棱柱 ABCD A 1B 1C 1 D 1〔如下图〕 ，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高 PO 1的 4 倍．⑴假设AB6 m ， PO 12 m ，那么仓库的容积是多少；PD 1 C 1⑵ 假设正四棱锥的侧棱长为6 m ，当 PO 1为多少时，仓库的容积最大？O 1A 1B 13；⑵ 2 3 m ； DC⑴ 312 mO3. PO 1 2 m ，那么OO 18 m ，ABV P A 1B 1C 1D 1=1S ABCD PO 11 62 224 m 3， V ABCDA 1B 1C 1D 1=S ABCD OO 1628 288 m 3 ，33V =V PABCDV ABCDABCD312 m3 ，11 1 111 11故仓库的容积为 312 m 3；a) 设 PO 1x m ，仓库的容积为 V ( x)那么 OO 1 4 x m ， AO 1 136 x 2 m ， A 1B 12 36 x 2 m ，11212V P A 1B 1C 1D 1= S ABCD PO 172 2 x 2x72x 2 x 3 24xx 3 m 3 ，3 3332233V ABCD A 1B 1C 1D 1=S ABCD OO 1724 x 288x2x 8 x m ，V x =V PABCDV ABCD ABC D24x 2 x 3 288x8x 326 x 3 312 x 0 x6 ，1 11 11 1 1 133V ' x26x 2 312 26 x 212 0 x 6 ，当 x 0,2 3 时，V' x0 ， V x 单调递增，当 x2 3,6 时，V'x0 ， V x 单调递减，因此，当 x2 3时，Vx 取到最大值，即 PO 1 23 m 时，仓库的容积最大．〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，。
2016年高考理科数学江苏卷及答案
数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式:样本数据12n ,,,x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i S x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.棱柱的体积V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 是高.棱锥的体积13V Sh =,其中S 是棱锥的底面积,h 是高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1. 已知集合{1,2,3,6}A =-,{|23}B x x =-<<,则AB = .2. 复数z (12i)(3i)=+-,其中i 为虚数单位,则z 的实部是 .3. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22173x y-=的焦距是 .4. 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 . 5.函数y =的定义域是 .6. 如图是一个算法的流程图,则输出的a 的值是 .7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后 抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .8. 已知{}n a 是等差数列,S n 是其前n 项和.若2123a a +=-,5S =10,则9a 的值是 . 9. 定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与c o s y x =的图象的交点个数是 .10. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22221x y a b+=()a b >>0的右焦点,直线2by =与椭圆交于,B C 两点,且90BFC ∠=︒,则该椭圆的离心率是 .11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[1,1)-上,()f x =,10,2,01,5x a x x x +-⎧⎪⎨-⎪⎩≤＜≤＜其中a ∈R .若59()()22f f -=,则(5)f a 的值是 . 12. 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥，≥，≤，则22x y +的取值范围是 .13. 如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,,E F 是AD 上的两个三等分点,A 4B CA =,1BF CF =-,则BE CE 的值是 . 14. 在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C的最小值是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分14分）在ABC △中,6AC =,4cos 5B =,π4C =. （Ⅰ）求AB 的长; （Ⅱ）求πcos()6A -的值.16. （本小题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱1B B 上,且11B D A F ⊥,1111AC A B ⊥. 求证:（Ⅰ）直线DE平面11AC F ;（Ⅱ）平面1B DE ⊥平面11AC F .17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -,下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示）,并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（Ⅰ）若6AB m =,12PO m =,则仓库的容积是多少?（Ⅱ）若正四棱锥的侧棱长为6m ,则当1PO 为多少时,仓库的容积最大?姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共21页） 数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）18. （本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :221214x y x y +--+600=及其上一点(2,4)A .（Ⅰ）设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线6x =上,求圆N 的标准方程;（Ⅱ）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点,且BC OA =,求直线l 的方程; （Ⅲ）设点(,0)T t 满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围.19. （本小题满分16分）已知函数()=(0,0,1,1)x xf x a b a >b a b +>≠≠.（Ⅰ）设2a =,12b =. ①求方程()=2f x 的根;②若对于任意x R ∈,不等式(2)()6f x mf x -≥恒成立,求实数m 的最大值; （Ⅱ）若01a <<,1b >,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值.20.（本小题满分16分）记{}1,2,,100U =….对数列{}*(N )n a n ∈和U 的子集T ,若T =∅,定义0T S =;若{}12,,,k T t t t =…,定义12+k T t t t S a a a =++….假如:{}=1,3,66T 时,1T S a =+366+a a .现设{}*()n a n N ∈是公比为3的等比数列,且当{}=2,4T 时,=30T S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）对任意正整数()1100k k ≤≤,若{}1,2,,k T ⊆…,求证:1T k S a +<; （Ⅲ）设C U ⊆,D U ⊆,C D S S ≥,求证:2C C D D S S S +≥.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,．并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．若多做,则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4—1:几何证明选讲]（本小题满分10分）如图,在ABC △中,90ABC ∠=︒,BD AC ⊥,D 为垂足,E 是BC 的中点,求证:EDC ABD ∠=∠.B. [4—2:矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵A 1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,矩阵B 的逆矩阵B -111=202⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵AB . C. [选修4—4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为11,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,椭圆C 的参数方程为cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ,B两点,求线段AB 的长.D. [4—5:不等式选讲]（本小题满分10分）数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页） 数学试卷 第9页（共21页）2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析{1,2}AB =-{1,2,3,6}-可得0BF CF =，BF c ⎛=+ ，CF c ⎛=- ，由22b a c =-可得234c 23c a ==数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）8【解析】令DF a =，DB b =，则D C b =-，2DE a =，3DA a =，则3B A a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，AB =∅，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b =-，22BF CF a b =-，224BE CE a b =-，由4B AC A =，1BF CF =-可得2294a b -=，221a b -=-，因此258a =，2138b =，因此224513748BE CE a b ⨯=-=-=．【提示】结合已知求出258a =，2138b =，可得答案．【考点】平面向量数量积的运算，平面向量数量积的性质及其运算律．（Ⅰ）4cos 5B =sinC sin AB =32526AB ∴=又A 为三角形的内角31cos 22A +（Ⅰ）证明：,D E 为中点，又11ABC A B C -为棱柱，，又11AC ⊂平面11A C 11A C F ；（Ⅱ）111ABC A B C -为直棱柱，11AC ⊥，又11AC A ⊥1111A B A =⊥平面1AA B B ，又B DE ⊥平面AA 又1A F ⊂平面11AA B B ，∴ 又11A F B ⊥1DEB D D =1A F ⊥平面，又11A F AC ⊂平面1B DE 11C F ．//DE AC ，进而113ABCD PO =⨯216ABCD OO =⨯1111312B C D =（Ⅱ）设A ≠m x ，AO 2236m x -，111=33ABCD S PO =⨯1=(72ABCD S OO =111ABCD A B C D V -2数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）2236m x -5（Ⅲ）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即||||TA PQ =，||(TA t =-||10PQ ≤(2410t -+≤），解得[22t ∈-[22∈-，欲使TA PQ =，此时||10TA ≤，只需要作直线TA 2||TA ，必然与圆交于P Q 、两点，||||TA PQ =，即T A P Q=，21,2221]+21,2221]+由此能求出直线l 的方程．（Ⅲ）TA TP TQ +=，即||(2)4TA t =-+，又||10PQ ≤，得21,2221]+，欲使TA PQ =，只需要作直线2||TA ，由此能求出实数t 的取值范围．【考点】圆的一般方程，直线与圆的位置关系．44t t=，当且仅当2x a -=+213113332k k k a --+=++++=<)CD ，()D B CD =ð，则A B =∅，C D，D CD S ，22CDA B S S S -=-，因此原题就等价于证明A S C S S ≥可知A B S S ≥．AB =∅，所以2123113332m m m a a --+++=++++=<综上所述，2A B S S ≥，因此2C C DD S S S +≥．的定义，分析可得211333k k a -+=++++，由等比)()DCD B C D =，，则A B =∅，进而分析可以将原命题转化为证分2种情况进行讨论：①、若B =∅，②、数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）（Ⅰ）:l x y --即抛物线的焦点为(2,0)，∴又P Q ，关于直线12y y +=-又PQ 中点一定在直线线段PQ 上的中点坐标为②中点坐标为1m k kC -+++(mC +++31)k C +，而(1)m +++11)m n C ++++211111221121m m m m m m m m n m m n C C C C C C ++++++++++++==+++=+++1m k kC -+++数学试卷 第19页（共21页）数学试卷 第20页（共21页）数学试卷 第21页（共21页）设0a >,|1|3a x -<,|2|3ay -<,求证:24x y a +-<.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线20l x y --=：,抛物线22C y px =：(0)p >.（Ⅰ）若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程;（Ⅱ）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .①求证:线段PQ 的中点坐标为2p p --（，）;②求p 的取值范围.23. （本小题满分10分）（Ⅰ）求3467–47C C 的值;（Ⅱ）设m ,n ∈N *,n m ≥,求证:（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C mn +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .。
2016年江苏省高考理科数学试题与答案
数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V圆柱 =Sh，其中 S 是圆柱的底面积， h 为高 .圆锥的体积公式：V圆锥1S h S是圆锥的底面积，h为高.3，其中一、填空题：本大题共14 个小题 ,每题 5 分 ,共 70 分 .请把答案写在答题卡相应位置上。
1.集合 A{ 1,2,3,6}, B{ x | 2x3},那么A B= ________▲_______.2.复数 z (12i)(3i),其中 i 为虚数单位，那么z的实部是 ________ ▲ ________.223.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线xy 1 的焦距是 ________ ▲ ________.734.一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5 ，那么该组数据的方差是 ________ ▲ ________.5.函数 y= 3 - 2x - x2的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，那么输出的 a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子〔一种各个面上分别标有1， 2， 3， 4， 5， 6 个点的正方体玩具〕先后抛掷 2 次，那么出现向上的点数之和小于10 的概率是▲.8. { a n} 是等差数列， S n是其前 n 项和 .假设 a1+a22= -3， S5=10，那么 a9的值是▲.9.定义在区间 [0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是▲.xOy 中，F 是椭圆x2y2b10.如图，在平面直角坐标系1(a＞ b＞ 0) 的右焦点，直线 y与椭圆交于 B，a2b22C 两点，且BFC 90,那么该椭圆的离心率是▲.(第 10 题)x a, 1 x0,11.设 f 〔x 〕是定义在 R 上且周期为2的函数， 在区间 [ -1,1) 上，f ( x)2x其中 a R .假设x ,01,5f ( 5)f ( 9) ，那么f 〔5a 〕的值是▲.22x 2y 4 012. 实数x ， y 满足2x y 20 3x y 30，那么 x 2+y 2的取值X 围是▲.13.如图，在△ABC 中， D 是 BC 的中点， E ， F 是 AD 上的两个三等分点，BC CA4 ，BF CF 1 ，那么BECE 的值是▲.14.在锐角三角形 ABC 中，假设 sinA=2sin BsinC ，那么 tanAtanBtanC 的最小值是▲.二、解答题 〔本大题共 6 小题，共 90 分 .请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .〕15.〔本小题总分值 14 分〕在△ABC 中，AC=6 ， cos B = 4 π，C= .5 4 〔 1〕求 AB 的长；π〔 2〕求 cos( A-) 的值 .616.(本小题总分值14 分 )如图， 在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为 AB ，BC 的中点， 点 F 在侧棱 B 1B上，且 B 1DA 1F ， AC 1 1A 1B 1.求证：〔 1〕直线 DE ∥平面 A 1C 1F ；〔 2〕平面 B 1DE ⊥平面 A 1C1F.17.〔本小题总分值14 分〕现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥P A1B1C1 D1，下局部的形状是正四棱柱ABCD A1B1C1D1(如下图)，并要求正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1的四倍.(1) 假设AB 6 m, PO12 m, 那么仓库的容积是多少？(2)假设正四棱锥的侧棱长为 6 m,那么当PO1为多少时，仓库的容积最大？18.〔本小题总分值 16 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M: x2y2 12x 14y 60 0 及其上一点A(2，4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、 C 两点，且 BC=OA,求直线 l 的方程；(3) 设点 T〔t,0〕满足：存在圆M 上的两点P 和 Q,使得TATP TQ, ,XX数t的取值X围。
2016年江苏高考数学真题及解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则AB = ．【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ．【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】【解析】c =2c =4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ．【答案】0.1； 【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y 的定义域是 ．【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ．【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．【答案】56； 【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=， 解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ．【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭， 由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，2b BFc ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ===． 11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ． 【答案】25-；【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．12.已知实数,x y满足240,220,330,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y+的取值范围是．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下22x y+为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线220x y+-=的距离，d==，则()22min45x y+=，图中B 点距离原点最远，B点为240x y-+=与330x y--=交点，则()2,3B，则()22max13x y+=．13.如图，在ABC△中，D 是BC的中点，,E F 是AD上两个三等分点，4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-，则BE CE⋅的值是．【答案】78；【解析】令DF a=，DB b=，则DC b=-，2DE a=，3DA a=，则3BA a b=-，3CA a b=+，2BE a b=-，2CE a b=+，BF a b=-，CF a b=+，则229BA CA a b⋅=-，22BF CF a b⋅=-，224BE CE a b⋅=-，由4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-可得2294a b-=，221a b-=-，因此22513,88a b==，因此22451374888BE CE a b⨯⋅=-=-=．14. 在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ．【答案】8；【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =， 可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*）， 由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=， 又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t >2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 224B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =． ⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴． 【解析】⑴ 4cos 5B =，B 为三角形的内角 3sin 5B ∴=sinC sin AB ACB=635=，即：AB=⑵()cos cos sin sin cos cosA CB BC B C=-+=-cos A∴=又A为三角形的内角sin10A∴=π1cos sin62A A A⎛⎫∴-=+⎪⎝⎭16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，,D E分别为,AB BC的中点，点F在侧棱1B B上，且11B D A F⊥，1111AC A B⊥．求证：⑴直线//DE平面11AC F；⑵平面1B DE⊥平面11AC F．【答案】见解析；【解析】⑴,D E为中点，DE∴为ABC∆的中位线//DE AC∴又111ABC A B C-为棱柱，11//AC AC∴11//DE AC∴，又11AC ⊂平面11AC F，且11DE AC F⊄//DE∴平面11AC F；⑵111ABC A B C-为直棱柱，1AA∴⊥平面111A B C111AA AC∴⊥，又1111AC A B⊥且1111AA A B A=，111,AA A B⊂平面11AA B B11AC∴⊥平面11AA B B，又11//DE AC，DE∴⊥平面11AA B B又1A F ⊂平面11AA B B，1DE A F∴⊥又11A FB D⊥，1DE B D D=，且1,DE B D⊂平面1B DE1A F∴⊥平面1B DE，又111A F AC F⊂∴平面1B DE⊥平面11AC F．FECBAC1B1A117. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍． ⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵m ；【解析】⑴12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ；⑵设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11m AO =，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<， ()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =()V x 取到最大值，即1m PO =时，仓库的容积最大．18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 及其上一点()2,4A ．1A⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣； 【解析】⑴ 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=；⑵由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d ==则BC ==BC =解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-；⑶TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，(TA t =又10PQ ≤,10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA 2TA必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ =，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．19. （本小题满分14分）已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． ⑴ 设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；【解析】⑴ ① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立， 令122x x t =+，则由20x >可得2t =≥， 此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t +=+≤恒成立 ∵2t ≥时44t t +≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x xxxa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点，2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ， 可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=， 因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．20. （本小题满分14分） 记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；【解析】⑴ 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=；⑵ 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<=≤；⑶设()C A CD =ð，()D B C D =ð，则A B =∅，C A CDS S S =+，D B CDS S S =+，22C C DD A B S S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ， 若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾． 因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥，211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C C DD S S S +≥．数学Ⅱ（附加题）21. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点． 求证：EDC ABD ∠=∠．【答案】详见解析；【解析】由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒， 由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==， 则EDC C ∠=∠，由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒， 由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒， 因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；【解析】()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121440210102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长． EDCBA【答案】167； 【解析】直线l0y -=，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB ==．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．【答案】详见解析；【解析】由13a x -<可得2223a x -<， 22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】⑴:20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；⑵① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+- 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=-即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上 12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；②中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．23. （本小题满分10分）⑴ 求34677C 4C -的值；⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．【答案】⑴0；⑵详见解析；【解析】⑴ 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；⑵对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m mm m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+，而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以 左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．。
2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (江苏卷) WORD版
高考注意事项1．进入考场时携带物品。
考生进入考场,只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。
严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。
考场内不得自行传递文具等物品。
由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备,所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品,以免影响入场时间。
2．准确填写、填涂和核对个人信息。
考生在领到答题卡和试卷后,在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。
填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规,查实后按照有关规定严肃处理。
监考员贴好条形码后,考生必须核对所贴条形码与自己姓名、准考证号是否一致,如发现不一致,立即报告监考员要求更正。
3．考场面向考生正前方墙壁上方悬挂时钟,为考生提供时间参考。
考场时钟时间指示不作为考试时间信号,考试时间一律以考点统一发出铃声信号为准。
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页,均为非选择题（第1题—第20题,共20题）。
本卷满分为160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前,请务必将自己姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴条形码上姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上制定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅方差()2211ni i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑棱柱体积公式： V =Sh ,其中S 是棱柱底面积,h 为高. 棱锥体积公式：V13Sh ,其中S 是棱锥底面积,h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
2016年高考江苏卷数学试题解析(正式版)(解析版)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2016年江苏卷数学高考试题数学I 试题参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差211()n i i s x x n ==-∑2，其中11=n i i x x n =∑.棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高. 棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲ . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-考点：集合运算2. 复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ . 【答案】5考点：复数概念3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ▲ .【答案】210 【解析】 试题分析：222227,3,7310,10,2210a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=．故答案应填：210考点：双曲线性质4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ▲ . 【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15⨯++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15s ⎡⎤∴=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0.1 考点：方差5. 函数y =232x x --的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-考点：函数定义域6. 右图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .【答案】9【解析】试题分析：第一次循环：5,7a b ==，第二次循环：9,5a b ==， 此时a b >，循环结束，输出的a 的值是9，故答案应填：9. 学科&网 考点：循环结构流程图7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ . 【答案】56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 考点：古典概型8. 已知{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和.若2123a a +=-，5S =10，则9a 的值是 ▲ .【答案】20【解析】由510S =得32a =，因此2922(2)33,23620.d d d a -+-=-⇒==+⨯=故 考点：等差数列的性质9. 定义在区间[0，3π]上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ▲ . 【答案】7考点：三角函数图象10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦点，直线2by = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ，则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)【答案】63【解析】由题意得33(,),C(,),2222b b B a a -，故BF⃗⃗⃗⃗⃗ =3(,)22b c a --，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(,)22b c a +-，又90BFC ∠=，所以2222236()()032.223b c a c a e -+=⇒=⇒= 考点：椭圆离心率11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 ▲ . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)1.55f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质12. 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，， 则22x y +的取值范围是 ▲ .【答案】4[,13]5考点：线性规划13. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=---==（）（），2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=---==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=---===（）（） 考点：向量数量积14. 在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ . 【答案】8考点：三角恒等变换，切的性质应用二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A)的值.【答案】（1）52(2) 72620- 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ， 再利用正弦定理求AB 的长；(2)利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-考点：同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式 16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .（第16题）【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理. 学科&网试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C ∥AC ， 在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以//DE AC ，于是11//DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ， 所以直线DE //平面11AC F .考点：直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍. （1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？（第17题）【答案】（1）312（2）123PO =考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积 18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围.（第18题）【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22212221t -≤≤+所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算 19. （本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设12,2a b ==. ①求方程()f x =2的根；②若对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 【答案】（1）①0 ②4 （2）1 【解析】试题分析：（1）①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根；②根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，最后根据基本不等式求最值；（2）根据导函数零点情况，确定函数单调变化趋势，结合图象确定唯一零点必在极值点取得，从而建立等量关系，求出ab 的值.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而0(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln xxg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=.因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02xg g <=， 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=，且函数()g x 在以2x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002x<，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点 20. （本小题满分16分）记{}1,2,100U =…,.对数列{}()*n a n ∈N 和U的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,k T t t t =…，，定义12k T t t t S a a a =+++.例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,T k ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析考点：等比数列的通项公式、求和数学II（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．．．．．．若多做，．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4—1几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析考点：相似三角形B. [选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵12,02A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦矩阵B的逆矩阵111=202B-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB.【答案】5 14 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆：11412B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，再根据矩阵运算求矩阵AB.考点：逆矩阵，矩阵乘法C.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为11,23x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），椭圆C的参数方程为cos,2sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.【答案】16 7【解析】试题分析：将参数方程化为普通方程，再根据弦长公式或两点间距离公式求弦长.试题解析：解：椭圆C的普通方程为2214yx+=，将直线l的参数方程1123x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214yx+=，得223()12(1)124t t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-.所以1216||7AB t t =-=.考点：直线与椭圆的参数方程D .[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）设a ＞0，|x -1|＜3a ，|y -2|＜3a，求证：|2x +y -4|＜a . 【答案】详见解析考点：含绝对值的不等式证明【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px (p ＞0). （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0( 【解析】试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：0)44(4422>--=∆p p p ，解出p 的取值范围.试题解析：解：（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p =所以抛物线C 的方程为28.y x =考点：直线与抛物线位置关系 23. （本小题满分10分）（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .【答案】（1）0（2）详见解析考点：组合数及其性质学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp。
2016年高考真题——数学(江苏卷) Word版含解析
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ．【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】【解析】c，因此焦距为2c =．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； 【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y 的定义域是 ． 【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ．【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56； 【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数s i n 2y x =的图象与c o s y x =的图象的交点个数是 ． 【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭， 由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，2b BFc ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ==．11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ．【答案】25-；【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-． 12. 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是 ．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下22x y +为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离， d ==()22min45x y +=， 图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ， 则()22max13x y +=．13. 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ．B【答案】78； 【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，2CE a b =+，BF a b =-，CF a b =+， 则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-，224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=． 14. 在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则t a n t a n t a n AB C 的最小值是 ．【答案】8；【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*）， 由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=， 又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t > 2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 224B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =． ⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴． 【解析】⑴ 4cos 5B =，B 为三角形的内角 3sin 5B ∴=sinC sin AB ACB =635=，即：AB = ⑵ ()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A ∴= 又A 为三角形的内角sin A ∴=π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上， 且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥． 求证：⑴ 直线//DE 平面11AC F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11AC F ．【答案】见解析；【解析】⑴ ,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线//DE AC ∴又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11AC F ，且11DE AC F ⊄FEC BAC 1B 1A 1//DE ∴平面11AC F ；⑵111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C 111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B 又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥ 又11A F B D ⊥，1DEB D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE 1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂∴平面1B DE ⊥平面11AC F ．17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵m ； 【解析】⑴ 12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==， 111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=， 故仓库的容积为3312m ；⑵ 设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11AO，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1A1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x -⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(0,x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =()V x 取到最大值，即1PO =时，仓库的容积最大．18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 及其上一点()2,4A ．⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣【解析】⑴ 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=； ⑵ 由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d ==则BC =BC =，即=解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-； ⑶ TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，(TA t =又10PQ ≤,10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA 2TA必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ =，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．19. （本小题满分14分）已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． ⑴ 设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；【解析】⑴ ① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122x xt =+，则由20x>可得2t =≥， 此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t +=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b aa xb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <； ()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2l o g 2bx >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ， 可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=， 因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．20. （本小题满分14分） 记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<； ⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；【解析】⑴ 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=；⑵ 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<=≤；⑶ 设()C A CD =ð，()D B C D =ð，则A B =∅，C A CDS S S =+，D B CDS S S =+，22C CDD A B S S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ， 若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾． 因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥， 211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C CDD S S S +≥．数学Ⅱ（附加题）21. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点． 求证：EDC ABD ∠=∠．【答案】详见解析；【解析】由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==， 则EDC C ∠=∠，由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒， 由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒， 因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）ECBA已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；【解析】()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【答案】167； 【解析】直线l0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB ．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．【答案】详见解析； 【解析】由13a x -<可得2223a x -<， 22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】⑴ :20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；⑵ ① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+- 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=- 即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；②中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．23. （本小题满分10分）⑴ 求34677C 4C -的值；⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．【答案】⑴0；⑵详见解析；【解析】⑴ 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；⑵ 对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时， 左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m mm m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+， 而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以 左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．。
【真题】2016年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲.2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是▲.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是▲.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是▲.5.函数y =232x x --的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是▲.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
2016年高考理科数学江苏卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共24页）数学试卷 第2页（共24页） 数学试卷 第3页（共24页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式:样本数据12n ,,,x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i S x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.棱柱的体积V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 是高.棱锥的体积13V Sh =,其中S 是棱锥的底面积,h 是高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1. 已知集合{1,2,3,6}A =-,{|23}B x x =-<<,则A B = .2. 复数z (12i)(3i)=+-,其中i 为虚数单位,则z 的实部是 .3. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22173x y -=的焦距是 . 4. 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 . 5.函数y 的定义域是 .6. 如图是一个算法的流程图,则输出的a 的值是 .7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后 抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .8. 已知{}n a 是等差数列,S n 是其前n 项和.若2123a a +=-,5S =10,则9a 的值是 .9. 定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与c o s y x =的图象的交点个数是 .10. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22221x ya b += ()a b >>0的右焦点,直线2by =与椭圆交于,B C 两 点,且90BFC ∠=︒,则该椭圆的离心率是 .11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[1,1)-上,()f x =,10,2,01,5x a x x x +-⎧⎪⎨-⎪⎩≤＜≤＜其中a ∈R .若59()()22f f -=,则(5)f a 的值是 .12. 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥，≥，≤，则22x y +的取值范围是 .13. 如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,,E F 是AD 上的两个三等分点,A 4B CA =,1BF CF =-,则BE CE 的值是 . 14. 在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C的最小值是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分14分）在ABC △中,6AC =,4cos 5B =,π4C =. （Ⅰ）求AB 的长;（Ⅱ）求πcos()6A -的值.16. （本小题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱1B B 上,且11B D A F ⊥,1111AC A B ⊥. 求证:（Ⅰ）直线DE平面11AC F ;（Ⅱ）平面1B DE ⊥平面11AC F .17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -,下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示）,并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（Ⅰ）若6AB m =,12PO m =,则仓库的容积是多少?（Ⅱ）若正四棱锥的侧棱长为6m ,则当1PO 为多少时,仓库的容积最大?姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共24页） 数学试卷 第5页（共24页） 数学试卷 第6页（共24页）18. （本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :221214x y x y +--+600=及其上一点(2,4)A .（Ⅰ）设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线6x =上,求圆N 的标准方程;（Ⅱ）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点,且BC OA =,求直线l 的方程; （Ⅲ）设点(,0)T t 满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围.19. （本小题满分16分）已知函数()=(0,0,1,1)x xf x a b a >b a b +>≠≠.（Ⅰ）设2a =,12b =. ①求方程()=2f x 的根;②若对于任意x R ∈,不等式(2)()6f x mf x -≥恒成立,求实数m 的最大值; （Ⅱ）若01a <<,1b >,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值.20.（本小题满分16分）记{}1,2,,100U =….对数列{}*(N )n a n ∈和U 的子集T ,若T =∅,定义0T S =;若{}12,,,k T t t t =…,定义12+k T t t t S a a a =++….假如:{}=1,3,66T 时,1T S a =+366+a a .现设{}*()n a n N ∈是公比为3的等比数列,且当{}=2,4T 时,=30T S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）对任意正整数()1100k k ≤≤,若{}1,2,,k T ⊆…,求证:1T k S a +<; （Ⅲ）设C U ⊆,D U ⊆,C D S S ≥,求证:2C C D D S S S +≥.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,．并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．若多做,则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4—1:几何证明选讲]（本小题满分10分）如图,在ABC △中,90ABC ∠=︒,BD AC ⊥,D 为垂足,E 是BC 的中点,求证:EDC ABD ∠=∠.B. [4—2:矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵A 1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,矩阵B 的逆矩阵B -111=202⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵AB . C. [选修4—4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为11,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,椭圆C 的参数方程为cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ,B两点,求线段AB 的长.D. [4—5:不等式选讲]（本小题满分10分）设0a >,|1|3a x -<,|2|3ay -<,求证:24x y a +-<. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线20l x y --=：,抛物线22C y px =：(0)p >.（Ⅰ）若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程;（Ⅱ）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .①求证:线段PQ 的中点坐标为2p p --（，）;②求p 的取值范围.23. （本小题满分10分）（Ⅰ）求3467–47C C 的值;（Ⅱ）设m ,n ∈N *,n m ≥,求证:（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C mn +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .数学试卷 第7页（共24页）数学试卷 第8页（共24页）数学试卷 第9页（共24页） {1,2}AB =-{1,2,3,6}-0B FC F =，BF c ⎛=+ ，CF c ⎛=- 63=． 【提示】设右焦点，将2by =代入椭圆方程求得数学试卷 第10页（共24页）数学试卷 第11页（共24页）数学试卷 第12页（共24页）8【解析】令DF a =，DB b =，则D C b =-，2DE a =，3DA a =，则3B A a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，A B =∅，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b =-，22BF CF a b =-，224BE CE a b =-，由4B A C A =，1BF CF =-可得2294a b -=，221a b -=-，因此258a =，2138b =，因此22451374888BE CE a b ⨯=-=-=．【提示】结合已知求出258a =，2138b =，可得答案．【考点】平面向量数量积的运算，平面向量数量积的性质及其运算律．（Ⅰ）4cos 5B =sinC sin AB =32526AB ∴=又A 为三角形的内角31cos 22A +（Ⅰ）证明：,D E 为中点，又11ABC A B C -为棱柱，数学试卷 第13页（共24页）数学试卷 第14页（共24页）数学试卷 第15页（共24页），又11AC ⊂平面1AC F ；（Ⅱ）111ABC A B C -为直棱柱，11AC ⊥，又11AC A ⊥1111A B A =⊥平面1AA B B ，又B D E ⊥平面AA 又1A F ⊂平面11AA B B ，∴ 又11A F B ⊥1DEB D D =1A F ⊥平面，又11A F AC ⊂平面1B DE 11AC F ．//DE AC ，进而113ABCD PO =⨯216ABCD OO =⨯1111312A B C D =m x ，1AO 2236m x -，3112)243ABCDPO x x =⨯=31(72m ABCD OO =，111ABCD A B C D V -2236m x -55TA TP TQ +=，即T A T Q T P PQ =-=，即||||T A P Q =，||(2)4TA t =-+，又||10PQ ≤，2221+，对于任意，欲使TA PQ =，此时||10TA ≤，只需要作直线2||TA ||||TA PQ =，即TA PQ =，[2221,2∈-，均满足题意，综上[2221,2221]t ∈-+．（Ⅲ）TA TP TQ +=，即||(TA t =-||10PQ ≤，得[22t ∈-欲使TA PQ =，TA 的平行线，使圆心到直线的距离为2||25TA -44t t=，当且仅当2x x a b =+数学试卷 第16页（共24页）数学试卷 第17页（共24页）数学试卷 第18页（共24页）213113332k k k a --+=++++=<)CD ，()D B CD =ð，则A B =∅，C D，CD S ，22CDA B S S S --，因此原题就等价于证明A S ≥C S S ≥可知A B S S ≥．AB =∅，所以21123113332m m m a a --+++=++++=<综上所述，2A B S S ≥，因此2C C DD S S S +≥．的定义，分析可得211333k k a -+=++++，由等比数列的前)()DCD B C D =，，则A B =∅，进而分析可以将原命题转化为证明S ∅，可以证明得到2A B S S ≥，即可得证明．【考点】数列的应用，集合的包含关系判断及应用，等比数列的通项公式，数列与不等式的综合．（Ⅰ）:l x y --即抛物线的焦点为(2,0)，∴又P Q ，关于直线12y y +=-又PQ 中点一定在直线线段PQ 上的中点坐标为数学试卷 第19页（共24页）数学试卷 第20页（共24页）数学试卷 第21页（共24页）②中点坐标为1m k kC -+++112)(m m k C m kC +-++++3(1)m +-+(1)m +++11)m n C ++++211111221121m m m m m m m m n m m n C C C C C C ++++++++++++==+++=+++，1m k kC -+++数学试卷第22页（共24页）数学试卷第23页（共24页）数学试卷第24页（共24页）。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)-推荐下载
x 2y 4 0 12. 已知实数 x，y 满足 2x y 2 0 ，则 x2+y2 的取值范围是 ▲ .
3x y 3 0
13.如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点， BC CA 4 ，
证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分 14 分）
在 △ABC 中，AC=6， cos B = 4，C = π .
（1）求 AB 的长；
（2）求 cos( A - π ) 的值. 6
5
4
·2·
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要写5卷求、重保技电要护术气设装交设备置底备高4动。调、中作管试电资，线高气料并敷中课试3且设资件、卷拒技料中管试绝术试调路验动中卷试敷方作包技设案，含术技以来线术及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2016年高考理科数学江苏卷
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式:样本数据12n ,,,x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i S x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.棱柱的体积V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 是高.棱锥的体积13V Sh =,其中S 是棱锥的底面积,h 是高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1. 已知集合{1,2,3,6}A =-,{|23}B x x =-<<,则A B =I .2. 复数z (12i)(3i)=+-,其中i 为虚数单位,则z 的实部是 .3. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22173x y-=的焦距是 .4. 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 . 5. 函数232y x x =--的定义域是 .6. 如图是一个算法的流程图,则输出的a 的值是 .7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后 抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .8. 已知{}n a 是等差数列,S n 是其前n 项和.若2123a a +=-,5S =10,则9a 的值是 . 9. 定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 .10. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22221x y a b+=()a b >>0的右焦点,直线2by =与椭圆交于,B C 两点,且90BFC ∠=︒,则该椭圆的离心率是 .11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[1,1)-上,()f x =,10,2,01,5x a x x x +-⎧⎪⎨-⎪⎩≤＜≤＜其中a ∈R .若59()()22f f -=,则(5)f a 的值是 . 12. 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥，≥，≤，则22x y +的取值范围是 .13. 如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,,E F 是AD 上的两个三等分点,A 4B CA =u u u r u u u r g,1BF CF =-u u u r u u u r g ,则BE CE u u u r u u u rg 的值是 . 14. 在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C的最小值是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡．．．指定．．区域．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分14分）在ABC △中,6AC =,4cos 5B =,π4C =. （Ⅰ）求AB 的长;（Ⅱ）求πcos()6A -的值.16. （本小题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱1B B 上,且11B D A F ⊥,1111AC A B ⊥. 求证:（Ⅰ）直线DE P 平面11AC F ; （Ⅱ）平面1B DE ⊥平面11AC F .17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -,下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示）,并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（Ⅰ）若6AB m =,12PO m =,则仓库的容积是多少?（Ⅱ）若正四棱锥的侧棱长为6m ,则当1PO 为多少时,仓库的容积最大?姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页,均为非选择题（第1题～第20题,共20题）.本卷满分为160分,考 试时间为120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置.3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4. 作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位 置作答一律无效.5. 如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.18. （本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:221214x y x y+--+600=及其上一点(2,4)A.（Ⅰ）设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线6x=上,求圆N的标准方程;（Ⅱ）设平行于OA的直线l与圆M相交于,B C两点,且BC OA=,求直线l的方程;（Ⅲ）设点(,0)T t满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA TP TQ+=u u r u u r u u u r,求实数t的取值范围.19. （本小题满分16分）已知函数()=(0,0,1,1)x xf x a b a>b a b+>≠≠.（Ⅰ）设2a=,12b=.①求方程()=2f x的根;②若对于任意x R∈,不等式(2)()6f x mf x-≥恒成立,求实数m的最大值;（Ⅱ）若01a<<,1b>,函数()()2g x f x=-有且只有1个零点,求ab的值.20.（本小题满分16分）记{}1,2,,100U=….对数列{}*(N)na n∈和U的子集T,若T=∅,定义0TS=;若{}12,,,kT t t t=…,定义12+kT t t tS a a a=++….假如:{}=1,3,66T时,1TS a=+366+a a.现设{}*()na n N∈是公比为3的等比数列,且当{}=2,4T时,=30TS.（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式;（Ⅱ）对任意正整数()1100k k≤≤,若{}1,2,,kT⊆…,求证:1T kS a+<;（Ⅲ）设C U⊆,D U⊆,C DS S≥,求证:2C CD DS S S+I≥.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,．并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．若多做,则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4—1:几何证明选讲]（本小题满分10分）如图,在ABC△中,90ABC∠=︒,BD AC⊥,D为垂足,E是BC的中点,求证:EDC ABD∠=∠.B. [4—2:矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,矩阵B的逆矩阵B-111=202⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵AB.C. [选修4—4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为11,23,x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）,椭圆C的参数方程为cos,2sin,xyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.D. [4—5:不等式选讲]（本小题满分10分）设0a>,|1|3ax-<,|2|3ay-<,求证:24x y a+-<.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线20l x y--=：,抛物线22C y px=：(0)p>.（Ⅰ）若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;（Ⅱ）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为2p p--（，）;②求p的取值范围.23. （本小题满分10分）（Ⅰ）求3467–47C C的值;（Ⅱ）设m,n∈N*,n m≥,求证:（m+1）C mm+（m+2）+1C mm+（m+3）+2C mm+…+n–1C mn+（n+1）C mn=（m+1）+2+2C mn.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共2页,均为非选择题（第21题～第23题）.本卷满分为40分,考试时间为30分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4. 作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5. 如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.。