镜像法与电轴法

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二、电轴法
2. 电轴法 例4. 自由空间，相同半径的平行导体圆柱的情况。
导体圆柱外部
y
0
2
导体圆柱表面
R0

o
R0
0 l n dl
x
圆柱面 C
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d
d
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二、电轴法
2. 电轴法 例4. 自由空间，相同半径的平行导体圆柱的情况。
a b h
2 2
2
y
R0
b
d
R0
b
o
b
d
R0
x
R b d
2 0 2
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2
d
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二、电轴法
2. 电轴法 例5. 自由空间，不同半径的平行导体圆柱的情况。
a b h
2 2
2
y
R b h
2 1 2 2 2 2
2 1 2 2
P( x, y, z)
I 0 除点 (0,0, d ) 外 I r a 0
2
I r 0
球内(r <a)：
a o
q
(0,0, d )
z
II 0
2
II r a 0
II r 0
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一、镜像法
例2. 自由空间，接地导体球与点电荷。
r1 x 2 y 2 ( z d )2 r2 x y ( z d )
2 2 2
P( x, y, z)
1 12
z
r2 o q (0,0, d ) q (0, 0, d )
r1
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一、镜像法
例3. 点电荷对无限大介质分界面。
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1 2 q q 1 2 2 2 q q 1 2
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二、电轴法
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二、电轴法
1. 两传输线的电场
y
P( x, y, z)
2

(b, 0, 0)
1

o
(b,0,0)
x
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2 2 2
思考：导体表面的电荷分布 密度 ? I I 0 0
n
z 0
z P( x, y, z)
(0,0, d ) q
z
z 0
qd 2 2 2 3/2 2( x y d )
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一、镜像法
例2. 自由空间，接地导体球与点电荷。 球外(r >a)：
工程电磁场导论
镜像法和电轴法
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哈尔滨工业大学
一、镜像法
基本思想：将待求场区域边界上的感应电荷分布 用一些该区域外，而且能保证边界条件不变的集 中虚设电荷来代替，用这些虚设电荷（镜像电荷） 与原电荷共同计算场分布。此法的正确性由唯一 性定理来保证。 2 即 不变 求解区域的三个不变 电荷分布不变 介质分布不变 微分方程不变 边界条件不变
二、电轴法
k 1 h 2 b k 1 令： 2bk a 2 k 1
2
1. 两传输线的电场
( x h)2 y 2 a2
y
o

x
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二、电轴法
1. 两传输线的电场
一个重要关系： a 2 b2 h2
区域II ( z 0) ：
z
2 0
2
2 r 0
1 2 分界面 z 0上： 1 2 1 2 n n
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一、镜像法
例3. 点电荷对无限大介质分界面。
1 q 1 q 1 41 r1 41 r2
R1

o
b b h2
d
R2
x
R b h
h1 h2 d
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h1
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镜像法（电轴法）小结
镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电 轴）替代边界未知电荷的分布，使计算场域为无限大 均匀介质； 镜像法（电轴法）的原则是电荷分布不变，介质分 布不变，边界条件不变； 镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴） 的个数（根数），大小及位置；
2 2 2
Ey
Ex dy 2 xy 2 2 2 dy dx dx y x b
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二、电轴法
E 电力线：
1. 两传输线的电场
y
2 m m 2 2 2 x (y ) b 2 4

o

x
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二、电轴法
1. 两传输线的电场—场图
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二、电轴法（镜像法特例）
基本思想：用虚设的集中线电荷来代替导体柱面 上的感应电荷对场的贡献。 原则：维持求解区域的三个不变。
电荷分布不变 介质分布不变
微分方程不变 边界条件不变
解唯一
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应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷（电 轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意 场的适用区域。
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谢谢聆听！
(0,0, d ) q
R2
R2 x 2 y 2 ( z +d )2
由边界条件不变确定 q
I Z 0 0
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q q
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q (0, 0, d )
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一、镜像法
例1. 自由空间，点电荷对无限大接地导体平面。
1 I 4 0 1 2 2 2 4 0 x y (z d ) q q x y ( z +d )
二、电轴法
1. 两传输线的电场
等位线： k
2 e 1
2 0 k

k
( x b) y 2 k 2 2 ( x b) y
2 2
k 1 2 2bk 2 2 ( x 2 b) y ( 2 ) k 1 k 1
2
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由边界条件不变确定 q 和 b
P( x, y, z)
I r a
1 q 1 q 4 0 r1 4 0 r2
r1 a 2 d 2 2ad cos r2 a 2 b 2 2ab cos
a r 2 o q
r1
q
(0,0, d ) (0,0, b)
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解唯一
2
一、镜像法
例1. 自由空间，点电荷对无限大接地导体平面。 z P( x, y, z) 区域I ( z 0) ：
I 0 除点 (0,0, d ) 外 I z0 0
2
(0,0, d ) q
区域II ( z 0) ：
I r 0
z
I r a 0
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b a2 / d q ( a / d ) q
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一、镜像法
例3. 点电荷对无限大介质分界面。 区域I ( z 0) ：
1 2
o
q (0,0, d )
1 0 除点 (0,0, d ) 外
2
1 r 0
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二、电轴法
1. 两传输线的电场
2 ( x b) y ln ln 2 2 2 0 1 2 0 ( x b) y
2
2
讨论两传输线电场的分布：等位线和电力线 等位线： k
Ey Ex 电力线：E dy dx
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y
电轴法分析基础
a
b h
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a o
b h
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a
x
二、电轴法
E 电力线：
1. 两传输线的电场
2b( y x b )ex 4bxyey E 2 2 2 2 2 0 ( x b ) y ( x b ) y
II 0
2
II z 0 0
II r 0
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一、镜像法
例1. 自由空间，点电荷对无限大接地导体平面。
1 q 1 q I 4 0 R1 4 0 R2
R1 x y ( z d )
2 2 2
z P( x, y, z) R1
1 q 2 4 2 r3
r3 x y ( z d )
2 2 2
2 1 2
r3
P( x, y, z)
z
o
q (0,0, d )
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一、镜像法
例3. 点电荷对无限大介质分界面。
1 q 1 q 1 41 r1 41 r2
r1 x 2 y 2 ( z d )2 r2 x y ( z d )
2 2 2
1 q 2 4 2 r3
r3 x 2 y 2 ( z d ) 2
1 2 1 2 1 2
n
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n z 0