实验目的：了解SOR法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系

数值实验一

实验目的：了解SOR法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系。

实验内容：

10.50

010.5

0.501

A

⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

，画出SOR迭代谱半径和ϖ之间的曲线，并据此

分析ϖ的收敛范围及ϖ取何值时，迭代法收敛速递最快。

实验原理：

逐次超松弛迭代法（SOR法）是Gauss-Seidel法的一种加速方法，SOR法的公式为：

其中

，

方程组收敛的充要条件是：

ρ（Lω）<1

引进超松弛迭代法的思想在于希望能选择松弛因子使得迭代方程式收敛速度较

快，即需选择因子使得

对称正定阵迭代收敛必要条件为0<ϖ<2，而本实验中矩阵并非对称正定阵，故将此范围扩大至-1<ϖ<3，求解分析过程如下：

以下为MATLAB程序：

P=zeros(1,4001); %构造用来储存谱半径的行向量

A=[1 0.5 0;0 1 0.5;0.5 0 1];%建立矩阵A

D=diag(diag(A)); %求对角矩阵D

U=-triu(A,1);%求上三角矩阵U

L=-tril(A,-1);%求下三角矩阵L

n=0;

for w=-1:0.001:3;

n=n+1;

B=(inv(D-w*L))*((1-w)*D+w*U);

P(1,n)=max(abs(eig(B)));

end

w=-1:0.001:3;

plot(w,P);

xlabel('\omega');

ylabel('\rho(L_\omega)'); %画出谱半径随松弛因子变化图title('谱半径与松弛因子的变化关系图');

k=find(P==min(P)); %寻找最小谱半径

wmin=w(k); %最小谱半径对应之因子ϖ

disp(min(P)); %输出最小谱半径数值

disp(wmin); %输出对应因子ϖ值

实验图形：

实验结论：

由上图分析可知当0<ϖ<1.5时，谱半径ρ（Lω）<1，此时方程组迭代收敛经计算可知当ϖ=0.3381时，谱半径ρ（Lω）=0.9410，此时迭代速度最快。